Автокорреляционная функция (АКФ) характеризует степень корреляционной связи между отдельными значениями наблюдений, представленными в виде случайного процесса и расположенными на некотором удалении друг от друга.
Применительно к геофизическим данным АКФ представляет характеристику связи между значениями поля, отстоящими друг от друга на m - дискретов, т.е. дискретов по x или по t . АКФ является функцией аргумента или , где - шаг по профилю, - шаг по трассе сейсмограммы, т.е. .
АКФ рассчитывается по формуле:
(4.1)
где - значение поля в i -той точке профиля (трассы, скважины); n – число точек наблюдений; m – интервал, принимающий последовательно значения , которые выражают расстояния между значениями поля и ; - среднее значение поля по профилю, трассе и т.д.
Для m =1, сумма в выражении 4.1 представляет собой сумму произведений центрированных, значений поля соседних точек профиля:
здесь , то есть центрированное значение поля на i - ом пикете профиля;
Для m =2, сумма в выражении 4.1 представляет собой сумму произведений центрированных значений поля, удаленных друг от друга на один пикет:
Для любого m= k , (k
По построению АКФ является четной функцией, т.е. . Ввиду четности АКФ обычно рассчитывается лишь для .
При значение АКФ представляет собой оценку дисперсии изучаемого поля, при АКФ выражает связь значений поля для соседних пикетов (дискретов) и представляет собой оценку коэффициента корреляции для этих значений, при АКФ выражает связь между значениями поля, отстоящими друг от друга на два дискрета и т.д.
На практике часто используются нормированные значения автокорреляционных функций R н. (m) . При этом нормирование осуществляется на R(0) :
(4.5)
Можно показать, что оценка нормированных значений автокорреляционной функции, при достаточном объеме выборки (количестве точек на профиле) обладает следующими свойствами :
3. Автокорреляционная функция является четной, то есть R н. (m)= R н. (-m), поэтому при оценках автокорреляционных функций обычно ограничиваются ее значениями для неотрицательных значений аргумента m>=0.
4.Два случайных процесса F 1 ={f 1 , f 2 ,…..f n } и F 2 ={kf 1 , kf 2 ,…..kf n } отличающиеся только постоянным множителем k, имеют один и тот же вид нормированной автокорреляционной функции R н (m).
5.Два случайных процесса F 1 ={f 1 , f 2 ,…..f n } и F 2 ={f 1 +k, f 2 +k,…..f n +k} смещенные относительно друг друга на постоянную величину k, имеют один и тот же вид нормированной автокорреляционной функции R н (m).
Анализируя выражения 4.1 и 4.5 можно сделать вывод о том, что нормированные значения автокорреляционной функции R н. (m) есть не что иное, как коэффициент корреляции, рассчитанный для точек удаленных друг от друга на m пикетов. Таким образом, значения корреляционной функции, для конкретного аргумента m показывает насколько значения поля, удаленные друг от друга на m пикетов, коррелированны между собой. Так, если R(5)=0.85 , то это свидетельствует о том, что значения поля, удаленные друг от друга на 5 пикетов, в целом, достаточно коррелированны, если R(9)=0.05 , то значения поля удаленные на 9 пикетов практически независимы (некоррелированны). Наконец, если, например, R(13)=-0.9 , то между значениями поля, отстоящими друг от друга на 13 пикетов, существует сильная обратная корреляционная связь. Случайный процесс, для которого даже при единичном смещении R(1)<=0 , получил название абсолютно некоррелируемого процесса (“белый шум”) .
На рисунке 4.1 приведены примеры расчета нормированных автокорреляционных функций для различных случайных процессов, близких по форме к константе (1), синусоиде (2), абсолютно некоррелируемому процессу (3), квадратичной (4) и линейной (5) функциям. Из второго рисунка следует, что автокорреляционная функция периодического процесса является также периодической. При этом период автокорреляционной функции совпадает с периодом процесса. Для абсолютно некоррелируемого сигнала значения автокорреляционной функции близки к нулю при любых значениях аргумента, отличных от нуля.
Нормированные значения автокорреляционной функции постоянного процесса тождественно равны единице, так как при любых смещениях m значения случайного процесса полностью совпадают, то есть абсолютно коррелируемы.
