Soms vragen mensen die niets met wiskunde te maken hebben zich af: wat is het grootste getal? Aan de ene kant ligt het antwoord voor de hand: oneindig. De boringen zullen zelfs dat "plus oneindig" of "+∞" in de notatie van wiskundigen verduidelijken. Maar dit antwoord zal de meest corrosieve niet overtuigen, vooral omdat dit geen natuurlijk getal is, maar een wiskundige abstractie. Maar als ze de kwestie goed hebben begrepen, kunnen ze een interessant probleem aan de orde stellen.
Er is in dit geval inderdaad geen limiet voor de grootte, maar er is een limiet aan de menselijke verbeeldingskracht. Elk nummer heeft een naam: tien, honderd, miljard, sextillion, enzovoort. Maar waar eindigt de fantasie van mensen?
Niet te verwarren met een handelsmerk van Google Corporation, hoewel ze een gemeenschappelijke oorsprong hebben. Dit getal wordt geschreven als 10100, dat wil zeggen één gevolgd door een staart van honderd nullen. Het is moeilijk voor te stellen, maar het werd actief gebruikt in de wiskunde.
Het is grappig wat zijn kind bedacht - de neef van de wiskundige Edward Kasner. In 1938 vermaakte mijn oom jongere familieleden met ruzies over zeer grote aantallen. Tot verontwaardiging van het kind bleek dat zo'n prachtig nummer geen naam had, en hij gaf zijn versie. Later plaatste mijn oom het in een van zijn boeken en de term bleef hangen.
Theoretisch is een googol een natuurlijk getal, omdat het kan worden gebruikt om te tellen. Dat is gewoon dat bijna niemand het geduld heeft om tot het einde te tellen. Dus alleen theoretisch.
Wat betreft de naam van het bedrijf Google, toen slopen ze een veelgemaakte fout in. De eerste investeerder en een van de mede-oprichters had bij het uitschrijven van de cheque haast en miste de letter "O", maar om het te verzilveren, moest het bedrijf onder deze spelling worden geregistreerd.
Dit getal is een afgeleide van de googol, maar aanzienlijk groter. Het voorvoegsel "plex" betekent het verhogen van tien tot de macht van het grondtal, dus guloplex is 10 tot de macht van 10 tot de macht van 100, of 101000.
Het resulterende aantal overschrijdt het aantal deeltjes in het waarneembare heelal, dat wordt geschat op ongeveer 1080 graden. Maar dit weerhield wetenschappers er niet van om het aantal simpelweg te verhogen door er het voorvoegsel "plex" aan toe te voegen: googolplexplex, googolplexplex, enzovoort. En voor bijzonder perverse wiskundigen bedachten ze een optie om te verhogen zonder eindeloze herhaling van het voorvoegsel "plex" - ze zetten er eenvoudig Griekse getallen voor: tetra (vier), penta (vijf) enzovoort, tot deca (tien ). De laatste optie klinkt als een googoldekaplex en betekent een tienvoudige cumulatieve herhaling van de procedure voor het verhogen van het getal 10 tot de macht van zijn basis. Het belangrijkste is om je het resultaat niet voor te stellen. Je zult het nog steeds niet kunnen beseffen, maar het is gemakkelijk om een trauma aan de psyche te krijgen.
Hoofdpersonen: Cooper, zijn computer en een nieuw priemgetal
Relatief recent, ongeveer een jaar geleden, was het mogelijk om het volgende, 48e Mersen-nummer te ontdekken. Het is momenteel het grootste priemgetal ter wereld. Bedenk dat priemgetallen die zijn die alleen deelbaar zijn zonder rest door 1 en zichzelf. De eenvoudigste voorbeelden zijn 3, 5, 7, 11, 13, 17 enzovoort. Het probleem is dat hoe verder in de wildernis, hoe minder vaak zulke getallen voorkomen. Maar des te waardevoller is de ontdekking van elke volgende. Een nieuw priemgetal bestaat bijvoorbeeld uit 17.425.170 cijfers als het wordt weergegeven in de vorm van een decimaal getalsysteem dat ons bekend is. De vorige had ongeveer 12 miljoen karakters.
Het werd ontdekt door de Amerikaanse wiskundige Curtis Cooper, die voor de derde keer de wiskundige gemeenschap verrukte met een dergelijk record. Om zijn resultaat te controleren en te bewijzen dat dit getal echt priem is, kostte het 39 dagen van zijn pc.
Dit is hoe het getal van Graham wordt geschreven in de pijlnotatie van Knuth. Het is moeilijk te zeggen hoe dit te ontcijferen zonder een voltooide hogere opleiding in theoretische wiskunde. Het is ook onmogelijk om het op te schrijven in de decimale vorm die we gewend zijn: het waarneembare heelal is gewoon niet in staat om het te bevatten. Schermdiploma voor diploma, zoals in het geval van googolplexen, is ook geen optie.
Goede formule, maar onbegrijpelijk
Dus waarom hebben we dit schijnbaar nutteloze nummer nodig? Ten eerste, voor de nieuwsgierigen, het werd in het Guinness Book of Records geplaatst, en dit is al veel. Ten tweede werd het gebruikt om een probleem op te lossen dat deel uitmaakt van het Ramsey-probleem, dat ook onbegrijpelijk is, maar serieus klinkt. Ten derde wordt dit aantal erkend als het grootste dat ooit in de wiskunde is gebruikt, en niet in stripbewijzen of intellectuele spellen, maar voor het oplossen van een zeer specifiek wiskundig probleem.
Aandacht! De volgende informatie is gevaarlijk voor uw geestelijke gezondheid! Door het te lezen, aanvaardt u de verantwoordelijkheid voor alle gevolgen!
Voor degenen die hun geest willen testen en willen mediteren op het Graham-nummer, kunnen we proberen het uit te leggen (maar probeer het alleen).
Stel je voor 33. Het is vrij eenvoudig - je krijgt 3*3*3=27. Wat als we nu drie tot dit aantal verhogen? Het blijkt 3 3 tot de 3e macht te zijn, of 3 27. In decimale notatie is dit gelijk aan 7.625.597.484.987. Veel, maar voor nu kan het worden begrepen.
In de pijlnotatie van Knuth kan dit getal wat eenvoudiger worden weergegeven - 33. Maar als je maar één pijl toevoegt, wordt het moeilijker: 33, wat 33 betekent tot de macht van 33 of in machtsnotatie. Indien uitgebreid tot decimale notatie, krijgen we 7.625.597.484.987 7.625.597.484.987 . Kun je de gedachte nog volgen?
Volgende stap: 33= 33 33 . Dat wil zeggen, je moet dit wilde getal uit de vorige actie berekenen en het tot dezelfde macht verhogen.
En 33 is slechts de eerste van de 64 leden van Graham's nummer. Om de tweede te krijgen, moet je het resultaat van deze furieuze formule berekenen en het juiste aantal pijlen in het 3(...)3-schema vervangen. En zo verder, 63 keer.
Ik vraag me af of iemand behalve hij en een dozijn andere supermathematici in staat zal zijn om op zijn minst tot het midden van de reeks te komen en niet tegelijkertijd gek te worden?
Heb je iets begrepen? Wij zijn niet. Maar wat een sensatie!
