Voorbeeld 1.5.1.
Laat een economische regio meerdere (n) soorten producten exclusief op eigen kracht en alleen voor de bevolking van deze regio produceren. Aangenomen wordt dat het technologische proces is uitgewerkt en dat de vraag van de bevolking naar deze goederen is onderzocht. Het is noodzakelijk om het jaarlijkse productievolume van producten te bepalen, rekening houdend met het feit dat dit volume zowel het eindverbruik als het industriële verbruik moet opleveren.
Laten we een wiskundig model van dit probleem maken. Afhankelijk van de toestand worden de volgende gegevens gegeven: soorten producten, de vraag ernaar en het technologische proces; vind het outputvolume voor elk type product.
Laten we de bekende hoeveelheden aanduiden:
C l- publieke vraag naar l-de product ( l=1,...,N); een ij- nummer l-de product dat nodig is om een eenheid van het j -de product te produceren met behulp van deze technologie ( l=1,...,N ; J=1,...,N);
x l - uitvoervolume l-de product ( l=1,...,N); totaliteit van =(C 1 ,..., C N ) heet de vraagvector, de getallen een ij– technologische coëfficiënten, en de set x =(x 1 ,..., x N ) is de afgiftevector.
Door de toestand van het probleem, de vector x is verdeeld in twee delen: voor het eindverbruik (vector van ) en reproductie (vector x-s ). Bereken dat deel van de vector x die naar reproductie gaat. Volgens onze aanduidingen voor productie: x J hoeveelheid van het j-de product gaat een ij · x J hoeveelheid l-de product.
dan de som een i1 · x 1 +...+ een in · x N toont de waarde l-de product, dat nodig is voor de gehele output x =(x 1 ,..., x N ).
Daarom moet de gelijkheid gelden:
Als we deze redenering uitbreiden naar alle soorten producten, komen we tot het gewenste model:
Dit stelsel van n lineaire vergelijkingen oplossen met betrekking tot x 1 ,...,X N en vind de vereiste uitvoervector.
Om dit model in een compactere (vector)vorm te schrijven, introduceren we de notatie:
Plein ( 
) -de matrix MAAR de technologiematrix genoemd. Het is gemakkelijk te controleren dat ons model nu als volgt wordt geschreven: x-s=Ah of
(1.6)
We hebben het klassieke model " Invoer uitvoer ”, waarvan de auteur de beroemde Amerikaanse econoom V. Leontiev is.
Voorbeeld 1.5.2.
Een olieraffinaderij heeft twee soorten olie: graad MAAR in de hoeveelheid van 10 eenheden, rang IN- 15 eenheden. Bij het verwerken van olie worden twee materialen verkregen: benzine (we geven aan: B) en stookolie ( m). Er zijn drie opties voor de verwerkingstechnologie:
l: 1 eenheid MAAR+ 2 eenheden IN geeft 3 eenheden. B+ 2 eenheden m
II: 2 eenheden MAAR+ 1 eenheid IN geeft 1 eenheid. B+ 5 eenheden m
III: 2 eenheden MAAR+ 2 eenheden IN geeft 1 eenheid. B+ 2 eenheden m
De prijs van benzine is $ 10 per eenheid, stookolie is $ 1 per eenheid.
Het is nodig om de meest voordelige combinatie van technologische processen te bepalen voor het verwerken van de beschikbare hoeveelheid olie.
Voordat we gaan modelleren, verduidelijken we de volgende punten. Uit de voorwaarden van het probleem volgt dat de "rendabiliteit" van het technologische proces voor de fabriek moet worden begrepen in de zin van het verkrijgen van het maximale inkomen uit de verkoop van zijn afgewerkte producten (benzine en stookolie). In dit opzicht is het duidelijk dat de "keuze (makende) beslissing" van de fabriek is om te bepalen welke technologie en hoe vaak moet worden toegepast. Uiteraard zijn er veel van dergelijke mogelijkheden.
Laten we de onbekende hoeveelheden aanduiden:
x l- hoeveelheid gebruik l-de technologische proces (i=1,2,3). Andere parameters van het model (reserves van oliesoorten, prijzen van benzine en stookolie) bekend.
Nu wordt één specifieke beslissing van de plant teruggebracht tot de keuze van één vector x =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , waarvoor de opbrengst van de fabriek gelijk is aan (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) Hier is 32 dollar het inkomen dat wordt ontvangen uit één toepassing van het eerste technologische proces (10 dollar 3 eenheden. B+ $1 2 stuks m= $ 32). De coëfficiënten 15 en 12 hebben een vergelijkbare betekenis voor respectievelijk het tweede en derde technologische proces. Het verantwoorden van de oliereserve leidt tot de volgende voorwaarden:
voor afwisseling MAAR:
voor afwisseling IN:,
waarbij in de eerste ongelijkheid de coëfficiënten 1, 2, 2 het verbruik zijn van klasse A olie voor een eenmalige toepassing van technologische processen l,II,III respectievelijk. De coëfficiënten van de tweede ongelijkheid hebben een vergelijkbare betekenis voor olie van klasse B.
Het wiskundige model als geheel heeft de vorm:
Vind zo'n vector x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) maximaliseren
f(x) = 32x 1 +15x 2 +12x 3
wanneer aan de voorwaarden is voldaan:
De verkorte vorm van dit item is als volgt:
onder beperkingen
(1.7)
We hebben het zogenaamde lineaire programmeerprobleem.
Model (1.7.) is een voorbeeld van een optimalisatiemodel van een deterministisch type (met goed gedefinieerde elementen).
Voorbeeld 1.5.3.
De belegger moet de beste set aandelen, obligaties en andere effecten bepalen om ze voor een bepaald bedrag te kopen om een bepaalde winst te behalen met minimaal risico voor zichzelf. Rendement op elke geïnvesteerde dollar in een effect J-de type, gekenmerkt door twee indicatoren: verwachte winst en werkelijke winst. Voor een belegger is het wenselijk dat de verwachte winst per dollar aan beleggingen voor de gehele set effecten niet lager is dan een bepaalde waarde B.
Merk op dat voor de juiste modellering van dit probleem een wiskundige bepaalde basiskennis op het gebied van portefeuilletheorie van effecten nodig heeft.
Laten we de bekende parameters van het probleem aangeven:
N- het aantal soorten effecten; maar J– werkelijke winst (willekeurig getal) van het j-de type beveiliging; 
is de verwachte winst van J het type beveiliging.
Geef de onbekende hoeveelheden aan :
ja J - middelen toegewezen voor de aankoop van effecten van het type J.
In onze notatie wordt het totale geïnvesteerde bedrag uitgedrukt als 
. Om het model te vereenvoudigen, introduceren we nieuwe grootheden
.
Op deze manier, x l- dit is het aandeel van alle fondsen die zijn toegewezen voor de aankoop van effecten van het type J.
Het is duidelijk dat 
Uit de toestand van het probleem blijkt dat het doel van de belegger is om met minimaal risico een bepaald winstniveau te behalen. In wezen is risico een maatstaf voor de afwijking van de werkelijke winst van de verwachte winst. Daarom kan het worden geïdentificeerd met de winstcovariantie voor effecten van type i en type j. Hier is M de aanduiding van de wiskundige verwachting.
Het wiskundige model van het oorspronkelijke probleem heeft de vorm:
onder beperkingen
,
,
,
. (1.8)
We hebben het bekende Markowitz-model verkregen om de structuur van een effectenportefeuille te optimaliseren.
Model (1.8.) is een voorbeeld van een optimalisatiemodel van een stochastisch type (met elementen van willekeur).
Voorbeeld 1.5.4.
Op basis van een handelsorganisatie zijn er n soorten van één van de producten van het assortiment minimaal. Slechts één van de soorten van dit product moet in de winkel worden afgeleverd. Het is verplicht om het type goederen te kiezen dat het raadzaam is om naar de winkel te brengen. Als het producttype: J vraag zal zijn, dan zal de winkel profiteren van de verkoop R J, als er geen vraag naar is - een verlies Q J .
Voordat we gaan modelleren, zullen we enkele fundamentele punten bespreken. In dit probleem is de beslisser (DM) de winkel. De uitkomst (het behalen van de maximale winst) hangt echter niet alleen af van zijn beslissing, maar ook van de vraag of er vraag zal zijn naar de geïmporteerde goederen, dwz of ze door de bevolking zullen worden gekocht (aangenomen wordt dat de winkel om de een of andere reden niet de mogelijkheid hebben om de vraag van de bevolking te bestuderen). Daarom kan de bevolking worden beschouwd als de tweede beslisser, die het type goederen kiest op basis van hun voorkeuren. De slechtste "beslissing" van de bevolking voor de winkel is: "er is geen vraag naar de geïmporteerde goederen." Dus om rekening te houden met allerlei situaties, moet de winkel de bevolking als zijn "tegenstander" (voorwaardelijk) beschouwen en het tegenovergestelde doel nastreven - de winst van de winkel minimaliseren.