По АКФ определяется такой важный атрибут, как интервал корреляции. Под интервалом
или радиусом корреляции
понимают такое расстояние между значениями поля r
, начиная с которого значения поля и можно считать некоррелированными, а при нормальном законе распределения – независимыми между собой. Для оценки интервала корреляции используются разные эвристические приемы. Наиболее распространенным приемом является оценка величины r по заданному значению , где 
. При этом r
принимается равным аргументу АКФ, m
, начиная с которого выполняется соотношение .
Для оценки интервала корреляции используются также соотношения:
или .
На практике, радиус корреляции оценивают по минимальному значение аргумента m, при котором автокорреляционная функция первый раз пересекает ось абсцисс.
Форма АКФ и интервал корреляции используются при решении различных задач обработки геофизических данных, из них выделим следующие:
1) Оценка корреляционных свойств сигналов и помех. При отсутствии корреляции между сигналом помехой , что обычно постулируется, т.е. появление сигнала не зависит от помехи, АКФ представляется суммой АКФ сигнала и АКФ помехи, поскольку :
Из этого выражения следует, что при малой интенсивности помехи по сравнению с интенсивностью сигнала АКФ представляет оценку корреляционных свойств сигнала, и, наоборот, на интервале, где отсутствует сигнал, АКФ оценивает свойства помехи;
2) АКФ сигнала и помех является основой расчета всех оптимальных фильтров, рассматриваемых в главе VII;
3) При совпадении формы сигнала и формы АКФ помехи никакая дополнительная обработка по их разделению не внесет ничего нового, поскольку при этом частотные диапазоны сигнала и помехи полностью перекрываются между собой;
4) Разделение на однородные в статистическом отношении участки с целью геологического картирования. С этой целью используются обычно одновременно среднее значение, дисперсия и интервал корреляции, рассчитываемые в скользящих окнах;
5) Оценка разрешающей способности сейсмической записи по величине отношения 
, где Т
- период записи. При Н
, близком к единице, разрешающая способность велика, при Н
£0,5 - низкая;
6) Использование интервала корреляции для оценки глубины залегания h объектов по потенциальным полям .
На этом простом соотношении между глубиной h и интервалом корреляции r , точно выполняемом для объектов в виде цилиндров бесконечного простирания, основаны приемы гравитационного, предложенного А.М.Петрищевским, и корреляционного, предложенного А.В.Петровым, зондирований потенциальных полей;
7) Оценка длительности реализации, например, длины профиля, для которой рассчитывается АКФ. В общем случае дисперсия АКФ определяется выражением 
, из которого следует возможность оценивания длительности самой реализации n
.
Автокорреляционная функция - зависимость взаимосвязи между функцией (сигналом) и ее сдвинутой копией от величины временного сдвига.
Для детерминированных сигналов автокорреляционная функция (АКФ ) сигнала f (t) {\displaystyle f(t)} определяется интегралом :
Ψ (τ) = ∫ − ∞ ∞ f (t) f ∗ (t − τ) d t {\displaystyle \Psi (\tau)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau)\mathrm {d} t} K (τ) = E { X (t) X ∗ (t − τ) } {\displaystyle K(\tau)=\mathbb {E} \{X(t)X^{*}(t-\tau)\}} ,где E { } {\displaystyle \mathbb {E} \{\ \}} - математическое ожидание , звездочка означает комплексное сопряжение.
Если исходная функция строго периодическая , то на графике автокорреляционной функции тоже будет строго периодическая функция. Таким образом, из этого графика можно судить о периодичности исходной функции, а следовательно, и о её частотных характеристиках. Автокорреляционная функция применяется для анализа сложных колебаний , например, электроэнцефалограммы человека.
1 / 3
Автокорреляционная функция
Что такое Автокорреляция?
