Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, / АDF и / FDВ - углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен:

2d - 3 / 5 d = l 2 / 5 d .

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF - также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d - 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d .

Таким же образом можно вычислить, чему равны / 3 и / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d ; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d (черт. 77).

Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/ a + / c = 2d ;
/ b + / c = 2d ;

(так как сумма смежных углов равна 2d ).

/ a + / c = / b + / c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2d ).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d .

На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d .

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

Сейтмамбетова Ильвира Алимсеитовна

Тема урока: Смежные углы.

Цели урока:

Образовательные: ввести понятие смежных углов;

Научить учащихся строить смежные углы;

Доказать теорему и следствия из нее;

Рассмотреть разные виды углов.

Развивающие: развитие логического мышления;

Развитие геометрического воображения;

Воспитательные: формирование математической культуры записи решения.

Тип урока: усвоение новых знаний;

Оборудование: модель смежных углов, интерактивная доска

Ход урока

I Организационный момент (приветствие, оглашение темы урока, цели урока учащиеся формулируют самостоятельно)

II Проверка домашнего задания. (разбор выявленных трудностей, выборочная проверка ответов и решений)

III Актуализация опорных знаний и умений

Задание классу

Нарисуйте два дополнительных луча ОА и ОВ (по ходу решения вспомнить определение дополнительных лучей)

Какой угол образуют эти лучи?

Какова его величина?

Нарисуйте луч, проходящий между сторонами развернутого угла

Какой луч считается проходящим между сторон угла? (любой луч, выходящий из вершины угла, отличный от сторон угла)

Сформулируйте аксиому измерения углов (на рисунке изображается луч ОС, цифрами обозначаются углы и делается запись ∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOB

IV Изучение нового материала

Введение понятий ведется таким образом, чтобы учащиеся самостоятельно формулировали определение смежных углов, теорему и пробовали ее доказать.

Введение понятия «смежные углы»

Задание классу (один учащийся работает у доски)

Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая

Нарисуйте два угла, у которых одна сторона

первого из углов является дополнительным лучом стороны второго угла.

Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая, а две другие – дополнительные лучи

Вывод: углы, изображенные на последнем чертеже,

являются смежными.

Формулирование определения смежных углов:

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а

две другие – дополнительные лучи.

Устное первичное закрепление

Найти на чертеже смежные углы, и выписать их

а) б)

Задание классу

Учитель на доске строит угол.

Необходимо построить угол, смежный данному. Сколько решений имеет данная задача. Какой вывод можно сделать из рассмотренной задачи?

Свойство смежных углов

Задание классу:

Задача: Даны два смежных угла ∠ BCD и ∠ ACD , причем ∠ BCD = 35 о

Найдите ∠ ACD .

Вариант рассуждений: ∠ AC В развернутый, следовательно, его градусная мера равна 180 о . Луч CD проходит между сторонами этого угла, поскольку он выходит из его вершины и отличен от его сторон. По аксиоме ∠ ACD + ∠ BCD = ∠ AC В, т.е. ∠ ACD + ∠ BCD =180 о . следовательно, ∠ ACD =180 о - ∠ BCD =180 о -35 о =145 о .

Какое свойство смежных углов можно заметить?

Вывод: Сумма смежных углов равна 180 о .

Доказательство теоремы.

Теорема: Сумма смежных углов равна 180 о .

Дано: ∠1 и ∠2 – смежные углы

Доказать: ∠1 и ∠2= 180 о

Доказательство:

По условию, ∠1 и ∠2 – смежные углы, следовательно, СА и СВ – дополнительные лучи (определение смежных углов). Тогда ∠АСВ-развернутый (определение развернутого угла).

∠АСВ= 180 о (аксиома).

Луч CD проходит между сторонами развернутого угла (по определению). Итак, ∠1 и ∠2=∠АСВ, т.е. ∠1 и ∠2= 180 о

Теорема доказана.

Во время изучения некоторых следствий из теоремы и видов углов удобно использовать простую модель смежных углов. Она изготовлена так: к подвижной стороне, закрепленной в вершине смежных углов, с обеих сторон прикреплены сектора. Во время вращения общей стороной оба сектора передвигаются в пазах, проделанных вдоль двух других сторон. С помощью шкал, нанесенных на сектора, демонстрируются смежные углы различной величины.

Следствия из теоремы:

Если два угла равны, то смежные с ними углы равны

Доказательство

Обозначим градусную меру равных углов через х, тогда величина каждого из смежных углов, будет равна 180 о -х, т.е. эти углы будут равны.