We hebben dus een beslissingsprobleem met twee deelnemers die tegengestelde doelen nastreven. Laten we verduidelijken dat de winkel een van de soorten goederen kiest die te koop zijn (er zijn n oplossingen), en dat de bevolking een van de soorten goederen kiest waar de grootste vraag naar is ( N oplossingsopties).
Om een wiskundig model samen te stellen, tekenen we een tabel met: N lijnen en N kolommen (totaal N 2 cellen) en ga ermee akkoord dat de rijen overeenkomen met de keuze van de winkel en dat de kolommen overeenkomen met de keuze van de populatie. dan de cel (ik, j) komt overeen met de situatie wanneer de winkel kiest l-de soort goederen ( l-de regel), en de populatie kiest J-de soort goederen ( J- de kolom). In elke cel schrijven we een numerieke beoordeling (winst of verlies) van de overeenkomstige situatie vanuit het oogpunt van de winkel:
Cijfers Q l geschreven met een minteken om het verlies van de winkel weer te geven; in elke situatie is de "uitbetaling" van de populatie (voorwaardelijk) gelijk aan de "uitbetaling" van de winkel, genomen met het tegenovergestelde teken.
Een verkorte weergave van dit model is als volgt:
(1.9)
We hebben het zogenaamde matrixspel. Model (1.9.) is een voorbeeld van spelbeslissingsmodellen.
Het concept van model en simulatie.
Model in brede zin- dit is elk beeld, analoog van een mentaal of gevestigd beeld, beschrijving, diagram, tekening, kaart, enz. van elk volume, proces of fenomeen, gebruikt als vervanging of vertegenwoordiger. Het object, proces of fenomeen zelf wordt het origineel van dit model genoemd.
Modellering - dit is de studie van elk object of systeem van objecten door hun modellen te bouwen en te bestuderen. Dit is het gebruik van modellen om de kenmerken te bepalen of te verfijnen en de manieren om nieuw geconstrueerde objecten te construeren te rationaliseren.
Elke methode van wetenschappelijk onderzoek is gebaseerd op het idee van modellering, terwijl theoretische methoden verschillende soorten symbolische, abstracte modellen gebruiken, terwijl experimentele methoden subjectmodellen gebruiken.
Bij de studie van een complex reëel fenomeen wordt het vervangen door een vereenvoudigde kopie of schema, soms dient zo'n kopie alleen om te onthouden en bij de volgende vergadering om het gewenste fenomeen te achterhalen. Soms weerspiegelt het geconstrueerde schema enkele essentiële kenmerken, stelt het u in staat het mechanisme van het fenomeen te begrijpen, maakt het mogelijk om de verandering ervan te voorspellen. Verschillende modellen kunnen overeenkomen met hetzelfde fenomeen.
De taak van de onderzoeker is om de aard van het fenomeen en het verloop van het proces te voorspellen.
Soms komt het voor dat een object beschikbaar is, maar experimenten ermee duur zijn of ernstige gevolgen voor het milieu hebben. Kennis over dergelijke processen wordt verkregen met behulp van modellen.
Een belangrijk punt is dat de aard van wetenschap de studie van niet één specifiek fenomeen inhoudt, maar een brede klasse van verwante fenomenen. Het impliceert de noodzaak om enkele algemene categorische uitspraken te formuleren, die wetten worden genoemd. Uiteraard worden bij een dergelijke formulering veel details over het hoofd gezien. Om het patroon duidelijker te identificeren, gaan ze bewust voor verruwing, idealisering, schematischheid, dat wil zeggen, ze bestuderen niet het fenomeen zelf, maar een min of meer exacte kopie of model ervan. Alle wetten zijn wetten over modellen, en daarom is het niet verwonderlijk dat na verloop van tijd sommige wetenschappelijke theorieën onbruikbaar blijken te zijn. Dit leidt niet tot de ineenstorting van de wetenschap, aangezien het ene model is vervangen door het andere. moderner.
Een speciale rol in de wetenschap wordt gespeeld door wiskundige modellen, het bouwmateriaal en de gereedschappen van deze modellen - wiskundige concepten. Ze hebben zich gedurende duizenden jaren verzameld en verbeterd. De moderne wiskunde biedt uitzonderlijk krachtige en universele onderzoeksmethoden. Bijna elk concept in de wiskunde, elk wiskundig object, te beginnen met het concept van een getal, is een wiskundig model. Bij het construeren van een wiskundig model van een object of fenomeen dat wordt bestudeerd, worden die van zijn kenmerken, kenmerken en details uitgekozen, die enerzijds min of meer volledige informatie over het object bevatten en anderzijds toestaan wiskundige formalisering. Wiskundige formalisering houdt in dat de kenmerken en details van een object kunnen worden geassocieerd met geschikte adequate wiskundige concepten: getallen, functies, matrices, enzovoort. Vervolgens kunnen de verbanden en relaties die in het bestudeerde object tussen zijn afzonderlijke delen en componenten worden gevonden en aangenomen, worden geschreven met behulp van wiskundige relaties: gelijkheden, ongelijkheden, vergelijkingen. Het resultaat is een wiskundige beschrijving van het onderzochte proces of fenomeen, dat wil zeggen het wiskundige model ervan.
De studie van een wiskundig model gaat altijd gepaard met enkele actieregels voor de bestudeerde objecten. Deze regels weerspiegelen de relaties tussen oorzaken en gevolgen.
Het bouwen van een wiskundig model is een centrale fase in de studie of het ontwerp van elk systeem. De hele verdere analyse van het object hangt af van de kwaliteit van het model. Het bouwen van een model is geen formele procedure. Het hangt sterk af van de onderzoeker, zijn ervaring en smaak, leunt altijd op bepaald experimenteel materiaal. Het model moet nauwkeurig genoeg, adequaat en gebruiksvriendelijk zijn.
Wiskundige modellering.
Classificatie van wiskundige modellen.
Wiskundige modellen kunnen zijn:vastbesloten En stochastisch .
deterministisch model- en - dit zijn modellen waarin een één-op-één relatie wordt gelegd tussen de variabelen die een object of fenomeen beschrijven.
Deze benadering is gebaseerd op kennis van het werkingsmechanisme van objecten. Het object dat wordt gemodelleerd is vaak complex en het ontcijferen van het mechanisme ervan kan erg arbeidsintensief en tijdrovend zijn. In dit geval gaan ze als volgt te werk: experimenten worden uitgevoerd op het origineel, de resultaten worden verwerkt en, zonder in het mechanisme en de theorie van het gemodelleerde object te duiken, met behulp van de methoden van wiskundige statistiek en waarschijnlijkheidstheorie, leggen ze verbanden tussen de variabelen die het object beschrijven. In dit geval krijgt ustochastisch model- . IN stochastisch model, is de relatie tussen variabelen willekeurig, soms gebeurt het fundamenteel. De impact van een groot aantal factoren, hun combinatie leidt tot een willekeurige reeks variabelen die een object of fenomeen beschrijven. Door de aard van de modi is het modelstatistisch En dynamisch.
Statistischmodel-bevat een beschrijving van de relaties tussen de belangrijkste variabelen van het gesimuleerde object in de stabiele toestand zonder rekening te houden met de verandering in parameters in de tijd.
IN dynamischmodellenbeschrijft de relatie tussen de belangrijkste variabelen van het gesimuleerde object in de overgang van de ene modus naar de andere.
Modellen zijn: discreet En continu, net zoals gemengd type. IN continu variabelen nemen waarden aan vanaf een bepaald interval, indiscreetvariabelen nemen geïsoleerde waarden aan.
Lineaire modellen- alle functies en relaties die het model beschrijven zijn lineair afhankelijk van de variabelen enniet lineairanders.
Wiskundige modellering.
Voorwaarden , gepresenteerd naar de modellen.
1. Veelzijdigheid- karakteriseert de volledigheid van de weergave door het model van de bestudeerde eigenschappen van het echte object.
Wiskundige modellering.
De belangrijkste fasen van modellering.
1. Verklaring van het probleem.
Het doel van de analyse en de manieren om dit te bereiken bepalen en een gemeenschappelijke benadering van het onderzochte probleem ontwikkelen. In dit stadium is een diep begrip van de essentie van de taak vereist. Soms is het niet minder moeilijk om een taak correct in te stellen dan om deze op te lossen. Staging is geen formeel proces, er zijn geen algemene regels.
