На поверхность твердого тела, погруженного в жидкость, действуют, как мы знаем, силы давления. Так как давление увеличивается с глубиной погружения, то силы давления, действующие на нижнюю часть тела и направленные вверх, больше, чем силы, действующие на верхнюю его часть и направленные вниз, и мы можем ожидать, что равнодействующая сил давления будет направлена вверх. Опыт подтверждает это предположение.

Рис. 258. Если груз погружен в воду, показание динамометра уменьшается

Рис. 259. Пробка, погруженная в воду, натягивает нитку

Если, например, гирю, подвешенную к крючку динамометра, опустить в воду, то показание динамометра уменьшится (рис. 258).

Равнодействующая сил давления на тело, погруженное в жидкость, называется выталкивающей силой. Выталкивающая сила может быть больше силы тяжести, действующей на тело; например, кусок пробки, привязанный к дну сосуда, наполненного водой, стремясь всплыть, натягивает нитку (рис. 259). Выталкивающая сила возникает и в случае частичного погружения тела. Кусок дерева, плавающий на поверхности воды, не тонет именно благодаря наличию выталкивающей силы, направленной вверх.

Если тело, погруженное в жидкость, предоставить самому себе, то оно тонет, остается в равновесии или всплывает на поверхность жидкости в зависимости от того, меньше ли выталкивающая сила силы тяжести, действующей на тело, равна ей или больше ее. Выталкивающая сила зависит от рода жидкости, в которую, погружено тело. Например, кусок железа тонет в воде, но плавает в ртути; значит, в воде выталкивающая сила, действующая на этот кусок меньше, а в ртути - больше силы тяжести.

Найдем выталкивающую силу, действующую на твердое тело, погруженное в жидкость.

Рис. 260. а) Тело находится в жидкости, б) Тело заменено жидкостью

Выталкивающая сила, действующая на тело (рис. 260 а), есть равнодействующая сил давления жидкости на его поверхность. Представим себе, что тело удалено и его место занято той же жидкостью (рис. 260, б). Давление на поверхность такого мысленно выделенного объёма будет таким же, каким было давление на поверхность самого тела. Значит, и равнодействующая сила давления на тело (выталкивающая сила) равна равнодействующей сил давления на выделенный объем жидкости. Но выделенный объем жидкости находится в равновесии. Силы, действующие на него, - это сила тяжести и выталкивающая сила (рис. 261, а). Значит, выталкивающая сила равна по модулю силе тяжести, действующей на выделенный объем жидкости, и направлена вверх. Точкой приложения этой силы должен быть центр тяжести выделенного объема. В противном случае равновесие нарушилось бы, так как сила тяжести и выталкивающая сила образовали бы пару сил (рис. 261, б). Но, как уже сказано, выталкивающая сила для выделенного объема совпадает с выталкивающей силой тела. Мы приходим, таким образом, к закону Архимеда:

Выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна по модулю силе тяжести, действующей на жидкость в объеме, занимаемом телом (вытесненный объем), направлена вертикально вверх и приложена в центре тяжести этого объема. Центр тяжести вытесненного объема называют центром давления.

Рис. 261. а) Равнодействующая сил давления на поверхность погруженного тела равна силе тяжести, действующей на жидкость, объем которой равен объему тела, б) Если бы точка приложения равнодействующей силы не совпадала с центром тяжести вытесненного объема жидкости, то получилась бы пара сил и равновесие этого объема было бы невозможным

Для тела, имеющего простую форму, можно вычислить выталкивающую силу, рассмотрев силы давления на его поверхность. Пусть, например, тело, погруженное в жидкость, имеет форму прямого параллелепипеда и расположено так, что две его противолежащие грани горизонтальны (рис. 262). Площадь его основания обозначим через , высоту - через , а расстояние от поверхности до верхней грани - через .