Если угол неразвернутый, то он меньше 180 о

Доказательство

Пусть дан произвольный неразвернутый угол ∠( ab ), следовательно, ∠(ab ) не равен 180 о . Построим луч а 1, дополнительный к лучу а. По определению, углы ( ab ) и ( а 1 b ) будут смежными. По теореме ∠ (ab ) +∠ ( а 1 b )= 180 о или ∠ ( а 1 b ) = 180 о - ∠ ( а b ). Предположим, что угол (ab ) не меньше 180 о . Если, что противоречит аксиоме. Это означает, что. Значит, .

Угол, смежный с прямым, является прямым

Доказательство

Угол, равный, называется прямым. Пусть один из смежных углов прямой, т.е. равен. Поскольку, сумма смежных углов равна, то второй угол равен, следовательно, он прямой.

Виды углов (учащиеся уже знают, обобщить по таблице)

V Закрепление новых знаний и умений

Решение задач

Сумма двух углов равна, докажите, что они не являются смежными.

Один из смежных углов, равен, найдите второй угол.

Один из смежных углов на больше, чем второй. Найдите эти углы.

Пусть градусная мера меньшего из двух углов равна х. Тогда больший угол будет равен (х+), а их сумма (х+(х+40)) или (по теореме).

Составим и решим уравнение

х+(х+40)=;

Ответ: и.

Один из смежных углов в 3 раза больше, чем второй. Найдите эти углы.

Один из смежных углов больше, чем второй на. Найдите эти углы.

Замечание: последние две задачи решить двумя способами: с помощью уравнения и без составления уравнения.

Величины смежных углов относятся как 2:3. Найдите эти углы.

Решение (алгебраическим способом)

Пусть градусная мера смежный углов равна х. Тогда больший угол будет равен 3х, а меньший 2х. Их сумма 2х+3х=5х или (по теореме).

Составим и решим уравнение

5х=;

Значит, меньший из смежных углов, равен, а больший.

Ответ: и.

VI Подведение итогов урока. Рефлексия

Является ли верным утверждение: если сумма двух углов равна 180, то они смежные? (Нет, уместно привести контрпример)

Может ли разность двух смежных углов быть равной прямому углу (Да,)

VII Домашнее задание

Две прямые пересекаются. Сколько при этом пар смежных углов образовалось? (ответ: 4)

Найти градусные меры смежных углов, если:

1. они относятся как 7:29 (ответ);

   их разность равна? (ответ);

Выучить определение смежных углов, уметь доказывать теорему о смежных углах и следствия из нее.

В процессе изучения курса геометрии понятия “угол”, “вертикальные углы”, “смежные углы” встречаются достаточно часто. Понимание каждого из терминов поможет разобраться в поставленной задаче и правильно ее решить. Что такое смежные углы и как их определять?

Смежные углы – определение понятия

Термин “смежные углы” характеризует два угла, образованных общим лучом и двумя дополнительными полупрямыми, лежащими на одной прямой. Все три луча выходят из одной точки. Общая полупрямая является одновременно стороной как одного, так и второго угла.

Смежные углы – основные свойства

1. Исходя из формулировки смежных углов, нетрудно заметить, что сумма таких углов всегда образует развернутый угол, градусная мера которого равна 180°:

• Если μ и η являются смежными углами, то μ + η = 180°.
• Зная величину одного из смежных углов (например, μ), можно легко вычислить градусную меру второго угла (η), используя выражение η = 180° – μ.

2. Данное свойство углов позволяет сделать следующий вывод: угол, являющийся смежным прямому углу, также будет прямым.

3. Рассматривая тригонометрический функции (sin, cos, tg, ctg), основываясь на формулах приведения для смежных углов μ и η справедливо следующее:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Смежные углы – примеры

Пример 1

Задан треугольник с вершинами M, P, Q – ΔMPQ. Найти углы, смежные углам ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Продлим каждую из сторон треугольника прямой.
• Зная о том, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла, выясняем, что:

смежным для угла ∠QMP будет ∠LMP,

смежным для угла ∠MPQ будет ∠SPQ,

смежным для угла ∠PQM будет ∠HQP.

Пример 2

Величина одного смежного угла составляет 35°. Чему равна градусная мера второго смежного угла?

• Два смежных угла в сумме образуют 180°.
• Если ∠μ = 35°, то смежный ему ∠η = 180° – 35° = 145°.

Пример 3

Определить величины смежных углов, если известно, что градусная мера одного из низ втрое больше градусной меры другого угла.

• Обозначим величину одного (меньшего) угла через – ∠μ = λ.
• Тогда, согласно условию задачи, величина второго угла будет равна ∠η = 3λ.
• Исходя из основного свойства смежных углов, μ + η = 180° следует

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Значит первый один угол ∠μ = λ = 45°, а второй угол ∠η = 3λ = 135°.