Waarom zijn de grootste aantallen nodig? Het is voor de leek moeilijk om dit te begrijpen en te beseffen. Maar een paar specialisten kunnen met hun hulp nieuw technologisch speelgoed aan de bewoners presenteren: telefoons, computers, tablets. De stedelingen kunnen ook niet begrijpen hoe ze werken, maar ze gebruiken ze graag voor hun eigen vermaak. En iedereen is blij: de stedelingen krijgen hun speelgoed, "supernerds" - de mogelijkheid om hun hersenspelletjes lang te spelen.
Veel mensen zijn geïnteresseerd in vragen over hoe grote getallen worden genoemd en welk getal het grootste ter wereld is. Deze interessante vragen zullen in dit artikel worden behandeld.
De Zuid- en Oost-Slavische volkeren gebruikten alfabetische nummering om getallen te schrijven, en alleen die letters die in het Griekse alfabet staan. Boven de letter, die het nummer aanduidde, plaatsten ze een speciaal "titlo" -pictogram. De numerieke waarden van de letters namen toe in dezelfde volgorde waarin de letters volgden in het Griekse alfabet (in het Slavische alfabet was de volgorde van de letters iets anders). In Rusland bleef de Slavische nummering bewaard tot het einde van de 17e eeuw, en onder Peter I schakelden ze over op "Arabische nummering", die we vandaag nog steeds gebruiken.
Ook de namen van de nummers veranderden. Dus tot de 15e eeuw werd het getal "twintig" aangeduid als "twee tien" (twee tientallen), en daarna werd het verminderd voor een snellere uitspraak. Het getal 40 heette tot de 15e eeuw "veertig", daarna werd het vervangen door het woord "veertig", dat oorspronkelijk een zak aanduidde met 40 eekhoorn- of sabelvellen. De naam "miljoen" verscheen in 1500 in Italië. Het werd gevormd door een augmentatief achtervoegsel toe te voegen aan het getal "mille" (duizend). Later kwam deze naam naar het Russisch.
In de oude (XVIII eeuw) "Rekenkunde" van Magnitsky, is er een tabel met namen van getallen, gebracht naar de "viervoud" (10 ^ 24, volgens het systeem door middel van 6 cijfers). Perelman Ya.I. in het boek "Entertaining Arithmetic" worden de namen van grote aantallen uit die tijd gegeven, enigszins anders dan tegenwoordig: septillion (10 ^ 42), octalion (10 ^ 48), nonalion (10 ^ 54), decalion (10 ^ 60) , endecalion (10 ^ 66), dodecalion (10 ^ 72) en er staat geschreven dat "er geen verdere namen zijn."
Er zijn 2 manieren om grote getallen een naam te geven:
Van het Engelse systeem is alleen het woord miljard overgegaan in de Russische taal, wat nog correcter is om het te noemen zoals de Amerikanen het noemen - miljard (aangezien het Amerikaanse systeem voor het benoemen van getallen in het Russisch wordt gebruikt).
Naast nummers die in het Amerikaanse of Engelse systeem zijn geschreven met Latijnse voorvoegsels, zijn er niet-systeemnummers bekend die hun eigen naam hebben zonder Latijnse voorvoegsels.
| Nummer | Latijns cijfer | Naam | Praktische waarde | |
| 10 1 | 10 | tien | Aantal vingers op 2 handen | |
| 10 2 | 100 | honderd | Ongeveer de helft van het aantal van alle staten op aarde | |
| 10 3 | 1000 | duizend | Geschat aantal dagen in 3 jaar | |
| 10 6 | 1000 000 | unus (ik) | miljoen | 5 keer meer dan het aantal druppels in een 10 liter. emmer met water |
| 10 9 | 1000 000 000 | duo(II) | miljard (miljard) | Geschatte bevolking van India |
| 10 12 | 1000 000 000 000 | drie (III) | biljoen | |
| 10 15 | 1000 000 000 000 000 | quattor (IV) | quadriljoen | 1/30 van de lengte van een parsec in meters |
| 10 18 | quinque (V) | triljoen | 1/18 van het aantal korrels van de legendarische onderscheiding aan de uitvinder van het schaken | |
| 10 21 | geslacht (VI) | zestiljoen | 1/6 van de massa van de planeet Aarde in tonnen | |
| 10 24 | septem (VII) | septiljoen | Aantal moleculen in 37,2 liter lucht | |
| 10 27 | octo (VIII) | octiljoen | De helft van de massa van Jupiter in kilogram | |
| 10 30 | nieuw(IX) | triljoen | 1/5 van alle micro-organismen op de planeet | |
| 10 33 | december(X) | deciljoen | De helft van de massa van de zon in gram | |
Voor getallen groter dan duizend hadden de Romeinen geen eigen namen (alle namen van onderstaande getallen waren samengesteld).
Naast hun eigen namen, kunt u voor getallen groter dan 10 33 samengestelde namen krijgen door voorvoegsels te combineren.
Samengestelde namen voor grote getallen
| Nummer | Latijns cijfer | Naam | Praktische waarde |
| 10 36 | undecim (XI) | andecillion | |
| 10 39 | duodecim (XII) | duodeciljoen | |
| 10 42 | tredecim (XIII) | tredecillion | 1/100 van het aantal luchtmoleculen op aarde |
| 10 45 | quattuordecim (XIV) | quattordeciljoen | |
| 10 48 | quindecim (XV) | quindeciljoen | |
| 10 51 | sedecim (XVI) | sexdecillion | |
| 10 54 | septendecim (XVII) | septemdeciljoen | |
| 10 57 | octodeciljoen | Zoveel elementaire deeltjes in de zon | |
| 10 60 | novemberdecillion | ||
| 10 63 | viginti (XX) | vigintiljoen | |
| 10 66 | unus en viginti (XXI) | anvigintillion | |
| 10 69 | duo en viginti (XXII) | duovigintillion | |
| 10 72 | tres en viginti (XXIII) | trevigintillion | |
| 10 75 | quattorvigintillion | ||
| 10 78 | quinvigintillion | ||
| 10 81 | sexvigintillion | Zoveel elementaire deeltjes in het heelal | |
| 10 84 | septemvigintillion | ||
| 10 87 | octovigintillion | ||
| 10 90 | novemvigintillion | ||
| 10 93 | drietand (XXX) | triljoen | |
| 10 96 | antirigintillion |
Verdere namen kunnen worden verkregen door directe of omgekeerde volgorde van Latijnse cijfers (het is niet bekend hoe dit correct moet):
De tweede spelling is meer in lijn met de constructie van cijfers in het Latijn en vermijdt dubbelzinnigheden (bijvoorbeeld in het getal trecentillion, dat in de eerste spelling zowel 10903 als 10312 is).
myriade- 10.000 De naam is verouderd en wordt praktisch niet gebruikt. Het woord "myriad" wordt echter veel gebruikt, wat niet een bepaald aantal betekent, maar een ontelbare, ontelbare reeks van iets.
googol ( Engels . googol) — 10 100 . De Amerikaanse wiskundige Edward Kasner schreef voor het eerst over dit aantal in 1938 in het tijdschrift Scripta Mathematica in het artikel "New Names in Mathematics". Volgens hem stelde zijn 9-jarige neefje Milton Sirotta voor om het nummer op deze manier te bellen. Dit nummer werd algemeen bekend dankzij de naar hem vernoemde Google-zoekmachine.
Asankheyya(van Chinees asentzi - ontelbaar) - 10 1 4 0. Dit aantal wordt gevonden in de beroemde boeddhistische verhandeling Jaina Sutra (100 v.Chr.). Er wordt aangenomen dat dit aantal gelijk is aan het aantal kosmische cycli dat nodig is om nirvana te bereiken.