Равнодействующая сил давления жидкости составляется из сил давления на боковую поверхность параллелепипеда и на его основания. Силы действующие на боковые грани, взаимно уничтожаются, так как для противолежащих граней силы давления равны по модулю и противоположны по направлению. Давление на верхнее основание равно , на нижнее основание равно . Следовательно, силы давления на верхнее и на нижнее основания равны соответственно

причем сила направлена вниз, а сила - вверх. Таким образом, равнодействующая всех сил давления на поверхность параллелепипеда (выталкивающая сила) равна разности модулей сил и :

и направлена вертикально вверх. Но - это объем параллелепипеда, а - масса вытесненной телом жидкости. Значит, выталкивающая сила действительно равна по модулю силе тяжести, действующей на вытесненный объем жидкости.

Рис. 262. К вычислению выталкивающей силы

Рис. 263. Опытная проверка закона Архимеда при помощи «ведерка Архимеда»

Если тело, подвешенное к чашке весов, погрузить в жидкость, то весы показывают разность между весом тела и выталкивающей силой, т. е. весом вытесненной жидкости. Поэтому закону Архимеда придают иногда следующую формулировку: тело, погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость.

Для иллюстрации справедливости этого вывода сделаем следующий опыт (рис. 263): пустое ведерко («ведерко Архимеда») и сплошной цилиндр , имеющий объем, в точности равный вместимости ведерка, подвесим к динамометру. Затем, подставив сосуд с водой, погрузим цилиндр в воду; равновесие нарушится, и растяжение динамометра уменьшится. Если теперь наполнить ведерко водой, то динамометр снова растянется до прежней длины. Потеря в весе цилиндра как раз равна весу воды в объеме цилиндра.

По закону равенства действия и противодействия выталкивающей силе, с которой жидкость действует на погруженное тело, соответствует сила, с которой тело действует на жидкость. Эта сила направлена вертикально вниз и равна весу жидкости, вытесненной телом. Следующий опыт демонстрирует сказанное (рис. 264). Неполный стакан с водой уравновешивают на весах. Затем в стакан погружают тело, подвешенное на штативе; при этом чашка со стаканом опускается, и для восстановления равновесия приходится добавить на другую чашку гирю, вес которой равен весу воды, вытесненной телом.

Рис. 264. Вес гири, которую нужно положить на левую чашку весов, равен весу воды, вытесненной телом

160.1. Найдите выталкивающую силу, действующую на погруженный в воду камень массы 3 кг, если его плотность равна .

160.2. Куб с ребром 100 мм погружен в сосуд, наполненный водой, поверх которой налит керосин так, что линия раздела обеих жидкостей проходит посередине ребра куба. Найдите выталкивающую силу, действующую на куб. Плотность керосина равна .

160.3 . Кусок пробки массы 10 г, обмотанный медной проволокой с поперечным сечением , остается в равновесии в воде, не погружаясь и не всплывая (табл. 1). Найдите длину проволоки.

160.4. Что произойдет с весами, находящимися в равновесии, если в стакане с водой, стоящий на чашке весов, погрузить палец, не прикасаясь пальцем ни к дну, ни к стенкам стакана?

160.5. К чашкам весов подвешены на нитках кусок меди и кусок железа массы 500 г каждый (табл. 1). Нарушится ли равновесие, если медь погрузить в воду, а железо - в керосин плотности . Гирю какой массы и на какую чашку весов нужно поставить, чтобы восстановить равновесие?

Почему мы можем лежать на поверхности моря, не опускаясь на дно? Почему плавают на поверхности воды тяжелые корабли?

Наверное, существует какая-то сила, которая выталкивает людей и кораблики, то есть, все тела из воды и позволяет плавать на поверхности.

Зависимость давления в жидкости или газе от глубины погружения тела приводит к появлению выталкивающей силы,или иначе силы Архимеда, действующей на любое тело, погруженное в жидкость или газ. Рассмотрим силу Архимеда подробнее на примере.

Все мы пускали кораблики по лужам. А какой кораблик без капитана? Что мы наблюдали? Кораблик под весом капитана погружается глубже. А если мы мы размещали на нашем кораблике пять или восемь капитанов? Наш кораблик опускался на дно.