Частная автокорреляционная функция
К сожалению, коэффициенты процесса скользящего среднего плохо интерпретируемы. Что означает 2ε(t- 1) + 3ε(t- 2) совершенно непонятно. И для интерпретации используют так называемую автокорреляционную функцию процесса: ρk или Corr(Yt, Yt- k) - эта функция называется автокорреляционной функцией процесса. По смыслу для стационарного процесса с нормально распределенными игриками ρk показывает, насколько в среднем изменится сегодняшний Y, если Y k-периодов назад, то есть Yt- k, вырос на 1. Давайте на примере того же самого МА (2)-процесса, процесса скользящего среднего порядка 2, посчитаем и проинтерпретируем автокорреляционную функцию на этот раз. Значит, нас интересует ρk, то есть это Corr (корреляция) между Yt и Y k-периодов назад. Сначала мы заметим какие-то общие соображения, как считать автокорреляционную функцию для любого процесса. По определению корреляции: Corr(Yt, Yt- k) это есть Cov(Yt, Yt- k), деленная на корень из произведения дисперсий: Var(Yt) * Var(Yt- k). Однако у нас стационарный процесс. Здесь мы пользуемся тем, что процесс стационарный, а именно – у него дисперсии одинаковые. Var(Yt) = Var (Yt -k). Ну, соответственно, раз эти две дисперсии равны, то корень из них просто равен - одной из них, любой - Cov(Yt, Yt- k) в числителе так и остается, а в знаменателе корень из произведения двух одинаковых чисел дает просто первое из этих чисел. И, соответственно, мы договорились, что вот это - это автоковариационная функция - это γk, а это дисперсия или γ0. Соответственно, мы получили, что ρk, на самом деле, автокорреляционная функция. Это просто отмасштабированная автоковариационная. Я напомню предыдущие результаты. В предыдущем упражнении мы выяснили, что γk = 14ς квадрат, если k = 0, это дисперсия; - 3ς квадрат, если k = 1;- 2ς квадрат, если k = 2 и 0 при больших значениях k, а именно больше либо равным 3. Исходя из общей формулы, мы получаем, что ρ0 - это и есть γ0 на γ0, это всегда 1 для любого процесса, поэтому это неинтересный показатель, а вот остальные уже более интересные. ρ1- это есть γ1/γ0, в нашем случае мы получаем- 3/14. ρ2 - это есть γ2/γ0, это есть - 2/14. И, соответственно, ρ3 = ρ4 =... = 0. Соответственно, мы можем проинтерпретировать эти коэффициенты. Что означает ρ1? Он означает, что если нам известно, что Yt-1 (вчерашний Y) вырос на одну единицу, то это приводит к тому, что в среднем Yt падает на 3/14. Это мы можем проинтерпретировать ρ1. Ну и, соответственно, ρ2 мы интерпретируем аналогично. Если известно, что Yt- 2 (то есть позавчерашнее значение Y) оказалось, скажем, больше среднего на 1, то есть по сравнению с каким-то средним значением выросло на одну единицу, то мы можем сделать вывод, что Yt в среднем упадет на 2/14. Это мы интерпретируем вот этот коэффициент. Ну а, соответственно, ρ3, ρ4 и так далее интерпретируется следующим образом, что информация о значении Yt- 3 она уже не несет никакой информации о текущем Yt и, в частности, бесполезна при прогнозировании. А вот предыдущие два значения они нам важны.
Корреляционные свойства кодовых последовательностей, используемых в широкополосных системах, зависят от типа кодовой последовательности, её длины, частоты следования её символов и от её посимвольной структуры.
Изучение АКФ играет важную роль при выборе кодовых последовательностей с точки зрения наименьшей вероятности установления ложной синхронизации.
Автокорреляционная функция играет важную роль в математическом моделировании и анализе временных рядов, показывая характерные времена для исследуемых процессов (см., например: Турчин П. В. Историческая динамика. М.: УРСС , 2007. ISBN 978-5-382-00104-3). В частности, циклам в поведении динамических систем соответствуют максимумы автокорреляционной функции некоторого характерного параметра.
Часто приходится вычислять автокорреляционную функцию для временного ряда x i {\displaystyle x_{i}} . Вычисление «в лоб» работает за O (T 2) {\displaystyle O(T^{2})} . Однако есть способ сделать это за .
