Натура́льные чи́сла (от лат. naturalis - естественный; естественные числа) - числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, 5…). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом .
Существуют два подхода к определению натуральных чисел:
В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором - с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли нуль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.
Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа к натуральным не относятся.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N {\displaystyle \mathbb {N} } (от лат. naturalis - естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n {\displaystyle n} найдётся натуральное число, большее чем n {\displaystyle n} .
Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда , включающего нуль. Расширенный ряд обозначается N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} или Z 0 {\displaystyle \mathbb {Z} _{0}} .
Множество N {\displaystyle \mathbb {N} } будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), принадлежащий N {\displaystyle \mathbb {N} } (1 ∈ N {\displaystyle 1\in \mathbb {N} }), и функция S {\displaystyle S} c областью определения N {\displaystyle \mathbb {N} } и областью значений N {\displaystyle \mathbb {N} } (называемая функцией следования; S: N → N {\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }) так, что выполнены следующие условия:
Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.
Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см., а также краткое доказательство), что если (N , 1 , S) {\displaystyle (\mathbb {N} ,1,S)} и (N ~ , 1 ~ , S ~) {\displaystyle ({\tilde {\mathbb {N} }},{\tilde {1}},{\tilde {S}})} - две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) f: N → N ~ {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}} такая, что f (1) = 1 ~ {\displaystyle f(1)={\tilde {1}}} и f (S (x)) = S ~ (f (x)) {\displaystyle f(S(x))={\tilde {S}}(f(x))} для всех x ∈ N {\displaystyle x\in \mathbb {N} } .
Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве N {\displaystyle \mathbb {N} } какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.
Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.
Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:
Числа, заданные таким образом, называются ординальными.
Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:
Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на нуль. В этом случае нуль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств нуль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать нуль натуральным числом является то, что при этом N {\displaystyle \mathbb {N} } образует моноид.
В русской литературе обычно нуль исключён из числа натуральных чисел (0 ∉ N {\displaystyle 0\notin \mathbb {N} }), а множество натуральных чисел с нулём обозначается как N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} . Если в определение натуральных чисел включен нуль, то множество натуральных чисел записывается как N {\displaystyle \mathbb {N} } , а без нуля - как N ∗ {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}} .
В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество { 1 , 2 , … } {\displaystyle \{1,2,\dots \}} обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают Z + {\displaystyle \mathbb {Z} _{+}} . Множество { 0 , 1 , … } {\displaystyle \{0,1,\dots \}} зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают Z ⩾ 0 {\displaystyle \mathbb {Z} _{\geqslant 0}} .
Положение множества натуральных чисел (N {\displaystyle \mathbb {N} }) среди множеств целых чисел (Z {\displaystyle \mathbb {Z} }), рациональных чисел (Q {\displaystyle \mathbb {Q} }), действительных чисел (R {\displaystyle \mathbb {R} }) и иррациональных чисел (R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} })
Величина бесконечного множества характеризуется понятием «мощность множества», которое является обобщением числа элементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (то есть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого интервала, например, интервала (0 , 1) {\displaystyle (0,1)} . Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множество рациональных чисел. Множество такой же мощности, как множество натуральных чисел, называется счётным множеством. Так, множество членов любой последовательности счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств (например, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) {\displaystyle \mathbb {N} =\bigcup \limits _{k=0}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }(2n+1)2^{k}\right)}).
К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:
Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):
Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.
Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0 . Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1 . С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел Z {\displaystyle \mathbb {Z} } и рациональных положительных чисел Q + ∗ {\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{*}} соответственно.
Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества A , порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [A ], основные арифметические операции определятся следующим образом:
Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.
Математика выделилась из общей философии примерно в шестом веке до н. э., и с этого момента началось ее победное шествие по миру. Каждый этап развития вносил что-то новое – элементарный счет эволюционировал, преображался в дифференциальное и интегральное исчисление, сменялись века, формулы становились все запутаннее, и настал тот момент, когда «началась самая сложная математика – из нее исчезли все числа». Но что же лежало в основе?
Натуральные числа появились наравне с первыми математическими операциями. Раз корешок, два корешок, три корешок… Появились они благодаря индийским ученым, которые вывели первую позиционную систему счисления. 
Слово «позиционность» означает, что расположение каждой цифры в числе строго определено и соответствует своему разряду. Например, числа 784 и 487 - цифры одни и те же, но числа не являются равносильными, так как первое включает в себя 7 сотен, тогда как второе – только 4. Нововведение индийцев подхватили арабы, которые довели числа до того вида, который мы знаем сейчас.
В древности числам придавалось мистическое значение, величайший математик Пифагор полагал, что число лежит в основе сотворения мира наравне с основными стихиями – огнем, водой, землей, воздухом. Если рассматривать все лишь с математической стороны, то что такое натуральное число? Поле натуральных чисел обозначается как N и представляет собой бесконечный ряд из чисел, которые являются целыми и положительными: 1, 2, 3, … + ∞. Ноль исключается. Используется в основном для подсчета предметов и указания порядка.
Поле N является базовым, на которое опирается элементарная математика. С течением времени выделяли поля целых, рациональных, комплексных чисел.
Работы итальянского математика Джузеппе Пеано сделали возможной дальнейшую структуризацию арифметики, добились ее формальности и подготовили почву для дальнейших выводов, которые выходили за рамки области поля N. 