Что же мы можем извлечь полезного из данного опыта? Когда увеличивался вес кораблика, то мы видели, что кораблик ниже опускался в воду. То есть, вес тела увеличивал давление на воду, а выталкивающая сила оставалась прежней.

Когда же вес тела превысил величину выталкивающей силы, то кораблик под действием этой силы опустился на дно. То есть, существует выталкивающая сила, одинаковая для конкретного тела, но разная для различных тел.

Выталкивающая сила, она же сила Архимеда, действующая на тело, погружённое в жидкость, равна весу жидкости, вытесненной этим телом.

Кирпич, как всем известно, пойдет на дно в любом случае, а вот деревянная дверь не только будет плавать на поверхности, но и может еще удержать пару пассажиров. Сила эта и называется архимедовой силой и выражается формулой:

Fвыт = g*m ж = g* ρ ж * V ж = P ж,

где m ж – это масса жидкости,

а P ж – вес вытесненной телом жидкости.

А так как масса у нас равна: m ж = ρ ж * V ж, то из формулы архимедовой силы мы видим, что она не зависит от плотности погруженного тела, а только от объема и плотности вытесненной телом жидкости.

Архимедова сила - это векторная величина. Причина существования выталкивающей силы – разница в давлении на верхнюю и нижнюю часть тела.Указанное на рисунке давление P 2 > P 1 из-за большей глубины. Для возникновения силы Архимеда достаточно того, чтобы тело было погружено в жидкость хотя бы частично.

Так, если тело плывёт по поверхности жидкости, значит выталкивающая сила, действующая на погружённую в жидкость часть этого тела равна силе тяжести всего тела. Если плотность тела больше плотности жидкости, то тело тонет, если меньше – то всплывает.

Тело же, погруженное в жидкость, теряет в своем весе ровно столько, сколько весит вытесненная им вода. Поэтому, естественно предположить, что если вес тела меньше веса воды такого же объема, то оно будет плавать на поверхности, а если больше – то утонет.

Если же вес тела и воды будет равен, то тело может замечательно плавать в толще воды, как и поступают все водные обитатели. Плотность оганизмов, живущих в воде почти не отличается от плотности воды, поэтому прочные скелеты им не нужны!

Рыбы регулируют глубину погружения, меняя среднюю плотность своего тела. Для этого им необходимо лишь изменить объем плавательного пузыря, сокращая или расслабляя мышцы.

У берегов Египта, водится удивительная рыба фагак. Приближение опасности заставляет фагака быстро заглатывать воду. При этом в пищеводе рыбы происходит бурное разложение продуктов питания с выделением значительного количества газов. Газы заполняют не только действующую полость пищевода, но и имеющийся при ней слепой вырост. В результате тело фагака сильно раздувается, и, в соответствии с законом Архимеда, он быстро всплывает на поверхность водоема. Здесь он плавает, повиснув вверх брюхом, пока выделившиеся в его организме газы не улетучатся. После этого сила тяжести опускает его на дно водоема, где он укрывается среди придонных водорослей.

Эмпирически еще в древней Греции было получено, что тело, погруженное в жидкость, весит меньше, чем находящееся в воздухе. На тело в жидкости со всех сторон она оказывает давление. Силы давления направлены перпендикулярно поверхности тела в каждой его точке. В том случае, если все силы, действующие на тело, были бы равны по модулю, то это тело испытывало только всестороннее сжатие. Мы знаем, что при увеличении глубины гидростатическое давление увеличивается, следовательно, силы давления, которые приложены к нижним частям тела больше, чем силы, которые действуют на тело вверху.

Если заменить все силы давления, которые приложены к телу, находящемуся в жидкости, одной результирующей силой, то эта сила будет направлена вверх. В этой связи ее назвали выталкивающей силой. По-другому ее называют силой Архимеда (${\overline{F}}_A$). Именно Архимед отметил факт ее существования и определил, как ее вычислить.

Сила Архимеда оказывает свое действие на тела не только в жидкостях, но и газах, там, где существует гиростатическое давление.

Величина силы Архимеда

Сила Архимеда, оказывающая действие на тело, погруженное в жидкость (или газ), равна весу жидкости (или газа), в объеме вытесненной (вытесненным) этим телом.