Googolplex ( Engels . Googolplex) — 10^10^100. Dit getal is ook uitgevonden door Edward Kasner en zijn neef, het betekent één met een googol van nullen.
Spies nummer (Het nummer van Skewes Sk 1) betekent e tot de macht van e tot de macht van e tot de macht 79, d.w.z. e^e^e^79. Dit getal werd in 1933 door Skewes voorgesteld (Skewes. J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933.) om het vermoeden van Riemann met betrekking tot priemgetallen te bewijzen. Later verminderde Riele (te Riele, HJJ "On the Sign of the Difference P(x)-Li(x"). Math. Comput. 48, 323-328, 1987) het getal van Skuse tot e^e^27/4, wat ongeveer gelijk is aan 8.185 10^370. Dit getal is echter geen geheel getal, dus het is niet opgenomen in de tabel met grote getallen.
Tweede spiesnummer (Sk2) is gelijk aan 10^10^10^10^3, wat 10^10^10^1000 is. Dit getal werd in hetzelfde artikel door J. Skuse geïntroduceerd om het getal aan te duiden tot waar de Riemann-hypothese geldig is.
Voor supergrote getallen is het onhandig om krachten te gebruiken, dus er zijn verschillende manieren om getallen te schrijven - de notaties van Knuth, Conway, Steinhouse, enz.
Hugo Steinhaus stelde voor om grote getallen in geometrische vormen (driehoek, vierkant en cirkel) te schrijven.
De wiskundige Leo Moser wijzigde de notatie van Steinhouse door te suggereren dat na de vierkanten, in plaats van cirkels, vijfhoeken worden getekend, dan zeshoeken, enzovoort. Moser stelde ook een formele notatie voor deze polygonen voor, zodat de getallen kunnen worden geschreven zonder complexe patronen te tekenen.
Steinhouse kwam met twee nieuwe supergrote nummers: Mega en Megiston. In Moser-notatie worden ze als volgt geschreven: Mega – 2, Megiston– 10. Leo Moser stelde voor om ook een polygoon te noemen waarvan het aantal zijden gelijk is aan mega – megagon, en suggereerde ook het nummer "2 in Megagon" - 2. Het laatste nummer staat bekend als Moser's nummer of gewoon leuk Moser.
Er zijn getallen groter dan Moser. Het grootste getal dat in een wiskundig bewijs is gebruikt, is nummer Graham(Grahams nummer). Het werd voor het eerst gebruikt in 1977 in het bewijs van één schatting in de Ramsey-theorie. Dit getal wordt geassocieerd met bichromatische hyperkubussen en kan niet worden uitgedrukt zonder een speciaal 64-niveausysteem van speciale wiskundige symbolen, geïntroduceerd door Knuth in 1976. Donald Knuth (die The Art of Programming schreef en de TeX-editor creëerde) bedacht het concept van superkracht, dat hij voorstelde te schrijven met pijlen die naar boven wijzen:
In het algemeen
Graham stelde G-nummers voor:
Het getal G 63 wordt het Grahamgetal genoemd, vaak eenvoudigweg G genoemd. Dit getal is het grootste bekende getal ter wereld en staat vermeld in het Guinness Book of Records.
Er zijn getallen die zo ongelooflijk, ongelooflijk groot zijn dat het hele universum nodig zou zijn om ze zelfs maar op te schrijven. Maar dit is wat echt gekmakend is... sommige van deze onbegrijpelijk grote aantallen zijn extreem belangrijk om de wereld te begrijpen.
Als ik zeg "het grootste getal in het universum", bedoel ik echt het grootste significant nummer, het maximaal mogelijke aantal dat op de een of andere manier nuttig is. Er zijn veel kanshebbers voor deze titel, maar ik waarschuw je meteen: er is inderdaad een risico dat je versteld zult staan als je dit allemaal probeert te begrijpen. En bovendien, met te veel wiskunde krijg je weinig plezier.
Googol en googolplex
Edward Kasner
We zouden kunnen beginnen met twee, zeer waarschijnlijk de grootste getallen waar je ooit van hebt gehoord, en dit zijn inderdaad de twee grootste getallen die algemeen aanvaarde definities in de Engelse taal hebben. (Er is een vrij nauwkeurige nomenclatuur die wordt gebruikt voor getallen zo groot als je zou willen, maar deze twee getallen worden momenteel niet gevonden in woordenboeken.) Google, sinds het wereldberoemd werd (zij het met fouten, let op: het is in feite googol) in de vorm van Google, werd in 1920 geboren als een manier om kinderen voor grote aantallen te interesseren.
Hiertoe nam Edward Kasner (foto) zijn twee neven, Milton en Edwin Sirott, mee op een New Jersey Palisades-tour. Hij nodigde hen uit om met ideeën te komen, en toen stelde de negenjarige Milton "googol" voor. Waar hij dit woord vandaan haalde is onbekend, maar Kasner besloot dat 
of een getal waarin honderd nullen de ene volgen, wordt voortaan een googol genoemd.
Maar daar stopte de jonge Milton niet, hij bedacht een nog groter nummer, de googolplex. Volgens Milton is het een getal met eerst een 1 en daarna zoveel nullen als je kunt schrijven voordat je moe wordt. Hoewel het idee fascinerend is, vond Kasner dat er een meer formele definitie nodig was. Zoals hij in zijn boek Mathematics and the Imagination uit 1940 uitlegde, laat Miltons definitie de levensgevaarlijke mogelijkheid open dat de occasionele hansworst een superieur wiskundige zou worden voor Albert Einstein, simpelweg omdat hij meer uithoudingsvermogen heeft.
Dus besloot Kasner dat de googolplex , of 1 zou zijn, gevolgd door een googol van nullen. Anders, en in een notatie die vergelijkbaar is met die waarmee we andere getallen zullen behandelen, zullen we zeggen dat de googolplex is . Om te laten zien hoe fascinerend dit is, merkte Carl Sagan ooit op dat het fysiek onmogelijk was om alle nullen van een googolplex op te schrijven omdat er simpelweg niet genoeg ruimte in het universum was. Als het hele volume van het waarneembare heelal is gevuld met fijne stofdeeltjes van ongeveer 1,5 micron groot, dan is het aantal verschillende manieren waarop deze deeltjes kunnen worden gerangschikt ongeveer gelijk aan één googolplex.
Taalkundig gezien zijn googol en googolplex waarschijnlijk de twee grootste significante getallen (althans in het Engels), maar, zoals we nu zullen vaststellen, zijn er oneindig veel manieren om "betekenis" te definiëren.
Echte wereld
Als we het hebben over het grootste significante getal, is er een redelijk argument dat dit echt betekent dat je het grootste getal moet vinden met een waarde die daadwerkelijk in de wereld bestaat. We kunnen beginnen met de huidige menselijke bevolking, die momenteel rond de 6920 miljoen ligt. Het wereldwijde BBP in 2010 werd geschat op ongeveer $ 61.960 miljard, maar beide cijfers zijn klein in vergelijking met de ongeveer 100 biljoen cellen waaruit het menselijk lichaam bestaat. Natuurlijk kan geen van deze getallen worden vergeleken met het totale aantal deeltjes in het universum, dat meestal wordt beschouwd als ongeveer , en dit aantal is zo groot dat onze taal er geen woord voor heeft.