Суть этого способа состоит в следующем. Можно сделать некое обратное взаимно однозначное преобразование данных, называемое преобразованием Фурье, которое поставит им во взаимно однозначное соответствие набор данных в другом пространстве, называемом пространством частот. У операций над данными в нашем обычном пространстве, таких как сложение, умножение и, главное, автокорреляция, есть взаимно-однозначные соответствия в пространстве частот Фурье. Вместо того, чтобы вычислять автокорреляцию «в лоб» на наших исходных данных, мы произведем соответствующую ей операцию над соответствующими данными в пространстве частот Фурье-спектра, что делается за линейное время O(T) - автокорреляции в пространстве частот соответствует простое умножение. После этого мы по полученным данным восстановим соответствующие им в обычном пространстве. Переход из обычного пространства в пространство частот и обратно делается с помощью быстрого преобразования Фурье за O (T log T) {\displaystyle O(T\log T)} , вычисление аналога автокорреляции в пространстве частот - за O(T). Таким образом, мы получили выигрыш по времени при вычислениях. и прямо пропорциональна первым n {\displaystyle n} элементам последовательности
Ψ (τ) ∼ Re fft − 1 (| fft (x →) | 2) {\displaystyle \Psi (\tau)\sim \operatorname {Re} \operatorname {fft} ^{-1}\left(\left|\operatorname {fft} ({\vec {x}})\right|^{2}\right)}Квадрат комплексного модуля берётся поэлементно: | a → | 2 = { Re 2 a i + Im 2 a i } {\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|^{2}=\left\{\operatorname {Re} ^{2}a_{i}+\operatorname {Im} ^{2}a_{i}\right\}} . Если нет погрешностей вычисления, мнимая часть будет равна нулю. Коэффициент пропорциональности определяется из требования Ψ (0) = 1 {\displaystyle \Psi (0)=1} .
Как уже отмечалось ранее, частная автокорреляционная функция была введена с целью определения порядка авторегрессионного процесса. Дело в том, что в процессе скользящего среднего порядок модели достаточно просто определить, так как после него автокорреляционная функция резко стремится к нулю. Однако...Краткая теория
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .
Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного рада. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты () и циклической (сезонной) компоненты ().
Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Простейший подход - расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой , сезонной и случайной компонент. Общий вид мультипликативный модели выглядит так:
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой , сезонной и случайной компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.
Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений и для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.
1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты .
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных в аддитивной или в мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений или .
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
Пример решения задачи
Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 16 кварталов.
Требуется:
1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.
2. Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).
3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.
Чтобы решение задачи по эконометрике было максимально точным и верным, многие недорого заказывают контрольную работу на этом сайте. Подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Купить контрольную работу по эконометрике...
| 1 | 5.5 | 9 | 8.2 | 2 | 4.8 | 10 | 5.5 | 3 | 5.1 | 11 | 6.5 | 4 | 9.0 | 12 | 11.0 | 5 | 7.1 | 13 | 8.9 | 6 | 4.9 | 14 | 6.5 | 7 | 6.1 | 15 | 7.3 | 8 | 10.0 | 16 | 11.2 |
1) Построим поле корреляции:
Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу:
| 1 | 5.5 | --- | --- | --- | --- | --- | --- | 2 | 4.8 | 5.5 | -2.673 | -1.593 | 4.260 | 7.147 | 2.539 | 3 | 5.1 | 4.8 | -2.373 | -2.293 | 5.443 | 5.633 | 5.259 | 4 | 9 | 5.1 | 1.527 | -1.993 | -3.043 | 2.331 | 3.973 | 5 | 7.1 | 9 | -0.373 | 1.907 | -0.712 | 0.139 | 3.635 | 6 | 4.9 | 7.1 | -2.573 | 0.007 | -0.017 | 6.622 | 0.000 | 7 | 6.1 | 4.9 | -1.373 | -2.193 | 3.012 | 1.886 | 4.811 | 8 | 10 | 6.1 | 2.527 | -0.993 | -2.510 | 6.384 | 0.987 | 9 | 8.2 | 10 | 0.727 | 2.907 | 2.112 | 0.528 | 8.449 | 10 | 5.5 | 8.2 | -1.973 | 1.107 | -2.184 | 3.894 | 1.225 | 11 | 6.5 | 5.5 | -0.973 | -1.593 | 1.551 | 0.947 | 2.539 | 12 | 11 | 6.5 | 3.527 | -0.593 | -2.092 | 12.437 | 0.352 | 13 | 8.9 | 11 | 1.427 | 3.907 | 5.574 | 2.035 | 15.262 | 14 | 6.5 | 8.9 | -0.973 | 1.807 | -1.758 | 0.947 | 3.264 | 15 | 7.3 | 6.5 | -0.173 | -0.593 | 0.103 | 0.030 | 0.352 | 16 | 11.2 | 7.3 | 3.727 | 0.207 | 0.770 | 13.888 | 0.043 | Сумма | 112.1 | 106.4 | 0 | 0 | 10.507 | 64.849 | 52.689 | Среднее значение | 7.473 | 7.093 |
Следует заметить. что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, так как у нас теперь на одно наблюдение меньше.