2. De studie van de theoretische grondslagen en het verzamelen van informatie over het object van het origineel.
In dit stadium wordt een geschikte theorie geselecteerd of ontwikkeld. Als het niet aanwezig is, worden causale verbanden gelegd tussen de variabelen die het object beschrijven. Input- en outputgegevens worden bepaald, vereenvoudigende aannames worden gemaakt.
3. Formalisatie.
Het bestaat uit het kiezen van een systeem van symbolen en deze gebruiken om de relatie tussen de componenten van het object op te schrijven in de vorm van wiskundige uitdrukkingen. Er wordt een klasse van taken vastgesteld waaraan het resulterende wiskundige model van het object kan worden toegeschreven. De waarden van sommige parameters in dit stadium zijn mogelijk nog niet gespecificeerd.
4. Keuze van de oplossingsmethode.
In dit stadium worden de definitieve parameters van de modellen ingesteld, rekening houdend met de voorwaarden voor de werking van het object. Voor het verkregen wiskundige probleem wordt een oplossingsmethode gekozen of een speciale methode ontwikkeld. Bij het kiezen van een methode wordt rekening gehouden met de kennis van de gebruiker, zijn voorkeuren, evenals de voorkeuren van de ontwikkelaar.
5. Implementatie van het model.
Nadat een algoritme is ontwikkeld, wordt een programma geschreven dat wordt gedebugd, getest en een oplossing voor het gewenste probleem wordt verkregen.
6. Analyse van de ontvangen informatie.
De ontvangen en verwachte oplossing wordt vergeleken, de modelleringsfout wordt gecontroleerd.
7. De geschiktheid van een echt object controleren.
De resultaten verkregen door het model worden vergelekenofwel met de beschikbare informatie over het object, ofwel wordt een experiment uitgevoerd en de resultaten ervan worden vergeleken met de berekende.
Het modelleringsproces is iteratief. Bij onvoldoende resultaten van de etappes 6. of 7. een terugkeer naar een van de vroege stadia, die zou kunnen leiden tot de ontwikkeling van een onsuccesvol model, wordt uitgevoerd. Deze fase en alle volgende fasen worden verfijnd, en een dergelijke verfijning van het model vindt plaats totdat aanvaardbare resultaten zijn verkregen.
Een wiskundig model is een benaderende beschrijving van elke klasse van verschijnselen of objecten van de echte wereld in de taal van de wiskunde. Het belangrijkste doel van modellering is om deze objecten te verkennen en de resultaten van toekomstige waarnemingen te voorspellen. Modellering is echter ook een methode om de omringende wereld te kennen, waardoor het mogelijk wordt om deze te beheersen.
Wiskundige modellering en het bijbehorende computerexperiment zijn onmisbaar in gevallen waarin een experiment op ware grootte om de een of andere reden onmogelijk of moeilijk is. Het is bijvoorbeeld onmogelijk om een grootschalig experiment in de geschiedenis op te zetten om te controleren "wat zou er gebeuren als..." Het is onmogelijk om de juistheid van deze of gene kosmologische theorie te controleren. In principe is het mogelijk, maar nauwelijks redelijk, om te experimenteren met de verspreiding van een of andere ziekte, zoals de pest, of om een kernexplosie uit te voeren om de gevolgen ervan te bestuderen. Dit alles kan echter op een computer worden gedaan, nadat eerder wiskundige modellen van de bestudeerde verschijnselen zijn gebouwd.
1) Modelbouw. In dit stadium wordt een "niet-wiskundig" object gespecificeerd - een natuurlijk fenomeen, constructie, economisch plan, productieproces, enz. In dit geval is een duidelijke beschrijving van de situatie in de regel moeilijk. Eerst worden de belangrijkste kenmerken van het fenomeen en de relatie daartussen op kwalitatief niveau geïdentificeerd. Vervolgens worden de gevonden kwalitatieve afhankelijkheden geformuleerd in de taal van de wiskunde, dat wil zeggen, er wordt een wiskundig model gebouwd. Dit is het moeilijkste deel van het modelleren.
2) Het wiskundige probleem oplossen waar het model toe leidt. In dit stadium wordt veel aandacht besteed aan het ontwikkelen van algoritmen en numerieke methoden om het probleem op een computer op te lossen, met behulp waarvan het resultaat met de vereiste nauwkeurigheid en binnen een acceptabele tijd kan worden gevonden.
3) Interpretatie van de verkregen consequenties uit het wiskundig model.De consequenties afgeleid van het model in de taal van de wiskunde worden geïnterpreteerd in de taal die op dit gebied wordt geaccepteerd.
4) Controle van de geschiktheid van het model.In dit stadium wordt nagegaan of de resultaten van het experiment met een zekere nauwkeurigheid overeenkomen met de theoretische consequenties uit het model.
5) Modelwijziging.In dit stadium wordt het model ofwel complexer zodat het beter aansluit bij de werkelijkheid, ofwel wordt het vereenvoudigd om tot een praktisch aanvaardbare oplossing te komen.
Modellen kunnen worden ingedeeld op basis van verschillende criteria. Afhankelijk van de aard van de problemen die worden opgelost, kunnen modellen bijvoorbeeld worden onderverdeeld in functionele en structurele modellen. In het eerste geval worden alle grootheden die een fenomeen of object kenmerken, kwantitatief uitgedrukt. Tegelijkertijd worden sommige ervan beschouwd als onafhankelijke variabelen, terwijl andere worden beschouwd als functies van deze grootheden. Een wiskundig model is meestal een stelsel van vergelijkingen van verschillende typen (differentiaal, algebraïsch, enz.) die kwantitatieve verbanden leggen tussen de beschouwde grootheden. In het tweede geval kenmerkt het model de structuur van een complex object, bestaande uit losse onderdelen, waartussen bepaalde verbanden bestaan. Meestal zijn deze relaties niet kwantificeerbaar. Om dergelijke modellen te bouwen, is het handig om grafentheorie te gebruiken. Een grafiek is een wiskundig object, dat een reeks punten (hoekpunten) op een vlak of in de ruimte is, waarvan sommige zijn verbonden door lijnen (randen).
Afhankelijk van de aard van de initiële gegevens en voorspellingsresultaten, kunnen de modellen worden onderverdeeld in deterministisch en probabilistisch-statistisch. Modellen van het eerste type geven definitieve, ondubbelzinnige voorspellingen. Modellen van het tweede type zijn gebaseerd op statistische informatie en de met hun hulp verkregen voorspellingen zijn van probabilistische aard.
WISKUNDE MODELLEN EN ALGEMENE COMPUTERISATIE- OF SIMULATIEMODELLEN
Nu er in het land bijna universele automatisering plaatsvindt, hoor je uitspraken van specialisten van verschillende beroepen: "Laten we een computer in ons land introduceren, dan zijn alle taken onmiddellijk opgelost." Dit standpunt is volkomen verkeerd, computers zelf kunnen niets zonder wiskundige modellen van bepaalde processen, en men kan alleen maar dromen van universele automatisering.
Ter ondersteuning van het voorgaande zullen we proberen de noodzaak van modellering te rechtvaardigen, inclusief wiskundige modellering, de voordelen ervan onthullen in de kennis en transformatie van de externe wereld door een persoon, bestaande tekortkomingen identificeren en gaan ... naar simulatiemodellering, d.w.z. modelleren met behulp van computers. Maar alles is in orde.
Laten we eerst de vraag beantwoorden: wat is een model?
Een model is een materieel of mentaal gerepresenteerd object dat, in het proces van cognitie (studie), het origineel vervangt, met behoud van enkele typische eigenschappen die belangrijk zijn voor deze studie.
Een goed gebouwd model is toegankelijker voor onderzoek dan een echt object. Experimenten met de economie van het land voor onderwijsdoeleinden zijn bijvoorbeeld onaanvaardbaar, hier kan men niet zonder een model.
Als we samenvatten wat er is gezegd, kunnen we de vraag beantwoorden: waar zijn modellen voor? Om te
Wat is positief in elk model? Het stelt je in staat om nieuwe kennis over het object op te doen, maar helaas is het tot op zekere hoogte niet volledig.
Modelgeformuleerd in de taal van de wiskunde met behulp van wiskundige methoden, wordt een wiskundig model genoemd.
Het uitgangspunt voor de constructie ervan is meestal een taak, bijvoorbeeld een economische. Wijdverbreid, zowel beschrijvend als wiskundig optimalisatie, kenmerkend voor verschillende economische processen en evenementen zoals:
Hoe wordt een wiskundig model opgebouwd?
