Как было сказано выше, классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии. Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи в этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Предварительно введем понятие относительной частоты.
Относительной частотой события , или частотой, называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события А через W(A), тогда
где n – общее число опытов; m – число опытов, в которых появилось событие А .
При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно меняться от одной группы опытов к другой. Например, при каких-то десяти бросаниях монеты вполне возможно, что герб появится 2 раза (частота 0,2), при других десяти бросаниях мы вполне можем получить 8 гербов (частота 0,8). Однако при увеличении числа опытов частота события все более теряет свой случайный характер; случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту, в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней постоянной величине. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.
Статистическое определение вероятности: вероятностью события называют число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.
Свойство устойчивости частот, многократно проверенное экспериментально и подтверждающееся опытом человечества, есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях. Между частотой события и его вероятностью существует глубокая связь, которую можно выразить так: когда мы оцениваем степень возможности какого-либо события, мы связываем эту оценку с большей или меньшей частотой появления аналогичных событий на практике.
Геометрическая вероятность
Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно. Для того чтобы преодолеть этот недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.
Допустим, что на плоскости задана квадрируемая область G , т.е. область, имеющая площадь S G . В области G содержится область g площади S g . В область G наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятностью, пропорциональной площади этой части и независящей от ее формы и расположения. Пусть событие А – «попадание брошенной точки в область g », тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой:
В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области g (длину, площадь, объем) через mes g , а меру области G – черезmes G ; пусть также А – событие «попадание брошенной точки в область g , которая содержится в области G ». Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G , определяется формулой
.
Задача . В круг вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадёт в квадрат?
Решение.
Пусть радиус круга равен R
, тогда площадь круга равна . Диагональ квадрата равна , тогда сторона квадрата равна , а площадь квадрата равна . Вероятность искомого события определяется как отношение площади квадрата к площади круга, т.е. 
.
1. Что называется испытанием (опытом)?
2. Что называется событием?
3. Какое событие называется а) достоверным? б) случайным? в) невозможным?
4. Какие события называются а) несовместными? б) совместными?
5. Какие события называются противоположными?ываются а) несовместными б) совместнымиывается случайным?
6. Что называется полной группой случайных событий?
7. Если события не могут произойти все вместе в результате испытания, то будут ли они попарно несовместными?
8. Образуют ли события А и полную группу?
9. Какие элементарные исходы благоприятствуют данному событию?
10. Какое определение вероятности называется классическим?
11. В каких пределах заключена вероятность любого события?
12. При каких условиях применяется классическая вероятность?
13. При каких условиях применяется геометрическая вероятность?
14. Какое определение вероятности называется геометрическим?
15. Что называется частотой события?
16. Какое определение вероятности называется статистическим?
1. Из букв слова «консерватория» наугад извлекается одна буква. Найти вероятность того, что эта буква гласная. Найти вероятность, что это буква «о».
2. На одинаковых карточках написаны буквы «о», «р», «с», «т». Найти вероятность того, что на разложенных наудачу в ряд карточках появится слово «трос».
3. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрывается 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?
4. Подбрасывается два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на обоих кубиках больше 6.
5. На пяти одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, т. Какова вероятность того, что извлекая карточки по одной наугад, получим в порядке их выхода слово «молот»?
6. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный?
7. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры таковы, что их произведение равно нулю.
8. Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Найти вероятность того, что это число является делителем 30.
9. Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Найти вероятность того, что это число кратно 3.
10. Наудачу выбрано число, не превосходящее 50. Найти вероятность того, что это число простое.
Классическое и статистическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.
Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.
Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.
Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.
Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.
Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу
Геометрическая вероятность - один из способов задания вероятности; пусть Ω - ограниченное множество евклидова пространства, имеющее объем λ(Ω) (соответственно длину или площадь в одномерной или двумерной ситуации), пусть ω - точка, взятая случайным образом из Ω, пусть вероятность, что точка будет взята из подмножества пропорциональна его объёму λ(x), тогда геометрическая вероятность подмножества определяется как отношение объёмов: Геометрическое определение вероятности часто используется в методах Монте-Карло, например, для приближённого вычисления значений многократных определённых интегралов.
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.
Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой
Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),
где АВ – произведение событий А и В.
Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.
Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.
Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.
Теорема умножения вероятностей
Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:
Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).
Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
Р (АВ) = Р(А) · Р(В).
Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)n
Вероятность появления хотя бы одного события. Пример. Формула Бейеса.
Вероятность сделать хотя бы одну ошибку на странице тетради составляет р=0,1. В тетради 7 написанных страниц. Какова вероятность Р, что в тетради есть хотя бы одна ошибка?