We kunnen wat spelen met meetsystemen, waardoor de getallen steeds groter worden. De massa van de zon in tonnen zal dus kleiner zijn dan in ponden. Een geweldige manier om dit te doen is door de Planck-eenheden te gebruiken, de kleinst mogelijke maten waarvoor de wetten van de fysica nog gelden. De leeftijd van het heelal in Planck-tijd is bijvoorbeeld ongeveer . Als we teruggaan naar de eerste Planck-tijdseenheid na de oerknal, zullen we zien dat de dichtheid van het heelal toen was. We krijgen er steeds meer, maar we hebben nog geen googol bereikt.
Het grootste aantal met een toepassing in de echte wereld - of, in dit geval, toepassing in de echte wereld - is waarschijnlijk een van de laatste schattingen van het aantal universums in het multiversum. Dit aantal is zo groot dat het menselijk brein letterlijk niet in staat zal zijn om al deze verschillende universums waar te nemen, aangezien het brein slechts in staat is tot grove configuraties. In feite is dit getal waarschijnlijk het grootste getal met enige praktische betekenis, als je geen rekening houdt met het idee van het multiversum als geheel. Er liggen echter nog veel grotere aantallen op de loer. Maar om ze te vinden, moeten we het rijk van de pure wiskunde betreden, en er is geen betere plek om te beginnen dan priemgetallen.
Mersenne-priemgetallen
Een deel van de moeilijkheid is het bedenken van een goede definitie van wat een "betekenisvol" getal is. Een manier is om te denken in termen van priemgetallen en composieten. Een priemgetal, zoals je je waarschijnlijk herinnert van schoolwiskunde, is een natuurlijk getal (niet gelijk aan één) dat alleen door en door zichzelf deelbaar is. Dus, en zijn priemgetallen, en en zijn samengestelde getallen. Dit betekent dat elk samengesteld getal uiteindelijk kan worden weergegeven door zijn priemdelers. In zekere zin is het getal belangrijker dan bijvoorbeeld omdat er geen manier is om het uit te drukken in termen van het product van kleinere getallen.
Uiteraard kunnen we nog een stukje verder gaan. , bijvoorbeeld, is eigenlijk gewoon , wat betekent dat in een hypothetische wereld waar onze kennis van getallen beperkt is tot , een wiskundige nog steeds kan uitdrukken . Maar het volgende getal is al een priemgetal, wat betekent dat de enige manier om het uit te drukken is om direct te weten dat het bestaat. Dit betekent dat de grootste bekende priemgetallen een belangrijke rol spelen, maar bijvoorbeeld een googol - die uiteindelijk slechts een verzameling getallen is en, vermenigvuldigd met elkaar - eigenlijk niet. En aangezien priemgetallen meestal willekeurig zijn, is er geen bekende manier om te voorspellen dat een ongelooflijk groot getal echt priemgetal zal zijn. Tot op de dag van vandaag is het ontdekken van nieuwe priemgetallen een moeilijke taak.
De wiskundigen van het oude Griekenland hadden al in 500 voor Christus een concept van priemgetallen, en 2000 jaar later wisten mensen nog steeds alleen wat priemgetallen waren tot ongeveer 750. Euclides' denkers zagen de mogelijkheid van vereenvoudiging, maar tot de Renaissance wiskundigen konden gebruik het in de praktijk niet echt. Deze getallen staan bekend als Mersenne-getallen en zijn vernoemd naar de 17e-eeuwse Franse wetenschapper Marina Mersenne. Het idee is vrij eenvoudig: een Mersenne-getal is een willekeurig getal van de vorm . Dus, bijvoorbeeld, en dit getal is een priemgetal, hetzelfde geldt voor .
Mersenne-priemgetallen zijn veel sneller en gemakkelijker te bepalen dan enig ander soort priemgetal, en computers hebben de afgelopen zes decennia hard gewerkt om ze te vinden. Tot 1952 was het grootste bekende priemgetal een getal - een getal met cijfers. In hetzelfde jaar werd op een computer berekend dat het getal priem is, en dit getal bestaat uit cijfers, waardoor het al veel groter is dan een googol.
Sindsdien is er jacht op computers en het e Mersenne-getal is momenteel het grootste priemgetal dat de mensheid kent. Ontdekt in 2008 is het een nummer met bijna miljoenen cijfers. Dit is het grootste bekende getal dat niet in kleinere getallen kan worden uitgedrukt, en als je wilt helpen een nog groter Mersenne-getal te vinden, kun je (en je computer) altijd meedoen aan de zoektocht op http://www.mersenne. org/.
Spies nummer
Stanley Skuse
Laten we teruggaan naar priemgetallen. Zoals ik al eerder zei, gedragen ze zich fundamenteel verkeerd, wat betekent dat er geen manier is om te voorspellen wat het volgende priemgetal zal zijn. Wiskundigen zijn gedwongen een aantal nogal fantastische metingen uit te voeren om een manier te bedenken om toekomstige priemgetallen te voorspellen, zelfs op de een of andere vage manier. De meest succesvolle van deze pogingen is waarschijnlijk de priemgetalfunctie, uitgevonden in de late 18e eeuw door de legendarische wiskundige Carl Friedrich Gauss.
Ik zal je de meer gecompliceerde wiskunde besparen - hoe dan ook, we hebben nog veel te komen - maar de essentie van de functie is dit: voor elk geheel getal is het mogelijk om te schatten hoeveel priemgetallen er minder zijn dan . Bijvoorbeeld, als , de functie voorspelt dat er priemgetallen moeten zijn, als - priemgetallen kleiner dan , en als , dan zijn er kleinere getallen die priemgetallen zijn.
De rangschikking van priemgetallen is inderdaad onregelmatig en is slechts een benadering van het werkelijke aantal priemgetallen. In feite weten we dat er priemgetallen kleiner zijn dan , priemgetallen kleiner dan , en priemgetallen kleiner dan . Het is zeker een goede schatting, maar het is altijd maar een schatting... en meer specifiek een schatting van bovenaf.
In alle bekende gevallen tot , overdrijft de functie die het aantal priemgetallen vindt enigszins het werkelijke aantal priemgetallen kleiner dan . Wiskundigen dachten ooit dat dit altijd het geval zou zijn, tot in het oneindige, en dat dit zeker geldt voor onvoorstelbaar grote getallen, maar in 1914 bewees John Edensor Littlewood dat deze functie voor een onbekend, onvoorstelbaar groot getal minder priemgetallen gaat produceren, en dan zal het een oneindig aantal keren wisselen tussen overschatting en onderschatting.
De jacht was het startpunt van de races, en daar verscheen Stanley Skuse (zie foto). In 1933 bewees hij dat de bovengrens, wanneer een functie die het aantal priemgetallen voor het eerst een kleinere waarde benadert, het getal is. Het is moeilijk om echt te begrijpen, zelfs in de meest abstracte zin, wat dit getal werkelijk is, en vanuit dit oogpunt was het het grootste getal dat ooit in een serieus wiskundig bewijs is gebruikt. Sindsdien zijn wiskundigen in staat geweest om de bovengrens tot een relatief klein getal terug te brengen, maar het oorspronkelijke getal is bekend gebleven als het Skewes-getal.
