Sinds het midden van de XX eeuw. op verschillende gebieden van menselijke activiteit begonnen wiskundige methoden en computers op grote schaal te worden gebruikt. Nieuwe disciplines zoals "mathematische economie", "mathematische chemie", "mathematische taalkunde", enz., zijn ontstaan die wiskundige modellen van relevante objecten en verschijnselen bestuderen, evenals methoden om deze modellen te bestuderen.
Een wiskundig model is een benaderende beschrijving van elke klasse van verschijnselen of objecten van de echte wereld in de taal van de wiskunde. Het belangrijkste doel van modellering is om deze objecten te verkennen en de resultaten van toekomstige waarnemingen te voorspellen. Modellering is echter ook een methode om de omringende wereld te kennen, waardoor het mogelijk wordt om deze te beheersen.
Wiskundige modellering en het bijbehorende computerexperiment zijn onmisbaar in gevallen waarin een experiment op ware grootte om de een of andere reden onmogelijk of moeilijk is. Het is bijvoorbeeld onmogelijk om een grootschalig experiment in de geschiedenis op te zetten om te controleren "wat zou er gebeuren als..." Het is onmogelijk om de juistheid van deze of gene kosmologische theorie te controleren. In principe is het mogelijk, maar nauwelijks redelijk, om te experimenteren met de verspreiding van een of andere ziekte, zoals de pest, of om een kernexplosie uit te voeren om de gevolgen ervan te bestuderen. Dit alles kan echter op een computer worden gedaan, nadat eerder wiskundige modellen van de bestudeerde verschijnselen zijn gebouwd.
1) Modelbouw. In dit stadium wordt een "niet-wiskundig" object gespecificeerd - een natuurlijk fenomeen, constructie, economisch plan, productieproces, enz. In dit geval is een duidelijke beschrijving van de situatie in de regel moeilijk. Eerst worden de belangrijkste kenmerken van het fenomeen en de relatie daartussen op kwalitatief niveau geïdentificeerd. Vervolgens worden de gevonden kwalitatieve afhankelijkheden geformuleerd in de taal van de wiskunde, dat wil zeggen, er wordt een wiskundig model gebouwd. Dit is het moeilijkste deel van het modelleren.
2) Het wiskundige probleem oplossen waar het model toe leidt. In dit stadium wordt veel aandacht besteed aan het ontwikkelen van algoritmen en numerieke methoden om het probleem op een computer op te lossen, met behulp waarvan het resultaat met de vereiste nauwkeurigheid en binnen een acceptabele tijd kan worden gevonden.
3) Interpretatie van de verkregen consequenties uit het wiskundig model. De consequenties afgeleid van het model in de taal van de wiskunde worden geïnterpreteerd in de taal die op dit gebied wordt geaccepteerd.
4) Controle van de geschiktheid van het model. In dit stadium wordt nagegaan of de resultaten van het experiment met een zekere nauwkeurigheid overeenkomen met de theoretische consequenties uit het model.
5) Modelwijziging. In dit stadium wordt het model ofwel complexer zodat het beter aansluit bij de werkelijkheid, ofwel wordt het vereenvoudigd om tot een praktisch aanvaardbare oplossing te komen.
Modellen kunnen worden ingedeeld op basis van verschillende criteria. Afhankelijk van de aard van de problemen die worden opgelost, kunnen modellen bijvoorbeeld worden onderverdeeld in functionele en structurele modellen. In het eerste geval worden alle grootheden die een fenomeen of object kenmerken, kwantitatief uitgedrukt. Tegelijkertijd worden sommige ervan beschouwd als onafhankelijke variabelen, terwijl andere worden beschouwd als functies van deze grootheden. Een wiskundig model is meestal een stelsel van vergelijkingen van verschillende typen (differentiaal, algebraïsch, enz.) die kwantitatieve verbanden leggen tussen de beschouwde grootheden. In het tweede geval kenmerkt het model de structuur van een complex object, bestaande uit losse onderdelen, waartussen bepaalde verbanden bestaan. Meestal zijn deze relaties niet kwantificeerbaar. Om dergelijke modellen te bouwen, is het handig om grafentheorie te gebruiken. Een grafiek is een wiskundig object, dat een reeks punten (hoekpunten) op een vlak of in de ruimte is, waarvan sommige zijn verbonden door lijnen (randen).