Вероятность наступления события А, состоящего из событий А1, А2,…, Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Ǡ1, Ǡ2, ... Ǡn.
P(A) = 1 - q1q2…qn
Вероятность противоположного события q = 1 - p.
В частности, если все события имеют одинаковую вероятность равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна:
Р(А) = 1 – qn = 1 – (1 – p)n = 1 – (1 – 0,1)7 = 0,522
Ответ: 0,522
Формула Бейеса.
Предположим, что производится некоторый опыт, причем об условиях его проведения можно высказать n единственно возможных и несовместных гипотез , имеющих вероятности Пусть в результате опыта может произойти или не произойти событие А, причем известно, что если опыт происходит при выполнении гипотезы то Спрашивается, как изменятся вероятности гипотез, если стало известным, что событие А произошло? Иными словами, нас интересуют значения вероятностей На основании соотношений (4) и (5) имеем откуда 
Но по формуле полной вероятности Поэтому 
Формула (12) называется формулой Бейеса*.
6.Формула Бернулли. Примеры.
Формула Бернулли - формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений - сложения и умножения вероятностей - при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.
Формулировка
Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: где. .
Доказательство
Так как в результате независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие наступает с вероятностью , следовательно противоположное ему событие с вероятностью 
Обозначим наступление события в испытании с номером Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате опытов событие наступает раз, тогда остальные раз это событие не наступает. Событие может появиться раз в испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из элементов по Это количество сочетаний находится по формуле: 
При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей: 
Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:
Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Примеры.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n) 
Для определения значений φ(x) можно воспользоваться специальной таблицей.
Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна
P(k1;k2)=Φ(x"") - Φ(x")
Здесь 
-функция Лапласа Значения функции Лапласа находят по специальной таблице.
Пример. Найти вероятность того, что событие А насту пит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
Решение. По условию, n=243; k = 70; р =0,25; q= 0,75. Так как n=243 - достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа: 
где х = (k-np)/ √npq.
Найдем значение х По таблице п найдем ф(1,37) =0,1561. Искомая вероятность
P(243)(70) = 1/6,75*0,1561 =0,0231.
Числовые характеристики дискретных величин. Примеры
Числовые характеристики дискретных случайных величин
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.
С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Теоретические моменты. Примеры.
Идея этого метода заключается в приравнивании теоретических и эмпирических моментов. Поэтому мы начнем с обсуждения этих понятий.
Пусть 
-- независимая выборка из распределения зависящего от неизвестного параметра 
Теоретическим моментом -го порядка называется функция 
где -- случайная величина с функцией распределения . Особо отметим, что теоретический момент есть функция от неизвестных параметров, коль скоро распределение зависит от этих параметров. Будем считать, что математические ожидания существуют, по крайней мере, для Эмпирическим моментом -го порядка называется 
Отметим, что по своему определению эмпирические моменты являются функциями от выборки. Заметим, что 
-- это хорошо нам известное выборочное среднее.
Для того, чтобы найти оценки неизвестных параметров по методу моментов следует:
явно вычислить теоретические моменты , и составить следующую систему уравнений для неизвестных переменных
В этой системе рассматриваются как фиксированные параметры.
решить систему (35) относительно переменных Так как правая часть системы зависит от выборки, то в результате окажутся функциями от 
Это и есть искомые оценки параметров по методу моментов.
12.Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
Нера́венство Чебышева, известное также как неравенство Биенэме - Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Биенэме (фран.) в 1853 году, и позже также Чебышевым. Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.
Неравенство Чебышева в теории меры
Неравенство Чебышева в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей - неравенство Маркова. Неравенство Чебышева также используется для доказательства вложения пространства в слабое пространство
Формулировки
Пусть - пространство с мерой. Пусть также
Суммируемая на функция
Тогда справедливо неравенство:
В более общем виде:
Если - неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения то В терминах пространства Пусть Тогда
Неравенство Чебышева в теории вероятностей
Неравенство Чебышева в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. Говоря более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышева является следствием неравенства Маркова.
Формулировки
Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , а её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда 
где Если , где - стандартное отклонение и , то получаем 
В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на стандартных отклонения, с вероятностью меньше Она отклоняется от среднего на стандартных отклонения с вероятностью меньше .
Закон больших чисел
Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.
Однако при неоднократном повторении испытаний наблюдаются закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.
Пусть производится большая серия однотипных опытов. Исход каждого отдельного опыта является случайным, неопределенным. Однако, несмотря на это, средний результат всей серии опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным.
Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел.
Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.
К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли - простейшим.
