Mühazirə №1
Giriş. Riyazi modellər və üsullar anlayışı
Bölmə 1 Giriş
2. Riyazi modellərin qurulması üsulları. Sistemli yanaşma anlayışı. bir
3. Əsas anlayışlar riyazi modelləşdirmə iqtisadi sistemlər.. 4
4. Analitik, simulyasiya və təbii modelləşdirmə üsulları. beş
Təhlükəsizlik sualları... 6
Bu intizam modelləşdirmə üsullarının öyrənilməsinə və praktik tətbiq biliklər əldə etmişdir. Fənnin məqsədi tələbələrə modelləşdirmə nəzəriyyəsinin ümumi məsələlərini, riyazi modellərin qurulması üsullarını və proseslərin və obyektlərin formal təsvirini, müasir hesablama vasitələrindən istifadə etməklə hesablama təcrübələrinin aparılması üçün riyazi modellərdən istifadəni və optimallaşdırma məsələlərinin həllini öyrətməkdən ibarətdir.
İntizamın vəzifələrinə aşağıdakılar daxildir:
Tələbələri riyazi modelləşdirmə nəzəriyyəsinin əsas anlayışları, sistemlər nəzəriyyəsi, oxşarlıq nəzəriyyəsi, eksperimentin planlaşdırılması nəzəriyyəsi və riyazi modellərin qurulması üçün istifadə olunan eksperimental məlumatların emalı ilə tanış etmək,
Şagirdlərə modelləşdirmə məsələsinin qoyulması, obyektlərin/proseslərin riyazi təsviri, riyazi modellərin kompüterdə həyata keçirilməsinin ədədi üsulları və optimallaşdırma məsələlərinin həlli sahəsində bacarıqlar vermək.
İntizamın öyrənilməsi nəticəsində tələbə məsələnin qoyulmasından tutmuş kompüterdə riyazi modellərin həyata keçirilməsinə və modellərin öyrənilməsinin nəticələrinin təqdim edilməsinə qədər proseslərin və obyektlərin riyazi modelləşdirilməsi üsullarını mənimsəməlidir.
İntizam kursu 12 mühazirə və 12 praktik iş üçün nəzərdə tutulmuşdur. İntizamın öyrənilməsi nəticəsində tələbə problemin tərtibindən tutmuş riyazi modellərin kompüterdə həyata keçirilməsinə qədər riyazi modelləşdirmə üsullarını mənimsəməlidir.
5. Problemin həlli.
Əməliyyat tədqiqatı metodlarının ardıcıl istifadəsi və onların müasir informasiya və kompüter texnologiyalarında tətbiqi subyektivizmi dəf etməyə, obyektiv şəraitin ciddi və dəqiq nəzərə alınmasına deyil, təsadüfi duyğulara və şəxsi maraqlara əsaslanan sözdə iradi qərarları istisna etməyə imkan verir. üstəlik, bu könüllü qərarlarla razılaşa bilməyən müxtəlif səviyyəli menecerlər.
Sistem təhlili idarə olunan obyekt haqqında bütün mövcud məlumatları nəzərə almağa və idarəetmədə istifadə etməyə, qəbul edilən qərarları subyektiv deyil, səmərəlilik meyarı baxımından əlaqələndirməyə imkan verir. Maşın sürərkən hesablamalara qənaət etmək, atış zamanı hədəfə qənaət etmək kimidir. Bununla belə, kompüter təkcə bütün məlumatları nəzərə almağa imkan vermir, həm də meneceri lazımsız məlumatlardan xilas edir və bütün zəruri məlumatların insandan yan keçməsinə imkan verir, ona yalnız ən ümumiləşdirilmiş məlumatları, kvintessensiyanı təqdim edir. İqtisadiyyatda sistemli yanaşma tədqiqat metodu kimi kompüterdən istifadə etmədən öz-özlüyündə effektivdir, eyni zamanda əvvəllər kəşf edilmiş iqtisadi qanunları dəyişdirmir, yalnız onlardan daha yaxşı istifadə etməyi öyrədir.
Modelləşdirmədir güclü üsul elmi bilik, ondan istifadə edərkən öyrənilən obyekt model adlanan daha sadə obyektlə əvəz olunur. Modelləşdirmə prosesinin əsas növləri onun iki növü hesab edilə bilər - riyazi və fiziki modelləşdirmə. Fiziki (təbii) modelləşdirmədə tədqiq olunan sistem ona uyğun başqası ilə əvəz olunur maddi sistem, tədqiq olunan sistemin xassələrini onların fiziki təbiətini qorumaqla təkrar istehsal edən. Bu tip modelləşdirməyə misal olaraq müəyyən kompüterlər, rabitə cihazları, əməliyyat sistemləri və proqramlar əsasında şəbəkənin qurulmasının fundamental imkanlarını öyrənmək üçün istifadə edilən pilot şəbəkəni göstərmək olar.
Fiziki modelləşdirmənin imkanları olduqca məhduddur. Sistemin öyrənilən parametrlərinin az sayda kombinasiyasını təyin etməklə fərdi problemləri həll etməyə imkan verir. Həqiqətən də, kompüter şəbəkəsinin təbii simulyasiyasında onun müxtəlif növ rabitə cihazlarından - marşrutlaşdırıcılardan, açarlardan və s. -dən istifadə etməklə onun işləməsini yoxlamaq demək olar ki, mümkün deyil. fərqli növlər marşrutlaşdırıcılar yalnız böyük səylər və vaxt xərcləri ilə deyil, həm də əhəmiyyətli maddi xərclərlə əlaqələndirilir.
Lakin şəbəkə optimallaşdırılması cihazların və əməliyyat sistemlərinin növlərini deyil, yalnız onların parametrlərini dəyişdirdiyi hallarda belə, yaxın gələcəkdə bu parametrlərin çoxlu sayda müxtəlif birləşmələri üçün real vaxt təcrübələri aparmaq praktiki olaraq mümkün deyil. İstənilən protokolda maksimum paket ölçüsündə sadə bir dəyişiklik belə şəbəkədəki yüzlərlə kompüterdə əməliyyat sisteminin yenidən konfiqurasiyasını tələb edir ki, bu da şəbəkə administratorundan çox iş tələb edir.
Buna görə də, şəbəkələri optimallaşdırarkən, bir çox hallarda riyazi modelləşdirməyə üstünlük verilir. Riyazi model, sistemin parametrlərindən, giriş siqnallarından, sistemin vəziyyətinin dəyişməsi prosesini təyin edən əlaqələr məcmusudur (düsturlar, tənliklər, bərabərsizliklər, məntiqi şərtlər). ilkin şərtlər və vaxt.
Simulyasiya modelləri riyazi modellərin xüsusi sinfidir. Belə modellər real sistemdə baş verən hadisələri addım-addım təkrar edən kompüter proqramıdır. Kompüter şəbəkələrinə gəldikdə, onların simulyasiya modelləri proqramlar tərəfindən mesajların yaradılması, mesajların paketlərə və müəyyən protokolların çərçivələrinə bölünməsi, əməliyyat sistemi daxilində mesajların, paketlərin və çərçivələrin emalı ilə bağlı gecikmələr, giriş əldə etmək prosesini təkrarlayır. kompüteri ortaq şəbəkə mühitinə, daxil olan paketlərin marşrutlaşdırıcı tərəfindən emalı prosesi və s. avadanlıq.
Simulyasiya modellərinin üstünlüyü tədqiq olunan sistemdə real vaxt rejimində hadisələrin dəyişdirilməsi prosesini proqramın sürətində hadisələrin dəyişdirilməsinin sürətləndirilmiş prosesi ilə əvəz etmək imkanıdır. Nəticədə, bir neçə dəqiqədən sonra şəbəkənin işini bir neçə gün ərzində təkrarlaya bilərsiniz ki, bu da şəbəkənin işini qiymətləndirməyə imkan verir. geniş diapazon dəyişən parametrlər.
Simulyasiya modelinin nəticəsi şəbəkənin ən vacib xüsusiyyətləri üzrə baş verən hadisələrin monitorinqi zamanı toplanmış statistik məlumatlardır: cavab müddətləri, kanalların və qovşaqların istifadə dərəcələri, paket itkisi ehtimalı və s.
Yaratma prosesini asanlaşdıran xüsusi simulyasiya dilləri var proqram modeli universal proqramlaşdırma dillərindən istifadə ilə müqayisədə. Simulyasiya dillərinə misal olaraq SIMULA, GPSS, SIMDIS kimi dilləri göstərmək olar.
Tədqiq olunan sistemlərin dar sinfinə diqqət yetirən və proqramlaşdırmadan modellər qurmağa imkan verən simulyasiya modelləşdirmə sistemləri də mövcuddur.
S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV
SİSTEM MODELLEŞMESİ
Dərslik
Federal Təhsil Agentliyi
dövlət Təhsil müəssisəsi ali peşə təhsili
İvanovo Dövlət Kimya Texnologiya Universiteti
Beynəlxalq Universitet Biznes və Yeni Texnologiyalar (İnstitut)
S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV
SİSTEM MODELLEŞMESİ
Universitet tələbələri üçün.
Bobkov S.P. Modelləşdirmə sistemləri: dərslik. müavinət / S.P. Bobkov,
ƏVVƏL. Bytev; İvan. dövlət kimyəvi-texnoloji un-t. - İvanovo, 2008. - 156 s. - ISBN
Hədəf təhsil bələdçisi- tələbələrə texniki və texno-iqtisadi sistemlərin və obyektlərin modelləşdirilməsinin müasir üsulları haqqında ümumi təsəvvür yaratmaq.
Bələdçi əhatə edir ümumi məsələlər və müasir üsullar
modelləşdirmə məntiqi, davamlı və diskret deterministik
obyektləri və sistemləri bölmək, stokastik modellər diskret və davamlı zamanla. Ehtimal xarakteristikalarına malik sistemlərin simulyasiya modelləşdirilməsi üsullarına çox diqqət yetirilir. Digər modelləşdirmə yanaşmalarına ümumi baxış verilir. mürəkkəb sistemlər, informasiya-entropiya, istifadə kimi neyron şəbəkələri və Petri şəbəkələri.
Dərslik 080801 “Tətbiqi informatika” və 230201 hazırlıq ixtisasları üzrə təhsil alan tələbələr üçün nəzərdə tutulub.
« İnformasiya sistemləri və texnologiya". Bundan əlavə, vəsait digər ixtisas və istiqamətlərin tələbələri üçün də faydalı ola bilər.
Cədvəl 7. Il.92. Biblioqrafiya: 10 ad.