Рассмотрим тело в виде прямоугольного параллелепипеда полностью находящееся в жидкости рис.1. Предположим, что верхнее и нижнее основания располагаются параллельно горизонту.

Силы давления, действующие на боковые грани параллелепипеда, попарно уравновешены (например, ${\overline{F}}_{12}$=$-{\overline{F}}_{21}$). Они только сжимают параллелепипед. Силы, которые действуют на верхнюю и нижнюю грани параллелепипеда не равны между собой. Сила ($F_1$), действия столба жидкости на верхнюю грань, будет равна:

где $\rho $ - плотность жидкости; $S$ - площадь основания; $h_1$ - высота столба жидкости над верхним основанием параллелепипеда.$\ p_0-$ давление атмосферы на поверхность жидкости.

Сила давления жидкости на нижнее основание параллелепипеда:

где $h_2$ - высота столба жидкости над нижним основанием. Так как $h_2>h_1$, значит $F_2>F_1$. Модуль результирующей силы, действующей на тело со стороны жидкости:

Если обозначить высоту параллелепипеда как $h=h_2-h_1$, получим:

где $V$ - объем параллелепипеда. При нахождении тела в жидкости (газе) частично, то под V понимают объем погруженный в вещество (жидкость, газ). Правую часть выражения (4) еще называют весом жидкости, которую вытесняет тело, погруженное в нее.

На тело, находящееся в жидкости или газе, действует сила Архимеда, величина которой равна весу вещества (жидкости или газа) в объеме погруженной части тела. Сила Архимеда направлена вертикально вверх.

Закон Архимеда (4) выполняется для тел любой формы.

Сила Архимеда дает возможность плавать разного рода кораблям, несмотря на то, что плотность материала, из которого изготовлен корпус транспортного средства в несколько раз больше, чем плотность воды. Необходимо только чтобы вес воды, которую вытесняет подводная часть судна, был равен силе тяжести, которая действует на судно. Средняя же плотность корабля меньше плотности воды.

Сила Архимеда действует на тела находящиеся в воздухе. Но так как плотность воздуха мала, действием этой силы часто пренебрегают. В состоянии невесомости сила Архимеда равна нулю. В состоянии невесомости нет гидростатического давления.

Следует учесть, рассуждая о действии силы Архимеда, мы имеем в виду, что тело окружено жидкостью (газом), может быть за исключением своей верхней части. Если тело примыкаем ко дну сосуда или его стенке, то равнодействующая сил гидростатического давления станет прижимать тело ко дну или стенке. В этой связи, например, присасываются ко дну якоря кораблей, и если якорь лежит на большой глубине, то его крайне сложно оторвать от дна.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Металлический предмет, имеющий объем $V=10\ {см}^3$ упал в речку. Какова сила выталкивания, действующая на него?

Решение. На тело в воде будет действовать сила Архимеда (она же сила выталкивания), равная:

где $\rho =1000\ \frac{кг}{м^3}-\ $плотность пресной воды при нормальных условиях; $V=10\ {см}^3={10}^{-5}м^3$; $g=9,8\ \frac{м}{с^2}$ - ускорение свободного падения. Вычислим силу выталкивания:

Ответ. $F_A=9,8\cdot {10}^{-2}$Н

Пример 2

Задание. Чему равна сила натяжения каната (N), при помощи которого из пресного водоема равномерно двигая, поднимают тело плотностью $\rho $ и объемом V? Плотность воды считайте известной (${\rho }_g$). Движение рассмотрите в жидкости.

Решение. Рассмотрим силы, действующие на тело, поднимаемое из воды (рис.2).