Met dit algoritme kunt u elk optimalisatieprobleem oplossen, inclusief een probleem met meerdere criteria, d.w.z. een waarin niet één, maar meerdere doelen, waaronder tegenstrijdige, worden nagestreefd.
Laten we een voorbeeld nemen. Wachtrijtheorie - het probleem van wachtrijen. U moet twee factoren tegen elkaar afwegen: de kosten van het onderhoud van serviceapparaten en de kosten van in de rij blijven. Nadat een formele beschrijving van het model is opgesteld, worden berekeningen gemaakt met behulp van analytische en computationele methoden. Als het model goed is, dan zijn de antwoorden die met zijn hulp worden gevonden, geschikt voor het modelleringssysteem; als het slecht is, moet het worden verbeterd en vervangen. Het criterium van adequaatheid is de praktijk.
Optimalisatiemodellen, waaronder multicriteria-modellen, hebben een gemeenschappelijke eigenschap - het is bekend dat er een doel (of meerdere doelen) bereikt worden waarvoor men vaak te maken heeft met complexe systemen, waarbij het niet zozeer gaat om het oplossen van optimalisatieproblemen, maar om het onderzoeken en voorspellen van toestanden afhankelijk van gekozen regelstrategieën. En hier worden we geconfronteerd met moeilijkheden bij de uitvoering van het vorige plan. Ze zijn als volgt:
In verband met de genoemde problemen die zich voordoen bij het bestuderen van complexe systemen, vereiste de praktijk een meer flexibele methode, en het bleek - simulatiemodellering " Simujation-modellering".
Gewoonlijk wordt een simulatiemodel opgevat als een set computerprogramma's die het functioneren van individuele blokken van systemen en de regels voor interactie daartussen beschrijft. Het gebruik van willekeurige variabelen maakt het noodzakelijk om herhaaldelijk experimenten uit te voeren met een simulatiesysteem (op een computer) en vervolgens statistische analyse van de verkregen resultaten. Een veel voorkomend voorbeeld van het gebruik van simulatiemodellen is de oplossing van een wachtrijprobleem met de MONTE CARLO-methode.
Het werken met het simulatiesysteem is dus een experiment dat op een computer wordt uitgevoerd. Wat zijn de voordelen?
– Grotere nabijheid tot het werkelijke systeem dan wiskundige modellen;
– Het blokprincipe maakt het mogelijk om elk blok te verifiëren voordat het in het totale systeem wordt opgenomen;
– Het gebruik van afhankelijkheden van een meer complexe aard, niet beschreven door eenvoudige wiskundige relaties.
De genoemde voordelen bepalen de nadelen
– het bouwen van een simulatiemodel is langer, moeilijker en duurder;
– om met het simulatiesysteem te kunnen werken, moet je een computer hebben die geschikt is voor de klas;
– interactie tussen de gebruiker en het simulatiemodel (interface) mag niet te ingewikkeld, handig en bekend zijn;
- de constructie van een simulatiemodel vereist een diepere studie van het werkelijke proces dan wiskundige modellering.
De vraag rijst: kan simulatiemodellering optimalisatiemethoden vervangen? Nee, maar vult ze handig aan. Een simulatiemodel is een programma dat een algoritme implementeert om de besturing te optimaliseren waarvan eerst een optimalisatieprobleem wordt opgelost.
Dus noch een computer, noch een wiskundig model, noch een algoritme om het afzonderlijk te bestuderen, kan een nogal gecompliceerd probleem oplossen. Maar samen vertegenwoordigen ze de kracht die je in staat stelt de wereld om je heen te leren kennen, te beheren in het belang van de mens.
1.2.1
|
1.2.2 Indeling naar gebruiksgebied (Makarova N.A.)
Opleiding- visueel hulpmiddelen, trainers , oh geselen programma's |
1.2.3 Indeling volgens de presentatiewijze Makarova N.A.)
Materiaal
modellen- anders
onderwerp kan worden genoemd. Ze nemen de geometrische en fysieke eigenschappen van het origineel waar en hebben altijd een echte belichaming. |
1.2.4 Classificatie van modellen gegeven in het boek "Land of Informatics" (Gein A.G.))"... hier is een schijnbaar eenvoudige taak: hoe lang duurt het om de Karakum-woestijn over te steken? Antwoord natuurlijk hangt af van de manier van reizen. Als reis verder kamelen, dan is één term vereist, een andere als je met de auto gaat, een derde als je met het vliegtuig vliegt. En het belangrijkste is dat er verschillende modellen nodig zijn om een reis te plannen. Voor het eerste geval is het benodigde model te vinden in de memoires van beroemde woestijnontdekkingsreizigers: men kan immers niet zonder informatie over oases en kameelpaden. In het tweede geval onvervangbare informatie in de wegenatlas. In de derde - kunt u het vluchtschema gebruiken. |
1.2.5 Classificatie van modellen gegeven in de handleiding van A.I. BochkinEr zijn veel manieren om te classificeren .Wij presenteren slechts een paar van de meer bekende stichtingen en tekens: discretie En continuïteit, matrix en scalaire modellen, statische en dynamische modellen, analytische en informatiemodellen, subject- en figuratieve tekenmodellen, grootschalige en niet-schaal... |
College 1
METHODOLOGISCHE BASIS VAN MODELLEN
De huidige stand van zaken van het probleem van systeemmodellering
Concepten van modellering en simulatie
Modellering kan worden beschouwd als een vervanging van het onderzochte object (origineel) door zijn voorwaardelijke afbeelding, beschrijving of een ander object, genaamd model- en het leveren van gedrag dat dicht bij het origineel ligt binnen bepaalde aannames en acceptabele fouten. Modellering wordt meestal uitgevoerd met als doel de eigenschappen van het origineel te kennen door het model ervan te onderzoeken, en niet het object zelf. Natuurlijk is modelleren gerechtvaardigd in het geval dat het eenvoudiger is dan het origineel zelf te maken, of wanneer het laatste om de een of andere reden beter helemaal niet kan worden gemaakt.
Onder model- Onder een fysiek of abstract object wordt verstaan waarvan de eigenschappen in zekere zin vergelijkbaar zijn met de eigenschappen van het bestudeerde object. In dit geval worden de vereisten voor het model bepaald door het probleem dat wordt opgelost en de beschikbare middelen. Er zijn een aantal algemene vereisten voor modellen:
2) volledigheid - de ontvanger voorzien van alle benodigde informatie
over het voorwerp;
3) flexibiliteit - het vermogen om verschillende situaties in alles te reproduceren
scala aan veranderende omstandigheden en parameters;
4) de complexiteit van de ontwikkeling moet acceptabel zijn voor het bestaande
tijd en software.
Modellering is het proces van het bouwen van een model van een object en het bestuderen van de eigenschappen ervan door het model te onderzoeken.
Modellering omvat dus 2 hoofdfasen:
1) modelontwikkeling;
2) studie van het model en het trekken van conclusies.
Tegelijkertijd worden in elke fase verschillende taken opgelost en
wezenlijk verschillende methoden en middelen.
In de praktijk worden verschillende modelleringsmethoden gebruikt. Afhankelijk van de implementatiemethode kunnen alle modellen worden onderverdeeld in twee grote klassen: fysiek en wiskundig.
Wiskundige modellering Het is gebruikelijk om het te beschouwen als een middel om processen of verschijnselen te bestuderen met behulp van hun wiskundige modellen.
Onder fysieke modellering wordt begrepen als de studie van objecten en verschijnselen op fysieke modellen, wanneer het bestudeerde proces wordt gereproduceerd met behoud van de fysieke aard ervan of wanneer een ander fysiek fenomeen wordt gebruikt dat vergelijkbaar is met het bestudeerde. Waarin fysieke modellen In de regel gaan ze uit van de werkelijke belichaming van die fysieke eigenschappen van het origineel die essentieel zijn in een bepaalde situatie.Bij het ontwerpen van een nieuw vliegtuig wordt bijvoorbeeld het model gemaakt dat dezelfde aerodynamische eigenschappen heeft; bij het plannen van een gebouw maken architecten een lay-out die de ruimtelijke ordening van de elementen weerspiegelt. In dit opzicht wordt fysieke modellering ook wel prototypen.