В основе доказательства теорем, объединенных термином "закон больших чисел", лежит неравенство Чебышева, по которому устанавливается вероятность отклонения от ее математического ожидания: 
Математическая формулировка
Нужно определить максимум линейной целевой функции (линейной формы) при условиях
Иногда на также накладывается некоторый набор ограничений в виде равенств, но от них можно избавиться, последовательно выражая одну переменную через другие и подставляя её во всех остальных равенствах и неравенствах (а также в функции ). Такую задачу называют «основной» или «стандартной» в линейном программировании.
Геометрический способ решения задач линейного программирования для двух переменных. Пример.
Областью решения линейного неравенства с двумя переменными 
является полуплоскость. Для того, чтобы определить, какая из двух полуплоскостей соответствует этому неравенству, нужно привести его к виду или Тогда искомая полуплоскость в первом случае расположена выше прямой a0 + a1x1 + a2x2 = 0, а во втором - ниже нее. Если a2=0, то неравенство (8) имеет вид 
; в этом случае получим либо - правую полуплоскость, либо - левую полуплоскость.
Областью решений системы неравенств является пересечение конечного числа полуплоскостей, описываемых каждым отдельным неравенством. Это пересечение представляет собой многоугольную область G. Она может быть как ограниченной, так и неограниченной и даже пустой (если система неравенств противоречива). 
Рис. 2
Область решений G обладает важным свойством выпуклости. Область называется выпуклой, если произвольные две ее точки можно соединить отрезком, целиком принадлежащим данной области. На рис. 2 показаны выпуклая область G1 и невыпуклая область G2. В области G1 две ее произвольные точки А1 и В1 можно соединить отрезком, все точки которого принадлежат области G1. В области G2 можно выбрать такие две ее точки А2 и В2, что не все точки отрезка А2В2 принадлежат области G2.
Опорной прямой называется прямая, которая имеет с областью по крайней мере одну общую точку, при этом вся область расположена по одну сторону от этой прямой. На рис. 2 показаны две опорные прямые l1 и l2, т. е. в данном случае прямые проходят соответственно через вершину многоугольника и через одну из его сторон.
Аналогично можно дать геометрическую интерпретацию системы неравенств с тремя переменными. В этом случае каждое неравенство описывает полупространство, а вся система - пересечение полупространств, т. е. многогранник, который также обладает свойством выпуклости. Здесь опорная плоскость проходит через вершину, ребро или грань многогранной области.
Основываясь на введенных понятиях, рассмотрим геометрический метод решения задачи линейного программирования. Пусть заданы линейная целевая функция f = c0 + c1x1 + c2x2 двух независимых переменных, а также некоторая совместная система линейных неравенств, описывающих область решений G. Требуется среди допустимых решений найти такое, при котором линейная целевая функция f принимает наименьшее значение.
Положим функцию f равной некоторому постоянному значению С: f = c0 + c1x1 + c2x2 = C. Это значение достигается в точках прямой, удовлетворяющих уравнению При параллельном переносе этой прямой в положительном направлении вектора нормали n(c1,c2) линейная функция f будет возрастать, а при ее переносе в противоположном направлении - убывать.
Предположим, что прямая, записанная в виде (9) , при параллельном переносе в положительном направлении вектора n первый раз встретится с областью допустимых решений G в некоторой ее вершине, при этом значение целевой функции равно С1, и прямая становится опорной. Тогда значение С1 будет минимальным, поскольку дальнейшее движение прямой в том же направлении приведет к увеличению значения f.
Таким образом, оптимизация линейной целевой функции на многоугольнике допустимых решений происходит в точках пересечения этого многоугольника с опорными прямыми, соответствующими данной целевой функции. При этом пересечение может быть в одной точке (в вершине многоугольника) либо в бесконечном множестве точек (на ребре многоугольника).
Алгоритм симплекс-метода для решения общей задачи линейного программирования. Таблица.
Алгоритмы решения
Наиболее известным и широко применяемым на практике для решения общей задачи линейного программирования (ЛП) является симплекс-метод. Несмотря на то, что симплекс-метод является достаточно эффективным алгоритмом, показавшим хорошие результаты при решении прикладных задач ЛП, он является алгоритмом с экспоненциальной сложностью. Причина этого состоит в комбинаторном характере симплекс-метода, последовательно перебирающего вершины многогранника допустимых решений при поиске оптимального решения.