Dus, hoe groot is het getal dat zelfs de machtige googolplex dwerg maakt? In The Penguin Dictionary of Curious and Interessant Numbers beschrijft David Wells een manier waarop de wiskundige Hardy de grootte van het Skewes-getal kon begrijpen:
"Hardy dacht dat het 'het grootste aantal ooit was om een bepaald doel in de wiskunde te dienen' en suggereerde dat als schaken zou worden gespeeld met alle deeltjes van het universum als stukken, één zet zou bestaan uit het verwisselen van twee deeltjes, en het spel zou stoppen wanneer dezelfde stelling werd een derde keer herhaald, dan zou het aantal van alle mogelijke partijen gelijk zijn aan ongeveer het aantal Skuse''.
Nog een laatste ding voordat we verder gingen: we hadden het over de kleinste van de twee Skewes-nummers. Er is nog een Skewes-getal, dat de wiskundige in 1955 vond. Het eerste getal is afgeleid op grond van het feit dat de zogenaamde Riemann-hypothese waar is - een bijzonder moeilijke hypothese in de wiskunde die onbewezen blijft, erg handig als het gaat om priemgetallen. Als de Riemann-hypothese echter onjuist is, ontdekte Skewes dat het startpunt van de sprong toeneemt tot .
Het probleem van de omvang
Voordat we bij een getal komen waardoor zelfs het getal van Skewes er klein uitziet, moeten we het even hebben over schaal, omdat we anders niet kunnen inschatten waar we heen gaan. Laten we eerst een getal nemen - het is een klein getal, zo klein dat mensen een intuïtief begrip kunnen hebben van wat het betekent. Er zijn maar heel weinig getallen die aan deze beschrijving voldoen, aangezien getallen groter dan zes niet langer afzonderlijke getallen zijn en "meerdere", "veel", enz.
Laten we nu nemen, d.w.z. . Hoewel we niet echt intuïtief, zoals we deden voor het nummer , erachter kunnen komen wat, stel je voor wat het is, het is heel gemakkelijk. Tot nu toe gaat alles goed. Maar wat gebeurt er als we naar ? Dit is gelijk aan , of . We kunnen ons deze waarde nog lang niet voorstellen, net als elke andere zeer grote - we verliezen het vermogen om afzonderlijke delen ergens rond een miljoen te begrijpen. (Toegegeven, het zou waanzinnig veel tijd kosten om iets tot een miljoen te tellen, maar het punt is dat we dat aantal nog steeds kunnen waarnemen.)
Maar hoewel we het ons niet kunnen voorstellen, zijn we in ieder geval in staat om in algemene termen te begrijpen wat 7600 miljard is, misschien door het te vergelijken met zoiets als het Amerikaanse BBP. We zijn van intuïtie naar representatie gegaan naar louter begrip, maar we hebben tenminste nog een hiaat in ons begrip van wat een getal is. Dit gaat veranderen als we nog een sport de ladder op gaan.
Om dit te doen, moeten we overschakelen naar de notatie geïntroduceerd door Donald Knuth, bekend als pijlnotatie. Deze notaties kunnen worden geschreven als . Als we dan naar gaan, is het nummer dat we krijgen. Dit is gelijk aan waar het totaal van drielingen is. We hebben nu enorm en echt alle andere reeds genoemde aantallen overtroffen. Immers, zelfs de grootste van hen had slechts drie of vier leden in de indexreeks. Zelfs het Super Skewes-getal is bijvoorbeeld "slechts" - zelfs met het feit dat zowel het grondtal als de exponenten veel groter zijn dan , is het nog steeds absoluut niets vergeleken met de grootte van de getallentoren met miljarden leden.
Het is duidelijk dat er geen manier is om zulke enorme aantallen te begrijpen... en toch kan het proces waardoor ze worden gecreëerd nog steeds worden begrepen. We konden het werkelijke aantal dat door de toren der machten wordt gegeven niet begrijpen, namelijk een miljard verdrievoudiging, maar we kunnen ons in principe zo'n toren met veel leden voorstellen, en een echt fatsoenlijke supercomputer zal dergelijke torens in het geheugen kunnen opslaan, zelfs als het kunnen hun werkelijke waarden niet berekenen.
Het wordt steeds abstracter, maar het wordt alleen maar erger. Je zou kunnen denken dat een toren van machten waarvan de exponentlengte is (bovendien maakte ik in een vorige versie van dit bericht precies die fout), maar het is gewoon . Met andere woorden, stel je voor dat je de exacte waarde kon berekenen van een machtstoren van triples, die uit elementen bestaat, en dan nam je deze waarde en creëerde een nieuwe toren met zoveel erin als ... wat geeft .
Herhaal dit proces met elk volgend nummer ( Opmerking beginnend van rechts) totdat je dit één keer doet, en dan krijg je uiteindelijk . Dit is een getal dat gewoon ongelooflijk groot is, maar de stappen om het te krijgen lijken in ieder geval duidelijk als alles heel langzaam gaat. We kunnen getallen niet langer begrijpen of ons de procedure voorstellen waarmee ze worden verkregen, maar we kunnen tenminste het basisalgoritme begrijpen, alleen in een voldoende lange tijd.
Laten we nu de geest voorbereiden om het echt op te blazen.
Graham's (Graham's) nummer
Ronald Graham
Dit is hoe je het getal van Graham krijgt, dat in het Guinness Book of World Records staat als het grootste getal dat ooit in een wiskundig bewijs is gebruikt. Het is absoluut onmogelijk voor te stellen hoe groot het is, en het is net zo moeilijk om uit te leggen wat het precies is. Kortom, het getal van Graham speelt een rol bij het omgaan met hypercubes, dit zijn theoretische geometrische vormen met meer dan drie dimensies. De wiskundige Ronald Graham (zie foto) wilde weten wat het kleinste aantal dimensies was dat bepaalde eigenschappen van een hyperkubus stabiel zou houden. (Sorry voor deze vage uitleg, maar ik weet zeker dat we allemaal minstens twee wiskundegraden nodig hebben om het nauwkeuriger te maken.)
Het Grahamgetal is in ieder geval een hogere schatting van dit minimum aantal dimensies. Dus hoe groot is deze bovengrens? Laten we teruggaan naar een getal dat zo groot is dat we het algoritme kunnen begrijpen om het nogal vaag te verkrijgen. Nu, in plaats van gewoon nog een niveau omhoog te springen naar , tellen we het getal met pijlen tussen de eerste en de laatste triples. Nu zijn we ver voorbij zelfs het minste begrip van wat dit aantal is of zelfs van wat er moet worden gedaan om het te berekenen.
Herhaal dit proces nu keer ( Opmerking bij elke volgende stap schrijven we het aantal pijlen gelijk aan het aantal verkregen bij de vorige stap).
Dit, dames en heren, is het getal van Graham, dat ongeveer een orde van grootte boven het punt van menselijk begrip ligt. Het is een getal dat zoveel meer is dan elk getal dat je je kunt voorstellen - het is veel meer dan enige oneindigheid die je ooit zou kunnen bedenken - het tart zelfs de meest abstracte beschrijving.
Maar hier is het vreemde. Aangezien het getal van Graham eigenlijk gewoon drietallen is, vermenigvuldigd met elkaar, kennen we enkele eigenschappen ervan zonder het daadwerkelijk te berekenen. We kunnen het getal van Graham in geen enkele notatie weergeven die we kennen, zelfs als we het hele universum zouden gebruiken om het op te schrijven, maar ik kan je nu de laatste twaalf cijfers van het getal van Graham geven: . En dat is niet alles: we kennen in ieder geval de laatste cijfers van Graham's nummer.