HIL-modellering is een studie van gecontroleerde systemen op simulatiecomplexen met de opname van echte apparatuur in het model. Naast echte apparatuur omvat het gesloten model impact- en interferentiesimulatoren, wiskundige modellen van de externe omgeving en processen waarvoor geen voldoende nauwkeurige wiskundige beschrijving bekend is. Het opnemen van echte apparatuur of echte systemen in het circuit voor het modelleren van complexe processen maakt het mogelijk om a priori onzekerheid te verminderen en processen te onderzoeken waarvoor geen exacte wiskundige beschrijving bestaat. Met behulp van semi-natuurlijke simulatie worden studies uitgevoerd waarbij rekening wordt gehouden met kleine tijdconstanten en niet-lineariteiten die inherent zijn aan echte apparatuur. Bij de studie van modellen met toevoeging van echte apparatuur, wordt het concept gebruikt dynamische simulatie, in de studie van complexe systemen en fenomenen - evolutionair, imitatie En cybernetische simulatie.
Het is duidelijk dat het echte voordeel van modellering alleen kan worden verkregen als aan twee voorwaarden wordt voldaan:
1) het model geeft een juiste (adequate) weergave van eigenschappen
het origineel, belangrijk vanuit het oogpunt van de onderzochte operatie;
2) het model maakt het mogelijk om de hierboven genoemde problemen, die inherent zijn, te elimineren
onderzoek doen naar echte objecten.
De oplossing van praktische problemen door wiskundige methoden wordt consequent uitgevoerd door het probleem te formuleren (ontwikkeling van een wiskundig model), een methode te kiezen om het verkregen wiskundige model te bestuderen en het verkregen wiskundige resultaat te analyseren. De wiskundige formulering van het probleem wordt meestal gepresenteerd in de vorm van geometrische afbeeldingen, functies, stelsels van vergelijkingen, enz. De beschrijving van een object (fenomeen) kan worden weergegeven met behulp van continue of discrete, deterministische of stochastische en andere wiskundige vormen.
Theorie van wiskundige modellering zorgt voor de identificatie van regelmatigheden in de loop van verschillende fenomenen van de omringende wereld of de werking van systemen en apparaten door hun wiskundige beschrijving en modellering zonder veldtesten. In dit geval worden de bepalingen en wetten van de wiskunde gebruikt die de gesimuleerde verschijnselen, systemen of apparaten beschrijven op een bepaald niveau van hun idealisering.
Wiskundig model (MM) is een geformaliseerde beschrijving van een systeem (of bewerking) in een abstracte taal, bijvoorbeeld in de vorm van een reeks wiskundige relaties of een algoritmeschema, d.w.z. e) een dergelijke wiskundige beschrijving die een imitatie geeft van de werking van systemen of apparaten op een niveau dat voldoende dicht bij hun werkelijke gedrag ligt, verkregen tijdens het testen van systemen of apparaten op volledige schaal.
Elke MM beschrijft een echt object, fenomeen of proces met een zekere mate van benadering van de werkelijkheid. Het type MM hangt zowel af van de aard van het werkelijke object als van de doelstellingen van het onderzoek.
Wiskundige modellering sociale, economische, biologische en fysieke verschijnselen, objecten, systemen en verschillende apparaten is een van de belangrijkste manieren om de natuur te begrijpen en een grote verscheidenheid aan systemen en apparaten te ontwerpen. Er zijn voorbeelden bekend van het effectieve gebruik van modellering bij het creëren van nucleaire technologieën, luchtvaart- en ruimtevaartsystemen, bij de voorspelling van atmosferische en oceanische verschijnselen, het weer, enz.
Dergelijke serieuze gebieden van modellering vereisen echter vaak supercomputers en jarenlang werk van grote teams van wetenschappers om gegevens voor te bereiden voor modellering en het debuggen ervan. Niettemin, ook in dit geval bespaart wiskundige modellering van complexe systemen en apparaten niet alleen geld op onderzoek en testen, maar kan het ook milieurampen elimineren - het maakt het bijvoorbeeld mogelijk om het testen van nucleaire en thermonucleaire wapens af te schaffen ten gunste van hun wiskundige modellering of het testen van ruimtevaartsystemen vóór hun echte vluchten. Ondertussen heeft wiskundige modellering op het niveau van het oplossen van eenvoudigere problemen, bijvoorbeeld op het gebied van mechanica, elektrotechniek, elektronica, radiotechniek en vele andere gebieden van wetenschap en technologie, nu beschikbaar voor uitvoering op moderne pc's. En wanneer gegeneraliseerde modellen worden gebruikt, wordt het mogelijk om vrij complexe systemen te modelleren, bijvoorbeeld telecommunicatiesystemen en -netwerken, radar- of radionavigatiesystemen.
Het doel van wiskundige modellering is de analyse van reële processen (in de natuur of technologie) door wiskundige methoden. Dit vereist op zijn beurt de formalisering van het MM-proces dat moet worden onderzocht. Het model kan een wiskundige uitdrukking zijn die variabelen bevat waarvan het gedrag vergelijkbaar is met het gedrag van een echt systeem. Het model kan elementen van willekeur bevatten die rekening houden met de waarschijnlijkheden van mogelijke acties van twee of meer "spelers", spellen; of het kan de echte variabelen vertegenwoordigen van de onderling verbonden delen van het besturingssysteem.
Wiskundige modellering voor het bestuderen van de kenmerken van systemen kan worden onderverdeeld in analytisch, simulatie en gecombineerd. Op hun beurt zijn MM onderverdeeld in simulatie en analytisch.
Analytische modellering
Voor analytische modellering het is kenmerkend dat de werkingsprocessen van het systeem zijn geschreven in de vorm van enkele functionele relaties (algebraïsche, differentiële, integraalvergelijkingen). Het analytische model kan op de volgende manieren worden onderzocht:
1) analytisch, wanneer ze streven naar het verkrijgen van in algemene termen expliciete afhankelijkheden voor de kenmerken van systemen;
2) numeriek, wanneer het niet mogelijk is om een oplossing te vinden voor vergelijkingen in algemene vorm en ze worden opgelost voor specifieke initiële gegevens;
3) kwalitatief, wanneer, bij afwezigheid van een oplossing, enkele van zijn eigenschappen worden gevonden.
Analytische modellen kunnen alleen worden verkregen voor relatief eenvoudige systemen. Bij complexe systemen ontstaan vaak grote wiskundige problemen. Om de analytische methode toe te passen, gaat men naar een aanzienlijke vereenvoudiging van het oorspronkelijke model. Een onderzoek naar een vereenvoudigd model helpt echter om alleen indicatieve resultaten te verkrijgen. Analytische modellen geven wiskundig correct de relatie tussen invoer- en uitvoervariabelen en parameters weer. Maar hun structuur weerspiegelt niet de interne structuur van het object.
Bij analytische modellering worden de resultaten gepresenteerd in de vorm van analytische uitdrukkingen. Door bijvoorbeeld verbinding te maken met RC- circuit naar een constante spanningsbron E(R, C En E zijn de componenten van dit model), kunnen we een analytische uitdrukking maken voor de tijdsafhankelijkheid van de spanning jij(t) op de condensator C:
Dit is een lineaire differentiaalvergelijking (DE) en is een analytisch model van dit eenvoudige lineaire circuit. De analytische oplossing, onder de beginvoorwaarde: jij(0) = 0, wat een ontladen condensator betekent C aan het begin van de simulatie, kunt u de vereiste afhankelijkheid vinden - in de vorm van een formule:
jij(t) = E(1− exP(- t/RC)). (2)
Maar zelfs in dit eenvoudigste voorbeeld zijn bepaalde inspanningen vereist om differentiaalvergelijking (1) op te lossen of toe te passen computer wiskunde systemen(SCM) met symbolische berekeningen - computeralgebrasystemen. Voor dit vrij triviale geval is de oplossing van het probleem van het modelleren van een lineaire RC-circuit geeft een analytische uitdrukking (2) van een vrij algemene vorm - het is geschikt voor het beschrijven van de werking van het circuit voor alle componentclassificaties R, C En E, en beschrijft de exponentiële lading van de condensator C via een weerstand R van een constante spanningsbron E.
Ongetwijfeld blijkt het vinden van analytische oplossingen in analytische modellering uiterst waardevol voor het onthullen van de algemene theoretische wetten van eenvoudige lineaire circuits, systemen en apparaten. De complexiteit neemt echter sterk toe naarmate de impact op het model complexer wordt en de volgorde en het aantal van toestandsvergelijkingen die het gemodelleerde object beschrijven, nemen toe. U kunt min of meer zichtbare resultaten krijgen bij het modelleren van objecten van de tweede of derde orde, maar zelfs met een hogere orde worden analytische uitdrukkingen buitengewoon omslachtig, complex en moeilijk te begrijpen. Zo bevat zelfs een simpele elektronische versterker vaak tientallen componenten. Veel moderne SCM's, zoals systemen van symbolische wiskunde Esdoorn, Mathematica of woensdag MATLAB zijn in staat om de oplossing van complexe problemen van analytische modellering grotendeels te automatiseren.