Afhankelijk van de aard van de initiële gegevens en voorspellingsresultaten, kunnen de modellen worden onderverdeeld in deterministisch en probabilistisch-statistisch. Modellen van het eerste type geven definitieve, ondubbelzinnige voorspellingen. Modellen van het tweede type zijn gebaseerd op statistische informatie en de met hun hulp verkregen voorspellingen zijn van probabilistische aard.
1) Problemen met de beweging van het projectiel.
Beschouw het volgende probleem in de mechanica.
Het projectiel wordt vanaf de aarde gelanceerd met een beginsnelheid v 0 = 30 m/s onder een hoek a = 45° met het oppervlak; het is nodig om het traject van zijn beweging en de afstand S tussen het begin- en eindpunt van dit traject te vinden.
Vervolgens wordt, zoals bekend is uit de cursus natuurkunde op school, de beweging van het projectiel beschreven door de formules:
waarbij t - tijd, g = 10 m / s 2 - vrije valversnelling. Deze formules geven het wiskundige model van de taak. Door t uit te drukken in termen van x uit de eerste vergelijking en deze in de tweede te substitueren, krijgen we de vergelijking voor het traject van het projectiel:
Deze curve (parabool) snijdt de x-as op twee punten: x 1 \u003d 0 (het begin van het traject) en 
(de plaats waar het projectiel viel). Door de gegeven waarden v0 en a in de verkregen formules te vervangen, verkrijgen we
antwoord: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.
Merk op dat bij de constructie van dit model een aantal aannames zijn gebruikt: er wordt bijvoorbeeld aangenomen dat de aarde plat is en dat de lucht en rotatie van de aarde geen invloed hebben op de beweging van het projectiel.
2) Het probleem van een tank met de kleinste oppervlakte.
Het is nodig om de hoogte h 0 en de straal r 0 te vinden van een blikken tank met een volume V = 30 m 3, in de vorm van een gesloten cirkelvormige cilinder, waarvan het oppervlak S minimaal is (in dit geval de kleinste hoeveelheid tin zal worden gebruikt om het te vervaardigen).
We schrijven de volgende formules voor het volume en de oppervlakte van een cilinder met hoogte h en straal r:
V = p r 2 h, S = 2 p r (r + h).
Door h uit te drukken in termen van r en V van de eerste formule en de resulterende uitdrukking in de tweede te vervangen, krijgen we:
Dus, vanuit wiskundig oogpunt, wordt het probleem gereduceerd tot het bepalen van de waarde van r waarbij de functie S(r) zijn minimum bereikt. Laten we die waarden van r 0 vinden waarvoor de afgeleide
gaat naar nul: 
Je kunt controleren of de tweede afgeleide van de functie S(r) van teken verandert van min naar plus wanneer het argument r door het punt r 0 gaat. Daarom heeft de functie S(r) een minimum op het punt r0. De corresponderende waarde h 0 = 2r 0 . Door de gegeven waarde V in de uitdrukking voor r 0 en h 0 in te vullen, verkrijgen we de gewenste straal 
en hoogte 
3) Transporttaak.
Er zijn twee meelpakhuizen en twee bakkerijen in de stad. Elke dag wordt 50 ton meel geëxporteerd vanuit het eerste magazijn en 70 ton van het tweede naar de fabrieken, met 40 ton naar het eerste en 80 ton naar het tweede.
Aanduiden door een ij zijn de kosten van het transporteren van 1 ton meel van het i-de magazijn naar de j-de fabriek (i, j = 1,2). laten zijn
een 11 \u003d 1,2 p., een 12 \u003d 1,6 p., een 21 \u003d 0,8 p., een 22 = 1 st.
Hoe moet het transport worden gepland zodat de kosten minimaal zijn?
Laten we het probleem een wiskundige formulering geven. We geven met x 1 en x 2 de hoeveelheid meel aan die van het eerste magazijn naar de eerste en tweede fabriek moet worden getransporteerd, en door x 3 en x 4 - van het tweede magazijn naar respectievelijk de eerste en tweede fabriek. Dan:
x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)
De totale kosten van al het transport worden bepaald door de formule:
f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.