Первый полиномиальный алгоритм, метод эллипсоидов, был предложен в 1979 году советским математиком Л. Хачияном, разрешив таким образом проблему, долгое время остававшуюся нерешённой. Метод эллипсоидов имеет совершенно другую, некомбинаторную, природу, нежели симплекс-метод. Однако в вычислительном плане этот метод оказался неперспективным. Тем не менее, сам факт полиномиальной сложности задач привёл к созданию целого класса эффективных алгоритмов ЛП - методов внутренней точки, первым из которых был алгоритм Н. Кармаркара, предложенный в 1984 году. Алгоритмы этого типа используют непрерывную трактовку задачи ЛП, когда вместо перебора вершин многогранника решений задачи ЛП осуществляется поиск вдоль траекторий в пространстве переменных задачи, не проходящих через вершины многогранника. Метод внутренних точек, который, в отличие от симплекс-метода, обходит точки из внутренней части области допустимых значений, использует методы логарифмических барьерных функций нелинейного программирования, разработанные в 1960-х годах Фиако (Fiacco) и МакКормиком (McCormick).
24.Особые случаи в симплекс-методе: вырожденное решение, бесконечное множество решений, отсутствие решения. Примеры .
Использование метода искусственного базиса для решения общей задачи линейного программирования. Пример.
Метод искусственного базиса.
Метод искусственного базиса используется для нахождения допустимого базисного решения задачи линейного программирования, когда в условии присутствуют ограничения типа равенств. Рассмотрим задачу:
max{F(x)=∑cixi|∑ajixi=bj, j=1,m; xi≥0}.
В ограничения и в функцию цели вводят так называемые «искусственные переменные» Rj следующим образом:
∑ajix+Rj=bj, j=1,m;F(x)=∑cixi-M∑Rj
При введении искусственных переменных в методе искусственного базиса в функцию цели им приписывается достаточно большой коэффициент M, который имеет смысл штрафа за введение искусственных переменных. В случае минимизации искусственные переменные прибавляются к функции цели с коэффициентом M. Введение искусственных переменных допустимо в том случае, если в процессе решения задачи они последовательно обращаются в нуль.
Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения, используя метод искусственного базиса, называется расширенной. Она отличается от обычной тем, что содержит две строки для функции цели: одна – для составляющей F = ∑cixi, а другая – для составляющей M ∑Rj Рассмотрим процедуру решения задачи на конкретном примере.
Пример 1. Найти максимум функции F(x) = -x1 + 2x2 - x3 при ограничениях:
x1≥0, x2≥0, x3≥0 .
Применим метод искусственного базиса. Введем искусственные переменные в ограничения задачи
2x1 + 3x2 + x3 + R1 = 3;
x1 + 3x3 + R2 = 2 ;
Функция цели F(x)-M ∑Rj= -x1 + 2x2 - x3 - M(R1+R2).
Выразим сумму R1 + R2 из системы ограничений: R1 + R2 = 5 - 3x1 - 3x2 - 4x3, тогда F(x) = -x1 + 2x2 - x3 - M(5 - 3x1 - 3x2 - 4x3) .
При составлении первой симплекс-таблицы (табл. 1) будем полагать, что исходные переменные x1, x2 , x3 являются небазисными, а введенные искусственные переменные – базисными. В задачах максимизации знак коэффициентов при небазисных переменных в F- и M-строках изменяется на противоположный. Знак постоянной величины в M-строке не изменяется. Оптимизация проводится сначала по M-строке. Выбор ведущих столбца и строки, все симплексные преобразования при испльзовании метода искусственного базиса осуществляются как в обычном симплекс-методе. 
Максимальный по абсолютному значению отрицательный коэффициент (-4) определяет ведущий столбец и переменную x3, которая перейдет в базис. Минимальное симплексное отношение (2/3) соответствует второй строке таблицы, следовательно, переменная R2 должна быть из базиса исключена. Ведущий элемент обведен контуром. 
В методе искусственного базиса искусственные переменные, исключенные из базиса, в него больше не возвращаются, поэтому столбцы элементов таких переменных опускаются. Табл. 2. сократилась на 1 столбец. Осуществляя пересчет этой таблицы, переходим к табл. 3., в которой строка M обнулилась, ее можно убрать. После исключения из базиса всех искусственных переменных получаем допустимое базисное решение исходной задачи, которое в рассматриваемом примере является оптимальным:
x1=0; x2=7/9; Fmax=8/9.
Если при устранении M-строки решение не является оптимальным, то процедура оптимизации продолжается и выполняется обычным симплекс-методом. Рассмотрим пример, в котором присутствуют ограничения всех типов:≤,=,≥
Двойственные симметричные задачи линейного программирования. Пример.