Een type modellering is: numerieke simulatie, die bestaat uit het verkrijgen van de noodzakelijke kwantitatieve gegevens over het gedrag van systemen of apparaten door middel van elke geschikte numerieke methode, zoals de Euler- of Runge-Kutta-methoden. In de praktijk is de modellering van niet-lineaire systemen en apparaten met behulp van numerieke methoden veel efficiënter dan de analytische modellering van individuele private lineaire circuits, systemen of apparaten. Om bijvoorbeeld DE (1)- of DE-systemen in complexere gevallen op te lossen, wordt de oplossing in analytische vorm niet verkregen, maar numerieke simulatiegegevens kunnen voldoende volledige gegevens opleveren over het gedrag van de gesimuleerde systemen en apparaten, evenals plotten grafieken die dit gedrag van afhankelijkheden beschrijven.
Simulatie
Bij imitatie Bij modellering reproduceert het algoritme dat het model implementeert het proces van het functioneren van het systeem in de tijd. De elementaire fenomenen waaruit het proces bestaat, worden nagebootst, met behoud van hun logische structuur en de volgorde van de stroom in de tijd.
Het belangrijkste voordeel van simulatiemodellen in vergelijking met analytische modellen is het vermogen om complexere problemen op te lossen.
Simulatiemodellen maken het gemakkelijk om rekening te houden met de aanwezigheid van discrete of continue elementen, niet-lineaire kenmerken, willekeurige effecten, enz. Daarom wordt deze methode veel gebruikt in de ontwerpfase van complexe systemen. Het belangrijkste hulpmiddel voor de implementatie van simulatiemodellering is een computer die digitale modellering van systemen en signalen mogelijk maakt.
In dit verband definiëren we de uitdrukking " computermodellering”, dat steeds vaker in de literatuur wordt gebruikt. We gaan ervan uit dat computermodellering- dit is wiskundige modellering met behulp van computertechnologie. Dienovereenkomstig omvat computersimulatietechnologie de volgende acties:
1) definitie van het doel van modellering;
2) ontwikkeling van een conceptueel model;
3) formalisering van het model;
4) software-implementatie van het model;
5) planning van modelexperimenten;
6) uitvoering van het experimentplan;
7) analyse en interpretatie van simulatieresultaten.
Bij simulatiemodellering de gebruikte MM reproduceert het algoritme ("logica") van de werking van het bestudeerde systeem in de tijd voor verschillende combinaties van waarden van de parameters van het systeem en de omgeving.
Een voorbeeld van het eenvoudigste analytische model is de vergelijking van uniforme rechtlijnige beweging. Bij het bestuderen van een dergelijk proces met behulp van een simulatiemodel, moet observatie van de verandering in het afgelegde pad in de tijd worden geïmplementeerd.Het is duidelijk dat in sommige gevallen analytische modellering meer de voorkeur heeft, in andere - simulatie (of een combinatie van beide). Om een goede keuze te kunnen maken, moeten twee vragen worden beantwoord.
Wat is het doel van modelleren?
In welke klasse kan het gesimuleerde fenomeen worden ingedeeld?
Antwoorden op beide vragen kunnen worden verkregen tijdens de uitvoering van de eerste twee fasen van het modelleren.
Simulatiemodellen komen niet alleen in eigenschappen, maar ook in structuur overeen met het object dat wordt gemodelleerd. In dit geval is er een ondubbelzinnige en expliciete overeenkomst tussen de processen die op het model worden verkregen en de processen die op het object plaatsvinden. Het nadeel van simulatiemodellering is dat het lang duurt om het probleem op te lossen om een goede nauwkeurigheid te verkrijgen.
De resultaten van simulatiemodellering van het werk van een stochastisch systeem zijn realisaties van willekeurige variabelen of processen. Om de kenmerken van het systeem te vinden, zijn daarom meerdere herhalingen en daaropvolgende gegevensverwerking vereist. Meestal wordt in dit geval een type simulatie gebruikt - statistisch
modellering(of de Monte Carlo-methode), d.w.z. reproductie in modellen van willekeurige factoren, gebeurtenissen, hoeveelheden, processen, velden.
Volgens de resultaten van statistische modellering worden schattingen bepaald van probabilistische kwaliteitscriteria, algemeen en bijzonder, die de werking en efficiëntie van het gecontroleerde systeem kenmerken. Statistische modellering wordt veel gebruikt om wetenschappelijke en toegepaste problemen op verschillende gebieden van wetenschap en technologie op te lossen. Methoden voor statistische modellering worden veel gebruikt bij de studie van complexe dynamische systemen, de evaluatie van hun functioneren en efficiëntie.
De laatste fase van statistische modellering is gebaseerd op de wiskundige verwerking van de verkregen resultaten. Hier worden methoden van wiskundige statistiek gebruikt (parametrische en niet-parametrische schatting, hypothesetoetsing). Een voorbeeld van een parametrische beoordeling is het steekproefgemiddelde van een prestatiemaatstaf. Van de niet-parametrische methoden, de meest gebruikte histogram methode:.
Het overwogen schema is gebaseerd op meerdere statistische tests van het systeem en methoden van statistiek van onafhankelijke willekeurige variabelen. Dit schema is in de praktijk lang niet altijd natuurlijk en optimaal in termen van kosten. De systeemtesttijd kan worden verkort door nauwkeurigere schattingsmethoden te gebruiken. Zoals bekend is uit wiskundige statistieken, hebben effectieve schattingen de hoogste nauwkeurigheid voor een gegeven steekproefomvang. Optimale filtering en de maximale waarschijnlijkheidsmethode bieden een algemene methode voor het verkrijgen van dergelijke schattingen.Bij statistische modelleringsproblemen is de verwerking van realisaties van willekeurige processen niet alleen nodig voor de analyse van outputprocessen.
Het is ook erg belangrijk om de kenmerken van willekeurige invoereffecten te controleren. De controle bestaat uit het controleren of de verdelingen van de gegenereerde processen overeenkomen met de gegeven verdelingen. Deze taak wordt vaak geformuleerd als: taak voor het testen van hypothesen.
De algemene trend in computerondersteunde simulatie van complexe gecontroleerde systemen is de wens om de simulatietijd te verkorten en om onderzoek in realtime uit te voeren. Computationele algoritmen worden handig weergegeven in een terugkerende vorm die hun implementatie in het tempo van de huidige informatie mogelijk maakt.
PRINCIPES VAN EEN SYSTEEMBENADERING IN MODELLERING
Grondbeginselen van systeemtheorie
De belangrijkste bepalingen van de systeemtheorie zijn ontstaan in de loop van de studie van dynamische systemen en hun functionele elementen. Een systeem wordt opgevat als een groep onderling verbonden elementen die samenwerken om een vooraf bepaalde taak uit te voeren. Systeemanalyse stelt u in staat om de meest realistische manieren te bepalen om de taak te voltooien, zodat u maximaal aan de vereisten kunt voldoen.
De elementen die ten grondslag liggen aan de systeemtheorie worden niet gecreëerd met behulp van hypothesen, maar worden experimenteel ontdekt. Om te beginnen met het bouwen van een systeem, is het noodzakelijk om algemene kenmerken van technologische processen te hebben. Hetzelfde geldt voor de principes van het creëren van wiskundig geformuleerde criteria waaraan een proces of de theoretische beschrijving ervan moet voldoen. Modellering is een van de belangrijkste methoden van wetenschappelijk onderzoek en experimenten.
Bij het bouwen van modellen van objecten wordt een systematische benadering gebruikt, wat een methodologie is voor het oplossen van complexe problemen, die gebaseerd is op de overweging van een object als een systeem dat in een bepaalde omgeving werkt. De systeembenadering omvat de onthulling van de integriteit van het object, de identificatie en studie van de interne structuur, evenals verbindingen met de externe omgeving. In dit geval wordt het object gepresenteerd als een deel van de echte wereld, die wordt geïdentificeerd en bestudeerd in verband met het probleem van het bouwen van een model dat wordt opgelost. Bovendien houdt de systematische benadering een consistente overgang van het algemene naar het bijzondere in, wanneer de afweging is gebaseerd op het ontwerpdoel en het object wordt beschouwd in relatie tot de omgeving.