Что такое натуральное число, было выяснено ранее простым языком, ниже будет рассмотрено математическое определение на базе аксиом Пеано.
Так как поле N стало первым для математических расчетов, то именно к нему относятся как области определения, так и области значений ряда операций ниже. Они бывают замкнутыми и нет. Основным различием является то, что замкнутые операции гарантированно оставляют результат в рамках множества N вне зависимости от того, какие числа задействованы. Достаточно того, что они натуральные. Исход остальных численных взаимодействий уже не столь однозначен и напрямую зависит от того, что за числа участвуют в выражении, так как он может противоречить основному определению. Итак, замкнутые операции:
Остальные операции, итог которых может не существовать в контексте определения "что такое натуральное число", следующие:
Все дальнейшие математические рассуждения будут основываться на следующих свойствах, самых тривиальных, но от этого не менее важных.
Одним из первых шагов в познании школьниками всей структуры элементарной математики после того, как они уяснили для себя, какие числа называются натуральными, является таблица Пифагора. Ее можно рассматривать не только с точки зрения науки, но и как ценнейший научный памятник.
Данная таблица умножения претерпела с течением времени ряд изменений: из нее убрали ноль, а числа от 1 до 10 обозначают сами себя, без учета порядков (сотни, тысячи...). Она представляет собой таблицу, в которой заглавия строк и столбцов - числа, а содержимое ячеек их пересечения равно их же произведению.
В практике обучения последних десятилетий наблюдалась необходимость заучивания таблицы Пифагора "по порядку", то есть сначала шло зазубривание. Умножение на 1 исключалось, так как результат был равен 1 или большему множителю. Между тем в таблице невооруженным взглядом можно заметить закономерность: произведение чисел растет на один шаг, который равен заглавию строки. Таким образом, второй множитель показывает нам, сколько раз нужно взять первый, дабы получить искомое произведение. Данная система не в пример удобнее той, что практиковалась в средние века: даже понимая, что такое натуральное число и насколько оно тривиально, люди умудрялись осложнять себе повседневный счет, пользуясь системой, которая базировалась на степенях двойки.
На данный момент поле натуральных чисел N рассматривается лишь как одно из подмножеств комплексных чисел, но это не делает их менее ценными в науке. Натуральное число - первое, что познает ребенок, изучая себя и окружающий мир. Раз пальчик, два пальчик... Благодаря ему у человека формируется логическое мышление, а также умение определять причину и выводить следствие, подготавливая почву для больших открытий.
Что то никак я не могу представить себе ноль натуральным числом… Кажется древние вообще нуля не знали. Да и БСЭ не считает ноль натуральным числом. Так что по крайней мере это спорное утверждение. Может как-то более нейтральней про ноль сказать? Или есть веские аргументы? --.:Ajvol:. 18:18, 9 Сен 2004 (UTC)
Откатил последнее изменение. --Maxal 20:24, 9 Сен 2004 (UTC)
Французкая академия издала в своё время специальный указ по которому 0 включался в множество натуральных чисел. Сейчас это стандарт, по-моему не нужно вводить понятие «русского натурального числа», а придерживаться этого стандата. естественно надо упомянуть что когда-то это было не так (не только в России но и везде). Tosha 23:16, 9 Сен 2004 (UTC)
Французская академия нам не указ. В англоязычной математической литературе тоже нет устоявшегося мнения на этот счет. См. например, --Maxal 23:58, 9 Сен 2004 (UTC)
Где-то вон там написано: " Если пишете статью о спорном вопросе, то постарайтесь представить все точки зрения, дав ссылки на разные мнения.". Bes island 23:15, 25 Дек 2004 (UTC)
Не вижу тут спорного вопроса, а вижу: 1) неуважение к другим участникам путем значительного изменения/удаления их текста (перед внесением сущесвенных изменений принято их обсуждать); 2) замена строгих определений (указание на мощности множеств) на невнятные (велика ли разница между "нумерованием" и "обозначением количества"?). Поэтому повторно делаю откат, впрочем оставляю посленее замечание. --Maxal 23:38, 25 Дек 2004 (UTC)
Неуважение - это как раз то, как я расцениваю Ваши откаты. Так что не будем об этом. Моя правка не меняет сути статьи, она всего лишь чётко формулирует два определения. Предыдущая же версия статьи формулировала определение "без нуля" как основное, а "с нулём" - как некое диссиденство. Это абсолютно не отвечает требованиям Википедии (см. цитату выше), как, впрочем, и не вполне научный стиль изложения в предыдущей версии. Я добавил формулировку "мощность множества" как пояснение к "обозначению количества" и "перечисление" - к "нумерованию". А если Вы не видите разницы между "нумерованием" и "обозначением количества", то, позвольте спросить, отчего тогда Вы правите математические статьи? Bes island 23:58, 25 Дек 2004 (UTC)
Насчет "не меняет сути" - предыдущая версия подчеркивала, что отличие в определениях всего лишь в отнесении нуля к натуральным числам. В Вашей версии определения преподносятся как кардинально различные. Насчет "основного" определения, то так и должно быть, ибо эта статья в русской википедии, а значит в основном надо придерживаться того, что по Вашим же словам общепринято в русских математических школах . Наезды игнорирую. --Maxal 00:15, 26 Дек 2004 (UTC)
Вообще-то это только налицо отличие всего лишь в нуле. На самом деле это именно кардинальное различие, исходящее из различного понимания природы натуральных чисел: в одной версии - как количества; в другой - как номера. Это абсолютно разные понятия, как бы ни пытались Вы скрыть, что не понимаете этого.