Коэффициент автокорреляции первого порядка:
Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка:
| 1 | 5.5 | --- | --- | --- | --- | --- | --- | 2 | 4.8 | --- | --- | --- | --- | --- | --- | 3 | 5.1 | 5.5 | -2.564 | -1.579 | 4.048 | 6.576 | 2.492 | 4 | 9 | 4.8 | 1.336 | -2.279 | -3.044 | 1.784 | 5.192 | 5 | 7.1 | 5.1 | -0.564 | -1.979 | 1.116 | 0.318 | 3.915 | 6 | 4.9 | 9 | -2.764 | 1.921 | -5.311 | 7.641 | 3.692 | 7 | 6.1 | 7.1 | -1.564 | 0.021 | -0.034 | 2.447 | 0.000 | 8 | 10 | 4.9 | 2.336 | -2.179 | -5.089 | 5.456 | 4.746 | 9 | 8.2 | 6.1 | 0.536 | -0.979 | -0.524 | 0.287 | 0.958 | 10 | 5.5 | 10 | -2.164 | 2.921 | -6.323 | 4.684 | 8.535 | 11 | 6.5 | 8.2 | -1.164 | 1.121 | -1.306 | 1.356 | 1.258 | 12 | 11 | 5.5 | 3.336 | -1.579 | -5.266 | 11.127 | 2.492 | 13 | 8.9 | 6.5 | 1.236 | -0.579 | -0.715 | 1.527 | 0.335 | 14 | 6.5 | 11 | -1.164 | 3.921 | -4.566 | 1.356 | 15.378 | 15 | 7.3 | 8.9 | -0.364 | 1.821 | -0.664 | 0.133 | 3.318 | 16 | 11.2 | 6.5 | 3.536 | -0.579 | -2.046 | 12.501 | 0.335 | Сумма | 107.3 | 99.1 | 0 | 0 | -29.721 | 57.192 | 52.644 | Среднее значение | 7.664 | 7.079 |
Следовательно:
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу:
| Лаг | Коэффициент автокорреляции уровней | 1 | 0.180 | 2 | -0.542 | 3 | 0.129 | 4 | 0.980 | 5 | 0.987 | 6 | -0.686 | 7 | 0.019 | 8 | 0.958 | 9 | 0.117 | 10 | -0.707 | 11 | -0.086 | 12 | 0.937 |
Коррелограмма:
Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать выводы о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.
2) Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии.
Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.
| Итого за четыре квартала | Скользящая средняя за четыре квартала | Центрированая скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты | 1 | 5.5 | -- | -- | -- | -- | 2 | 4.8 | 24.4 | 6.1 | -- | -- | 3 | 5.1 | 26 | 6.5 | 6.300 | -1.200 | 4 | 9 | 26.1 | 6.525 | 6.513 | 2.488 | 5 | 7.1 | 27.1 | 6.775 | 6.650 | 0.450 | 6 | 4.9 | 28.1 | 7.025 | 6.900 | -2.000 | 7 | 6.1 | 29.2 | 7.3 | 7.163 | -1.063 | 8 | 10 | 29.8 | 7.45 | 7.375 | 2.625 | 9 | 8.2 | 30.2 | 7.55 | 7.500 | 0.700 | 10 | 5.5 | 31.2 | 7.8 | 7.675 | -2.175 | 11 | 6.5 | 31.9 | 7.975 | 7.888 | -1.388 | 12 | 11 | 32.9 | 8.225 | 8.100 | 2.900 | 13 | 8.9 | 33.7 | 8.425 | 8.325 | 0.575 | 14 | 6.5 | 33.9 | 8.475 | 8.450 | -1.950 | 15 | 7.3 | --- | --- | --- | --- | 16 | 11.2 | --- | --- | --- | --- |
Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими среднеми. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты . Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты :
| Показатели | Год | № квартала, | I | II | III | IV | 1 | --- | --- | -1.2 | 2.488 | 2 | 0.45 | -2 | -1.063 | 2.625 | 3 | 0.7 | -2.175 | -1.388 | 2.9 | 4 | 0.575 | -1.95 | --- | --- | Всего за i-й квартал | 1.725 | -6.125 | -3.651 | 8.013 | Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартала, | 0.575 | -2.042 | -1.217 | 2.671 | Скорректированная сезонная компонента, | 0.578 | -2.039 | -1.213 | 2.674 |
В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должны быть равна нулю.