Een complex object kan worden onderverdeeld in subsystemen, dit zijn onderdelen van het object die aan de volgende eisen voldoen:
1) het subsysteem is een functioneel onafhankelijk onderdeel van het object. Het is verbonden met andere subsystemen, wisselt informatie en energie met hen uit;
2) voor elk subsysteem kunnen functies of eigenschappen worden gedefinieerd die niet overeenkomen met de eigenschappen van het gehele systeem;
3) elk van de subsystemen kan verder worden onderverdeeld naar het niveau van elementen.
In dit geval wordt een element opgevat als een subsysteem van het lagere niveau, waarvan de verdere verdeling ondoelmatig is vanuit het standpunt van het probleem dat wordt opgelost.
Een systeem kan dus worden gedefinieerd als een representatie van een object in de vorm van een reeks subsystemen, elementen en relaties met het oog op de creatie, het onderzoek of de verbetering ervan. Tegelijkertijd wordt een vergrote weergave van het systeem, dat de belangrijkste subsystemen en verbindingen daartussen omvat, een macrostructuur genoemd, en een gedetailleerde onthulling van de interne structuur van het systeem op het niveau van elementen wordt een microstructuur genoemd.
Naast het systeem is er meestal een supersysteem - een systeem van een hoger niveau, dat het object in kwestie omvat, en de functie van elk systeem kan alleen via het supersysteem worden bepaald.
Het is noodzakelijk om het concept van de omgeving te onderscheiden als een verzameling objecten van de externe wereld die de efficiëntie van het systeem aanzienlijk beïnvloeden, maar die geen deel uitmaken van het systeem en zijn supersysteem.
In samenhang met de systematische benadering van bouwmodellen wordt het begrip infrastructuur gebruikt, dat de relatie van het systeem met zijn omgeving (omgeving) beschrijft, in dit geval de selectie, beschrijving en bestudering van de eigenschappen van een object die van belang zijn binnen een specifieke taak wordt de gelaagdheid van een object genoemd, en elk model van een object is de gelaagde beschrijving ervan.
Voor een systematische aanpak is het belangrijk om de structuur van het systeem te bepalen, d.w.z. reeks koppelingen tussen de elementen van het systeem, die hun interactie weerspiegelen. Om dit te doen, beschouwen we eerst de structurele en functionele benaderingen van modellering.
Met een structurele aanpak wordt de samenstelling van de geselecteerde elementen van het systeem en de verbanden daartussen zichtbaar. Het geheel van elementen en relaties maakt het mogelijk om de structuur van het systeem te beoordelen. De meest algemene beschrijving van een structuur is een topologische beschrijving. Hiermee kunt u de componenten van het systeem en hun relaties definiëren met behulp van grafieken. Minder algemeen is de functionele beschrijving wanneer afzonderlijke functies worden beschouwd, d.w.z. algoritmen voor het gedrag van het systeem. Tegelijkertijd wordt een functionele benadering geïmplementeerd die de functies bepaalt die het systeem vervult.
Op basis van een systematische benadering kan een reeks modelontwikkeling worden voorgesteld, waarbij twee hoofdfasen van ontwerp worden onderscheiden: macro-ontwerp en micro-ontwerp.
In de macro-ontwerpfase wordt een model van de externe omgeving gebouwd, middelen en beperkingen geïdentificeerd, een systeemmodel en criteria voor het beoordelen van de geschiktheid geselecteerd.
De fase van microdesign hangt grotendeels af van het specifieke type model dat is gekozen. In het algemeen gaat het om het creëren van informatie, wiskundige, technische en softwarematige ondersteuning voor het modelleringssysteem. In dit stadium worden de belangrijkste technische kenmerken van het gecreëerde model vastgesteld, worden de tijd van het werken ermee en de kosten van middelen geschat om de gespecificeerde kwaliteit van het model te verkrijgen.
Ongeacht het type model, bij het bouwen ervan, moet u zich laten leiden door een aantal principes van een systematische aanpak:
1) consistente voortgang door de stadia van het maken van een model;
2) coördinatie van informatie, middelen, betrouwbaarheid en andere kenmerken;
3) de juiste verhouding van verschillende niveaus van modelbouw;
4) de integriteit van de afzonderlijke fasen van het modelontwerp.
De taken die door LP-methoden worden opgelost, zijn zeer divers van inhoud. Maar hun wiskundige modellen zijn vergelijkbaar en zijn voorwaardelijk gecombineerd in drie grote groepen problemen:
Tabel 3.1
Vragen voor zelfbeheersing
1. Verklaring van het vervoersprobleem. de constructie van een wiskundig model beschrijven.
2. Wat is een evenwichtig en onevenwichtig vervoersprobleem?
3. Wat wordt berekend in de objectieve functie van de transporttaak?
4. Wat weerspiegelt elke ongelijkheid van het systeem van beperkingen van het planprobleem?
5. Wat weerspiegelt elke ongelijkheid van het systeem van beperkingen van het mengselprobleem?
6. Wat betekenen de variabelen in het planprobleem en het mengselprobleem?
Wiskundige modellen
Wiskundig model - bij benaderingbeschrijving van het object van modellering, uitgedrukt met behulp vanschyu wiskundige symboliek.
Wiskundige modellen verschenen vele eeuwen geleden samen met wiskunde. Een enorme impuls aan de ontwikkeling van wiskundige modellering werd gegeven door de opkomst van computers. Het gebruik van computers maakte het mogelijk om veel wiskundige modellen te analyseren en in de praktijk te brengen die voorheen niet vatbaar waren voor analytisch onderzoek. Computer-geïmplementeerde wiskundigeluchtmodel genaamd computer wiskundig model, maar gerichte berekeningen uitvoeren met een computermodel genaamd computationeel experiment.
Stadia van computerwiskundeverwijdering weergegeven in de figuur. Eerstfase - definitie van modelleringsdoelen. Deze doelen kunnen verschillend zijn:
Een voorbeeld uit een heel ander gebied: vreedzaam naast elkaar bestaand met stabiele populaties van twee soorten individuen met een gemeenschappelijke voedselbasis, beginnen "plotseling" hun aantal drastisch te veranderen. En hier maakt wiskundige modellering het (met een zekere mate van zekerheid) mogelijk om de oorzaak vast te stellen (of op zijn minst een bepaalde hypothese te weerleggen).
De ontwikkeling van het concept van objectbeheer is een ander mogelijk doel van modellering. Welke vliegtuigmodus moet worden gekozen om de vlucht veilig en economisch het voordeligst te laten verlopen? Hoe plant u honderden soorten werkzaamheden aan de bouw van een grote faciliteit, zodat deze zo snel mogelijk eindigt? Veel van dergelijke problemen doen zich systematisch voor bij economen, ontwerpers en wetenschappers.
Ten slotte kan het voorspellen van de gevolgen van bepaalde effecten op een object zowel relatief eenvoudig zijn in eenvoudige fysieke systemen als uiterst complex - op de rand van haalbaarheid - in biologische, economische, sociale systemen. Als het relatief eenvoudig is om de vraag te beantwoorden over de verandering in de wijze van warmtevoortplanting in een dunne staaf met veranderingen in de samenstellende legering, dan is het onvergelijkbaar moeilijker om de milieu- en klimatologische gevolgen van de constructie van een grote waterkrachtcentrale of de maatschappelijke gevolgen van wijzigingen in de belastingwetgeving. Misschien zullen ook hier wiskundige modelleringsmethoden in de toekomst meer significante hulp bieden.
Tweede fase: definitie van invoer- en uitvoerparameters van het model; verdeling van inputparameters volgens de mate van belang van de impact van hun wijzigingen op de output. Dit proces wordt rangschikking genoemd, of deling op rang (zie hieronder). "Formaliseren"tie en modellering").
derde fase: constructie van een wiskundig model. In dit stadium is er een overgang van de abstracte formulering van het model naar een formulering met een specifieke wiskundige representatie. Een wiskundig model is vergelijkingen, stelsels van vergelijkingen, stelsels van ongelijkheden, differentiaalvergelijkingen of stelsels van dergelijke vergelijkingen, enz.
Vierde fase: keuze van de methode voor het bestuderen van het wiskundige model. Meestal worden hier numerieke methoden gebruikt, die zich goed lenen voor programmeren. In de regel zijn verschillende methoden geschikt om hetzelfde probleem op te lossen, die verschillen in nauwkeurigheid, stabiliteit, enz. Het succes van het gehele modelleringsproces hangt vaak af van de juiste methodekeuze.
Vijfde etappe: de ontwikkeling van een algoritme, het samenstellen en debuggen van een computerprogramma is een proces dat moeilijk te formaliseren is. Van de programmeertalen geven veel professionals voor wiskundige modellering de voorkeur aan FORTRAN: zowel vanwege de traditie als vanwege de onovertroffen efficiëntie van compilers (voor computerwerk) en de aanwezigheid van enorme, zorgvuldig gedebugde en geoptimaliseerde bibliotheken van standaardprogramma's van wiskundige methoden geschreven in het. Talen zoals PASCAL, BASIC, C zijn ook in gebruik, afhankelijk van de aard van de taak en de neigingen van de programmeur.