İvanov redaksiya və nəşriyyat şurasının qərarı ilə nəşr edilmişdir.
Dövlət Kimya Texnologiyaları Universiteti.
Rəyçilər:
İvanovo Dövlət Energetika Universitetinin tətbiqi riyaziyyat kafedrası; Fizika-riyaziyyat elmləri doktoru V.A. Sokolov, (Yaroslavl Dövlət Universiteti).
ISBN 5-9616-0268-6 © İvanovo Dövlət Kimya Texnologiyaları Universiteti, 2008
1.5. Riyazi modelləşdirmə sxemi anlayışı. . . . . . . . . . . . . . 12
1.6. Riyazi modellərin yaradılmasının ümumi metodologiyası. . . . . . . . . . . 13
1.7. Yaradılışa sistemli yanaşmanın əsas anlayışları
riyazi modellər. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. DƏTERMİNİSTİK MODELLƏR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iyirmi
2.1. Texniki obyektlərin riyazi modelləri. . . . . . . . . . . . . . . iyirmi
2.1.1. Obyektlərin komponent funksional tənlikləri. . . . . iyirmi
2.1.2. Faza dəyişənləri və onların analoqları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.3. Topoloji tənliklər. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.4. Texniki obyektlərin modellərinin yaradılması nümunələri. . . . . . . 25
2.1.5. Texnoloji cihazların modelləri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Sonlu avtomatlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1. Sonlu avtomat anlayışı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2. Sonlu avtomatların təsviri üsulları və sinifləri. . . . . . . . 32
2.2.3. Sonlu avtomatların digər növləri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3. STOXASTİK MODELLƏR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1. Markov nəzəriyyəsinin elementləri təsadüfi proseslər. . . . . . . . . . . 39
3.1.1. Təsadüfi proses anlayışı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2. Diskret Markov zəncirləri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.3. Stasionar ehtimal paylanması. . . . . . . . . . . . . 43
3.1.4. Davamlı Markov zəncirləri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.5. A.N. Kolmoqorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.6. Hadisə axınları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2. Növbə nəzəriyyəsinin əsasları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1. QS-nin ümumiləşdirilmiş blok diaqramı. Parametrlər
və xüsusiyyətləri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2. Gözləmə və xəstə iddiaları ilə açıq dövrəli QS. 58
3.2.3. Açıq QS variantlarını məhdudlaşdırın. . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.4 Açıq QS-nin ümumi halı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.5. Qapalı QS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.6. Növbə şəbəkələri
sadə hadisə axınları ilə. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3. Ehtimallı avtomatlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
| 4. SİMULASYON MODELLEŞMESİ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.1. Simulyasiya metodunun tərifi. . . . . . . . . . | |
| 4.2. Simulyasiya modelləşdirməsinin əsas anlayışları. . . . . . . . . . . . | |
| 4.3. Simulyasiya modelləşdirməsinin əsas mərhələləri. . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.4. Simulyasiya modellərində vaxt. Psevdoparalellik. . . . . . . . . . | |
| 4.5. Ümumiləşdirilmiş simulyasiya alqoritmləri. . . . . . . | |
| 4.6. Təsadüfi amillərin modelləşdirilməsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.1. Əsas təsadüfi dəyişənlərin modelləşdirilməsi. . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.2. Davamlı təsadüfi dəyişənlərin simulyasiyası | |
| -dan ixtiyari paylama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.3. Diskret təsadüfi dəyişənlərin modelləşdirilməsi. . . . . . . . . | |
| 4.6.4. Modelləşdirmə təsadüfi hadisələr və onların axınları. . . . . . . | |
| 4.7 Təsadüfi proseslərin modelləşdirilməsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.7.1 Diskret Markov zəncirləri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.7.2 Davamlı Markov zəncirləri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.8. Simulyasiya nəticələrinin emalı və təhlili. | |
| 4.8.1. Ehtimal parametrlərinin qiymətləndirilməsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.8.2. Korrelyasiya parametrlərinin qiymətləndirilməsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.8.3. QS parametrlərinin vaxta görə hesablanması. . . . . . . . . . . . | |
| 4.9. Simulyasiya modelləri ilə təcrübələrin planlaşdırılması. . . . . | |
| 4.10. Ümumi problemlər simulyasiya modelləşdirmə. . . . . . . . . . . . | |
| 5. MODELLEŞMƏYƏ ALTERNATİV YANAŞMALARIN BƏYƏNDİRİLMƏSİ | |
| KOMPLEKS SİSTEMLƏR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1. Petri şəbəkələri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1.1. Petri şəbəkəsinin tərifi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1.2. Petri şəbəkəsinin işləməsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1.3. Petri şəbəkələrinin təhlili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2. Neyron şəbəkələri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.1. Neyron şəbəkə anlayışı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.2. süni neyron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.3. Süni aktivləşdirmə funksiyalarının əsas növləri | |
| neyronlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.4. Sadə neyron şəbəkələrinin növləri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.5. Təkrarlanan və özünü təşkil edən neyron şəbəkələri. . . | |
| 5.2.6. Neyron şəbəkələrdən istifadəyə dair ümumi qeydlər. . . . | |
| 5.3. Sistemin modelləşdirilməsinə informasiya-entropiya yanaşması | |
| TÖVSİYƏ EDİLƏN ƏDƏBİYYAT SİYAHISI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| . . . . . . . . . |
GİRİŞ
Modelləşdirmə ətraf aləm haqqında bilik əldə etmək və istifadə etmək üçün universal bir üsuldur. Modelləşdirmə insan tərəfindən həmişə məqsədyönlü fəaliyyətlərdə, xüsusən də tədqiqatlarda istifadə olunur. Müasir şəraitdə riyazi modelləşdirmənin rolu və əhəmiyyəti artır ki, bu da kompüter texnologiyasının inkişafı ilə tez-tez kompüter modelləşdirməsi adlanır.
Riyazi (kompüter) modellər öz məntiqliliyinə və ciddi formal xarakterinə görə tədqiq olunan sistemlərin xassələrini müəyyən edən əsas amilləri müəyyən etməyə və onların xarici təsirlərə və parametrlərin dəyişməsinə reaksiyalarını öyrənməyə imkan verir. Çox vaxt riyazi modellərin istifadəsi təbii (fiziki) modellərdən daha asan və daha rahat olur. Onlar real tərtibi çətin və ya qeyri-mümkün olan hesablama təcrübələrini həyata keçirməyə imkan verir.
Riyazi modelləşdirmənin əsas prinsiplərinin öyrənilməsi texniki fəaliyyət sahələrində mütəxəssislərin hazırlanmasının tərkib hissəsidir. Obyekt və sistemlərin modelləşdirilməsinin əsas aspektlərinin öyrənilməsi ilə bağlı fənlər müvafiq fənlərə daxildir təhsil planları, federal təhsil standartlarının tərkib hissəsidir.
Bu dərsliyin məqsədi ardıcıl təqdimatdır müasir üsullar modelləşdirmə. Dərs vəsaiti əsasən “İnformasiya sistemləri” və “Tətbiqi informatika (sahələr üzrə”) ixtisas və istiqamətləri üzrə təhsil alan tələbələr üçün nəzərdə tutulub.Lakin texniki ali məktəblərdə bu cür fənlərin tədrisi təcrübəsini nəzərə alaraq, müəlliflər məhdudlaşmamağı məqsədəuyğun hesab ediblər. yalnız sistemlər üzrə məlumatları nəzərə almaqla yanaşı, mətnə texniki və texniki və iqtisadi sistemlər və obyektlər.
Təlimat materialı aşağıdakı kimi qurulmuşdur. Birinci fəsildə ümumi məsələlərdən və müasir modelləşdirmə metodologiyasından, riyazi modellərin yaradılmasında sistemli yanaşmadan istifadədən bəhs edilir. İkinci fəsil obyektlərin və sistemlərin davamlı və diskret deterministik modellərinin nəzərdən keçirilməsinə həsr edilmişdir. Müxtəlif fiziki təbiətli texniki obyektlərin modellərinin sintezində və təhlilində analogiya metodundan istifadə edilməsi təklif olunur. Üçüncü fəsildə diskret və davamlı vaxta malik stoxastik modellər öyrənilir. Təlimatda dördüncü fəslin məzmunu olan ehtimal xarakteristikalarına malik sistemlərin simulyasiya modelləşdirilməsi üsullarına çox diqqət yetirilir. Beşinci fəsildə informasiya-entropiya, neyron şəbəkələrindən və Petri şəbəkələrindən istifadə kimi mürəkkəb sistemlərin modelləşdirilməsinə digər yanaşmalar haqqında ümumi məlumat verilir.
RİYASİ MODELLEŞMƏNİN ÜMUMİ ANLAYIŞLARI
XX əsrin ortalarından bəri. insan fəaliyyətinin müxtəlif sahələrində riyazi üsullardan və kompüterlərdən geniş istifadə olunmağa başladı. Müvafiq obyekt və hadisələrin riyazi modellərini, habelə bu modellərin öyrənilməsi üsullarını öyrənən “riyazi iqtisadiyyat”, “riyazi kimya”, “riyazi dilçilik” və s. kimi yeni fənlər yaranmışdır.
Riyazi model real aləmin hər hansı bir hadisə və ya obyektinin riyaziyyat dili ilə təxmini təsviridir. Modelləşdirmənin əsas məqsədi bu obyektləri tədqiq etmək və gələcək müşahidələrin nəticələrini proqnozlaşdırmaqdır. Bununla belə, modelləşdirmə həm də ətraf aləmi dərk etmək üsuludur ki, bu da onu idarə etməyə imkan verir.
Riyazi modelləşdirmə və əlaqəli kompüter təcrübəsi bu və ya digər səbəbdən tam miqyaslı təcrübənin qeyri-mümkün və ya çətin olduğu hallarda əvəzolunmazdır. Məsələn, tarixdə “əgər... nə olardı” yoxlamaq üçün tam miqyaslı təcrübə qurmaq mümkün deyil, bu və ya digər kosmoloji nəzəriyyənin düzgünlüyünü yoxlamaq mümkün deyil. Prinsipcə, vəba kimi bəzi xəstəliklərin yayılması ilə bağlı təcrübə qurmaq və ya həyata keçirmək mümkündür, lakin ağlabatan deyil. nüvə partlayışı onun təsirlərini öyrənmək. Ancaq bütün bunları əvvəllər tədqiq olunan hadisələrin riyazi modellərini quraraq kompüterdə etmək olar.