В соответствии со вторым законом Ньютона равнодействующая всех сил, приложенных к телу равна нулю, так как тело поднимают равномерно:

\[\overline{N}+m\overline{g}+{\overline{F}}_A=0\ \left(2.1\right).\]

В проекции на ось Y инерциальной системы отсчета, которую мы связали с Землей, уравнение (2.1) даст нам следующее скалярное выражение:

Масса поднимаемого тела может быть найдена как:

Силу Архимеда определим как:

Подставим правые части выражений (2.3) и (2.4) в формулу (2.2) вместо соответствующих величин, выразим силу натяжения каната:

Ответ. $N=\left(\rho -{\rho }_g\right)Vg$

Тема 8. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Сплошной считается среда, для которой характерно равномерное распределение вещества – т.е. среда с одинаковой плотностью. Таковыми являются жидкости и газы.

Поэтому в этом разделе мы рассмотрим основные законы, которые выполняются в этих средах.

СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ

ЗАКОН АРХИМЕДА

Рассмотрим рисунок 1, на котором изображен сосуд с водой, в который погружено некое тело произвольной формы. В процессе погружения очевидно, что

Рис. 1 уровень воды поднимается, т.е. тело

вымещает определенное количество

Воды. Понятно также, что это количество

Vт воды равно объему погруженного тела.

С На это тело действует в данных

А условиях действует 2 силы:

1). Сила тяжести F т, которая направлена

вертикально вниз и приложена к

Точке С, которая называется центром

тяжести тела.

2). Некая сила, которая направлена вертикально вверх и приложена к точке А, которая называется центром плавучести тела. Эта сила была обнаружена и рассчитана древнегреческим математиком Архимедом, поэтому названа в его честь архимедовой силой. Архимедова сила имеет формулу:

F Α = ρ ж gV т,

где F Α – сила Архимеда, ρ ж - плотность жидкости, в которую погружено тело, g=9,8 м/с 2 V т – объем тела.

Если погруженный объем меняется, то будет меняться и выталкивающая сила, действующая на тело. Тогда последняя формула примет дифференциальный вид:

dF Α = ρ ж gdV т ,

Но что же такое центр плавучести? Это точка, которая является центром тяжести вытесненной жидкости. Т.е. если бы на месте тела была жидкость, то у этого объема жидкости был бы свой центр тяжести – в этом месте находится центр плавучести тела. Центр плавучести находится в геометрическом центре погруженного объема тела, тогда как центр тяжести не всегда находится в геометрическом центре тела, т.к. плотность внутри твердого тела может быть распределена неравномерно.

Итак, закон Архимеда формулируется следующим образом: На тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной жидкости и приложенная к центру плавучести тела.

Из соотношения сил, действующих на тело, погруженное в жидкость, легко получить условие плавания тел :

Если F т > F А , то тело тонет;

Если F т < F А , то тело всплывает;

Если F т = F А , то тело плавает на том уровне, где эти силы уравнялись.

Рис. 2 Возможные направления

Из рис. 1 видно, что Архимедова сила направлена вертикально вверх. И если тело со всех сторон омывается жидкостью, то F А имеет именно такое направление. Но, в случае, когда между телом и дном нет водной прослойки( т.е. тело плотно лежит на дне– см. рис.2), то Архимедова сила направлена перпендикулярно поверхности дна .

На рис.3 изображен опыт, подтверждающий выше

Рис. 3 упомянутое утверждение. Дно стеклянного сосуда

покрыто тонким слоем парафина. На него кладут

кусок парафина с гладким основанием и осторожно

наливают в сосуд воду. Кусок парафина не

всплывает на поверхность воды, хотя плотность

его меньше плотности воды. Слегка наклоняя сосуд,

можно заставить кусок парафина передвигаться по

дну, но он не всплывает. Но если наклонить кусок парафина так, чтобы вода проникла под его нижнюю поверхность, то выталкивающая сила заставит парафин всплывать вертикально вверх. Известно, что подводная лодка, легшая на мягкий грунт, иногда не может оторваться от него, даже полностью высвободив свои балластные отсеки от воды. Это также объясняется тем, что вода не может проникнуть под корпус лодки, плотно прилегшему к грунту.