Zesde etappe: programma testen. De werking van het programma wordt getest op een testprobleem met een bekend antwoord. Dit is nog maar het begin van een testprocedure die moeilijk formeel uitputtend te beschrijven is. Gewoonlijk eindigt het testen wanneer de gebruiker, volgens zijn professionele kenmerken, het programma correct acht.
Zevende etappe: daadwerkelijk computationeel experiment, waarbij duidelijk wordt of het model overeenkomt met een reëel object (proces). Het model is voldoende geschikt voor het werkelijke proces als enkele kenmerken van het proces verkregen op een computer met een bepaalde mate van nauwkeurigheid samenvallen met de experimenteel verkregen kenmerken. Als het model niet overeenkomt met het werkelijke proces, keren we terug naar een van de vorige fasen.
Classificatie van wiskundige modellen
De classificatie van wiskundige modellen kan op verschillende principes gebaseerd zijn. Het is mogelijk om modellen te classificeren naar takken van wetenschap (wiskundige modellen in de natuurkunde, biologie, sociologie, enz.). Het kan worden geclassificeerd volgens het toegepaste wiskundige apparaat (modellen gebaseerd op het gebruik van gewone differentiaalvergelijkingen, partiële differentiaalvergelijkingen, stochastische methoden, discrete algebraïsche transformaties, enz.). Als we ten slotte uitgaan van de algemene taken van modellering in verschillende wetenschappen, ongeacht het wiskundige apparaat, is de volgende classificatie het meest natuurlijk:
Laten we dit uitleggen met voorbeelden.
Beschrijvende (beschrijvende) modellen. Simulaties van de beweging van een komeet die het zonnestelsel binnendringt, worden bijvoorbeeld gemaakt om het traject van zijn vlucht te voorspellen, de afstand waarop hij van de aarde zal passeren, enzovoort. In dit geval zijn de doelen van modellering beschrijvend, omdat er geen manier is om de beweging van de komeet te beïnvloeden, om er iets in te veranderen.
Optimalisatiemodellen worden gebruikt om de processen te beschrijven die kunnen worden beïnvloed in een poging om een bepaald doel te bereiken. In dit geval bevat het model een of meer parameters die beïnvloedbaar zijn. Door bijvoorbeeld het thermische regime in een graanschuur te veranderen, kan men een doel stellen om een dergelijk regime te kiezen om maximale graanconservering te bereiken, d.w.z. het opslagproces optimaliseren.
Multicriteria-modellen. Vaak is het nodig om het proces op meerdere parameters tegelijk te optimaliseren en kunnen de doelen erg tegenstrijdig zijn. Als we bijvoorbeeld voedselprijzen kennen en iemands behoefte aan voedsel, is het noodzakelijk om maaltijden voor grote groepen mensen (in het leger, zomerkamp voor kinderen, enz.) fysiologisch correct en tegelijkertijd zo goedkoop mogelijk te organiseren. Het is duidelijk dat deze doelen helemaal niet samenvallen; bij het modelleren worden meerdere criteria gehanteerd, waartussen een balans moet worden gezocht.
Spelmodellen kan niet alleen te maken hebben met computerspelletjes, maar ook met heel serieuze zaken. Bijvoorbeeld, vóór een gevecht, in aanwezigheid van onvolledige informatie over het vijandige leger, moet een commandant een plan ontwikkelen: in welke volgorde bepaalde eenheden in de strijd moeten worden gebracht, enz., Rekening houdend met de mogelijke reactie van de vijand. Er is een speciaal onderdeel van de moderne wiskunde - speltheorie - dat de methoden van besluitvorming onder omstandigheden van onvolledige informatie bestudeert.
In de schoolcursus informatica krijgen studenten als onderdeel van de basiscursus een eerste idee van computerwiskundig modelleren. Op de middelbare school kan wiskundige modellering diepgaand worden bestudeerd in een algemene cursus voor lessen in natuurkunde en wiskunde, maar ook in een gespecialiseerd keuzevak.
De belangrijkste vormen van lesgeven in wiskundige computermodellering op de middelbare school zijn lezingen, laboratorium- en studiepuntenklassen. Gewoonlijk duurt het werk aan het maken en voorbereiden van de studie van elk nieuw model 3-4 lessen. In de loop van de presentatie van het materiaal worden taken vastgesteld die in de toekomst door de studenten zelf moeten worden opgelost, in algemene termen worden manieren geschetst om ze op te lossen. Er worden vragen geformuleerd, waarop de antwoorden moeten worden verkregen bij het uitvoeren van taken. Er wordt aanvullende literatuur vermeld, die het mogelijk maakt om aanvullende informatie te verkrijgen voor een meer succesvolle voltooiing van taken.
De vorm van het organiseren van lessen in de studie van nieuw materiaal is meestal een lezing. Na de voltooiing van de bespreking van het volgende model studenten beschikken over de nodige theoretische informatie en een reeks taken voor verder werk. Ter voorbereiding op de opdracht kiezen studenten de juiste oplossingsmethode, met behulp van een bekende privéoplossing, testen ze het ontwikkelde programma. Bij heel mogelijke moeilijkheden bij het uitvoeren van de taken wordt overleg gepleegd, wordt voorgesteld om deze onderdelen in de literatuur nader uit te werken.
Het meest relevant voor het praktische deel van het lesgeven in computermodellering is de methode van projecten. De taak is geformuleerd voor de student in de vorm van een educatief project en wordt uitgevoerd over meerdere lessen, en de belangrijkste organisatievorm in dit geval is computerlaboratoriumwerk. Leren modelleren met behulp van de leerprojectmethode kan op verschillende niveaus worden geïmplementeerd. De eerste is een probleemstelling van het projectimplementatieproces, dat wordt geleid door de leraar. De tweede is de uitvoering van het project door studenten onder begeleiding van een docent. De derde is de zelfstandige uitvoering door studenten van een onderwijskundig onderzoeksproject.
De resultaten van het werk moeten in numerieke vorm worden gepresenteerd, in de vorm van grafieken, diagrammen. Indien mogelijk wordt het proces in dynamiek op het computerscherm weergegeven. Na afronding van de berekeningen en ontvangst van de resultaten worden deze geanalyseerd, vergeleken met bekende feiten uit de theorie, wordt de betrouwbaarheid bevestigd en wordt een zinvolle interpretatie uitgevoerd, die vervolgens tot uiting komt in een schriftelijk rapport.
Als de resultaten de leerling en de leraar tevreden stellen, dan is het werk telt voltooid, en de laatste fase is de voorbereiding van een rapport. Het rapport bevat korte theoretische informatie over het onderzochte onderwerp, een wiskundige formulering van het probleem, een oplossingsalgoritme en de rechtvaardiging ervan, een computerprogramma, de resultaten van het programma, analyse van de resultaten en conclusies, een lijst met referenties.
Als alle rapporten zijn opgesteld, maken de studenten tijdens de testsessie korte rapporten over het uitgevoerde werk, verdedigen ze hun project. Dit is een effectieve vorm van rapportage door het projectteam aan de klas, inclusief het stellen van het probleem, het bouwen van een formeel model, het kiezen van methoden om met het model te werken, het implementeren van het model op een computer, het werken met het voltooide model, het interpreteren van de resultaten, voorspelling. Als gevolg hiervan kunnen studenten twee cijfers halen: de eerste is voor de uitwerking van het project en het succes van de verdediging, de tweede is voor het programma, de optimaliteit van het algoritme, de interface, enz. Studenten krijgen ook punten in de loop van enquêtes over theorie.
Een essentiële vraag is wat voor soort tools je moet gebruiken in de schoolinformaticacursus voor wiskundig modelleren? Computerimplementatie van modellen kan worden uitgevoerd:
Op het niveau van de basisschool lijkt de eerste remedie de voorkeur te hebben. Op de middelbare school, wanneer programmeren, samen met modelleren, een belangrijk onderwerp van informatica is, is het echter wenselijk om het als een modelleertool te gebruiken. Tijdens het programmeren komen de details van wiskundige procedures beschikbaar voor studenten; bovendien worden ze gewoon gedwongen om ze onder de knie te krijgen en dit draagt ook bij aan het wiskundig onderwijs. Wat betreft het gebruik van speciale softwarepakketten, dit is passend in een profielcursus informatica als aanvulling op andere tools.
De taak :