Natuurlijk is het de moeite waard om te onthouden dat dit aantal slechts een bovengrens is in het oorspronkelijke probleem van Graham. Het is mogelijk dat het werkelijke aantal metingen dat nodig is om aan de gewenste eigenschap te voldoen, veel, veel minder is. In feite geloven de meeste experts in het veld sinds de jaren tachtig dat er eigenlijk maar zes dimensies zijn - een aantal dat zo klein is dat we het op een intuïtief niveau kunnen begrijpen. De ondergrens is sindsdien verhoogd tot , maar er is nog steeds een zeer goede kans dat de oplossing voor het probleem van Graham niet in de buurt ligt van een getal zo groot als dat van Graham.
Tot het oneindige
Dus er zijn getallen die groter zijn dan het getal van Graham? Er zijn natuurlijk om te beginnen het Graham-nummer. Wat betreft het aanzienlijke aantal... nou, er zijn een aantal duivels moeilijke gebieden van wiskunde (in het bijzonder het gebied dat bekend staat als combinatoriek) en informatica, waarin er getallen zijn die zelfs groter zijn dan het getal van Graham. Maar we hebben bijna de grens bereikt van wat ik kan hopen ooit redelijkerwijs te kunnen verklaren. Voor degenen die roekeloos genoeg zijn om nog verder te gaan, wordt extra lectuur aangeboden op eigen risico.
Welnu, nu een geweldig citaat dat wordt toegeschreven aan Douglas Ray ( Opmerking Eerlijk gezegd klinkt het best grappig:
“Ik zie groepjes vage getallen op de loer liggen in het donker, achter het kleine lichtpuntje dat de mind-kaars geeft. Ze fluisteren tegen elkaar; praten over wie weet wat. Misschien mogen ze ons niet zo graag omdat we hun kleine broertjes met onze geest gevangen hebben genomen. Of misschien leiden ze gewoon een ondubbelzinnige numerieke manier van leven, daarbuiten, buiten ons begrip.''
John SommerZet nullen achter een willekeurig getal of vermenigvuldig met tientallen verheven tot een willekeurig grote macht. Het zal niet veel lijken. Het zal veel lijken. Maar naakte opnames zijn immers niet al te indrukwekkend. De ophopende nullen in de geesteswetenschappen zorgen niet zozeer voor verbazing als wel voor een lichte geeuw. Hoe dan ook, aan elk grootste getal ter wereld dat je je kunt voorstellen, kun je er altijd nog een toevoegen ... En het nummer zal nog meer uitkomen.
En toch, zijn er woorden in het Russisch of een andere taal om zeer grote getallen aan te duiden? Die meer dan een miljoen, miljard, biljoen, miljard? En in het algemeen is een miljard hoeveel?
Het blijkt dat er twee systemen zijn voor het benoemen van nummers. Maar geen Arabische, Egyptische of andere oude beschavingen, maar Amerikaans en Engels.
In het Amerikaanse systeem getallen worden zo genoemd: het Latijnse cijfer wordt genomen + - miljoen (achtervoegsel). Zo worden de getallen verkregen:
Triljoen - 1.000.000.000.000 (12 nullen)
Quadrillion - 1.000.000.000.000.000.000 (15 nullen)
Quintillion - 1 en 18 nullen
Sextillion - 1 en 21 nul
Septillion - 1 en 24 nul
octiljoen - 1 gevolgd door 27 nullen
Nonillion - 1 en 30 nullen
Decillion - 1 en 33 nul
De formule is eenvoudig: 3 x + 3 (x is een Latijns cijfer)
In theorie zouden er ook getallen anilion (unus in het Latijn - één) en duolion (duo - twee) moeten zijn, maar naar mijn mening worden dergelijke namen helemaal niet gebruikt.
Engels naamgevingssysteem wijder verspreid.
Ook hier wordt het Latijnse cijfer genomen en het achtervoegsel -miljoen toegevoegd. De naam van het volgende getal, dat 1000 keer groter is dan het vorige, wordt echter gevormd met hetzelfde Latijnse getal en het achtervoegsel - miljard. Ik bedoel:
Triljoen - 1 en 21 nul (in het Amerikaanse systeem - sextillion!)
Triljoen - 1 en 24 nullen (in het Amerikaanse systeem - septillion)
Quadrillion - 1 en 27 nullen
Quadribillion - 1 gevolgd door 30 nullen
Quintillion - 1 en 33 nul
Quinilliard - 1 gevolgd door 36 nullen
Sextillion - 1 gevolgd door 39 nullen
Sextillion - 1 en 42 nul
De formules voor het tellen van het aantal nullen zijn:
Voor getallen die eindigen op - illion - 6 x+3
Voor getallen die eindigen op - miljard - 6 x+6
Zoals u kunt zien, is verwarring mogelijk. Maar laten we niet bang zijn!
In Rusland is het Amerikaanse systeem voor het benoemen van nummers ingevoerd. Van het Engelse systeem hebben we de naam van het getal "miljard" geleend - 1.000.000.000 \u003d 10 9
En waar is de "gekoesterde" miljard? - Wel, een miljard is een miljard! Amerikaanse stijl. En hoewel we het Amerikaanse systeem gebruiken, hebben we de "miljard" van het Engelse overgenomen.
Laten we de nummers bellen met de Latijnse namen van nummers en het Amerikaanse systeem:
- vigintiljoen- 1 en 63 nullen
- centiljoen- 1 en 303 nullen
- Miljoen- één en 3003 nullen! Oh-hoo...
Maar dit, zo blijkt, is niet alles. Er zijn ook off-system nummers.
En de eerste is waarschijnlijk myriade- honderd honderden = 10.000
googol(het is ter ere van hem dat de beroemde zoekmachine wordt genoemd) - één en honderd nullen
In een van de boeddhistische verhandelingen wordt een nummer genoemd asankhiya- één en honderdveertig nullen!
Nummer naam googolplex(zoals Google) is uitgevonden door de Engelse wiskundige Edward Kasner en zijn negenjarige neefje - eenheid c - lieve moeder! - google nullen!!!
Maar dat is niet alles...
De wiskundige Skewes noemde het Skewes-getal naar zichzelf. Het betekent e voorzover e voorzover e tot de macht 79, d.w.z. e e e 79
En toen ontstond er een groot probleem. Je kunt namen voor getallen bedenken. Maar hoe schrijf je ze op? Het aantal graden van graden van graden is al zodanig dat het simpelweg niet op de pagina past! :)
En toen begonnen sommige wiskundigen getallen in geometrische vormen te schrijven. En de eerste, zeggen ze, zo'n opnamemethode is uitgevonden door de uitstekende schrijver en denker Daniil Ivanovich Charms.
En toch, wat is het GROOTSTE AANTAL TER WERELD? - Het heet STASPLEX en is gelijk aan G 100,
waarbij G het Graham-getal is, het grootste getal dat ooit in wiskundige bewijzen is gebruikt.
Dit nummer - stasplex - is uitgevonden door een geweldig persoon, onze landgenoot Stas Kozlovsky, aan LJ waartoe ik je richt :) - ctac
“Ik zie groepjes vage getallen op de loer liggen in het donker, achter het kleine lichtpuntje dat de mind-kaars geeft. Ze fluisteren tegen elkaar; praten over wie weet wat. Misschien mogen ze ons niet zo graag omdat we hun kleine broertjes met onze geest gevangen hebben genomen. Of misschien leiden ze gewoon een ondubbelzinnige numerieke manier van leven, daarbuiten, buiten ons begrip.''