Насчёт того, что в русской википедии требуется приводить русскую точку зрения как главенствующую. Посмотрите внимательно вот сюда. Посмотрите на английскую статью о Рождестве. Там не пишется, что Рождество надо праздновать 25 декабря, потому что так празднуют в Англии и США. Там приведены обе точки зрения (а они отличаются не более и не менее, чем отличаются натуральные числа "с нулём" и "без нуля"), и ни единого слова о том, какая из них якобы вернее.
В моём варианте статьи обозначены обе точки зрения как независимые и одинаково имеющие право на существование. Русский стандарт обозначен прореферированными Вами выше словами.
Возможно, с философской точки зрения понятия натуральных чисел действительно абсолютно разные, но статья предлагает математические по сути определения, где все разница в 0 ∈ N {\displaystyle 0\in \mathbb {N} } или 0 ∉ N {\displaystyle 0\not \in \mathbb {N} } . Главенствующая точка зрения или нет - дело тонкое. Я расцениваю фразу observed in most of the Western world on December 25 из английскую статью о Рождестве как выражение главенствующей точки зрения, при том что в первом параграфе никаких других дат не приведено. Кстати, в предыдущей версии статьи о натуральных числах также не было прямых указаний как надо определять натуральные числа, просто определение без нуля преподносилось как более распространённое (в России). В любом случае хорошо, что компромисс найден. --Maxal 00:53, 26 Дек 2004 (UTC)
Как то неприятно удивляет выражение "В русской литературе обычно нуль исключён из числа натуральных чисел", господа ноль не считается натуральным числом, если не оговорено иначе, во всем мире. Те же французы, насколько я их читал, оговаривают включение нуля особо. Конечно N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} находит применение чаще, но если, например, мне нравятся женщины я же не стану переделывать мужчин в женщин. Druid. 2014-02-23
Мне кажется, что натуральные числа являются непопулярным объектом в математических статьях (возможно, не в последнюю очередь из-за отсутствия единого определения). По своему опыту я чаще в математических статьях встречаю термины целые неотрицательные числа и целые положительные числа (которые трактуются однозначно) нежели натуральные числа . Заинтересованные стороны прошу высказать своё (не)согласие с данным наблюдением. Если это наблюдение найдёт поддержку, то имеет смысл указать его в статье. --Maxal 01:12, 26 Дек 2004 (UTC)
Без сомнения, Вы правы в резюмативной части Вашего высказывания. Это всё именно из-за расхождений в определении. Я сам в некоторых случаях предпочитаю указать «целые положительные» или «целые неотрицательные» заместо «натуральные», чтобы избежать расхождений касательно причисления нуля. И с резолятивной частью я, в общем-то, согласен. Bes island 01:19, 26 Дек 2004 (UTC) В статьях - да, пожалуй, так и есть. Однако в более объёмных текстах, а также там, где понятие используется часто, обычно используют всё же натуральные числа , предварительно, однако, поясняя, о «каких» натуральных числах идёт речь - с нулём или без него. LoKi 19:31, 30 июля 2005 (UTC)
Сто́ит ли перечислять в последней части этой статьи названия чисел (один, два, три и т.д.)? Не разумнее ли будет поместить это в статью Число? Всё-таки данная статья, по моему мнению, должна носить более математический характер. Как вы считаете? --LoKi 19:32, 30 июля 2005 (UTC)
Вообще странно как можно из *пустых* множеств получить обычное натуральное число? Вообще сколько пустоту с пустотой не объединяй, кроме пустоты ничего не получится! Это вообще не альтернативное определение? Написано в 21:46, 17 июля 2009 (Москва)
Практически во всей иностранной литературе и на Википедии аксиомы Пеано начинаются с "0 есть натуральное число". Действительно в первоисточнике написано "1 есть натуральное число". Однако, в 1897 году Пеано вносит изменения, и меняет 1 на 0. Это написано в "Formulaire de mathematiques", Tome II - №2. стр 81. Это ссылка на электронный вариант на нужной странице:
http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (фр).
Пояснения к этим изменениям даются в "Rivista di matematica", Volume6-7, 1899, стр 76. Также ссылка на электронный вариант на нужной странице:
http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (итал).
Хотелось бы откатить статью до последней патрулированной версии. Во-первых, аксиомы Пеано кто-то переименовал в аксиомы Пиано, из-за чего ссылка перестала работать. Во-вторых, некий Творогов добавил в статью очень большой кусок информации, на мой взгляд, совершенно неуместный в данной статье. Написано неэнциклопедично, кроме того, приведены результаты самого Творогова и ссылка на его же книгу. Настаиваю на том, что раздел про "аксиомы цифровых вертушек" следует удалить из данной статьи. P.s. Зачем удалили раздел про число ноль? mesyarik 14:58, 12 марта 2014 (UTC)
Пожалуйста Не пишите ересь типа "Натуральные числа (естественные числа) - числа, возникающие естественным образом при счёте. " Естественным образом в мозгу ничего не возникает. Там будет именно то что туда положишь.