Проделаем опыт (рис. 133). Подвесим к пружине 1 небольшое ведерко 2 и тело цилиндрической формы 3 . Отметив положение стрелки-указателя на штативе (рис. 133, а ), поместим тело в сосуд, наполненный жидкостью до уровня отливной трубки. При этом часть жидкости, объем которой равен объему тела, выльется из сосуда в находящийся рядом стакан (рис. 133, б ). Одновременно с этим вес тела в жидкости уменьшится и указатель пружины переместится вверх. Из предыдущего параграфа мы знаем, что вес тела в жидкости уменьшается на величину, равную архимедовой (выталкивающей) силе. Связана ли эта величина с количеством вытесненной телом жидкости? Чтобы выяснить это, перельем эту жидкость из стакана в ведерко 2 . Мы увидим, как стрелка-указатель снова возвратится к своему прежнему положению (рис. 133, в ). Это означает, что вытесненная телом жидкость весит столько же, сколько теряет в своем весе погруженное в жидкость тело . Но вес тела в жидкости меньше веса того же тела в воздухе на величину, равную выталкивающей силе. Поэтому окончательный вывод, к которому мы приходим, можно сформулировать следующим образом:

Выталкивающая сила, действующая на погруженное в жидкость тело, равна весу жидкости, вытесненной этим телом.

Этот закон был открыт Архимедом и потому носит его имя - закон Архимеда .

Мы установили этот закон опытным путем. Теперь докажем его теоретически. Для этого заметим, что выталкивающая сила (как равнодействующая всех сил давления, действующих со всех сторон на погруженное в жидкость тело) не зависит от того, из какого вещества сделано это тело. Если, например, в воде находится шарик, то давление окружающих слоев воды будет одним и тем же независимо от того, сделан ли этот шарик из пластмассы, стекла или стали. (Точно так же давление столба жидкости на дно сосуда не зависит от того, из какого материала изготовлено дно этого сосуда.) А раз так, то рассмотрим простейший случай, когда погруженное в жидкость тело состоит из той же жидкости, в которую оно погружено. Это (жидкое) тело, как и любая другая часть окружающей жидкости, будет, очевидно, находиться в равновесии. Поэтому приложенная к нему архимедова сила F А будет уравновешена действующей вниз силой тяжести m ж g (где m ж -масса жидкости в объеме данного тела):

F A = m ж g . (47.1)

Но сила тяжести m ж g равна весу вытесненной жидкости Р ж . Таким образом, F A = Р ж , что и требовалось доказать.

Формулу (47.1) можно переписать в другом виде. Учитывая, что масса жидкости mж равна произведению ее плотности ρ ж на объем V ж , получаем

F A = ρ ж V ж g . (47.2)

Через V ж здесь обозначен объем вытесненной жидкости. Этот объем равен объему той части тела, которая погружена в жидкость. Если тело погружено в жидкость целиком, то он совпадает с объемом V всего тела; если же тело погружено в жидкость частично, то он меньше объема V тела (рис. 134).
Формула (47.2) остается справедливой и для архимедовой силы, действующей в газе; только в этом случае в нее следует подставлять плотность газа и объем вытесненного газа, а не жидкости.

С учетом вышеизложенного закон Архимеда в настоящее время формулируют следующим образом:

На всякое тело, погруженное в покоящуюся жидкость (или газ), действует со стороны этой жидкости (или газа) выталкивающая сила, равная произведению плотности жидкости (или газа), ускорения свободного падения и объема той части тела, которая погружена в жидкость (или газ).

1. Сформулируйте закон Архимеда в старой и современной (более общей) форме. 2. Имеются два шарика одинакового радиуса: деревянный и стальной. Одинаковая ли выталкивающая сила будет действовать на них при их полном погружении в воду? 3. Тело полностью погрузили сначала в чистую воду, а затем - в соленую. В какой воде на тело действовала большая выталкивающая сила? 4. К коромыслу весов подвешены два цилиндра одинаковой массы: свинцовый и алюминиевый. Весы находятся в равновесии. Нарушится ли равновесие весов, если оба цилиндра одновременно погрузить в воду? 5. К коромыслу весов подвешены два одинаковых по объему алюминиевых цилиндра. Нарушится ли равновесие весов, если один цилиндр погрузить в воду, а другой (одновременно с первым) - в спирт?