Douglas Ray
Vroeg of laat wordt iedereen gekweld door de vraag wat het grootste aantal is. De vraag van een kind kan in een miljoen worden beantwoord. Wat is het volgende? biljoen. En nog verder? In feite is het antwoord op de vraag wat de grootste aantallen zijn eenvoudig. Het is gewoon de moeite waard om één aan het grootste getal toe te voegen, omdat het niet langer het grootste zal zijn. Deze procedure kan onbeperkt worden voortgezet.
Maar als je jezelf afvraagt: wat is het grootste aantal dat bestaat, en wat is de eigen naam?
Nu weten we allemaal...
Er zijn twee systemen voor het benoemen van nummers - Amerikaans en Engels.
Het Amerikaanse systeem is vrij eenvoudig opgebouwd. Alle namen van grote getallen zijn als volgt opgebouwd: aan het begin is er een Latijns ordinaal getal en aan het einde wordt het achtervoegsel -miljoen toegevoegd. De uitzondering is de naam "miljoen", de naam van het getal duizend (lat. mille) en het vergrotende achtervoegsel -miljoen (zie tabel). Dus de getallen worden verkregen - biljoen, quadriljoen, quintillion, sextillion, septiljoen, octillion, nonillion en deciljoen. Het Amerikaanse systeem wordt gebruikt in de VS, Canada, Frankrijk en Rusland. U kunt het aantal nullen vinden in een getal dat in het Amerikaanse systeem is geschreven met behulp van de eenvoudige formule 3 x + 3 (waarbij x een Latijns cijfer is).
Het Engelse naamgevingssysteem is het meest voorkomende ter wereld. Het wordt bijvoorbeeld gebruikt in Groot-Brittannië en Spanje, maar ook in de meeste voormalige Engelse en Spaanse koloniën. De namen van getallen in dit systeem zijn als volgt opgebouwd: als volgt: een achtervoegsel -miljoen wordt toegevoegd aan het Latijnse cijfer, het volgende getal (1000 keer groter) wordt gebouwd volgens het principe - hetzelfde Latijnse cijfer, maar het achtervoegsel is -miljard. Dat wil zeggen, na een biljoen in het Engelse systeem komt een biljoen, en pas dan een quadriljoen, gevolgd door een quadriljoen, enzovoort. Dus een quadriljoen volgens het Engelse en Amerikaanse systeem zijn totaal verschillende getallen! U kunt het aantal nullen vinden in een getal dat in het Engelse systeem is geschreven en eindigt met het achtervoegsel -million met behulp van de formule 6 x + 3 (waarbij x een Latijns cijfer is) en met de formule 6 x + 6 voor getallen die eindigen op -miljard.
Alleen het aantal miljard (10 9 ) ging van het Engelse systeem over op het Russisch, wat niettemin correcter zou zijn om het te noemen zoals de Amerikanen het noemen - een miljard, aangezien we het Amerikaanse systeem hebben aangenomen. Maar wie in ons land doet iets volgens de regels! ;-) Trouwens, soms wordt het woord biljoen ook gebruikt in het Russisch (je kunt het zelf zien door een zoekopdracht uit te voeren in Google of Yandex) en het betekent blijkbaar 1000 biljoen, d.w.z. quadriljoen.
Naast nummers die zijn geschreven met Latijnse voorvoegsels in het Amerikaanse of Engelse systeem, zijn ook de zogenaamde off-system nummers bekend, d.w.z. nummers die hun eigen naam hebben zonder Latijnse voorvoegsels. Er zijn verschillende van dergelijke nummers, maar ik zal er later wat meer over vertellen.
Laten we teruggaan naar het schrijven met Latijnse cijfers. Het lijkt erop dat ze getallen tot in het oneindige kunnen schrijven, maar dit is niet helemaal waar. Nu zal ik uitleggen waarom. Laten we eerst kijken hoe de getallen van 1 tot 10 33 worden genoemd:
En dus rijst nu de vraag, wat nu. Wat is een deciljoen? In principe is het natuurlijk mogelijk door voorvoegsels te combineren om monsters te genereren als: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion en novemdecillion, maar dit zullen al samengestelde namen zijn, en we waren geïnteresseerd in onze eigen namen nummers. Daarom kun je volgens dit systeem, naast de hierboven genoemde, nog steeds slechts drie krijgen - vigintillion (van lat.viginti- twintig), centiljoen (van lat.procent- honderd) en een miljoen (van lat.mille- duizend). De Romeinen hadden niet meer dan duizend eigennamen voor getallen (alle getallen boven de duizend waren samengesteld). Een miljoen (1.000.000) Romeinen noemden bijvoorbeeldcentena miliadat wil zeggen tienhonderdduizend. En nu eigenlijk de tabel:
Dus volgens een soortgelijk systeem zijn getallen groter dan 10 3003 , die zijn eigen, niet-samengestelde naam zou hebben, is onmogelijk te krijgen! Maar niettemin zijn er getallen van meer dan een miljoen bekend - dit zijn de zeer niet-systemische getallen. Laten we het tenslotte over hen hebben.
Het kleinste aantal is een groot aantal (het staat zelfs in het woordenboek van Dahl), wat honderdhonderd betekent, dat wil zeggen 10.000. Het is waar dat dit woord verouderd is en praktisch niet wordt gebruikt, maar het is merkwaardig dat het woord "myriad" op grote schaal wordt gebruikt gebruikt, wat helemaal niet een bepaald aantal betekent, maar een ontelbare, ontelbare reeks van iets. Er wordt aangenomen dat het woord myriad (Engels myriad) uit het oude Egypte naar Europese talen kwam.
Over de herkomst van dit nummer bestaan verschillende meningen. Sommigen geloven dat het in Egypte is ontstaan, terwijl anderen geloven dat het alleen in het oude Griekenland is geboren. Hoe het ook zij, de myriaden werden juist dankzij de Grieken beroemd. Myriad was de naam voor 10.000, en er waren geen namen voor getallen boven de tienduizend. In de notitie "Psammit" (d.w.z. de calculus van zand), liet Archimedes echter zien hoe men systematisch willekeurig grote getallen kan bouwen en benoemen. In het bijzonder, door 10.000 (myriaden) zandkorrels in een maanzaad te plaatsen, ontdekt hij dat in het heelal (een bal met een diameter van talloze aarddiameters) niet meer dan 10 zou passen (in onze notatie) 63
zand korrels. Het is merkwaardig dat moderne berekeningen van het aantal atomen in het zichtbare heelal leiden tot het getal 10 67
(slechts vele malen meer). De namen van de getallen die Archimedes voorstelde zijn als volgt:
1 ontelbare = 10 4 .
1 di-myriad = ontelbare myriade = 10 8
.
1 tri-myriad = di-myriad di-myriad = 10 16
.
1 tetra-myriade = drie-myriade drie-myriade = 10 32
.
enzovoort.
googol(van het Engelse googol) is het getal tien tot de honderdste macht, dat wil zeggen, één met honderd nullen. De "googol" werd voor het eerst beschreven in 1938 in het artikel "New Names in Mathematics" in het januarinummer van het tijdschrift Scripta Mathematica door de Amerikaanse wiskundige Edward Kasner. Volgens hem stelde zijn negenjarige neefje Milton Sirotta voor om een groot aantal "googol" te noemen. Dit nummer werd bekend dankzij de naar hem vernoemde zoekmachine. Google. Merk op dat "Google" een handelsmerk is en googol een nummer.