1) Modelin qurulması. Bu mərhələdə hansısa “riyazi olmayan” obyekt qoyulur – təbiət hadisəsi, tikinti, iqtisadi plan, istehsal prosesi və s. Eyni zamanda, bir qayda olaraq, vəziyyətin aydın təsviri çətindir. Birincisi, fenomenin əsas xüsusiyyətləri və onlar arasında keyfiyyət səviyyəsində əlaqə müəyyən edilir. Sonra tapılan keyfiyyət asılılıqları riyaziyyatın dilində tərtib edilir, yəni riyazi model qurulur. Bu modelləşdirmənin ən çətin hissəsidir.
2) Modelin gətirdiyi riyazi məsələnin həlli. Bu mərhələdə problemin kompüterdə həlli üçün alqoritmlərin və ədədi üsulların işlənib hazırlanmasına böyük diqqət yetirilir, onların köməyi ilə nəticə tələb olunan dəqiqliklə və icazə verilən müddətdə tapıla bilər.
3) Riyazi modeldən alınan nəticələrin şərhi. Riyaziyyat dilində modeldən alınan nəticələr bu sahədə qəbul edilən dildə şərh olunur.
4) Modelin adekvatlığının yoxlanılması. Bu mərhələdə təcrübənin nəticələrinin müəyyən dəqiqlik daxilində modeldən gələn nəzəri nəticələrlə uyğun olub-olmaması müəyyən edilir.
5) Modelin modifikasiyası. Bu mərhələdə ya model reallığa daha adekvat olması üçün mürəkkəbləşir, ya da praktiki olaraq məqbul həllə nail olmaq üçün sadələşdirilir.
Modellər müxtəlif meyarlara görə təsnif edilə bilər. Məsələn, həll olunan problemlərin xarakterinə görə modelləri funksional və struktura bölmək olar. Birinci halda, bir hadisəni və ya obyekti xarakterizə edən bütün kəmiyyətlər kəmiyyətcə ifadə edilir. Eyni zamanda onların bəziləri müstəqil dəyişənlər, digərləri isə bu kəmiyyətlərin funksiyaları kimi qəbul edilir. Riyazi model adətən nəzərdən keçirilən kəmiyyətlər arasında kəmiyyət əlaqələri quran müxtəlif tipli (diferensial, cəbri və s.) tənliklər sistemidir. İkinci halda, model ayrı-ayrı hissələrdən ibarət mürəkkəb obyektin strukturunu xarakterizə edir, onların arasında müəyyən əlaqələr mövcuddur. Tipik olaraq, bu əlaqələr kəmiyyətlə ölçülə bilməz. Belə modelləri qurmaq üçün qrafik nəzəriyyəsindən istifadə etmək rahatdır. Qrafik müstəvidə və ya fəzada bəziləri xətlərlə (kənarlarla) birləşdirilən nöqtələrin (təpələrin) məcmusu olan riyazi obyektdir.
İlkin məlumatların və proqnoz nəticələrinin xarakterinə görə modelləri deterministik və ehtimal-statistika bölmək olar. Birinci tip modellər qəti, birmənalı proqnozlar verir. İkinci tip modellər statistik məlumatlara əsaslanır və onların köməyi ilə alınan proqnozlar ehtimal xarakteri daşıyır.
1) Mərminin hərəkəti ilə bağlı problemlər.
Mexanikada aşağıdakı problemi nəzərdən keçirin.
Mərmi Yerdən onun səthinə a = 45° bucaq altında v 0 = 30 m/s ilkin sürətlə buraxılır; onun hərəkət trayektoriyasını və bu trayektoriyanın başlanğıc və son nöqtələri arasındakı S məsafəsini tapmaq tələb olunur.
Sonra, məktəb fizikası kursundan məlum olduğu kimi, mərminin hərəkəti düsturlarla təsvir olunur:
burada t - vaxt, g = 10 m / s 2 - sərbəst düşmə sürəti. Bu düsturlar tapşırığın riyazi modelini verir. Birinci tənlikdən t-ni x baxımından ifadə edərək ikinci tənlikdə əvəz etdikdə mərminin trayektoriyası üçün tənliyi alırıq:
Bu əyri (parabola) x oxunu iki nöqtədə kəsir: x 1 \u003d 0 (traektoriyanın başlanğıcı) və 
(mərminin düşdüyü yer). Verilmiş v0 və a dəyərlərini alınan düsturlara əvəz edərək əldə edirik
cavab: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.
Qeyd edək ki, bu modelin qurulmasında bir sıra fərziyyələrdən istifadə olunub: məsələn, Yerin düz olduğu, havanın və Yerin fırlanmasının mərminin hərəkətinə təsir göstərmədiyi güman edilir.
2) Ən kiçik səth sahəsi olan bir tank problemi.
Həcmi V = 30 m 3 olan qalay çənin hündürlüyünü h 0 və radius r 0 tapmaq lazımdır, qapalı dairəvi silindr şəklinə malikdir, onun səth sahəsi S minimaldır (bu vəziyyətdə ən kiçik istehsalı üçün qalay miqdarı istifadə olunacaq).
Gəlin yazaq aşağıdakı düsturlar hündürlüyü h və radiusu r olan silindrin həcmi və səth sahəsi üçün:
V = p r 2 h, S = 2p r (r + h).
Birinci düsturdan h-ni r və V ilə ifadə edərək və nəticədə alınan ifadəni ikinci ilə əvəz etməklə, əldə edirik:
Beləliklə, riyazi nöqteyi-nəzərdən problem S(r) funksiyasının minimuma çatdığı r-nin qiymətini təyin etməyə qədər azaldılır. Törəmə olan r 0 dəyərlərini tapaq
sıfıra enir: 
r arqumenti r 0 nöqtəsindən keçəndə S(r) funksiyasının ikinci törəməsinin işarəsini mənfidən artıya dəyişdiyini yoxlaya bilərsiniz. Deməli, S(r) funksiyası r0 nöqtəsində minimuma malikdir. Müvafiq dəyər h 0 = 2r 0 . Verilmiş V dəyərini r 0 və h 0 ifadəsinə əvəz edərək, istədiyimiz radiusu alırıq. 
və hündürlük 
3) Nəqliyyat tapşırığı.
Şəhərdə iki un anbarı və iki çörək sexi fəaliyyət göstərir. Hər gün birinci anbardan 50 ton, ikincidən 70 ton, birinciyə 40 ton, ikinciyə 80 ton un ixrac olunur.
ilə işarələyin a ij 1 ton unun i-ci anbardan daşınmasının dəyəri j-ci bitki(i, j = 1.2). Qoy olsun
a 11 \u003d 1,2 p., a 12 \u003d 1,6 p., a 21 \u003d 0,8 p., a 22 = 1 səh.
Daşınma necə planlaşdırılmalıdır ki, onların dəyəri minimal olsun?
Məsələnin riyazi formulunu verək. Birinci anbardan birinci və ikinci zavodlara, x 3 və x 4 ilə isə ikinci anbardan birinci və ikinci zavodlara daşınacaq unun miqdarını müvafiq olaraq x 1 və x 2 ilə işarə edək. Sonra:
x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)
Bütün daşımaların ümumi dəyəri düsturla müəyyən edilir
f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.
Riyazi nöqteyi-nəzərdən tapşırıq bütün verilmiş şərtləri ödəyən və f funksiyasının minimumunu verən dörd x 1 , x 2 , x 3 və x 4 ədədlərini tapmaqdan ibarətdir. xi (i = 1, 2, 3, 4) ilə əlaqədar (1) tənliklər sistemini naməlumların aradan qaldırılması üsulu ilə həll edək. Bunu anlayırıq
x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)
və x 4 unikal olaraq təyin edilə bilməz. x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4) olduğundan (2) tənliklərindən belə çıxır ki, 30J x 4 J 70. x 1 , x 2 , x 3 ifadəsini f düsturunda əvəz edərək, alırıq.
f \u003d 148 - 0,2x 4.
Bu funksiyanın minimumunun mümkün olan maksimum x 4 dəyərində, yəni x 4 = 70-də əldə edildiyini görmək asandır. Digər naməlumların müvafiq dəyərləri (2) düsturları ilə müəyyən edilir: x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.
4) Radioaktiv parçalanma problemi.
N(0) radioaktiv maddənin atomlarının ilkin sayı, N(t) isə t zamanında parçalanmamış atomların sayı olsun. Eksperimental olaraq müəyyən edilmişdir ki, bu atomların sayının dəyişmə sürəti N "(t) N (t) ilə mütənasibdir, yəni N" (t) \u003d -l N (t), l > 0-dır. müəyyən bir maddənin radioaktivlik sabiti. Məktəb riyazi analiz kursunda göstərilir ki, bu diferensial tənliyin həlli N(t) = N(0)e –l t formasına malikdir. İlkin atomların sayının iki dəfə azaldığı T vaxtı yarımparçalanma dövrü adlanır və maddənin radioaktivliyinin mühüm xarakteristikasıdır. T-ni təyin etmək üçün düstur qoymaq lazımdır 
Sonra 
Məsələn, radon üçün l = 2,084 10-6 və buna görə də T = 3,15 gün.
5) Səyahət edən satıcı problemi.
A 1 şəhərində yaşayan səyyar satıcı A 2, A 3 və A 4 şəhərlərinə, hər bir şəhərə tam olaraq bir dəfə baş çəkməli və sonra A 1-ə qayıtmalıdır. Məlumdur ki, bütün şəhərlər cüt-cüt yollarla bağlıdır və A i və A j şəhərləri arasında b ij yollarının uzunluqları (i, j = 1, 2, 3, 4) aşağıdakı kimidir:
b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.
Müvafiq yolun uzunluğunun minimal olduğu şəhərləri ziyarət etmək qaydasını müəyyən etmək lazımdır.
Gəlin hər bir şəhəri təyyarədə bir nöqtə kimi təsvir edək və onu müvafiq etiket Ai (i = 1, 2, 3, 4) ilə qeyd edək. Bu nöqtələri xətt seqmentləri ilə birləşdirək: onlar şəhərlər arasındakı yolları təsvir edəcəklər. Hər bir “yol” üçün onun uzunluğunu kilometrlərlə göstəririk (şək. 2). Nəticə bir qrafikdir - müstəvidə müəyyən nöqtələr toplusundan (təpə nöqtələri adlanır) və bu nöqtələri birləşdirən müəyyən xətlər dəstindən (kənar adlanır) ibarət riyazi obyekt. Üstəlik, bu qrafik etiketlənir, çünki bəzi etiketlər onun təpələrinə və kənarlarına - nömrələrə (kənarlara) və ya simvollara (təpələrə) təyin olunur. Qrafikdə dövr V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 təpələrinin elə ardıcıllığıdır ki, V 1 , ..., V k təpələri fərqli olsun və istənilən cüt V i , V təpələri i+1 (i = 1, ..., k – 1) və V 1 , V k cütü kənar ilə birləşir. Beləliklə, nəzərdən keçirilən problem bütün kənar çəkilərinin cəminin minimal olduğu dörd təpənin hamısından keçən qrafikdə belə bir dövrü tapmaqdır. Dörd təpədən keçən və A 1-dən başlayaraq bütün müxtəlif dövrləri axtaraq:
1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .
İndi bu dövrələrin uzunluqlarını (km-lə) tapaq: L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Deməli, ən kiçik uzunluğun marşrutu birincidir.
Qeyd edək ki, qrafikdə n təpə varsa və bütün təpələr cüt-cüt kənarlarla birləşdirilirsə (belə qrafik tam adlanır), onda bütün təpələrdən keçən dövrlərin sayı bərabərdir.Ona görə də bizim vəziyyətimizdə tam olaraq üç dövr var. .
6) Maddələrin quruluşu və xassələri arasında əlaqənin tapılması məsələsi.
Normal alkanlar adlanan bir neçə kimyəvi birləşməni nəzərdən keçirək. Onlar n = 3 üçün Şəkil 3-də göstərildiyi kimi bir-birinə bağlı olan n karbon atomundan və n + 2 hidrogen atomundan (n = 1, 2 ...) ibarətdir. Bu birləşmələrin qaynama nöqtələrinin eksperimental qiymətləri məlum olsun:
y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.
Bu birləşmələr üçün qaynama nöqtəsi ilə n ədədi arasında təxmini əlaqə tapmaq tələb olunur. Güman edirik ki, bu asılılıq formaya malikdir
y » a n+b
harada a, b - təyin ediləcək sabitlər. Tapmaq üçün a və b bu düsturda ardıcıl olaraq n = 3, 4, 5, 6 və qaynama nöqtələrinin müvafiq dəyərlərini əvəz edirik. Bizdə:
– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.
Ən yaxşısını müəyyən etmək üçün a və b çoxdur müxtəlif üsullar. Onlardan ən sadəindən istifadə edək. b ilə ifadə edirik a bu tənliklərdən:
b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.
İstənilən b kimi bu dəyərlərin arifmetik ortasını götürək, yəni b » 16 - 4,5 qoyuruq. a. Bu dəyəri b-ni ilkin tənliklər sisteminə əvəz edək və hesablayırıq a, üçün alırıq a aşağıdakı dəyərlər: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a bu ədədlərin orta qiymətini, yəni qoyuruq a» 34. Deməli, istənilən tənlik formaya malikdir
y » 34n – 139.
Modelin düzgünlüyünü ilkin dörd birləşmədə yoxlayaq, bunun üçün əldə edilən düsturdan istifadə edərək qaynama nöqtələrini hesablayırıq:
y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.
Beləliklə, bu birləşmələr üçün bu xüsusiyyətin hesablama xətası 5 ° -dən çox deyil. Yaranan tənlikdən ilkin çoxluğa daxil olmayan n = 7 olan birləşmənin qaynama temperaturunu hesablamaq üçün istifadə edirik, bunun üçün bu tənliyə n = 7 əvəz edirik: y р (7) = 99°. Nəticə kifayət qədər dəqiq oldu: məlumdur ki, qaynama nöqtəsinin eksperimental qiyməti y e (7) = 98°-dir.
7) Elektrik dövrəsinin etibarlılığının təyini problemi.
Burada ehtimal modelinin bir nümunəsini nəzərdən keçiririk. Əvvəlcə ehtimal nəzəriyyəsindən - təcrübənin təkrar təkrarlanması zamanı müşahidə olunan təsadüfi hadisələrin qanunauyğunluqlarını öyrənən riyazi intizamdan bəzi məlumatlar verək. Təsadüfi hadisəni A bəzi təcrübənin mümkün nəticəsi adlandıraq. A 1 , ..., A k hadisələri təcrübə nəticəsində onlardan biri mütləq baş verərsə, tam qrup təşkil edir. Eyni təcrübədə eyni vaxtda baş verə bilməyən hadisələr uyğunsuz adlanır. Təcrübənin n-qat təkrarı zamanı A hadisəsi m dəfə baş versin. A hadisəsinin tezliyi W = ədədidir. Aydındır ki, W-nin dəyərini bir sıra n təcrübə həyata keçirməyənə qədər dəqiq proqnozlaşdırmaq mümkün deyil. Lakin təsadüfi hadisələrin təbiəti elədir ki, praktikada bəzən aşağıdakı effekt müşahidə olunur: təcrübələrin sayının artması ilə qiymət praktiki olaraq təsadüfi olmağı dayandırır və təsadüfi olmayan bəzi P(A) ədədi ətrafında sabitləşir. hadisəsinin ehtimalı A. Qeyri-mümkün hadisə üçün (təcrübədə heç vaxt baş vermir) P(A)=0, müəyyən hadisə üçün (təcrübədə həmişə baş verən) P(A)=1. Əgər A 1 , ..., A k hadisələri uyğun gəlməyən hadisələrin tam qrupunu təşkil edirsə, onda P(A 1)+...+P(A k)=1.
Məsələn, təcrübə zər atmaqdan və atılan xalların sayını X müşahidə etməkdən ibarət olsun. Sonra aşağıdakı təsadüfi hadisələri təqdim edə bilərik A i =(X = i), i = 1, ..., 6. Onlar əmələ gətirirlər. uyğun olmayan bərabər ehtimallı hadisələrin tam qrupu, buna görə də P(A i) = (i = 1, ..., 6).
A və B hadisələrinin cəmi A+B hadisəsidir ki, təcrübədə onlardan ən azı birinin baş verməsindən ibarətdir. A və B hadisələrinin məhsulu bu hadisələrin eyni vaxtda baş verməsindən ibarət olan AB hadisəsidir. üçün müstəqil hadisələr A və B düzgün düsturlardır
P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).
8) İndi aşağıdakıları nəzərdən keçirin tapşırıq. Tutaq ki, üç element bir-birindən asılı olmayaraq işləyən bir elektrik dövrəsində ardıcıl olaraq birləşdirilir. 1-ci, 2-ci və 3-cü elementlərin uğursuzluq ehtimalları müvafiq olaraq P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2-dir. Dövrədə cərəyan olma ehtimalı 0,4-dən çox deyilsə, dövrəni etibarlı hesab edəcəyik. Verilmiş zəncirin etibarlı olub olmadığını müəyyən etmək tələb olunur.
Elementlər sıra ilə birləşdirildiyi üçün elementlərdən ən azı biri sıradan çıxsa, dövrədə cərəyan olmayacaq (A hadisəsi). A i i-ci elementin işlədiyi hadisə olsun (i = 1, 2, 3). Sonra P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Aydındır ki, A 1 A 2 A 3 hər üç elementin eyni vaxtda işlədiyi hadisədir və
P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.
Onda P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, ona görə də P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.
Sonda qeyd edirik ki, yuxarıda göstərilən riyazi model nümunələri (onların arasında funksional və struktur, deterministik və ehtimal var) illüstrativ xarakter daşıyır və təbii və humanitar elmlərdə yaranan bütün müxtəlif riyazi modelləri tükəndirmir.
Mündəricat Riyazi modelləşdirmənin mövzusu. Modelləşdirmənin əsasları. Model anlayışı. Modelləşdirmə prinsipi. Modelləşdirmə elmi bilik metodu kimi. Modelləşdirmə mərhələləri. Xarakterik 1 - 2 mərhələ. Modelləşdirmə mərhələləri. Xarakterik 3 - 4 mərhələ. Modellərin təsnifatı. Ümumi baxış. İqtisadi və riyazi modellərin təsnifatı. İqtisadi və riyazi modelləşdirmənin mərhələləri. Riyazi model. Xətti proqramlaşdırma. Xətti proqramlaşdırma probleminin ifadəsi. Xətti proqramlaşdırma məsələsinin həndəsi şərhi və qrafik həlli. simpleks üsulu. İlkin əsas planın qurulması. Simpleks cədvəllər. Əsas planın optimallığının əlaməti. İkilik anlayışı. İkili məsələlərin qurulması və onların xassələri. nəqliyyat vəzifəsi. İlkin əsas planın qurulması. nəqliyyat vəzifəsi. Potensiallar üsulu.
Mündəricat Qrafik nəzəriyyəsinin əsas anlayışları və tərifləri. Diqrafın elementlərinin sıralanması. Fulkerson alqoritmi. Qrafikdə ən qısa yolların tapılmasına dair məsələlərin həlli. Maksimum axın problemi və onun tətbiqi. Şəbəkə parametrlərində nəqliyyat problemi. Şəbəkə planlaşdırılması elementləri. Dinamik proqramlaşdırmanın prinsipləri, metodun hesablama proseduru. Monte Karlo üsulu. Metodun mahiyyəti. Monte Karlo metodu ilə problemin həlli. Matris oyunları nəzəriyyəsinin elementləri. Cütlənmiş sıfır cəmi matris oyunları. Matris oyunlarının həlli üsulları. Təbiətlə oyunlar. Qərar vermə meyarları. Maple 7 paketi. Paketə ümumi baxış. Onun imkanları. Proqram interfeysi, əmrlərlə işləmək. Dəyişənlərdən istifadə. Cədvəllərlə işləmək.
Riyazi modelləşdirmə mövzusu. Modelləşdirmənin əsasları Riyazi modelləşdirmə hadisələrin, proseslərin, sistemlərin və ya obyektlərin modellərini qurmaq və öyrənmək və sonunculardan yeni qurulmuş modellərin qurulmasının xüsusiyyətlərini və rasional yollarını müəyyən etmək və ya dəqiqləşdirmək üçün istifadə etməklə öyrənilməsidir. texnoloji proseslər, sistemlər və obyektlər. Riyazi model, tədqiqatçını maraqlandıran real elementlər arasındakı əlaqələrin riyazi kateqoriyalar arasında müvafiq əlaqələrlə əvəz olunduğu real dünyanın abstraksiyasıdır. Bu əlaqələr, bir qayda olaraq, simulyasiya edilmiş real sistemin fəaliyyətini xarakterizə edən tənliklər və (və ya) bərabərsizliklər şəklində təqdim olunur. Riyazi modellər qurmaq sənəti özündə mümkün qədər yığcamlığı birləşdirməkdir riyazi təsvir təhlil edilən reallığın tədqiqatçını maraqlandıran dəqiq aspektlərinin model reproduksiyasının kifayət qədər dəqiqliyi ilə. Menyu Modelləşdirmə böyük həcmdə məlumatın ciddi hazırlanması və emalı tələb edən, zəhmətkeşliyi və evristik prinsipləri birləşdirən və ehtimal xarakteri daşıyan yaradıcı prosesdir.