Для данной модели имеем:
Корректирующий коэффициент:
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты и заносим полученные данные в таблицу.
Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:
Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значения из кажждого уровня исходного временного ряда. Получим величины . Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
| 1 | 5.5 | 0.578 | 4.922 | 5.853 | 6.431 | -0.931 | 0.867 | 3.423 | 2 | 4.8 | -2.039 | 6.839 | 6.053 | 4.014 | 0.786 | 0.618 | 6.503 | 3 | 5.1 | -1.213 | 6.313 | 6.253 | 5.040 | 0.060 | 0.004 | 5.063 | 4 | 9 | 2.674 | 6.326 | 6.453 | 9.127 | -0.127 | 0.016 | 2.723 | 5 | 7.1 | 0.578 | 6.522 | 6.653 | 7.231 | -0.131 | 0.017 | 0.063 | 6 | 4.9 | -2.039 | 6.939 | 6.853 | 4.814 | 0.086 | 0.007 | 6.003 | 7 | 6.1 | -1.213 | 7.313 | 7.053 | 5.840 | 0.260 | 0.068 | 1.563 | 8 | 10 | 2.674 | 7.326 | 7.253 | 9.927 | 0.073 | 0.005 | 7.023 | 9 | 8.2 | 0.578 | 7.622 | 7.453 | 8.031 | 0.169 | 0.029 | 0.722 | 10 | 5.5 | -2.039 | 7.539 | 7.653 | 5.614 | -0.114 | 0.013 | 3.423 | 11 | 6.5 | -1.213 | 7.713 | 7.853 | 6.640 | -0.140 | 0.020 | 0.723 | 12 | 11 | 2.674 | 8.326 | 8.053 | 10.727 | 0.273 | 0.075 | 13.323 | 13 | 8.9 | 0.578 | 8.322 | 8.253 | 8.831 | 0.069 | 0.005 | 2.403 | 14 | 6.5 | -2.039 | 8.539 | 8.453 | 6.414 | 0.086 | 0.007 | 0.723 | 15 | 7.3 | -1.213 | 8.513 | 8.653 | 7.440 | -0.140 | 0.020 | 0.003 | 16 | 11.2 | 2.674 | 8.526 | 8.853 | 11.527 | -0.327 | 0.107 | 14.823 | Итого | 1.876 | 68.500 |
Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени
Найлем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.
На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.
Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок:
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 99.3% общей вариации уровней временного ряда.
3) Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:
Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:
Таким образом:
Если возникли сложности с решением задач, то сайт сайт оказывает онлайн помощь студентам по эконометрике с контрольными или экзаменами.
Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.
Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.
Примеры близких по теме задач
Линейная модель парной регрессии
Задача на расчет линейной модели парной регрессии. В ходе решения приведено вычисление коэффициентов регрессии, произведена оценка их значимости, а также вычислена средняя ошибка аппроксимации и показан расчет доверительного интервала прогноза.
Модель множественной линейной регрессии
Страница содержит последовательное и систематизирование решение задачи на тему корреляционного анализа. Рассмотрена линейная модель множественной регрессии - вычисление коэффициентов регрессии и коэффициентов стандартизированного уравнения регрессии. Приведен расчет парных, частных и множественного коэффициента корреляции, коэффициентов эластичности.