А для пятилетнего как объяснить какое число является натуральным? Ведь есть люди которым надо объяснять как пятилетним. Чем натуральное отличается от обычного числа? Необходимы примеры! 1, 2, 3 - это натуральное, а 12 натуральное, а -12 ? а три четвёртых, или например 4.25 натуральное? 95.181.136.132 15:09, 6 ноября 2014 (UTC)
Владимир з
Натуральные числа используются для нумерации объектов и для подсчета их количества. Для нумерации используются целые положительные числа, начиная с 1.
А для подсчета кол-ва сюда еще включают и 0, обозначающий отсутствие объектов.
Содержит ли понятие натуральных чисел число 0 зависит от аксиоматики. Если для изложения какой-либо математической теории требуется наличие 0 в множестве натуральных чисел, то это оговаривают и считают непреложной истиной (аксиомой) в пределах данной теории. К этому очень близко подходит определение числа 0, как положительного, так и отрицательного. Если принять за определение натуральных чисел как множества всех НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ целых чисел, то встает вопрос, каким является число 0 - положительным или отрицательным?
В практическом применении, как правило, используется первое определение, не включающее число 0.
Карандаш
Натуральные числа - это целые положительные числа. Натуральные числа применяются для подсчета (нумерации) объектов или для обозначения количества объектов или для обозначения порядкового номера объекта в перечне. Некоторые авторы искусственно включают в понятие "натуральные числа" ноль. Другие используют формулировку "натуральные числа и ноль". Это непринципиально. Множество натуральных чисел бесконечно, потому что с любым как угодно большим натуральным числом можно выполнить операцию сложения с другим натуральным числом и получить ещё бОльшее число.
Отрицательные и нецелые числа не входят в множество натуральных чисел.
Саяны
Натуральные числа - числа, которые используют для счета. Они могут быть только положительными и целыми. Что это значит на примере? Раз эти числа используют для счета, попробуем что-нибудь посчитать. Что можно посчитать? Например, людей. Мы можем считать людей так: 1 человек, 2 человека, 3 человека и т.д. Числа 1, 2, 3 и другие, используюшщиеся для счета, будут натуральными. Мы никогда не говорим -1 (минус один) человек или 1.5 (полтора) человека (извините за каламбур:), поэтому -1 и 1.5 (как и все отрицательные и дробные числа) не относятся к натуральным.
Лорелея
Натуральные числа - это те числа, которые используют при счете предметов.
Наименьшим натуральным числом является один. Часто возникает вопрос, является ли натуральным числом число ноль. Нет, не является в большинстве российских источников, а в других странах признается число ноль натуральным...
Moreljuba
Под натуральными числами в математике подразумеваются числа, используемые для последовательного счёта чего-либо или кого-либо. Самым маленьким натуральным числом принято считать единицу. Ноль в большинстве случаев не относится к разряду натуральных чисел. Отрицательные числа так же не входят сюда.
Приветствую вас славяне
Натуральные числа, они же естественные - это те числа, которые возникают обычным способом при их счёте, которые больше нуля. Последовательность каждого натурального числа, расположенного в порядке его возрастания будет называется естественным рядом.
Елена никитюк
Термин натуральное число используют в математике. Положительное целое число назвают натуральным. Наименьшее натуральное число принято считать - "0". Чтобы подсчитать что либо используют эти самые - натуральные числа, например 1,2,3... и так далее.
Натуральные числа - это числа, которыми мы производим счет, то есть исла один, два, три, четыре, пять и другие - натуральные числа.
Это обязательно положительные числа больше нуля.
Дробные числа также не относятся к множеству натуральных чисел.
-Орхидея-
Натуральные числа нужны для подсчета чего-либо. Они представляют собой ряд из только положительных чисел, начиная с одного. Важно знать, что числа эти исключительно целые. Натуральными числами можно подсчитать все что угодно.
Марлена
Натуральное число - это целые числа, которыми мы обычно пользуемся при подсчитывании каких-либо объектов. Ноль как таковой не входит в царство натуральных чисел, так как обычно мы не используем его при подсчетах.
Inara-pd
Натуральные числа -это числа,которые мы используем при счете -один,два,три и так далее.
Натуральные числа возникли из практических нужд человека.
Натуральные числа записывают с помощью десяти цифр.
Ноль -не является натуральным числом.
Naumenko
Натуральными числами называются числа. употребляемые при нумерации и при счете природных (цветок. дерево. животное. птица и тп) объектов.
Целыми числами наз. числа НАТУРАЛЬНЫЕ, ИМ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ И НОЛЬ,
Объяснять. что такое натуральные через целые неверно!! !
Числа бывают четными - делящиеся на 2 нацело и нечетными - Не делящимися на 2 нацело.
Простыми числами называются числа. имеющие только 2 делителя - единицу и само себя.. .
Первое из ваших уравнений не имеет решений. для второго х=6 6 натуральное число.
Натуральные числа (естественные числа) - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления) .
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком \mathbb{N}. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
Анна семенченко
числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления) .
Существуют два подхода к определению натуральных чисел - числа, используемые при:
перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.
Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
Натуральные числа — одно из старейших математических понятий.
В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.
Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».
Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.
Запомните!
Натуральные числа — это числа, начиная с 1 , получаемые при счете предметов.
1, 2, 3, 4, 5…
Наименьшее натуральное число — 1 .
Наибольшего натурального числа не существует.
При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.
Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками — число 2 , тремя — число 3 .
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами .
Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.
Запомните!
Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1 .
Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.
Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной .
Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.
Важно!
Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.
Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.
Это число получило специальное название — гугол . Гугол — число, у которого 100 нулей.
Натуральные числа для нас очень привычны и естественны. И это не удивительно, так как знакомство с ними начинается с первых лет нашей жизни на интуитивно понятном уровне.
Информация этой статьи создает базовое представление о натуральных числах, раскрывает их предназначение, прививает навыки записи и чтения натуральных чисел. Для лучшего усвоения материала приведены необходимые примеры и иллюстрации.
Навигация по странице.
Не лишено здравой логики следующее мнение: появление задачи счета предметов (первый, второй, третий предмет и т.д.) и задачи указания количества предметов (один, два, три предмета и т.д.) обусловило создание инструмента для ее решения, этим инструментом явились натуральные числа .
Из этого предложения видно основное предназначение натуральных чисел – нести в себе информацию о количестве каких-либо предметов или порядковом номере данного предмета в рассматриваемом множестве предметов.
Чтобы человек мог использовать натуральные числа, они должны быть каким-либо образом доступны как для восприятия, так и для воспроизведения. Если озвучить каждое натуральное число, то оно станет воспринимаемым на слух, а если изобразить натуральное число, то его можно будет увидеть. Это самые естественные способы, позволяющие донести и воспринять натуральные числа.
Так приступим же к приобретению навыков изображения (записи) и навыков озвучивания (чтения) натуральных чисел, познавая при этом их смысл.
Сначала следует определиться с тем, от чего мы будем отталкиваться при записи натуральных чисел.
Давайте запомним изображения следующих знаков (покажем их через запятую): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Приведенные изображения представляют собой запись так называемых цифр . Давайте сразу договоримся не переворачивать, не наклонять и иным образом не искажать цифры при записи.
Теперь условимся, что в записи любого натурального числа могут присутствовать только лишь указанные цифры и не могут присутствовать никакие другие символы. Также условимся, что цифры в записи натурального числа имеют одинаковую высоту, располагаются в строчку друг за другом (с почти отсутствующими отступами) и слева находится цифра, отличная от цифры 0 .
Приведем несколько примеров правильной записи натуральных чисел: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (обратите внимание: отступы между цифрами не всегда одинаковы, подробнее об этом будет сказано при рассмотрении ). Из приведенных примеров видно, что в записи натурального числа не обязательно присутствуют все из цифр 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; некоторые или все цифры, участвующие в записи натурального числа, могут повторяться.
Записи 014 , 0005 , 0 , 0209 не являются записями натуральных чисел, так как слева находится цифра 0 .
Запись натурального числа, выполненная с учетом всех требований, описанных в этом пункте, называется десятичной записью натурального числа .
Дальше мы не будем разграничивать натуральные числа и их запись. Поясним это: дальше в тексте будут использоваться фразы типа «дано натуральное число 582 », которые будут означать, что дано натуральное число, запись которого имеет вид 582 .
Пришло время разобраться с количественным смыслом, который несет в себе записанное натуральное число. Смысл натуральных чисел в плане нумерации предметов рассмотрен в статье сравнение натуральных чисел .
Начнем с натуральных чисел, записи которых совпадают с записями цифр, то есть, с чисел 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 и 9 .
Представим, что мы открыли глаза и увидели некоторый предмет, например, вот такой . В этом случае можно записать, что мы видим 1 предмет. Натуральное число 1 читается как «один » (склонение числительного «один», а также других числительных, дадим в пункте ), для числа 1 принято еще одно название - «единица ».
Однако, термин «единица» - многозначный, им кроме натурального числа 1 , называют нечто, рассматриваемое как единое целое. Например, любой один предмет из их множества можно назвать единицей. К примеру, любое яблоко из множества яблок – это единица, любая стая птиц из множества стай птиц – это также единица и т.д.
Теперь открываем глаза и видим: . То есть, мы видим один предмет и еще один предмет. В этом случае можно записать, что мы видим 2 предмета. Натуральное число 2 , читается как «два ».
Аналогично, - 3
предмета (читается «три
» предмета), - 4
(«четыре
») предмета, - 5
(«пять
»), 
- 6
(«шесть
»), 
- 7
(«семь
»), - 8
(«восемь
»), - 9
(«девять
») предметов.
Итак, с рассмотренной позиции натуральные числа 1 , 2 , 3 , …, 9 указывают количество предметов.
Число, запись которого совпадает с записью цифры 0 , называют «нуль ». Число нуль НЕ натуральное, однако, его обычно рассматривают вместе с натуральными числами. Запомним: нуль означает отсутствие чего-либо. Например, нуль предметов – это ни одного предмета.
В следующих пунктах статьи мы продолжим раскрывать смысл натуральных чисел в плане указания количества.
Очевидно, запись каждого из натуральных чисел 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 состоит из одного знака - одной цифры.
Определение.
Однозначные натуральные числа – это натуральные числа, запись которых состоит из одного знака - одной цифры.
Перечислим все однозначные натуральные числа: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Всего однозначных натуральных чисел девять.
Сначала дадим определение двузначных натуральных чисел.
Определение.
Двузначные натуральные числа – это натуральные числа, запись которых составляют два знака - две цифры (различные или одинаковые).
К примеру, натуральное число 45 – двузначное, числа 10 , 77 , 82 тоже двузначные, а 5 490 , 832 , 90 037 – не двузначные.
Давайте разберемся, какой смысл несут в себе двузначные числа, при этом будем отталкиваться от уже известного нам количественного смысла однозначных натуральных чисел.
Для начала введем понятие десятка .
Представим такую ситуацию – мы открыли глаза и увидели множество, состоящее из девяти предметов и еще одного предмета. В этом случае говорят об 1 десятке (одном десятке) предметов. Если рассматривают вместе один десяток и еще один десяток, то говорят о 2 десятках (двух десятках). Если к двум десяткам присоединить еще один десяток, то будем иметь три десятка. Продолжая этот процесс, будем получать четыре десятка, пять десятков, шесть десятков, семь десятков, восемь десятков, и наконец, девять десятков.
Теперь мы можем перейти к сути двузначных натуральных чисел.
Для этого посмотрим на двузначное число как на два однозначных числа – одно находится слева в записи двузначного числа, другое находится справа. Число слева указывает количество десятков, а число справа – количество единиц. При этом если справа в записи двузначного числа находится цифра 0 , то это означает отсутствие единиц. В этом и есть весь смысл двузначных натуральных чисел в плане указания количества.
К примеру, двузначное натуральное число 72 соответствует 7 десяткам и 2 единицам (то есть, 72 яблока – это множество из семи десятков яблок и еще двух яблок), а число 30 отвечает 3 десяткам и 0 единицам, то есть, единиц, которые не объединены в десятки, нет.
Ответим на вопрос: «Сколько всего существует двузначных натуральных чисел»? Ответ: их 90 .
Переходим к определению трехзначных натуральных чисел.
Определение.
Натуральные числа, запись которых состоит из 3 знаков – 3 цифр (различных или повторяющихся), называются трехзначными .
Примерами натуральных трехзначных чисел являются 372 , 990 , 717 , 222 . Натуральные числа 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 не являются трехзначными.
Для понимания смысла, заложенного в трехзначных натуральных числах, нам понадобится понятие сотни .
Множество из десяти десятков – это 1 сотня (одна сотня). Сотня и сотня – это 2 сотни. Две сотни и еще одна сотня – это три сотни. И так далее, имеем четыре сотни, пять сотен, шесть сотен, семь сотен, восемь сотен, и, наконец, девять сотен.
Теперь посмотрим на трехзначное натуральное число как на три однозначных натуральных числа, идущих друг за другом справа налево в записи трехзначного натурального числа. Число справа указывает количество единиц, следующее число указывает количество десятков, следующее число – количество сотен. Цифры 0 в записи трехзначного числа означают отсутствие десятков и (или) единиц.
Таким образом, трехзначное натуральное число 812 соответствует 8 сотням, 1 десятку и 2 единицам; число 305 – трем сотням (0 десяткам, то есть, десятков, не объединенных в сотни, нет) и 5 единицам; число 470 – четырем сотням и семи десяткам (единиц, не объединенных в десятки, нет); число 500 – пяти сотням (десятков, не объединенных в сотни, и единиц, не объединенных в десятки, нет).
Аналогичным образом можно дать определения четырехзначных, пятизначных, шестизначных и т.д. натуральных чисел.
Итак, переходим к определению многозначных натуральных чисел.
Определение.
Многозначные натуральные числа – это натуральные числа, запись которых состоит из двух или трех или четырех и т.д. знаков. Иными словами, многозначные натуральные числа – это двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа.
Сразу скажем, что множество, состоящее из десяти сотен, – это одна тысяча , тысяча тысяч – это один миллион , тысяча миллионов – это один миллиард , тысяча миллиардов – это один триллион . Тысяче триллионов, тысяче тысяч триллионов и так далее также можно дать свои названия, но в этом нет особой надобности.
Так какой смысл скрывается за многозначными натуральными числами?
Посмотрим на многозначное натуральное число как на следующие одно за другим справа налево однозначные натуральные числа. Число справа указывает количество единиц, следующее число – количество десятков, следующее – количество сотен, дальше – количество тысяч, дальше – количество десятков тысяч, дальше – сотен тысяч, дальше – количество миллионов, дальше – количество десятков миллионов, дальше – сотен миллионов, дальше – количество миллиардов, далее – количество десятков миллиардов, далее – сотен миллиардов, далее – триллионов, далее - десятков триллионов, далее - сотен триллионов и так далее.
К примеру, многозначное натуральное число 7 580 521 соответствует 1 единице, 2 десяткам, 5 сотням, 0 тысячам, 8 десяткам тысяч, 5 сотням тысяч и 7 миллионам.
Таким образом, мы научились группировать единицы в десятки, десятки в сотни, сотни в тысячи, тысячи в десятки тысяч и так далее и выяснили, что цифры в записи многозначного натурального числа указывают соответствующее количество вышеперечисленных групп.
Мы уже упоминали, как читаются однозначные натуральные числа. Выучим содержимое следующих таблиц наизусть.
А как читаются остальные двузначные числа?
Поясним на примере. Прочитаем натуральное число 74 . Как мы выяснили выше, это число соответствует 7 десяткам и 4 единицам, то есть, 70 и 4 . Обращаемся к только что записанным таблицам, и число 74 читаем как: «Семьдесят четыре» (союз «и» не произносим). Если нужно прочитать число 74 в предложении: «Нет 74 яблок» (родительный падеж), то это будет звучать так: «Нет семидесяти четырех яблок». Еще пример. Число 88 – это 80 и 8 , следовательно, читаем: «Восемьдесят восемь». А вот пример предложения: «Он думает о восьмидесяти восьми рублях».
Переходим к чтению трехзначных натуральных чисел.
Для этого нам придется выучить еще несколько новых слов.
Осталось показать, как читаются остальные трехзначные натуральные числа. При этом будем использовать уже полученные навыки чтения однозначных и двузначных чисел.
Разберем пример. Прочитаем число 107 . Это число соответствует 1 сотне и 7 единицам, то есть, 100 и 7 . Обратившись к таблицам, читаем: «Сто семь». А теперь произнесем число 217 . Это число есть 200 и 17 , поэтому, читаем: «Двести семнадцать». Аналогично, 888 – это 800 (восемьсот) и 88 (восемьдесят восемь), читаем: «Восемьсот восемьдесят восемь».
Переходим к чтению многозначных чисел.
Для чтения запись многозначного натурального числа разбивается, начиная справа, на группы по три цифры, при этом в самой левой такой группе может оказаться либо 1 , либо 2 , либо 3 цифры. Эти группы называются классами . Класс, находящийся справа, называют классом единиц . Следующий за ним (справа налево) класс называют классом тысяч , следующий класс – классом миллионов , следующий – классом миллиардов , далее идет класс триллионов . Можно дать названия и следующих классов, но натуральные числа, запись которых состоит из 16 , 17 , 18 и т.д. знаков, обычно не читают, так как их очень трудно воспринять на слух.
Посмотрите на примеры разбиения многозначных чисел на классы (для наглядности классы отделяют друг от друга небольшим отступом): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .
Занесем записанные натуральные числа в таблицу, по которой легко научиться их читать.
Чтобы прочитать натуральное число, называем слева направо составляющие его числа по классам и добавляем название класса. При этом не произносим название класса единиц, а также пропускаем те классы, которые составляют три цифры 0 . Если в записи класса слева находится цифра 0 или две цифры 0 , то игнорируем эти цифры 0 и читаем число, полученное отбрасыванием этих цифр 0 . К примеру, 002 прочитаем как «два», а 025 - как «двадцать пять».
Прочитаем число 489 002 по приведенным правилам.
Чтение ведем слева направо,
Приступаем к чтению числа 10 000 501 .
Сделаем это без подробных пояснений: 1 789 090 221 214 – «один триллион семьсот восемьдесят девять миллиардов девяноста миллионов двести двадцать одна тысяча двести четырнадцать».
Итак, в основе навыка чтения многозначных натуральных чисел лежит умение разбивать многозначные числа на классы, знание названий классов и умение читать трехзначные числа.
В записи натурального числа значение каждой цифры зависит от ее позиции. К примеру, натуральное число 539 соответствует 5 сотням, 3 десяткам и 9 единицам, следовательно, цифра 5 в записи числа 539 определяет количество сотен, цифра 3 – количество десятков, а цифра 9 – количество единиц. При этом говорят, что цифра 9 стоит в разряде единиц и число 9 является значением разряда единиц , цифра 3 стоит в разряде десятков и число 3 является значением разряда десятков , а цифра 5 – в разряде сотен и число 5 является значением разряда сотен .
Таким образом, разряд – это с одной стороны позиция цифры в записи натурального числа, а с другой стороны значение этой цифры, определяемое ее позицией.
Разрядам присвоены названия. Если смотреть на цифры в записи натурального числа справа налево, то им будут соответствовать следующие разряды: единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов, десятков миллионов и так далее.
Названия разрядов удобно запоминать, когда они представлены в виде таблицы. Запишем таблицу, содержащую названия 15 разрядов.
Заметим, что количество разрядов данного натурального числа равно количеству знаков, участвующих в записи этого числа. Таким образом, в записанной таблице содержатся названия разрядов всех натуральных чисел, запись которых содержит до 15 знаков. Следующие разряды также имеют свои названия, но они очень редко используются, поэтому не имеет смысла их упоминать.
С помощью таблицы разрядов удобно определять разряды данного натурального числа. Для этого нужно записать в эту таблицу данное натуральное число так, чтобы в каждом разряде оказалась одна цифра, и крайняя справа цифра оказалась в разряде единиц.
Приведем пример. Запишем натуральное число 67 922 003 942 в таблицу, при этом станут отчетливо видны разряды и значения этих разрядов.
В записи этого числа цифра 2 стоит в разряде единиц, цифра 4 – в разряде десятков, цифра 9 – в разряде сотен и т.д. Следует обратить внимание на цифры 0 , находящиеся в разрядах десятков тысяч и сотен тысяч. Цифры 0 в этих разрядах означают отсутствие единиц данных разрядов.
Следует еще обмолвиться о так называемом низшем (младшем) и высшем (старшем) разряде многозначного натурального числа. Низшим (младшим) разрядом любого многозначного натурального числа является разряд единиц. Высшим (старшим) разрядом натурального числа является разряд, соответствующий крайней справа цифре в записи этого числа. Например, младшим разрядом натурального числа 23 004 является разряд единиц, а старшим – разряд десятков тысяч. Если в записи натурального числа двигаться по разрядам слева направо, то каждый следующий разряд ниже (младше) предыдущего. Например, разряд тысяч младше разряда десятков тысяч, тем более разряд тысяч младше разряда сотен тысяч, миллионов, десятков миллионов и т.д. Если же в записи натурального числа двигаться по разрядам справа налево, то каждый следующий разряд выше (старше) предыдущего. Например, разряд сотен старше разряда десятков, и тем более, старше разряда единиц.
В некоторых случаях (например, при выполнении сложения или вычитания) используется не само натуральное число, а сумма разрядных слагаемых этого натурального числа.
Итак, мы познакомились с натуральными числами, со смыслом, заложенным в них, и способом записи натуральных чисел с помощью десяти цифр.
Вообще, метод записи чисел с помощью знаков, называют системой счисления . Значение цифры в записи числа может зависеть от ее позиции, а может и не зависеть от ее позиции. Системы счисления, в которых значение цифры в записи числа зависит от ее позиции, называют позиционными .
Таким образом, рассмотренные нами натуральные числа и метод их записи, указывает на то, что мы пользуемся позиционной системой счисления. Следует заметить, что особое место в этой системе счисления имеет число 10 . Действительно, счет ведется десятками: десять единиц объединяются в десяток, десяток десятков объединяется в сотню, десяток сотен – в тысячу, и так далее. Число 10 называют основанием данной системы счисления, а саму систему счисления называют десятичной .
Помимо десятичной системы счисления существуют и другие, например, в информатике используется двоичная позиционная система счисления, а с шестидесятеричной системой мы сталкиваемся, когда речь идет об измерении времени.
Список литературы.
Математика выделилась из общей философии примерно в шестом веке до н. э., и с этого момента началось ее победное шествие по миру. Каждый этап развития вносил что-то новое - элементарный счет эволюционировал, преображался в дифференциальное и интегральное исчисление, сменялись века, формулы становились все запутаннее, и настал тот момент, когда «началась самая сложная математика - из нее исчезли все числа». Но что же лежало в основе?
Натуральные числа появились наравне с первыми математическими операциями. Раз корешок, два корешок, три корешок… Появились они благодаря индийским ученым, которые вывели первую позиционную
Слово «позиционность» означает, что расположение каждой цифры в числе строго определено и соответствует своему разряду. Например, числа 784 и 487 - цифры одни и те же, но числа не являются равносильными, так как первое включает в себя 7 сотен, тогда как второе - только 4. Нововведение индийцев подхватили арабы, которые довели числа до того вида, который мы знаем сейчас.
В древности числам придавалось мистическое значение, Пифагор полагал, что число лежит в основе сотворения мира наравне с основными стихиями - огнем, водой, землей, воздухом. Если рассматривать все лишь с математической стороны, то что такое натуральное число? Поле натуральных чисел обозначается как N и представляет собой бесконечный ряд из чисел, которые являются целыми и положительными: 1, 2, 3, … + ∞. Ноль исключается. Используется в основном для подсчета предметов и указания порядка.
Поле N является базовым, на которое опирается элементарная математика. С течением времени выделяли поля целых, рациональных,
Работы итальянского математика Джузеппе Пеано сделали возможной дальнейшую структуризацию арифметики, добились ее формальности и подготовили почву для дальнейших выводов, которые выходили за рамки области поля N.
Что такое натуральное число, было выяснено ранее простым языком, ниже будет рассмотрено математическое определение на базе аксиом Пеано.
Так как поле N стало первым для математических расчетов, то именно к нему относятся как области определения, так и области значений ряда операций ниже. Они бывают замкнутыми и нет. Основным различием является то, что замкнутые операции гарантированно оставляют результат в рамках множества N вне зависимости от того, какие числа задействованы. Достаточно того, что они натуральные. Исход остальных численных взаимодействий уже не столь однозначен и напрямую зависит от того, что за числа участвуют в выражении, так как он может противоречить основному определению. Итак, замкнутые операции:
Остальные операции, итог которых может не существовать в контексте определения "что такое натуральное число", следующие:
Все дальнейшие математические рассуждения будут основываться на следующих свойствах, самых тривиальных, но от этого не менее важных.
Одним из первых шагов в познании школьниками всей структуры элементарной математики после того, как они уяснили для себя, какие числа называются натуральными, является таблица Пифагора. Ее можно рассматривать не только с точки зрения науки, но и как ценнейший научный памятник.
Данная таблица умножения претерпела с течением времени ряд изменений: из нее убрали ноль, а числа от 1 до 10 обозначают сами себя, без учета порядков (сотни, тысячи...). Она представляет собой таблицу, в которой заглавия строк и столбцов - числа, а содержимое ячеек их пересечения равно их же произведению.
В практике обучения последних десятилетий наблюдалась необходимость заучивания таблицы Пифагора "по порядку", то есть сначала шло зазубривание. Умножение на 1 исключалось, так как результат был равен 1 или большему множителю. Между тем в таблице невооруженным взглядом можно заметить закономерность: произведение чисел растет на один шаг, который равен заглавию строки. Таким образом, второй множитель показывает нам, сколько раз нужно взять первый, дабы получить искомое произведение. Данная система не в пример удобнее той, что практиковалась в средние века: даже понимая, что такое натуральное число и насколько оно тривиально, люди умудрялись осложнять себе повседневный счет, пользуясь системой, которая базировалась на степенях двойки.
На данный момент поле натуральных чисел N рассматривается лишь как одно из подмножеств комплексных чисел, но это не делает их менее ценными в науке. Натуральное число - первое, что познает ребенок, изучая себя и окружающий мир. Раз пальчик, два пальчик... Благодаря ему у человека формируется логическое мышление, а также умение определять причину и выводить следствие, подготавливая почву для больших открытий.