Model anlayışı. Modelləşdirmə elmi biliyin metodu kimi Model real obyektin, hadisənin və ya prosesin bəzi sadələşdirilmiş oxşarlığıdır. Model elə bir maddi və ya zehni olaraq təmsil olunan obyektdir ki, onun öyrənilməsi məqsədi ilə ilkin obyekti əvəz edir, eyni zamanda bəzi vacib elementləri saxlayır. bu araşdırma orijinalın tipik xüsusiyyətləri və xassələri. Yaxşı qurulmuş model, bir qayda olaraq, tədqiqat üçün real obyektdən (məsələn, ölkənin iqtisadiyyatı, günəş sistemi və s.) daha əlçatandır. Modelin digər, heç də az əhəmiyyətli olmayan məqsədi odur ki, o, obyektin müəyyən xassələrini formalaşdıran ən mühüm amilləri müəyyən etməyə kömək edir. Model həm də obyektlə eksperimentin əlverişsiz, çətin və ya qeyri-mümkün olduğu hallarda (məsələn, eksperiment uzun müddət davam etdikdə və ya obyektin gətirilməsi riski olduqda) vacib olan obyekti idarə etməyi öyrənməyə imkan verir. arzuolunmaz və ya geri dönməz vəziyyətə). Beləliklə, belə bir nəticəyə gələ bilərik ki, model aşağıdakı məqsədlər üçün lazımdır: müəyyən bir obyektin necə qurulduğunu anlamaq - onun quruluşu, əsas xüsusiyyətləri, inkişaf qanunları və xarici dünya ilə qarşılıqlı əlaqəsi nədir; obyekti və ya prosesi idarə etməyi öyrənmək və verilmiş məqsədlər və meyarlar (optimallaşdırma) üçün ən yaxşı idarəetmə üsullarını müəyyən etmək; Obyektə, prosesə təsirin göstərilən üsul və formalarının həyata keçirilməsinin birbaşa və dolayı nəticələrini proqnozlaşdırmaq üçün menyu.
Modelləşdirmə mərhələləri 1-ci mərhələnin xüsusiyyətləri I mərhələ. Problemin ifadəsi Tapşırığın altında ümumi mənada həll edilməli olan problemi başa düşür. Əsas odur ki, modelləşdirmə obyektini müəyyənləşdirin və nəticənin nə olduğunu başa düşək. Tərkibinin təbiətinə görə bütün tapşırıqları iki əsas qrupa bölmək olar. Birinci qrupa obyektin xüsusiyyətlərinin ona müəyyən təsir göstərərək necə dəyişdiyini araşdırmaq tələb olunan tapşırıqlar daxildir. Problemin belə bir ifadəsi adətən “nə olacaqsa...” adlanır. İkinci qrup tapşırıqlar aşağıdakı ümumiləşdirilmiş formulaya malikdir: obyektə hansı təsir göstərmək lazımdır ki, onun parametrləri verilmiş şərti təmin etsin? Bu problem bəyanatı tez-tez "bunu necə etmək olar ..." kimi istinad edilir. Modelləşdirmənin məqsədləri modelin dizayn parametrləri ilə müəyyən edilir. Çox vaxt bu, problemin tərtibində verilən suala cavab axtarışıdır. Sonra obyektin və ya prosesin təsvirinə keçin. Bu mərhələdə modelin davranışının asılı olduğu amillər müəyyən edilir. Elektron cədvəllərdə modelləşdirmə zamanı yalnız kəmiyyət xüsusiyyətlərinə malik olan parametrlər nəzərə alına bilər. Bəzən tapşırıq artıq sadələşdirilmiş formada tərtib oluna bilər və o, məqsədləri aydın şəkildə müəyyən edir və nəzərə alınmalı olan modelin parametrlərini müəyyənləşdirir. Obyekti təhlil edərkən aşağıdakı suala cavab vermək lazımdır: tədqiq olunan obyekt və ya prosesi bütöv hesab etmək olar, yoxsa daha sadə obyektlərdən ibarət sistemdir? Bu tək bir bütövdürsə, onda bir məlumat modelinin qurulmasına davam edə bilərsiniz. Sistemdirsə - onu təşkil edən obyektlərin təhlilinə keçmək, onlar arasındakı əlaqələri müəyyən etmək lazımdır. Menyu
Modelləşdirmə mərhələləri Xarakteristikalar Mərhələ 2 II Mərhələ. Modelin işlənməsi Obyektin təhlilinin nəticələrinə əsasən informasiya modeli tərtib edilir. O, obyektin bütün xüsusiyyətlərini, parametrlərini, hərəkətlərini və əlaqələrini ətraflı təsvir edir. Bundan əlavə, məlumat modeli işarə formalarından birində ifadə edilməlidir. Elektron cədvəl mühitində işləyəcəyimizi nəzərə alsaq, informasiya modeli riyazi modelə çevrilməlidir. İnformasiya və riyazi modellər əsasında kompüter modeli cədvəllər şəklində tərtib edilir, burada üç məlumat sahəsi fərqləndirilir: ilkin məlumatlar, aralıq hesablamalar, nəticələr. İlkin məlumatlar "əl ilə" daxil edilir. Həm aralıq, həm də yekun hesablamalar cədvəllərin qaydalarına uyğun olaraq qeydə alınan düsturlara əsasən aparılır. Menyu
Modelləşdirmə addımları Xarakterik 3 addım III mərhələ. Kompüter təcrübəsi Yeni dizayn işlərinə həyat vermək, istehsala yeni texniki həllər təqdim etmək və ya yeni ideyaları sınaqdan keçirmək üçün təcrübə lazımdır. Yaxın keçmişdə belə bir təcrübə ya laboratoriya şəraitində onun üçün xüsusi olaraq yaradılmış qurğularda, ya da təbiətdə, yəni məhsulun real nümunəsi üzərində hər cür sınaqdan keçirilməklə həyata keçirilə bilərdi. Bu, çoxlu pul və vaxt tələb edir. Kompüter simulyasiyaları köməyə gəldi. Kompüter eksperimenti aparılarkən tikinti modellərinin düzgünlüyü yoxlanılır. Modelin davranışı obyektin müxtəlif parametrləri üçün öyrənilir. Hər bir təcrübə nəticələrin başa düşülməsi ilə müşayiət olunur. Əgər kompüter təcrübəsinin nəticələri həll olunan məsələnin mənası ilə ziddiyyət təşkil edirsə, o zaman xətanı səhv seçilmiş modeldə və ya onun həlli alqoritmi və metodunda axtarmaq lazımdır. Səhvləri müəyyən edib aradan qaldırdıqdan sonra kompüter təcrübəsi təkrarlanır. Menyu
Modelləşdirmə mərhələləri Xarakteristikalar 4 mərhələ IV mərhələ. Simulyasiya nəticələrinin təhlili Simulyasiyanın son mərhələsi modelin təhlilidir. Əldə edilmiş hesablanmış məlumatlar əsasında hesablamaların bizim anlama və modelləşdirmə məqsədlərimizə nə dərəcədə uyğun olduğu yoxlanılır. Bu mərhələdə qəbul edilmiş modeli və mümkünsə obyekti və ya prosesi təkmilləşdirmək üçün tövsiyələr verilir. Menyu
Modellərin təsnifatı İstifadə sahəsinə görə təsnifat Təlim: əyani vəsaitlər, müxtəlif simulyatorlar, təlim proqramları. Təcrübəli: tədqiq olunan obyektin (gəminin, avtomobilin, təyyarənin, su elektrik stansiyasının modelləri) daha da öyrənilməsi üçün kiçildilmiş və ya böyüdülmüş nüsxələri. Proseslərin və hadisələrin öyrənilməsi üçün elmi-texniki modellər yaradılır (televizorların sınaqdan keçirilməsi üçün stend; sinxrotron - elektron sürətləndirici və s.). Oyun: hərbi, iqtisadi, idman, işgüzar oyunlar. Simulyasiya: reallığı müxtəlif dəqiqlik dərəcələri ilə əks etdirmək (siçanlar üzərində bir sıra təcrübələrdə yeni dərmanın sınaqdan keçirilməsi; istehsala yeni texnologiyanın tətbiqi üzrə təcrübələr). Zaman amili nəzərə alınmaqla təsnifat Statik model müəyyən bir zamanda obyektin modelidir. Dinamik model obyektin zamanla necə dəyişdiyini görməyə imkan verir. Menyu
Modellərin təsnifatı Təqdimetmə üsulu ilə təsnifat Maddi model obyektin fiziki oxşarlığıdır. Onlar orijinalın həndəsi və fiziki xüsusiyyətlərini (doldurulmuş quşlar, heyvan modelləri, insan bədəninin daxili orqanları, coğrafi və tarixi xəritələr, günəş sistemi). İnformasiya modeli obyektin, prosesin, hadisənin xassələrini və vəziyyətlərini, habelə xarici aləmlə əlaqəsini xarakterizə edən məlumatların məcmusudur. İstənilən informasiya modeli onun yaradılma məqsədi nəzərə alınmaqla obyekt haqqında yalnız zəruri məlumatları ehtiva edir. Eyni obyektin müxtəlif məqsədlər üçün nəzərdə tutulmuş informasiya modelləri tamamilə fərqli ola bilər. Verbal model - zehni və ya danışıq formasında məlumat modeli. İşarə modeli xüsusi işarələrlə, yəni hər hansı rəsmi dil vasitəsi ilə ifadə olunan informasiya modelidir. İkonik modellər rəsmlər, mətnlər, qrafiklər, diaqramlar, cədvəllər və s. kompüter modeli- proqram təminatı mühiti vasitəsilə həyata keçirilən model. Obyektin (hadisənin, prosesin) modelini qurmazdan əvvəl onun tərkib elementlərini və onlar arasındakı əlaqələri müəyyən etmək (sistemin təhlilini aparmaq) və yaranan strukturu əvvəlcədən müəyyən edilmiş hansısa formaya “tərcümə etmək” – informasiyanı rəsmiləşdirmək lazımdır. Menyunun rəsmiləşdirilməsi obyektin, hadisənin və ya prosesin daxili strukturunun işıqlandırılması və konkret informasiya strukturuna - formaya çevrilməsi prosesidir.
İqtisadi və riyazi modellərin təsnifatı İqtisadi və riyazi modellər iqtisadi reallığı çevirmək üçün istifadə edilən idarə olunan və tənzimlənən iqtisadi proseslərin modelləridir. Modellərin modelləşdirmə obyektlərinə adekvatlığı tədqiqatın nəticələrinin müşahidə olunan faktlarla üst-üstə düşməsi ilə müəyyən edilir. Bu vəziyyətdə təcrübə reallıq deməkdir. Təyin olunmuş məqsədə görə iqtisadi və riyazi modellər nəzəri və analitikdir Tətbiqi iqtisadi və riyazi modellər bütövlükdə modellərə bölünür. Milli iqtisadiyyat və onun alt sistemləri (sənaye, region və s.) Modellər funksional və strukturdur. Modellər təsviri və normativ xarakterlidir. Deskreptiv modellər suala cavab verir, bu necə baş verir və daha da necə inkişaf edə bilər? Normativ modellər necə olmalıdır sualına cavab verir. Yəni məqsədyönlü fəaliyyətə başlayırlar. Təsadüfiliyi və qeyri-müəyyənliyi nəzərə alan ciddi deterministik modellər və modellər var. Modellər statik və ya dinamikdir. Baxılan dövrün müddətinə görə qısamüddətli (1-5 il) və uzunmüddətli (10-15 il və daha çox) proqnozlaşdırma və planlaşdırma modelləri fərqləndirilir. Belə modellərdə zamanın özü ya davamlı, ya da diskret olaraq dəyişə bilər. Menyu Modelləri xətti və ya qeyri-xətti ola bilər.
İqtisadi və riyazi modelləşdirmənin mərhələləri. İqtisadi problemin ifadəsi və onun təhlili. Əsas odur ki, problemin mahiyyətini, irəli sürülən fərziyyələri və cavablandırılması lazım olan sualları müəyyən etməkdir. Mərhələ obyektin ən vacib xüsusiyyətlərini və xüsusiyyətlərini vurğulamağı, kiçik olanlardan mücərrədləşdirməyi əhatə edir. Lazım gələrsə, obyektin davranışını və inkişafını izah edən fərziyyələrin formalaşdırılması. Riyazi modelin qurulması. İqtisadi problemin rəsmiləşdirilməsi mərhələsi. Modelin nə qədər çox faktı nəzərə aldığını düşünmək yanlışdır, o qədər yaxşıdır. Modelin mürəkkəbliyi və həcmliliyinin dəyişdirilməsi tədqiqat prosesini çətinləşdirir. İnformasiya və riyazi dəstəyin real imkanlarını nəzərə almaq lazımdır. Modelləşdirmə xərclərini əldə edilən effektlə müqayisə etmək lazımdır. Riyazi modelin ən mühüm xüsusiyyətlərindən biri onlardan müxtəlif məsələlərin həlli üçün istifadə edilməsinin potensial imkanlarıdır. Menyu
İqtisadi və riyazi modelləşdirmənin mərhələləri. Modelin riyazi təhlili. Bu mərhələnin məqsədi modelin ümumi xüsusiyyətlərini aydınlaşdırmaqdır. Əhəmiyyətli məqam həllinin mövcudluğunun sübutudur. İlkin məlumatların hazırlanması Zəruri məlumatların toplanması üçün vaxt çərçivəsini nəzərə almaq, məlumatın hazırlanması xərclərini nəzərə almaq lazımdır. Hazırlanma prosesində ehtimal nəzəriyyəsi, nəzəri və riyazi statistika üsullarından geniş istifadə olunur. Rəqəmsal həll. Məsələnin ədədi həlli üçün alqoritmlərin işlənməsi, kompüter üçün proqramların tərtib edilməsi və bilavasitə hesablamaların aparılması. Bu mərhələdəki çətinlik iqtisadi problemlərin böyük ölçüsü və əhəmiyyətli miqdarda məlumatın işlənməsi ehtiyacı ilə əlaqədardır. Menyu Ədədi nəticələrin təhlili və onların tətbiqi. Bu mərhələdə simulyasiya nəticələrinin düzgünlüyü və tamlığı, onların praktiki tətbiqi dərəcəsi haqqında sual yaranır.
Xətti proqramlaşdırma. Bu, bütün asılılıqları xətti olan riyazi modelləşdirmənin bir bölməsidir. İstənilən xətti proqramlaşdırma məsələsinin riyazi modeli Z= max(min) formasına malikdir Menyu Qeyri-mənfilik şərtləri Xj ≥ 0
Nümunə: u 1 və u 2 məmulatlarının istehsalında, u 1, 300 və 200 ədəd məhsul vahidinin istehsalı üçün texnoloji standartlara uyğun olaraq torna və freze maşınları, həmçinin polad və əlvan metallar istifadə olunur. fırlanma və freze avadanlığı(saatla), 10 və 20 ədəd polad və əlvan metallar (kq. ilə). məhsulun istehsalı üçün u müvafiq olaraq 2, 400, 100, 70, 50 ədəd eyni resurs tələb olunur. Sex 12400 və 6800 saat, 640 və 840 kq. material. Məhsul vahidinin satışından mənfəət u 1=6000 den. vahidlər , u 2=16000 den. vahidlər Tələb olunur: Mənbə məlumatlarını model qurmaq üçün əlverişli olan cədvələ gətirin. Məsələnin riyazi modelini qurun. Freze dəzgahlarının işləmə müddətindən tam istifadə etmək şərti ilə məhsul istehsalı planını müəyyənləşdirin, maksimum mənfəət əldə olunsun.
Həlli: x1 - məhsulların sayı u 1 və x2 - məhsulların sayı u 2, z - ümumi mənfəət olsun.
Xətti proqramlaşdırma. Bu ümumi və ya törəmə qeyd formasıdır. Məhdudiyyətlər sistemini və qeyri-mənfilik şərtini ödəyən Xj dəyişənləri məqbul adlanır. Məqsəd funksiyasını max və ya min-ə çevirən etibarlı dəyişənlərə optimal deyilir. Belə problemlərin həlli üsulları universal və xüsusi bölünür. İstənilən PLP universal üsulla həll olunur. Xüsusi üsullar modelin xüsusiyyətlərini nəzərə alır. LLP-nin bir xüsusiyyəti, məqsəd funksiyasının mümkün həllər bölgəsinin sərhəddində maksimuma (min) çatmasıdır. ZLP-yə aşağıdakılar daxildir: seçim problemi optimal texnologiyalar; qarışıq problemi; materialın kəsilməsi vəzifəsi; nəqliyyat tapşırığı; haqqında menyu tapşırığı ən yaxşı istifadə resurslar; sifariş vermək vəzifəsi;
Xətti proqramlaşdırma məsələsinin ifadəsi İstənilən LPP riyazi modeldən istifadə etməklə yazılır. ZLP Menyu Ümumi (ixtiyari) yazının 3 forması var.
Xətti proqramlaşdırma probleminin ifadəsi Bütün bu formalar ekvivalentdir. Maksdan minə (və ya əksinə) keçmək üçün məqsəd funksiyası qeydində hər bir terminin işarələrini dəyişmək lazımdır. Formanın bərabərsizliyini formanın bərabərsizliyinə (və əksinə) çevirmək üçün bərabərsizliyin hər iki hissəsini -1-ə vurmaq lazımdır. Menyu Kanonik (əsas) Bərabərsizliyi bərabərliyə çevirmək (və əksinə) üçün sol tərəfdən əlavə qeyri-mənfi dəyişəni əlavə etmək və ya çıxmaq lazımdır, ona balans dəyişəni deyilir. Məqsəd funksiyasını yazarkən onun =0 əmsalı olur.
MÜHAZİRƏ 4
Riyazi modelləşdirmənin tərifi və məqsədi
Altında model(latınca modulus - ölçü, nümunə, norma) biz elə bir maddi və ya əqli cəhətdən təmsil olunan obyekti başa düşəcəyik ki, idrak (öyrənmə) prosesində bu tədqiqat üçün vacib olan bəzi tipik xüsusiyyətlərini saxlayaraq orijinal obyekti əvəz edir. . Modelin qurulması və istifadəsi prosesi modelləşdirmə adlanır.
mahiyyəti riyazi modelləşdirmə (MM) öyrənilən obyekti (prosesi) adekvat riyazi modellə əvəz etmək və sonra bu modelin xassələrini öyrənməkdir. analitik üsullar və ya hesablama təcrübələri.
Bəzən ciddi təriflər verməkdənsə, konkret bir anlayışı baxımından təsvir etmək daha faydalıdır konkret misal. Buna görə də, MM-in yuxarıdakı təriflərini xüsusi impulsun hesablanması probleminin nümunəsindən istifadə edərək təsvir edirik. 1960-cı illərin əvvəllərində elm adamlarına inkişaf etdirmək tapşırılmışdı raket yanacağıən yüksək xüsusi impulsla. Raketin hərəkət prinsipi aşağıdakı kimidir: maye yanacaq və raket çənlərindən olan oksidləşdirici mühərrikə verilir, orada yandırılır və yanma məhsulları atmosferə buraxılır. İmpulsun qorunması qanunundan belə nəticə çıxır ki, bu halda raket sürətlə hərəkət edəcək.
Yanacağın xüsusi impulsu, yaranan impulsun yanacağın kütləsinə bölünməsidir. Təcrübələr çox bahalı idi və avadanlıqların sistematik zədələnməsinə səbəb oldu. Məlum oldu ki, ideal qazların termodinamik funksiyalarını hesablamaq, onların köməyi ilə buraxılan qazların tərkibini və plazmanın temperaturunu, sonra isə xüsusi impulsu hesablamaq daha asan və daha ucuzdur. Yəni yanacağın yanma prosesinin MM-ni həyata keçirmək.
Riyazi modelləşdirmə (MM) anlayışı bu gün elmi ədəbiyyatda ən çox yayılmış anlayışlardan biridir. Müasir tezis və dissertasiyaların böyük əksəriyyəti müvafiq riyazi modellərin işlənib hazırlanması və istifadəsi ilə bağlıdır. Kompüter MM bu gün tərkib hissəsi insan fəaliyyətinin bir çox sahələri (elm, texnologiya, iqtisadiyyat, sosiologiya və s.). Bu gün informasiya texnologiyaları sahəsində mütəxəssis çatışmazlığının səbəblərindən biri də budur.
Sürətli böyümə kompüter texnologiyasının sürətli təkmilləşməsi hesabına riyazi modelləşdirmə. Əgər 20 il əvvəl hətta az sayda proqramçı ədədi hesablamalarla məşğul olurdusa, indi riyazi modelləşdirmə məsələlərini həll etməyə imkan verən müasir kompüterlərin yaddaş həcmi və sürəti bütün mütəxəssislər, o cümlədən universitet tələbələri üçün əlçatandır.
İstənilən intizamda ilk növbədə hadisələrin keyfiyyətcə təsviri verilir. Və sonra - riyazi tənliklər şəklində müxtəlif kəmiyyətlər (sahənin gücü, səpilmə intensivliyi, elektron yükü, ...) arasında əlaqələr quran qanunlar şəklində tərtib edilmiş kəmiyyət. Buna görə də deyə bilərik ki, hər bir fənndə riyaziyyatçıların sayı qədər elm var və bu fakt bizə riyazi modelləşdirmə üsullarından istifadə etməklə bir çox məsələləri uğurla həll etməyə imkan verir.
Bu kurs tətbiqi riyaziyyat ixtisası üzrə təhsil alan və müxtəlif sahələrdə çalışan aparıcı alimlərin rəhbərliyi altında dissertasiya işlərini tamamlayan tələbələr üçün nəzərdə tutulmuşdur. Buna görə də bu kurs yalnız olaraq lazım deyil tədris materialı həm də hazırlıq kimi tezis. Bu kursu öyrənmək üçün bizə riyaziyyatın aşağıdakı bölmələri lazımdır:
1. Riyazi fizikanın tənlikləri (Kant mexanikası, qaz və hidrodinamika)
2. Xətti cəbr (elastiklik nəzəriyyəsi)
3. Skalyar və vektor sahələr (sahə nəzəriyyəsi)
4. Ehtimal nəzəriyyəsi (kvant mexanikası, statistik fizika, fiziki kinetika)
5. Xüsusi xüsusiyyətlər.
6. Tensor analizi (elastiklik nəzəriyyəsi)
7. Riyazi analiz
Təbiət elmləri, mühəndislik və iqtisadiyyat üzrə MM
Əvvəlcə riyazi modellərin istifadə olunduğu təbiət elminin, texnologiyanın, iqtisadiyyatın müxtəlif sahələrini nəzərdən keçirək.
Təbiət elmi
Təbiət elminin əsas qanunlarını təsbit edən fizika uzun müddət nəzəri və eksperimental olaraq bölünmüşdür. Tənliklərin çıxarılmasını təsvir edir fiziki hadisələr, nəzəri fizika ilə məşğul olur. Beləliklə, nəzəri fizikanı da riyazi modelləşdirmənin sahələrindən biri hesab etmək olar. (Xatırladaq ki, fizika üzrə ilk kitabın adı – İ.Nyutonun “Təbiət fəlsəfəsinin riyazi prinsipləri” müasir dilə “Təbiət elminin riyazi modelləri” kimi tərcümə oluna bilər.) Alınan qanunlar əsasında mühəndis hesablamaları aparılır. , müxtəlif institutlarda, firmalarda, konstruktor bürolarında həyata keçirilir. Bu təşkilatlar elm tutumlu müasir məhsulların istehsalı texnologiyalarını işləyib hazırlayırlar.Beləliklə, elm tutumlu texnologiyalar anlayışına müvafiq riyazi modellərdən istifadə etməklə hesablamalar daxildir.
Fizikanın ən geniş sahələrindən biri - klassik mexanika(bəzən bu bölmə nəzəri və ya analitik mexanika adlanır). Nəzəri fizikanın bu bölməsi cisimlərin hərəkətini və qarşılıqlı təsirini öyrənir. Nəzəri mexanikanın düsturlarından istifadə etməklə hesablamalar cisimlərin fırlanmasının öyrənilməsi (ətalət anlarının hesablanması, girostatlar - fırlanma oxlarını sabit saxlayan qurğular), vakuumda cismin hərəkətinin təhlili və s. zəruridir Bölmələrdən biri. Nəzəri mexanikanın nəzəriyyəsi sabitlik nəzəriyyəsi adlanır və təyyarələrin, gəmilərin, raketlərin hərəkətini təsvir edən bir çox riyazi modellərin əsasını təşkil edir. Praktiki mexanikanın bölmələri - "Maşınlar və mexanizmlər nəzəriyyəsi", "Maşın hissələri" kursları, demək olar ki, bütün texniki universitetlərin (o cümlədən MGIU) tələbələri tərəfindən öyrənilir.
Elastiklik nəzəriyyəsi- bölmənin bir hissəsi davamlı mexanika, bu, elastik cismin materialının homojen olduğunu və bədənin bütün həcminə davamlı olaraq paylanmasını nəzərdə tutur, beləliklə bədəndən kəsilmiş ən kiçik element eynidir fiziki xassələri, bütün bədəndir. Elastiklik nəzəriyyəsinin tətbiqi - "materialların möhkəmliyi" kursu bütün texniki universitetlərin (o cümlədən MGIU) tələbələri tərəfindən öyrənilir. Bu bölmə bütün güc hesablamaları üçün tələb olunur. Burada gəmilərin, təyyarələrin, raketlərin gövdələrinin möhkəmliyinin hesablanması, polad və dəmir-beton konstruksiyalar binalar və s.
Qaz və hidrodinamika, eləcə də elastiklik nəzəriyyəsi - bölmənin bir hissəsidir davamlı mexanika, maye və qazın hərəkət qanunlarını nəzərdən keçirir. Qaz və hidrodinamika tənlikləri maye və qaz mühitində (peyklər, sualtı qayıqlar, raketlər, mərmilər, avtomobillər) cisimlərin hərəkətini təhlil edərkən, raket və təyyarə mühərriklərinin burunlarından qazın çıxmasını hesablayarkən lazımdır. Maye Dinamikasının Praktik Tətbiqi – Hidravlika (Əyləc, Sükan,…)
Mexanikanın əvvəlki bölmələri makrokosmosda cisimlərin hərəkətini nəzərdən keçirdi və makrokosmosun fiziki qanunları maddə hissəciklərinin - protonların, neytronların, elektronların hərəkət etdiyi mikrokosmosda tətbiq olunmur. Burada tamamilə fərqli prinsiplər fəaliyyət göstərir və mikro dünyanı təsvir etmək üçün bunu etmək lazımdır kvant mexanikası. Mikrohissəciklərin davranışını təsvir edən əsas tənlik Şrödinger tənliyidir: 
. Budur, Hamilton operatoru (Hamiltonian). Birölçülü hissəciklərin hərəkət tənliyi üçün https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potensial enerji. Bu tənliyin həlli enerjinin xüsusi qiymətləri və xüsusi funksiyalar toplusudur..gif" width="55" height="24 src=">– ehtimal sıxlığı. Kvant mexaniki hesablamalar yeni materialların (mikrosxemlərin) hazırlanması, lazerlərin yaradılması, spektral analiz üsullarının işlənib hazırlanması və s.
Çox sayda vəzifə həll olunur kinetika hissəciklərin hərəkətini və qarşılıqlı təsirini təsvir edir. Burada və diffuziya, istilik ötürülməsi, plazma nəzəriyyəsi - maddənin dördüncü vəziyyəti.
statistik fizika hissəciklərin ansambllarını nəzərdən keçirir, ayrı-ayrı hissəciklərin xassələrinə əsaslanaraq ansamblın parametrləri haqqında deməyə imkan verir. Əgər ansambl qaz molekullarından ibarətdirsə, o zaman ansamblın statistik fizika üsulları ilə əldə edilən xassələri orta məktəbdən yaxşı məlum olan qaz vəziyyətinin tənlikləridir: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-qazın molekulyar çəkisi. K Ridberq sabitidir. Metallarda məhlulların, kristalların və elektronların xassələrini hesablamaq üçün statistik üsullardan da istifadə olunur. Statistik fizikanın MM-i mühərriklərin, istilik şəbəkələrinin və stansiyaların hesablanmasının əsasını təşkil edən termodinamikanın nəzəri əsasını təşkil edir.
Sahə nəzəriyyəsi MM üsulları ilə maddənin əsas formalarından birini - sahəni təsvir edir. Bu vəziyyətdə elektromaqnit sahələri ilk növbədə maraq doğurur. Elektromaqnit sahəsinin (elektrodinamikanın) tənlikləri Maksvell tərəfindən yaradılmışdır: , 
, , 
. Burada və https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - yük sıxlığı, - cari sıxlıq. Elektrodinamik tənliklər yayılma hesablamalarının əsasını təşkil edir. elektromaqnit dalğaları radiodalğaların (radio, televiziya, mobil rabitə) yayılmasını təsvir etmək, radiolokasiya stansiyalarının işini izah etmək lazımdır.
Kimya iki aspektdə təmsil oluna bilər, təsviri kimya - kimyəvi amillərin kəşfi və onların təsviri - və nəzəri kimya - müəyyən edilmiş amilləri ümumiləşdirməyə və onları xüsusi bir sistem şəklində təqdim etməyə imkan verən nəzəriyyələrin inkişafı (L. Pauling). . Nəzəri kimya həm də fiziki kimya adlanır və mahiyyət etibarı ilə fizikanın maddələri və onların qarşılıqlı təsirini öyrənən bir sahəsidir. Ona görə də fizika haqqında deyilənlərin hamısı tam olaraq kimyaya aiddir. Fiziki kimyanın bölmələri öyrənən termokimya olacaq istilik effektləri reaksiyalar, kimyəvi kinetika (reaksiya sürətləri), kvant kimyası (molekulların quruluşu). Eyni zamanda, kimyanın problemləri son dərəcə mürəkkəbdir. Beləliklə, məsələn, kvant kimyasının problemlərini həll etmək üçün - atomların və molekulların quruluşu elmi, ölkənin hava hücumundan müdafiə proqramları ilə müqayisə edilə bilən proqramlardan istifadə olunur. Məsələn, 5 atom nüvəsi və +17 * 4) elektrondan ibarət olan UCl4 molekulunu təsvir etmək üçün hərəkət tənliyini - qismən törəmələrdə tənlikləri yazmaq lazımdır.
Biologiya
Riyaziyyat həqiqətən biologiyaya yalnız 20-ci əsrin ikinci yarısında daxil oldu. Bioloji prosesləri riyazi təsvir etmək üçün ilk cəhdlər populyasiya dinamikasının modelləri ilə bağlıdır. Populyasiya Yer kürəsində müəyyən bir məkanı tutan eyni növdən olan fərdlərin birliyidir. Müxtəlif şəraitlərdə (rəqabət edən növlərin, yırtıcıların, xəstəliklərin mövcudluğu və s.) populyasiyanın ölçüsünün dəyişməsini öyrənən bu riyazi biologiya sahəsi riyazi modellərin "yerinə yetirildiyi" riyazi sınaq meydançası kimi xidmət etməyə davam etdi. biologiyanın müxtəlif sahələri. O cümlədən təkamül modelləri, mikrobiologiya, immunologiya və hüceyrə populyasiyaları ilə əlaqəli digər sahələr.
Bioloji şəraitdə hazırlanmış ilk məlum model 13-cü əsrdə Pizalı Leonardo tərəfindən işində istinad edilən məşhur Fibonaççi seriyasıdır (hər bir sonrakı nömrə əvvəlki ikisinin cəmidir). Bu, dovşanlar ikinci aydan çoxalmağa başlasa və hər ay bir cüt dovşan çıxarsa, hər ay doğulan dovşan cütlərinin sayını təsvir edən bir sıra rəqəmlərdir. Sıra ədədlər ardıcıllığını təmsil edir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
|
|
|
|
8, 13, …
Başqa bir misal, süni ikiqatlı membranda ion transmembran nəqli proseslərinin öyrənilməsidir. Burada ionun membrandan keçərək hüceyrəyə keçdiyi məsamənin əmələ gəlməsi qanunlarını öyrənmək üçün eksperimental olaraq öyrənilə bilən və bunun üçün yaxşı işlənmiş fiziki təsviri olan model sistemi yaratmaq lazımdır. istifadə olunur.
MM-nin klassik nümunəsi də Drosophila populyasiyasıdır. Daha da çox rahat model in vitroda yayıla bilən viruslardır. Biologiyada modelləşdirmə üsulları dinamik sistemlər nəzəriyyəsinin üsulları, vasitələri isə diferensial və fərq tənlikləri, diferensial tənliklərin keyfiyyət nəzəriyyəsi metodları, simulyasiya modelləşdirməsidir.
Biologiyada modelləşdirmənin məqsədləri:
3. Sistemin elementləri arasında qarşılıqlı təsir mexanizmlərinin aydınlaşdırılması
4. Eksperimental məlumatlardan istifadə etməklə model parametrlərinin müəyyən edilməsi və yoxlanılması.
5. Sistemin dayanıqlığının qiymətləndirilməsi (model).
6. Müxtəlif xarici təsirlər, müxtəlif idarəetmə üsulları və s. altında sistemin davranışının proqnozu.
7. Optimal Nəzarət seçilmiş optimallıq meyarına uyğun olaraq sistem.
Texnika
Texnologiyanın təkmilləşdirilməsi ilə çoxlu sayda mütəxəssis məşğul olur, onlar öz işlərində nəticələrə güvənirlər elmi araşdırma. Buna görə də texnologiyadakı MM yuxarıda müzakirə olunan təbiət elmindəki MM ilə eynidir.
İqtisadiyyat və sosial proseslər
Ümumiyyətlə qəbul edilir ki, riyazi modelləşdirmə makroiqtisadi proseslərin təhlili metodu kimi ilk dəfə Kral XV Lüdovikin həkimi Dr. Fransua Quesnay, 1758-ci ildə "İqtisadi cədvəl" əsərini nəşr etdirən. Bu əsərdə milli iqtisadiyyatı kəmiyyətcə təsvir etməyə ilk cəhd edilmişdir. Və 1838-ci ildə kitabda O. Kurnot“Sərvət nəzəriyyəsinin riyazi prinsiplərinin tədqiqi” kəmiyyət üsulları ilk dəfə müxtəlif bazar vəziyyətlərində əmtəə bazarında rəqabəti təhlil etmək üçün istifadə edilmişdir.
Maltusun əhali nəzəriyyəsi də geniş şəkildə məlumdur ki, o, əhalinin artımının həmişə arzuolunandan uzaq olması və bu artımın əhalinin ərzaqla təmin edilməsi imkanlarının artması ilə müqayisədə daha sürətli olması fikrini irəli sürmüşdür. Belə bir prosesin riyazi modeli olduqca sadədir: Qoy - zamanla əhalinin artımı https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> populyasiya bərabər idi və doğum və ölüm nisbətlərini (adam/il) nəzərə alan əmsallardır.
https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Instrumental və riyazi üsullar" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">riyazi təhlil üsulları (məsələn, son onilliklərdə humanitar elmlərdə mədəni inkişafın riyazi nəzəriyyələri, səfərbərliyin riyazi modelləri, sosial-mədəni proseslərin tsiklik inkişafı, xalqla hökumət arasında qarşılıqlı əlaqə modeli, silah yarış modeli və s.) qurulmuş və tədqiq edilmişdir.
Ən çox ümumi mənada sosial-iqtisadi proseslərin MM prosesini şərti olaraq dörd mərhələyə bölmək olar:
Qeyd edək ki, bir qayda olaraq, riyazi modelləşdirmə prosesi dövri xarakter daşıyır, çünki hətta nisbətən öyrənilərkən sadə proseslər ilk addımdan adekvat riyazi modeli qurmaq və onun dəqiq parametrlərini seçmək nadir hallarda olur.
Hazırda iqtisadiyyat mürəkkəb inkişaf edən sistem hesab olunur, onun kəmiyyət təsviri üçün müxtəlif mürəkkəblik dərəcələrində dinamik riyazi modellərdən istifadə olunur. Makroiqtisadi dinamikanın tədqiqi istiqamətlərindən biri müxtəlif alt sistemlərin - əmək bazarının, mal bazarının, maliyyə sisteminin, təbii mühitin və s.-nin qarşılıqlı əlaqəsini əks etdirən nisbətən sadə qeyri-xətti simulyasiya modellərinin qurulması və təhlili ilə bağlıdır.
Fəlakətlər nəzəriyyəsi uğurla inkişaf edir. Bu nəzəriyyə qeyri-xətti sistemin parametrlərinin dəyişməsi nəticəsində sistemin vəziyyətini xarakterizə edən faza fəzasında bir nöqtənin cazibə bölgəsindən ilkin tarazlıq vəziyyətinə cazibə bölgəsinə keçməsinə səbəb olan şərtlər məsələsini nəzərdən keçirir. başqa tarazlıq mövqeyinə keçir. Sonuncu təkcə texniki sistemlərin təhlili üçün deyil, həm də sosial-iqtisadi proseslərin davamlılığını başa düşmək üçün çox vacibdir. Bu baxımdan, tapıntılar idarəetmə üçün qeyri-xətti modellərin öyrənilməsinin əhəmiyyəti haqqında. 1990-cı ildə nəşr olunan "Fəlakətlər nəzəriyyəsi" kitabında o, xüsusilə yazır: "... hazırkı yenidənqurma daha çox onunla bağlıdır ki, ən azı bəzi əks əlaqə mexanizmləri (şəxsi məhv olmaq qorxusu) fəaliyyətə başlamışdır. ."
(model parametrləri)
Real obyektlərin və hadisələrin modellərini qurarkən çox vaxt məlumat çatışmazlığı ilə qarşılaşır. Tədqiq olunan obyekt üçün xassələrin paylanması, təsirin parametrləri və ilkin vəziyyəti müxtəlif qeyri-müəyyənlik dərəcələri ilə məlumdur. Model qurarkən qeyri-müəyyən parametrləri təsvir etmək üçün aşağıdakı variantlar mümkündür:
Riyazi modellərin təsnifatı
(həyata keçirmə üsulları)
MM həyata keçirmə üsulları aşağıdakı cədvələ uyğun olaraq təsnif edilə bilər.
MM İcra Metodları Çox vaxt modelin analitik həlli funksiyalar şəklində təqdim olunur. Giriş parametrlərinin xüsusi dəyərləri üçün bu funksiyaların dəyərlərini əldə etmək üçün onların seriyalara genişləndirilməsi (məsələn, Taylor) istifadə olunur və arqumentin hər bir dəyəri üçün funksiyanın dəyəri təxminən müəyyən edilir. Bu texnikadan istifadə edən modellər adlanır təxmini. At ədədi yanaşma modelin riyazi münasibətlər çoxluğu sonlu ölçülü analoqla əvəz olunur. Buna ən çox ilkin münasibətləri diskretləşdirməklə, yəni davamlı arqument funksiyalarından diskret arqumentin funksiyalarına (tor metodları) keçmək yolu ilə əldə edilir. Kompüterdə hesablamalardan sonra tapılan həll orijinal məsələnin təxmini həlli kimi qəbul edilir. Mövcud sistemlərin əksəriyyəti çox mürəkkəbdir və onlar üçün analitik şəkildə təsvir edilən real model yaratmaq mümkün deyil. Bu cür sistemlər istifadə edilərək öyrənilməlidir simulyasiya modelləşdirmə. Simulyasiya modelləşdirməsinin əsas üsullarından biri təsadüfi ədədlər generatorunun istifadəsi ilə bağlıdır. Çox sayda problem MM metodları ilə həll edildiyi üçün MM-nin həyata keçirilməsi üsulları birdən çox sahədə öyrənilir. təlim kursu. Burada qismən diferensial tənliklər, bu tənliklərin həlli üçün ədədi üsullar, hesablama riyaziyyatı, kompüter simulyasiyası və s. PAULİNQ, Linus Karl (Paulinq, Linus Karl) (), amerikalı kimyaçı və fizik, təbiət tədqiqatlarına görə 1954-cü ildə kimya üzrə Nobel mükafatına layiq görülüb. kimyəvi bağ və zülalların strukturunun müəyyən edilməsi. 28 fevral 1901-ci ildə Oreqon ştatının Portlend şəhərində anadan olub. O, molekulların strukturunun öyrənilməsi üçün kvant mexaniki üsulunu (Amerika fiziki C. Slayerlə birlikdə) - valentlik bağları metodunu, həmçinin karbon tərkibli birləşmələrin quruluşunu izah etməyə imkan verən rezonans nəzəriyyəsini işləyib hazırlamışdır. , ilk növbədə aromatik sıra birləşmələri. SSRİ-də şəxsiyyətə pərəstiş dövründə kvant kimyası ilə məşğul olan alimlər təqib olunur və “polinqizm”də ittiham olunurdular. MALTHUS, THOMAS ROBERT (Malthus, Thomas Robert) (), ingilis iqtisadçısı. 15 və ya 17 fevral 1766-cı ildə Surreydə Dorkinq yaxınlığındakı Rookery-də anadan olub. 1798-ci ildə anonim şəkildə nəşr etdi. Əhali qanunu üzrə təcrübə. 1819-cu ildə Maltus Kral Cəmiyyətinin üzvü seçildi. |
1,
2
,
3,
5,
