Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение (читается «дельта икс») , которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия). Величина называется приращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то .

Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и: . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение (малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным : метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:

– Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительным, и неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.

– Аналогично, для любой точки склона существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.

– Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: . Во-первых, нулевое приращение высоты () – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина.

Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: , то есть сделать его бесконечно малым .

По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию , которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?

Что такое производная? Определение производной.
Геометрический смысл производной и дифференциала

Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе).

По образцу сказаний о непрерывности функции , «раскрутка» темы начинается с изучения явления в отдельно взятой точке, и только потом оно распространяется на числовые промежутки.

Теперь мы знаем, что мгновенная скорость изменения функции N (Z) при Z = +2 равна-0,1079968336. Это означает повышение/понижение за период, поэтому, когда Z = +2, кривая N (Z) повышается на -0,1079968336. Эта ситуация показана на рисунке 3-13.  

Меру "абсолютной" чувствительности можно назвать скоростью изменения функции. Мера чувствительности функции в данной точке ("мгновенная скорость") называется производной.  

Мы можем измерить степень абсолютной чувствительности переменной у к изменениям переменной х, если определим соотношение Ay/Ах. Недостаток такого определения чувствительности состоит в том, что она зависит не только от "начальной" точки XQ, относительно которой рассматривается изменение аргумента, но и от самой величины интервала Dx, на котором определяется скорость. Для устранения этого недостатка вводится понятие производной (скорости изменения функции в точке). При определении скорости изменения функции в точке сближают точки XQ и xj, устремляя интервал Дх к нулю. Скорость изменения функции f(x) в точке XQ и называют производной функции f(x) в точке х Геометрический смысл скорости изменения функции в точке XQ в том, что она определяется углом наклона касательной к графику функции в точке XQ. Производная - это тангенс угла наклона касательной к графику функции.  

Если производную у рассматривать как скорость изменения функции /, то величина у /у является ее относительной скоростью изменения . Поэтому логарифмическую производную (In у)  

Производная по направлению - характеризует скорость изменения функции z - f(x,y) в точке МО(ЖО,УО) по направле-  

Скорость изменения функции относительная 124,188  

До сих пор мы рассматривали первую производную функции , которая позволяет найти скорость изменения функции. Чтобы определить, является ли скорость изменения постоянной, следует взять вторую производную функции . Это обозначается как  

Здесь и далее штрих означает дифференцирование так, h - скорость изменения функции h относительно возрастания избыточного предложения).  

Мера "абсолютной" чувствительности - скорость изменения функции (средняя (отношение изменений) или предельная (производная))  

Приращение величины, аргумента, функции. Скорость изменения функции  

Скорость изменения функции на интервале (средняя скорость).  

Недостаток такого определения скорости состоит в том, что эта скорость зависит не только от точки х0, относительно которой рассматривается изменение аргумента, но и от самой величины изменения аргумента, т.е. от величины интервала Дх, на котором определяется скорость. Для устранения этого недостатка вводится понятие скорости изменения функции в точке (мгновенной скорости).  

Скорость изменения функции в точке (мгновенная скорость).  

Для определения скорости изменения функции в точке J Q сближают точки х и х0, устремляя интервал Ах к нулю. Изменение непрерывной функции при этом будет также стремиться к нулю. При этом отношение, стремящегося к нулю изменения функции к стремящемуся к нулю изменению аргумента дает скорость изменения функции в точке х0 (мгновенной скорости), точнее на бесконечно малом интервале, относительно точки хд.  

Именно эту скорость изменения функции Дх) в точке х0 и называют производной функции Дх) в точке ха.  

Конечно, для характеристики скорости изменения величины у можно было бы использовать более простой показатель, скажем, производную у по L. Эластичность замещения о предпочитается в связи с тем, что у нее есть большое преимущество - она постоянна для большинства используемых на практике производственных функций, т. е. не только не изменяется при движении вдоль некоторой изокванты, но и не зависит от выбора изокванты.  

Своевременность контроля означает, что эффективный контроль должен быть своевременным. Своевременность его заключается в соизмеримости временного интервала измерений и оценок контролируемых показателей, процесса конкретной деятельности организации в целом. Физическое значение такого интер-вала(периодичности измерений) определяется временными рамками измеряемого процесса(плана) с учетом скорости изменения контролируемых показателей и затрат на реализацию операций контроля. Важнейшей задачей функции контроля остается устранение отклонений прежде, чем они приведут организацию к критической ситуации.  

Для однородной системы при TV = 0,М = 0 5 также обращается в нуль, так что правая часть выражения (6.20) равна скорости изменения суммарной функции благосостояния , связанной с неоднородностью.  

Механический смысл производной. Для функции у = f(x), меняющейся со временем х, производная у = f (xo] есть скорость изменения у в момент XQ.  