Eduard Kasner.
Op internet kun je dat vaak vinden - maar dit is niet zo ...
In de beroemde boeddhistische verhandeling Jaina Sutra, die teruggaat tot 100 voor Christus, staat een nummer: asankhiya(uit Chinees asentzi- onberekenbaar), gelijk aan 10 140. Er wordt aangenomen dat dit aantal gelijk is aan het aantal kosmische cycli dat nodig is om nirvana te bereiken.
Googolplex(Engels) googolplex) - een getal dat ook door Kasner met zijn neef is uitgevonden en dat een betekent met een googol van nullen, dat wil zeggen 10 10100 . Hier is hoe Kasner zelf deze "ontdekking" beschrijft:
Wijze woorden worden door kinderen minstens zo vaak gesproken als door wetenschappers. De naam "googol" is uitgevonden door een kind (het negenjarige neefje van Dr. Kasner) dat werd gevraagd een naam te bedenken voor een heel groot getal, namelijk 1 met honderd nullen erachter. zeker dat dit aantal niet oneindig was, en dus even zeker dat het een naam moest hebben, een googol, maar toch eindig is, zoals de uitvinder van de naam al snel aangaf.
Wiskunde en de verbeelding(1940) door Kasner en James R. Newman.
Zelfs meer dan een googolplex-nummer - Spies nummer (Skewes" nummer) werd voorgesteld door Skewes in 1933 (Skewes. J. Londen Math. soc. 8, 277-283, 1933.) bij het bewijzen van het vermoeden van Riemann met betrekking tot priemgetallen. Het betekent e voorzover e voorzover e tot de macht 79, d.w.z. ee e 79 . Later, Riele (te Riele, HJJ "On the Sign of the Difference" P(x)-Li(x)." Wiskunde. Berekenen. 48, 323-328, 1987) verminderde het aantal van Skuse tot ee 27/4 , wat ongeveer gelijk is aan 8,185 10 370 . Het is duidelijk dat aangezien de waarde van het Skewes-getal afhangt van het getal e, dan is het geen geheel getal, dus we zullen het niet overwegen, anders zouden we andere niet-natuurlijke getallen moeten oproepen - het getal pi, het getal e, enz.
Maar het moet worden opgemerkt dat er een tweede Skewes-getal is, dat in de wiskunde wordt aangeduid als Sk2 , dat zelfs groter is dan het eerste Skewes-getal (Sk1 ). Skuse's tweede nummer, werd geïntroduceerd door J. Skuse in hetzelfde artikel om een getal aan te duiden waarvoor de Riemann-hypothese niet geldig is. Sk2 is 1010 10103 , d.w.z. 1010 101000 .
Zoals je begrijpt, hoe meer graden er zijn, hoe moeilijker het is om te begrijpen welke van de getallen groter is. Als we bijvoorbeeld naar de Skewes-getallen kijken, is het zonder speciale berekeningen bijna onmogelijk om te begrijpen welke van deze twee getallen groter is. Dus voor supergrote aantallen wordt het onhandig om bevoegdheden te gebruiken. Bovendien kun je zulke getallen bedenken (en ze zijn al uitgevonden) als de graden van graden gewoon niet op de pagina passen. Ja, wat een pagina! Ze passen niet eens in een boek ter grootte van het hele universum! In dit geval rijst de vraag hoe ze op te schrijven. Het probleem is, zoals u begrijpt, oplosbaar en wiskundigen hebben verschillende principes ontwikkeld voor het schrijven van dergelijke getallen. Het is waar dat elke wiskundige die dit probleem stelde, zijn eigen manier van schrijven bedacht, wat leidde tot het bestaan van verschillende, niet-gerelateerde manieren om getallen te schrijven - dit zijn de notaties van Knuth, Conway, Steinhaus, enz.
Denk aan de notatie van Hugo Stenhaus (H. Steinhaus. Wiskundige momentopnamen, 3e druk. 1983), wat vrij eenvoudig is. Steinhouse stelde voor om grote getallen in geometrische vormen te schrijven - een driehoek, een vierkant en een cirkel:
Steinhouse kwam met twee nieuwe supergrote nummers. Hij noemde een nummer Mega, en het nummer is Megiston.
De wiskundige Leo Moser verfijnde de notatie van Stenhouse, die werd beperkt door het feit dat als het nodig was om getallen te schrijven die veel groter waren dan een megiston, er moeilijkheden en ongemakken ontstonden, omdat er veel cirkels in elkaar moesten worden getekend. Moser stelde voor om geen cirkels na vierkanten te tekenen, maar vijfhoeken, dan zeshoeken, enzovoort. Hij stelde ook een formele notatie voor deze polygonen voor, zodat getallen kunnen worden geschreven zonder complexe patronen te tekenen. Moser-notatie ziet eruit als:
Dus, volgens de notatie van Moser, wordt de mega van Steinhouse geschreven als 2 en megiston als 10. Bovendien stelde Leo Moser voor om een polygoon met het aantal zijden gelijk aan mega - megagon te noemen. En hij stelde het nummer "2 in Megagon" voor, dat wil zeggen, 2. Dit nummer werd bekend als het Moser-nummer of gewoon als moser.
Maar de moser is niet het grootste getal. Het grootste getal dat ooit in een wiskundig bewijs is gebruikt, is de grenswaarde die bekend staat als Graham nummer(Graham's getal), voor het eerst gebruikt in 1977 in het bewijs van één schatting in de Ramsey-theorie. Het wordt geassocieerd met bichromatische hyperkubussen en kan niet worden uitgedrukt zonder een speciaal 64-niveausysteem van speciale wiskundige symbolen geïntroduceerd door Knuth in 1976.
Helaas kan het getal in de Knuth-notatie niet worden vertaald in de Moser-notatie. Daarom zal ook dit systeem uitgelegd moeten worden. In principe is er ook niets ingewikkelds aan. Donald Knuth (ja, ja, dit is dezelfde Knuth die The Art of Programming schreef en de TeX-editor creëerde) kwam met het concept van superkracht, dat hij voorstelde te schrijven met pijlen die naar boven wijzen:
In het algemeen ziet het er als volgt uit:
Ik denk dat alles duidelijk is, dus laten we teruggaan naar Grahams nummer. Graham stelde de zogenaamde G-nummers voor:
Het nummer G63 werd bekend als: Graham nummer(het wordt vaak eenvoudigweg aangeduid als G). Dit nummer is het grootste bekende nummer ter wereld en staat zelfs in het Guinness Book of Records. En hier, dat het Graham-getal groter is dan het Moser-getal.
PS Om de hele mensheid van groot nut te zijn en eeuwenlang beroemd te worden, besloot ik het grootste aantal zelf uit te vinden en te noemen. Dit nummer wordt gebeld stasplex en het is gelijk aan het getal G100 . Onthoud het, en als uw kinderen vragen wat het grootste getal ter wereld is, vertel ze dan dat dit nummer wordt genoemd stasplex
Dus er zijn getallen die groter zijn dan het getal van Graham? Er zijn natuurlijk om te beginnen een Graham-nummer. Wat betreft het aanzienlijke aantal... nou, er zijn een aantal duivels moeilijke gebieden van wiskunde (in het bijzonder het gebied dat bekend staat als combinatoriek) en informatica, waarin er getallen zijn die zelfs groter zijn dan het getal van Graham. Maar we hebben bijna de grens bereikt van wat rationeel en duidelijk kan worden verklaard.