Определение двойственной задачи
Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Дадим определение двойственной задачи по отношению к общей задаче линейного программирования, состоящей, как мы уже знаем, в нахождении максимального значения функции при условиях
называется двойственной по отношению к задаче (32) – (34). Задачи (32) – (34) и (35) – (37) образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственной парой. Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача составляется согласно следующим правилам:
1. Целевая функция исходной задачи (32) – (34) задается на максимум, а целевая функция двойственной (35) – (37) – на минимум.
2. Матрица 
составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (33) исходной задачи (32) – (34), и аналогичная матрица 
в двойственной задаче (35) – (37) получаются друг из друга транспонированием (т. е. заменой строк столбцами, а столбцов – строками).
3. Число переменных в двойственной задаче (35) – (37) равно числу ограничений в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а число ограничений в системе (36) двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.
4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции (35) двойственной задачи (35) – (37) являются свободные члены в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а правыми частями в соотношениях системы (36) двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции (32) исходной задачи.
5. Если переменная xj исходной задачи (32) – (34) может принимать только лишь положительные значения, то j–е условие в системе (36) двойственной задачи (35) – (37) является неравенством вида “? ”. Если же переменная xj может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то 1 – соотношение в системе (54) представляет собой уравнение. Аналогичные связи имеют место между ограничениями (33) исходной задачи (32) – (34) и переменными двойственной задачи (35) – (37). Если i – соотношение в системе (33) исходной задачи является неравенством, то i–я переменная двойственной задачи . В противном случае переменная уj может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения (33) прямой задачи и соотношения (36) двойственной задачи являются неравенствами вида “ ”. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.
Связь между переменными прямой и двойственной задачи. Пример.
30.Экономическая интерпретация двойственных задач. Значение нулевых оценок в решении экономической задачи. Примеры .
Исходная задача I имела конкретный экономический смысл: основные переменные хi обозначали количество произведенной продукции i-го вида, дополнительные переменные обозначали количество излишков соответствующего вида ресурсов, каждое из неравенств выражало собой расход определенного вида сырья в сравнении с запасом этого сырья. Целевая функция определяла прибыль при реализации всей продукции. Предположим теперь, что предприятие имеет возможность реализовывать сырье на сторону. Какую минимальную цену надо установить за единицу каждого вида сырья при условии, чтобы доход от реализации всех его запасов был не меньше дохода от реализации продукции, которая может быть выпущена из этого сырья.
Переменные у1, у2, у3 будут обозначать условную предполагаемую цену за ресурс 1, 2, 3 вида соответственно. Тогда доход от продажи видов сырья, расходуемых на производство одной единицы продукции I, равен: 5у1 + 1· у3. Т. к. цена продукции I типа равна 3 ед., то 5у1 + у3 3, в силу того, что интересы предприятия требуют, чтобы доход от продажи сырья был не меньше, чем от реализации продукции. Именно в силу такого экономического толкования система ограничений двойственной задачи принимает вид: 
А целевая функция G = 400y1 + 300y2 + 100y3 подсчитывает условную суммарную стоимость всего имеющегося сырья. Понятно, что в силу I теоремы двойственности F(x*) = G(y*) равенство означает, что максимальная прибыль от продажи всей готовой продукции совпадает с минимальной условной ценой ресурсов. Условные оптимальные цены уi показывают наименьшую стоимость ресурсов, при которой выгодно обращать эти ресурсы в продукцию, производить.
Еще раз обратим внимание на то, что уi - это лишь условные, предполагаемые, а не реальные цены на сырье. Иначе читателю может показаться странным, что например, у1* = 0. Этот факт вовсе не означает, что реальная цена первого ресурса нулевая, ничего бесплатного в этом мире нет. Равенство нулю условной цены означает лишь, что этот ресурс не израсходован полностью, имеется в излишке, недефицитен. Действительно, посмотрим на первое неравенство в системе ограничений задачи I, в котором подсчитывается расход первого ресурса: 5х1* + 0,4х2* + 2х3* + 0,5х4* = 66 < 400. его избыток составляет х5 = 334 ед. при данном оптимальном плане производства. Этот ресурс имеется в избытке, и поэтому для производителя он недефицитен, его условная цена равна 0, его не надо закупать. Наоборот, ресурс 2 и 3 используются полностью, причем у3 = 4 а у2 = 1, т. е. сырье третьего вида более дефицитно, чем второго, его условная цена больше. Если производитель продукции имел бы возможность приобретать дополнительно сырье к уже имеющемуся, с целью получения максимального дохода от производства, то увеличив сырье второго вида на единицу, он бы получил дополнительно доход в у2 денежных единиц, с увеличением на единицу сырья третьего вида, значение целевой функции увеличилось бы еще на у3 единицы.
Если перед производителем стоит вопрос, "выгодно ли производить какую-либо продукцию при условии, что затраты на единицу продукции составят 3, 1, 4 единиц 1, 2, 3-го видов сырья соответственно, а прибыль от реализации равна 23 единицам", то в силу экономического истолкования задачи ответить на этот вопрос несложно, поскольку затраты и условные цены ресурсов известны. Затраты равны 3, 1, 4, а цены у1* = 0, у2* = 1, у3* = 4. Значит, можно посчитать суммарную условную стоимость ресурсов, необходимых для производства этой новой продукции: 3 · 0 + 1 · 1 + 4 · 4 = 17 < 23. значит продукцию производить выгодно, т. к. прибыль от реализации превышает затраты на ресурсы, в противном случае ответ бы на этот вопрос был отрицательным.
31.Использование оптимального плана и симплекс-таблицы для определения интервалов чувствительности исходных данных.
32.Использование оптимального плана и симплекс-таблицы для анализа чувствительности целевой функции. Пример.
Транспортная задача и ее свойства. Пример.
Основные понятия. Теоремы сложения и умножения.
Формулы полной вероятности, Бейеса, Бернулли. Теоремы Лапласа.
Вопросы
13. Биноминальный, полиномиальный закон распределения .
Событием в теории вероятностей называют всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта (испытания).
Например: Стрелок стреляет по мишени. Выстрел – испытание, попадание в мишень – событие. События принято обозначать
Единичное случайное событие – следствие очень многих случайных причин, которые очень часто невозможно учесть. Однако, если рассматривать массовые однородные события (многократно наблюдающиеся при осуществлении опыта в одних и тех же условиях), то они оказываются подчиняются определенным закономерностям: если бросать монету в одних и тех же условиях большое число раз, можно с небольшой погрешностью предсказать, что число появлений герба будет равно половине числа бросков.
Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Методы теории вероятностей широко применяются в теориях надежности, стрельбы, автоматического управления и т.д. Теория вероятности служит обоснованием математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов и т.д.
Определения.
1. Если в результате опыта событие
а) всегда произойдет, то - достоверное событие,
б) никогда не наступит, то - невозможные событие,
в) может произойти, то может и не произойти, то - случайное (возможное) событие.
2. События называются равновозможным, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не имеет больше шансов появиться в результате опыта, чем другие.
3. События и - совместные (несовместные), если появление одного из них не исключает (исключает) появление другого.
4. Группа событий совместна, если совместны хотя бы два события из это й группы, иначе – несовместна.
5. Группа событий называется полной, если в результате опыта обязательно наступит одно из них.
Пример 1. По мишени производят три выстрела: Пусть - попадание (промах) при первом выстреле - при втором выстреле, - при третьем выстреле. Тогда
а) - совместная группа равновозможных событий.
б) - полная группа несовместных событий. - событие, противоположное .
в) - полная группа событий.
Классическая и статистическая вероятность
Классический способ определения вероятности применяется для полной группы равновозможных несовместных событий.
Каждое событие этой группы назовем случаем или элементарным исходом. По отношению к каждому событию случаи делятся на благоприятные и неблагоприятные.
Определение 2. Вероятностью события называют величину
где - число случаев, благоприятных появлению события , - общее число равно-возможных в данном опыте случаев.
Пример 2. Брошены две игральные кости. Пусть событие - сумма выпавших очков равна . Найти .
а) Ошибочное решение. Всего возможно 2 случая: и - полная группа несовместных событий. Благоприятен одни случай, т.е. 
Это ошибка, так как и не равновозможные.
б) Всего равновозможных случаев . Благоприятные случаи: выпадение
Слабыми сторонами классического определения являются:
1. - количество случаев конечно.
2. Результат опыта очень часто невозможно представить в виде совокупности элементарных событий (случаев).
3. Трудно указать основания, позволяющие считать случаи равновозможными.
Пусть произведено серия из испытаний.
Определение 3. Относительной частотой события называют величину
где - число испытаний, в которых появилось события , - общее число испытаний.
Длительные наблюдения показали, что в различных опытах при достаточно больших
Изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа, которое назовем статистической вероятностью.
Вероятность обладает следующими свойствами:
Алгебра событий
7.3.1Определения.
8. Суммой или объединением нескольких событий называется событие, состоящее хотя бы одного из них.
9. Произведением нескольких событий, называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Из примера 1. 
- хотя бы одно попадание при трех выстрелах, - попадание при первым и вторым выстрелах и промах при третьем.
Ровно одно попадание.
Не менее двух попаданий.
10. Два события называется независимыми (зависимыми), если вероятность одного из них не зависит (зависит) от появления или не появления другого.
11. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая линейная комбинация из остальных событий, есть события независимые.
12. Условной вероятностью 
называют вероятность события , вычисленного в предположении, что событие произошло.
7.3.2 Теорема умножения вероятностей.
Вероятность совместного появления (произведе-ния) нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленных в предположении, что все предыдущие события имели место
Следствие 1. Если - независимы в совокупности, то
Действительно: так как .
Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что при первом испытании появится белый шар , при втором – черный шар , при третьем – синий шар , если
а) каждый раз шар возвращается в урну.
- в урне после первого испытания шаров из них 4 белых. . Отсюда
б) шар не возвращается в урну. Тогда - независимые в совокупности и
7.3.3 Теорема сложения вероятностей.
Вероятность появления хотя бы одного из событий равна
Следствие 2. Если события попарно несовместные, то
Действительно в этом случае
Пример 4. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при первом выстреле - , при втором - , при третьем - . Найти вероятность хотя бы одного попадания.
Решение. Пусть - попадание при первом выстреле, - при втором, - при третьем, - хотя бы одно попадании при трех встрелах. Тогда , где - совместные независимые в совокупности. Тогда
Следствие 3. Если попарно несовместные события образуют полную группу, то
Следствие 4. Для противоположных событий
Иногда при решении задач легче найти вероятность противоположного события. Например в примере 4 - промах при трех выстрелах. Так как независимые в совокупности, и то
Вероятность проявляет себя, когда один и то же случайный эксперимент проводится много раз, причем так, что результаты уже проведенных экспериментов никак не влияют на последующие. При этих условиях частота наступления события при неограниченном возрастании числа экспериментов стремится к вероятности события.
Рассмотрим случайный эксперимент, заключающийся в том, что подбрасывается игральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее центр тяжести не находится в геометрическом центре. В этом случае мы не можем считать исходы (выпадение единицы, двойки и т.д.) равновероятными. Из физики известно, что кость чаще будет падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например, трех очков? Единственное, что можно сделать, это подбросить эту кость n раз (где n -достаточно большое число, скажем n =1000 или n =5000), подсчитать число выпадений трех очков n 3 и считать вероятность исхода, заключающегося в выпадении трех очков, равной n 3 /n - относительной частоте выпадения трех очков. Аналогичным образом можно определить вероятности остальных элементарных исходов - единицы, двойки, четверки и т.д.
Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии (как в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.
Определение 18.2.2. Относительной частотой события, или частотой , называется отношение
числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события А через W(A), тогда по определению W(A)= m/n ,
где m - число опытов, в которых появилось событие А; n - число всех произведенных опытов.
Частота события обладает следующими свойствами.
1. Частота случайного события есть число, заключенное между нулем
и единицей:
0< W(A) < 1
2. Частота достоверного события Ω равна единице:
W(Ω) = 1
3. Частота невозможного события Ø равна:
W(Ø)=0.
4. Частота суммы двух несовместных событий А и В равна сумме
частот этих событий:
W(A + В) = W(A) + W(B)
Наблюдения позволили установить, что относительная частота обладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях многочленных испытаний (в каждом из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной. эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.
Определение 18.2.3.(Статистической) вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.
Более строго, статистическая вероятность P( w i) определяется как предел относительной частоты появления исхода w i в процессе неограниченного увеличения числа случайных экспериментов n , то есть
где m n (w i ) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного исхода w i .
В случае статистического определения вероятность обладает теми же свойствами, что и вероятность, определенная по классической схеме:
свойствами: 1) вероятность достоверного события равна единице;
2) вероятность невозможного события равна нулю; 3) вероятность
случайного события заключена между нулем и единицей; 4) вероятность
суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Пример . Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 10 бракованных. Какова частота бракованных деталей?
W = 10/500 = 1/50 = 0,2
Геометрическая вероятность
Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.
Пусть эксперимент состоит в случайном выборе точки из некоторой области. Полагаем выбор любой точки равновозможным. Заданную в пространстве область обозначим W. В эксперименте, связанном со случайным выбором только одной точки из W, множество W является пространством элементарных событий. Случайными событиями в этом случае можно считать разные подмножества из W. Будем говорить, что случайное событие А наступило, если наугад выбранная точка x принадлежит подмножеству А, т.е.
Определение 18.2.4.
Пусть W – некоторый отрезок, L – его длина. А – отрезок длины l, принадлежащий W . Событие А состоит в попадании точки, брошенной в большой отрезок в А. Тогда
Аналогично, если множествомW элементарных исходов случайного эксперимента является фигура на плоскости площади S, а область А, ее подмножество, куда может попасть случайно брошенная на W точка, имеет площадь s, соответствующая вероятность события А – попадания в область А тогда
И, наконец, если речь идет об объемных фигурах, соответственно, W объема V и входящей в нее области А объема v
Замечание 18.2.3. . Строго говоря, рассматриваемый здесь подход требует введения более общей характеристики (функции) множества – его меры (mes (A) ), частными случаями которой являются длина, площадь и объем, и тогда вероятность события А будет отношением меры множества А к мере множества W
Пример 1. В квадрат вписан круг. Точка случайным образом бросается в квадрат. Какова вероятность того, что она попадет в круг? Согласно приведенной формуле соответствующая вероятность будет отношением площади круга к площади квадрата.
Пример 2. Два человека обедают в кафе в обеденный перерыв, который начинается у них в одно время и продолжается 1 час, от 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?
Пусть x - время прихода в кафе первого, а y - время прихода второго . Встретиться они могут только тогда, когда оба находятся в кафе.
Если второй пришел не позже первого (x ³ y ), то встреча произойдет при условии 0 £ x - y £ 1/6..
Таким образом, в первом случае нас будет удовлетворять условие y £ x + 1/6 , а во втором
y ≥ x - 1/6 . Область, удовлетворяющая этим двум условиям заштрихована на рис. 2
Иными словами, в терминах геометрической вероятности, вероятность встречи есть отношение площади заштрихованной «полосы» между прямыми y = x + 1/6 и y = x - 1/6 внутри квадрата к площади самого квадрата.
Искомая вероятность p равна отношению площади заштрихованной области к площади всего квадрата.. Площадь квадрата равна единице, а площадь заштрихованной области можно определить как разность единицы и суммарной площади двух треугольников, изображенных на рисунке 7. Отсюда следует:
Для практической деятельности необходимо уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Рассмотрим классический случай. В урне находится 10 шаров, 8 из них белого цвета, 2 черного. Очевидно, что событие «из урны будет извлечен шар белого цвета» и событие «из урны будет извлечен шар черного цвета» обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная количественная мера.
Количественной мерой возможности наступления события является вероятность . Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.
Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Остановимся на этом подробнее.
Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называют элементарными исходами , или случаями . При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн », т.к. любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов.
Исход называется благоприятствующим событию А , если появление этого случая влечет за собой появление события А .
Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов , т.е.
| , | (1.1) |
где Р(А) – вероятность события А ; m – число случаев благоприятствующих событию А ; n – общее число случаев.
Пример 1.1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?
Решение. Все n = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А – «появление четного числа очков» – благоприятствуют 3 исхода (случая) – выпадение 2, 4 или 6 очков. По классической формуле вероятности события получаем
Р(А) = = . ◄
Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства:
1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.
0 ≤ Р (А ) ≤ 1.
2. Вероятность достоверного события равна единице.
3. Вероятность невозможного события равна нулю.
Как было сказано ранее, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения.
Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события «появление герба» и «появление решки» нельзя считать равновозможными. Поэтому формула для определения вероятности по классической схеме в данном случае неприменима.
Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определениевероятности.
Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.
 ,
| (1.2) |
где Р * (А) – статистическая вероятность события А ; w(A) – относительная частота события А ; m – число испытаний, в которых появилось событие А ; n – общее число испытаний.
В отличие от математической вероятности Р(А) , рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р * (А) является характеристикой опытной , экспериментальной . Иначе говоря, статистической вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота w(А) при неограниченном увеличении числа испытаний, проводимых при одном и том же комплексе условий.
Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т.д.), в среднем бывает примерно 95 удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива , т.е. процент попаданий в большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.
Еще одним недостатком классического определения вероятности (1.1 ), ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (рис. 1.1). На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания на нее брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадания брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G , ни от формы g , найдем
Рис. 1.1 Рис 1.2
Пример 1.2. Два студента условились встретиться в определенном месте между 10 и 11 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода между 10 и 11 часами.
Решение. Обозначим моменты прихода в определенное место первого и второго студентов соответственно через x и y . В прямоугольной системе координат Oxy возьмем за начало отсчета 10 часов, а за единицу измерения – 1 час. По условию 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OKLM со стороной, равной 1 (рис. 1.2). Событие А – встреча двух студентов – произойдет, если разность между x и не y превзойдет 1/4 часа (по абсолютной величине), т.е. |y – x | ≤ 0,25.
Решение этого неравенства есть полоса x – 0,25 ≤ y ≤ x + 0,25, которая внутри квадрата G представляет заштрихованную область g . По формуле (1.3)