Относительная скорость (темп) изменения функции у = = f(x) определяется логарифмической производной  

Переменные х означают величину разности между спросом и предложением по соответствующему виду средств производства х = s - р. Функция х (f) непрерывно дифференцируется во времени. Переменные х" означают скорость изменения разницы между спросом и предложением. Траектория х (t) означает зависимость скорости изменения спроса и предложения от величины разницы между спросом и предложением, которая в свою очередь зависит от времени. Пространство состояний (фазовое пространство) в нашем случае двумерно, т. е. имеет вид фазовой плоскости.  

Такие свойства величины а и объясняют тот факт, что скорость изменения предельной нормы замещения у характеризуется на ее основе, а не с помощью какого-либо другого показателя, например производной у по х>- Более того, у значительного числа функций эластичность замещения постоянна не только вдоль изоклиналей, но и вдоль изоквант. Так, для производственной функции (2.20), пользуясь тем, что согласно уравнению изокли-  

Существует множество фокусов, которые можно проворачивать с краткосрочными темпами изменения. Эта модель использует однопериодичную

Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное - понять смысл.

Запомним определение:

Производная - это скорость изменения функции.

На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден - третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , - разная. Что касается Матвея - у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной - то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание - в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других - убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка - точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке - точке минимума - производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
+	0	-	0	+

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое - на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала - и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется - она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

Таблица 2

Таблица 1

Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования

Способы задания функций. Виды элементарных функций

Задать функцию - значит задать правило или закон, согласно которому данному значению аргумента х определяется соответствующее значение функции у .

Рассмотрим способы задания функции .

1. Аналитический способ - задание функции с помощью формул. Например, растворение лекарственных веществ из таблеток при приготовлении растворов подчиняется уравнению m = m 0 е – kt , где m 0 и m – соответственно,исходное и оставшееся ко времени растворения t количество лекарственного вещества в таблетке, k – некоторая постоянная положительная величина.

2. Графический способ - это задание функции в виде графика. Например, с помощью электрокардиографа на бумаге или на экране монитора компьютера фиксируется возникающая при работе сердца величина разности биопотенциалов U как функция времени t : U = f(t).

3. Табличный способ - это задание функции с помощью таблицы. Такой способ задания функции используется в экспериментах и наблюдениях. Например, измеряя температуру тела больного через определенные промежутки времени, можно составить таблицу значений температуры тела Т как функции времени t . На основании табличных данных иногда оказывается возможным выразить приближенно формулой соответствие между аргументом и функцией. Такие формулы называют эмпирическими, т.е. полученными из опыта.

В математике различают элементарные и сложные функции. Приведем основные виды элементарных функций:

1. Степенная функция – y = f(x) = x n , где х – аргумент, n – любое действительное число (1, 2, - 2, и т.д.).

2. Показательная функция – y = f(x) = a x , где а - постоянное положительное число, отличное от единицы (а > 0, а ≠ 0 ), например:

y = 10 x (a = 10);

y = e x ; y = e -x (a = e ≈ 2,718…)

Выделим две последние функции, они называются экспоненциальными функциями или экспонентами и описывают множество физических, биофизических, химических и социальных процессов. Причем y = e x – возрастающая экспонента, y = e - x – убывающая экспонента.

3.Логарифмическая функция с любым основанием а : y = log a x , где у - степень, в которую нужно возвести основание функции а, чтобы получить данное число x, т. е. a y = x.

Если основание а = 10 , то y называется десятичным логарифмом числа x и обозначается y = lg x ; если a=e , то y называется натуральным логарифмом числа x и обозначается у =1n х .

Напомним некоторые правила логарифмирования :

Пусть даны два числа а и b , тогда:

· lg (a·b) = lg a + lg b;

· lg = lg a - lg b;

· lg ab = b lg a;

Ничего не изменится при замене символа lg на ln .

Полезно также помнить, что lg 10 = 1, ln е = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. Тригонометрические функции : y = sin x, y = cos x, y = tg x и др.

Приведем графики некоторых элементарных функций (см. рис. 1):

Переменная величина может изменяться так, что в процессе возрастания или убывания она приближается к некоторой конечной постоянной величине, которая является ее пределом.

По определению пределом переменной величины х называется постоянная величина А, к которой переменная х в процессе своего изменения приближается так, что модуль разности между x и А, т.е. | х - А |, стремится к нулю .

Обозначения предела: x→ А или lim x = A (здесь → - знак предельного перехода, lim от лат. limited, в переводе на русский – предел). Рассмотрим элементарный пример:

x: 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), т.к.

| х - А |: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…→ 0.

Введем понятия приращение аргумента и приращение функции.

Если переменная величина х изменяет свое значение от x 1 до х 2 , то разность x 2 – x 1 = Δx называется приращением аргумента, причем Δx (читается дельта х ) – единый символ приращения. Соответствующее изменение функции y 2 – y 1 = Δy называется приращением функции. Покажем это на графике функции y = f(x) (рис. 2). Геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой, а приращение функции - приращением ординаты этой точки.

Производной заданной функции y = f(x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (Δх → 0).

Производная функции обозначается (читается «у штрих») или , или dy/dx (читается «дэ y по дэ x »). Таким образом, производная функции y = f(x) равна:

(4)

Правило для отыскания производной функции у = f(х) по аргументу х содержится в определении этой величины: нужно задать приращение аргумента Δх , найти приращение функции Δy , составить отношение и найти предел этого отношения при Δх→ 0 .

Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции. Этим занимается раздел высшей математики называемый «Дифференциальное исчисление».

Таблица производных основных элементарных функций, полученных по указанному выше правилу, приведена ниже.

№ п/п	Виды функции	Производная функции
	Постоянная величина y = c	y" = 0
	Степенная функция y = x n (n может быть положительным, отрицательным, целым, дробным)	y" = nx n-1
	Показательная функция y = a x (a > 0; a ≠ 1) y = e x y = e -x , у=e -kx (k=const)	y" = a x ln a y" = e x y" = - e -x , y" = -k e -kx
	Логарифмическая функция y = log a x (a > 0; a ≠ 1) y = ln x	y" = y" =
	Тригонометрические функции: y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x	y" = cos x y" = - sin x y" = y" =

Если выражение, производную которого надо найти, представляет собой сумму, разность, произведение или частное нескольких функций, например, u, v, z , то используются нижеприведенные правила дифференцирования (табл. 2).

Приведем несколько примеров вычисления производных, используя таблицы 1 и 2.

1. (x + sin x)" = (x)" + (sin x)" = 1 + cos x;

2. (x · sin x)" = (x)" · sin x + x · (sin x)" = sin x + x cos x;

4. (5 tgx)" = 5 (tg x)" = .

Физический смысл производной состоит в том, что она определяет быстрота (темп) изменения функции.

Рассмотрим пример прямолинейного движения. Скорость тела равна отношению пути ΔS , пройденного телом за время Δt , к этому промежутку времени v = . Если движение неравномерное, то отношение является средней скоростью на этом участке пути, а скорость, соответствующая каждому данному моменту времени, называется мгновенной скоростью движения и определяется как предел отношения при Δ t→0 , т.е.

Обобщая полученный результат, можно утверждать, что производная функции f(x) по времени t является мгновенной скоростью изменения функции. Понятие мгновенной скорости относится не только к механическим движениям, но и к любым процессам, развивающимся во времени. Можно найти скорость сокращения или расслабления мышцы, скорость кристаллизации раствора, скорость отвердевания пломбировочного материала, скорость распространения эпидемического заболевания и др.

Значение мгновенного ускорения во всех этих процессах равно производной функции скорости по времени:

. (5)

В механике - вторая производная пути по времени.

Понятие производной, как величины, характеризующей быстроту изменения функции, применяется для разных зависимостей. Например, надо узнать, как быстро изменяется температура вдоль металлического стержня, если нагревать один из его концов. В данном случае температура - функция координаты x , т.е. T = f(x) и характеризует темп изменения температуры в пространстве.

Производную некоторой функции f(x) по координате x называют градиентом этой функции (часто используется сокращение grad от лат. gradient). Градиенты различных переменных – это векторные величины, всегда направленные в сторону увеличения значения переменных .

Отметим, что градиенты многих величин являются одной из первопричин обменных процессов, происходящих в биологических системах. Это, например, градиент концентрации , градиент электрохимического потенциала (μ – греческая буква «мю»), градиент электрического потенциала .

При малых Δx можно записать:

. (6)

Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных .

Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции , и, в особенности,бесконечно малые величины . Дело в том, что

определение производной базируется на понятии предела, которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций. Заодно освоите/вспомните их решение.

Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно

научиться находить производные, в том числе производные сложных функций. Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования, даже не осознавая сущности своих действий.

К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной , где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснятьнахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики », пока я всётаки не решил поставить его раньше.

Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным.

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже

спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо . Для простоты полагаем, что функциянепрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика?

На интервалах функциявозрастает , то есть каждое следующее её значениебольше предыдущего. Грубо говоря, график идётснизу вверх (забираемся на горку). А на интервалефункцияубывает – каждое следующее значениеменьше предыдущего, и наш график идётсверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратим внимание на особые точки. В точке мы

достигаем максимума , то естьсуществует такой участок пути, на котором значениебудет самым большим (высоким). В точке жедостигаетсяминимум , исуществует такая её окрестность, в которой значениесамое маленькое (низкое).

Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции , а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежуткахфункция возрастает, но возрастает онас разной скоростью . И первое, что бросается в глаза – на интервалеграфик взмывает вверхгораздо более круто , чем на интервале. Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

Скорость изменения функции

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение

(читается «дельта икс»), которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту(зелёная линия). Величинаназываетсяприращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси– больше

нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что– это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то.

Внимание! ОбозначениеявляютсяЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть

изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит

метров (зелёная линия) и:. Таким

образом, на каждом метре этого участка дорогивысота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение

(малиновая линия) относительно невелико, и отношение по

сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров искорость роста функции

составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходитсяв среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движениесверху вниз (в «противоход» направлению оси), то итоговоеприращение функции (высоты) будет отрицательным :метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт оскорости

убывания функции:, то есть за каждый метр пути

этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровоммы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством

отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы