Совсем неплохо, правда? Пока математики подбирают слова, чтобы дать вам длинное путанное определение, давайте поближе посмотрим на это простое и ясное.
Число e означает непрерывный рост. Как мы видели в прошлом примере, e x позволяет нам увязать процент и время: 3 года при росте 100% есть то же самое, что и 1 год при 300%, при условии "сложных процентов".
Можно подставлять любые значения процента и времени (50% на протяжении 4 лет), но лучше задать процент как 100% для удобства (получается 100% на протяжении 2 лет). За счёт перехода к 100% мы можем сфокусироваться исключительно на компоненте времени:
e x = e процент * время = e 1.0 * время = e время
Очевидно, что e x означает:
e x - это масштабирующий коэффициент, показывающий, до какого уровня мы вырастем за x отрезков времени.
Натуральный логарифм - это инверсия числа e, такой причудливый термин для обозначения противоположности. Кстати, о причудах; по латыни он называется logarithmus naturali , отсюда и появилась аббревиатура ln.
И что эта инверсия или противоположность означает?
Например:
Всё ещё читаете? Натуральный логарифм показывает время, нужное, чтобы достичь желаемого уровня.
Вы проходили логарифмы - это странные существа. Как им удалось превратить умножение в сложение? А деление в вычитание? Давайте посмотрим.
Чему равняется ln(1)? Интуитивно понятно, что вопрос стоит так: сколько нужно ждать, чтобы получить в 1 раз больше того, что у меня есть?
Ноль. Нуль. Нисколько. У вас уже это есть единожды. Не требуется нисколько времени, чтобы от уровня 1 дорости до уровня 1.
Хорошо, что насчёт дробного значения? Через сколько у нас останется 1/2 от имеющегося количества? Мы знаем, что при стопроцентном непрерывном росте ln(2) означает время, необходимое для удвоения. Если мы обратим время вспять (т.е. подождём отрицательное количество времени), то получим половину от того, что имеем.
Логично, правда? Если мы вернёмся назад (время вспять) на 0.693 секунды, то обнаружим половину имеющегося количества. Вообще можно переворачивать дробь и брать отрицательное значение: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Это означает, что, если мы вернёмся в прошлое на 1.09 отрезков времени, то обнаружим только треть от нынешнего числа.
Ладно, а как насчёт логарифма отрицательного числа? Сколько времени нужно, чтобы "вырастить" колонию бактерий от 1 до -3?
Это невозможно! Нельзя получить отрицательное число бактерий, не так ли? Вы можете получить максимум (эээ... минимум) нуль, но вам никак не получить отрицательное число этих маленьких тварей. В отрицательном числе бактерий просто нет смысла.
"Неопределено" означает, что нет такого промежутка времени, который надо было бы прождать, чтобы получить отрицательное значение.
Сколько времени займёт четырёхкратный рост? Конечно, можно просто взять ln(4). Но это слишком просто, мы пойдём другим путём.
Можно представить четырёхкратный рост как удвоение (требующее ln(2) единиц времени) и затем снова удвоение (требующее ещё ln(2) единиц времени):
Интересно. Любой показатель роста, скажем, 20, можно рассматривать как удвоение сразу после 10-кратного увеличения. Или роста в 4 раза, и затем в 5 раз. Либо же утроение и затем увеличение в 6.666 раз. Видите закономерность?
Логарифм от A, умноженного на B, есть log(A) + log(B). Это отношение сразу обретает смысл, если оперировать в терминах роста.
Если вас интересует 30-кратный рост, вы можете подождать ln(30) за один присест, либо же подождать ln(3) Для утроения, и затем ещё ln(10) для удесятирения. Конечный результат тот же самый, так что конечно время должно оставаться постоянным (и остаётся).
Что на счёт деления? В частности, ln(5/3) означает: сколько времени понадобится для того, чтобы вырасти в 5 раз, и затем получить 1/3 от этого?
Отлично, рост в 5 раз есть ln(5). Рост в 1/3 раза займёт -ln(3) единиц времени. Итак,
Сие означает: дайте вырасти в 5 раз, и затем "вернитесь во времени" к той отметке, где останется всего треть от того количества, так что у вас получится 5/3 рост. В общем получается
Я надеюсь, что странная арифметика логарифмов начинает обретать для вас смысл: умножение показателей роста становится сложением единиц времени роста, а деление превращается в вычитание единиц времени. Не надо запоминать правила, попробуйте осознать их.
Ну конечно, - скажете вы, - это всё хорошо, если рост 100%-ный, а что в случае 5%, которые я получаю?"
Нет проблем. "Время", которое мы рассчитываем с помощью ln(), на самом деле является комбинацией процентной ставки и времени, тот самый Х из уравнения e x . Мы всего лишь решили задать процент как 100% для простоты, но мы вольны использовать любые числа.
Допустим, мы хотим достичь 30-кратного роста: берём ln(30) и получаем 3.4 Это означает:
Очевидно, это уравнение означает "100%-ная доходность на протяжении 3.4 лет даёт рост в 30 раз". Мы можем записать это уравнение в таком виде:
Мы можем менять значения "ставки" и "времени", лишь бы ставка * время оставалось 3.4. Например, если нас интересует 30-кратный рост - сколько нам придётся ждать при процентной ставке 5%?
Я рассуждаю так: "ln(30) = 3.4, значит, при 100%-ном росте это займёт 3.4 года. Если я удвою скорость роста, необходимое время уменьшится вдвое".
Здорово, правда? Натуральный логарифм может использоваться с любыми значениями процентной ставки и времени, поскольку их произведение остаётся постоянным. Можете перемещать значения переменных сколько душе угодно.
Правило семидесяти двух - математический приём, позволяющий оценить, сколько времени понадобится, чтобы ваши деньги удвоились. Сейчас мы его выведем (да!), и более того, мы попробуем уяснить его суть.
Сколько времени понадобится, чтобы удвоить ваши деньги при 100% ставке, нарастающей ежегодно?
Оп-па. Мы использовали натуральный логарифм для случая с непрерывным ростом, а теперь ты ведёшь речь о ежегодном начислении? Не станет ли это формула непригодной для такого случая? Да, станет, однако для реальных процентных ставок вроде 5%, 6% или даже 15%, разница между ежегодным начислением процентов и непрерывным ростом будет невелика. Так что грубая оценка работает, мм, грубо, так что мы сделаем вид, что у нас полностью непрерывное начисление.
Теперь вопрос прост: Как быстро можно удвоиться при 100%-ном росте? ln(2) = 0.693. Нужно 0.693 единиц времени (лет - в нашем случае), чтобы удвоить нашу сумму с непрерывным ростом 100%.
Так, а что если процентная ставка - не 100%, а скажем, 5% или 10%?
Легко! Поскольку ставка * время = 0.693, мы удвоим сумму:
Получается, если рост 10%-ный, это займёт 0.693 / 0.10 = 6.93 лет на удвоение.
Чтобы упростить вычисления, давайте домножим обе части на 100, тогда можно будет говорить "10", а не "0.10":
Теперь черёд удваиваться при ставке 5%, 69.3 / 5 = 13.86 лет. Однако 69.3 - не самое удобное делимое. Давайте выберем близкое число, 72, которое удобно делить на 2, 3, 4, 6, 8 и другие числа.
что и является правилом семидесяти двух. Всё шито-крыто.
Если вам нужно найти время для утроения, можете использовать ln(3) ~ 109.8 и получить
Что является ещё одним полезным правилом. "Правило 72" применимо росту по процентным ставкам, росту населения, культур бактерий, и всего, что растёт экспоненциально.
Надеюсь, натуральный логарифм теперь приобрёл для вас смысл - он показывает время, необходимое для роста любого числа при экспоненциальном росте. Я думаю, натуральным он называется потому, что e - универсальная мера роста, так что ln можно считать универсальным способом определения, сколько времени нужно для роста.
Каждый раз, когда вы видите ln(x), вспоминайте "время, нужное, чтобы вырасти в Х раз". В предстоящей статье я опишу e и ln в связке, так что свежий аромат математики заполнит воздух.
Быстрая викторина: сколько будет ln(e)?
Мыслите ясно.
9 сентября 2013Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"
Стоит заметить угол наклона касательной к графику функции $y=e^x$ в точке (0;1) равен 45°. Тогда угол наклона касательной к графику натурального логарифма в точке (1;0) также будет равен 45°. Обе эти касательные будут параллельны прямой $y=x$. Давайте схематично изобразим касательные:
В курсе высшей математики доказано, что производная обратной функции есть величина, обратная производной данной функции
.
Углубляться в доказательство не имеет большого смысла, давайте просто запишем формулу: $y"=(\ln{x})"=\frac{1}{x}$.
Пример.
Вычислить значение производной функции: $y=\ln(2x-7)$ в точке $х=4$.
Решение.
В общем виде наша функция представляют функцию $y=f(kx+m)$, производные таких функций мы умеем вычислять.
$y"=(\ln{(2x-7)})"=\frac{2}{(2x-7)}$.
Вычислим значение производной в требуемой точке: $y"(4)=\frac{2}{(2*4-7)}=2$.
Ответ: 2.
Пример.
Провести касательную к графику функции $y=ln{x}$ в точке $х=е$.
Решение.
Уравнение касательной к графику функции, в точке $х=а$, мы хорошо помним.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Последовательно вычислим требуемые значения.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln{e}=1$.
$f"(a)=\frac{1}{a}=\frac{1}{e}$.
$y=1+\frac{1}{e}(x-e)=1+\frac{x}{e}-\frac{e}{e}=\frac{x}{e}$.
Уравнение касательной в точке $х=е$ представляет собой функцию $y=\frac{x}{e}$.
Давайте построим график натурального логарифма и касательной.
Пример.
Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: $y=x^6-6*ln{x}$.
Решение.
Область определения функции $D(y)=(0;+∞)$.
Найдем производную заданной функции:
$y"=6*x^5-\frac{6}{x}$.
Производная существует при всех х из области определения, тогда критических точек нет. Найдем стационарные точки:
$6*x^5-\frac{6}{x}=0$.
$\frac{6*x^6-6}{x}=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Точка $х=-1$ не принадлежит области определения. Тогда имеем одну стационарную точку $х=1$. Найдем промежутки возрастания и убывания:
Точка $х=1$ – точка минимума, тогда $y_min=1-6*\ln{1}=1$.
Ответ: Функция убывает на отрезке (0;1], функция возрастает на луче $}