Умение апеллировать терминологией, а также знание основных свойств смежных углов поможет справиться с решением многих геометрических задач.

Известную величину основного угла α₁ = α₂ = 180°-α.

Из этого имеются . Если два угла одновременно являются и смежными, и равными, то они прямые. Если один из смежных углов является прямым, то есть составляет 90 градусов, то другой угол тоже прямой. Если один из смежных углов острый, то другой будет тупым. Аналогично, если один из углов тупой, то второй, соответственно, будет острым.

Острый угол – это такой, градусная мера которого меньше 90 градусов, но больше 0. Тупой угол имеет градусную меру больше 90 градусов, но меньше 180.

Другое свойство смежных углов формулируется так: если два угла равны, то углы, смежные с ними, также равны. Это , что если есть два угла, градусная мера для которых совпадает (например, она составляет 50 градусов) и при этом из них имеет смежный угол, то значения этих смежных углов тоже совпадают (в примере их градусная мера будет равна 130 градусам).

Источники:

• Большой Энциклопедический Словарь - Смежные углы
• угол 180 градусов

Слово « » имеет различные толкования. В геометрии угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки – вершины. Когда речь идет о прямых, острых, развернутых углах, то подразумеваются именно геометрические углы.

Как и любые фигуры в геометрии, углы можно сравнивать. Равенство углов определяется с помощью движения. Угол нетрудно разделить на две равные части. Разделить на три части немного сложнее, но все же это можно сделать с помощью линейки и циркуля. Кстати, эта задача казалась довольно трудной. Описать, что один угол больше или меньше другого, геометрически несложно.

В качестве единицы измерения углов принят – 1/180 развернутого угла. Величина угла – это число, показывающее, во раз угол, выбранный за единицу измерения, укладывается в рассматриваемой фигуре.

Каждый угол имеет градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусам. Градусная мера угла считается равной сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом на плоскости, ограниченной его сторонами.

От любого луча в заданную плоскость можно отложить угол с некоторой градусной мерой, не превышающей 180 . Причем такой угол будет только один. Мерой плоского угла, который является частью полуплоскости, считается градусная мера угла с аналогичными сторонами. Мерой плоскости угла, содержащего полуплоскость, является значение 360 – α, где α – градусная мера дополнительного плоского угла.

Градусная мера угла дает возможность перейти от геометрического их описания к числовому. Так, под прямым углом понимается угол, равный 90 градусам, тупой угол – это угол, меньше 180 градусов, но больше 90, острый угол не превышает 90 градусов.

Помимо градусной, существует радианная мера угла. В планиметрии длина как L, радиус – r, а соответствующий центральный угол – α. Причем эти параметры связаны соотношением α = L/r. Эта лежит в основе радианной меры измерения углов. Если L=r, то угол α будет равен одному радиану. Итак, радианная мера угла – это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключенной между сторонами этого угла, к радиусу дуги. Полный оборот в градусном измерении (360 градусов) соответствует 2π в радианном. Один 57,2958 градусам.

Видео по теме

Источники:

• градусная мера углов формула

Углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (на рис. углы 1 и 2 смежные). Рис. к ст. Смежные углы … Большая советская энциклопедия

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ - углы, имеющие общую вершину и одну общую сторону, а две др. их стороны лежат на одной прямой … Большая политехническая энциклопедия

См. Угол … Большой Энциклопедический словарь

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла … Научно-технический энциклопедический словарь

См. Угол. * * * СМЕЖНЫЕ УГЛЫ СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, см. Угол (см. УГОЛ) … Энциклопедический словарь

- (Angles adjacents) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие С. углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через вершину … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

См. Угол … Естествознание. Энциклопедический словарь

Две прямые пересекаются, создавая пару вертикальных углов. Одна пара состоит из углов A и B, другая из C и D. В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух … Википедия

Пара комплементарных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Комплементарные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два комплементарных угла являются соседними (т.е. имеют общую вершину и разделяются только… … Википедия

Пара дополнительных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Дополнительные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два дополнительных угла являются с … Википедия

Книги

• О доказательстве в геометрии , Фетисов А.И.. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Однажды, в самом начале учебного года, мне пришлось услышать разговор двух девочек. Старшая из них…
• Комплексная тетрадь для контроля знаний. Геометрия. 7 класс. ФГОС , Бабенко Светлана Павловна, Маркова Ирина Сергеевна. В пособии представлены контрольно-измерительные материалы (КИМы) по геометрии для проведения текущего, тематического и итогового контроля качества знаний учащихся 7 класса. Содержание пособия…