Wiskundig gezien is het de taak om vier getallen x 1 , x 2 , x 3 en x 4 te vinden die aan alle gegeven voorwaarden voldoen en het minimum van de functie f geven. Laten we het stelsel vergelijkingen (1) met betrekking tot xi (i = 1, 2, 3, 4) oplossen door de methode van eliminatie van onbekenden. We snappen dat
x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)
en x 4 kan niet uniek worden bepaald. Aangezien x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), volgt uit vergelijkingen (2) dat 30J x 4 J 70. Als we de uitdrukking voor x 1 , x 2 , x 3 in de formule voor f invullen, krijgen we
f \u003d 148 - 0.2x 4.
Het is gemakkelijk in te zien dat het minimum van deze functie wordt bereikt bij de maximaal mogelijke waarde van x 4, dat wil zeggen bij x 4 = 70. De overeenkomstige waarden van andere onbekenden worden bepaald door formules (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.
4) Het probleem van radioactief verval.
Laat N(0) het aanvankelijke aantal atomen van de radioactieve stof zijn, en N(t) het aantal onverteerde atomen op tijdstip t. Er is experimenteel vastgesteld dat de veranderingssnelheid in het aantal van deze atomen N "(t) evenredig is met N (t), dat wil zeggen, N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 is de radioactiviteitsconstante van een bepaalde stof. In de schoolcursus wiskundige analyse wordt aangetoond dat de oplossing van deze differentiaalvergelijking de vorm N(t) = N(0)e –l t heeft. De tijd T, waarin het aantal initiële atomen is gehalveerd, wordt de halfwaardetijd genoemd en is een belangrijk kenmerk van de radioactiviteit van een stof. Om T te bepalen, is het nodig om de formule in te voeren 
Dan 
Bijvoorbeeld voor radon l = 2,084 10-6, en dus T = 3,15 dagen.
5) Het handelsreizigersprobleem.
Een handelsreiziger die in stad A 1 woont, moet steden A 2 , A 3 en A 4 , elke stad precies één keer bezoeken, en dan terugkeren naar A 1 . Het is bekend dat alle steden paarsgewijs verbonden zijn door wegen, en de lengtes van wegen bij tussen steden A i en A j (i, j = 1, 2, 3, 4) zijn als volgt:
b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.
Het is noodzakelijk om de volgorde van bezoekende steden te bepalen, waarbij de lengte van het bijbehorende pad minimaal is.
Laten we elke stad afbeelden als een punt op het vlak en deze markeren met het bijbehorende label Ai (i = 1, 2, 3, 4). Laten we deze punten verbinden met lijnstukken: ze zullen wegen tussen steden weergeven. Voor elke “weg” geven we de lengte aan in kilometers (Fig. 2). Het resultaat is een grafiek - een wiskundig object dat bestaat uit een bepaalde reeks punten op het vlak (hoekpunten genoemd) en een bepaalde reeks lijnen die deze punten verbinden (randen genoemd). Bovendien is deze grafiek gelabeld, aangezien sommige labels zijn toegewezen aan zijn hoekpunten en randen - getallen (randen) of symbolen (hoekpunten). Een cyclus in een graaf is een reeks hoekpunten V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 zodanig dat de hoekpunten V 1 , ..., V k verschillend zijn, en elk paar hoekpunten V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) en het paar V 1 , V k zijn verbonden door een rand. Het probleem dat wordt overwogen, is dus om een dergelijke cyclus in de grafiek te vinden die door alle vier de hoekpunten gaat waarvoor de som van alle randgewichten minimaal is. Laten we alle verschillende cycli doorzoeken die door vier hoekpunten gaan en beginnen bij A 1:
1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1 .
Laten we nu de lengtes van deze cycli zoeken (in km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Dus de route met de kleinste lengte is de eerste.
Merk op dat als er n hoekpunten in een graaf zijn en alle hoekpunten paarsgewijs verbonden zijn door randen (zo'n graaf wordt compleet genoemd), dan is het aantal cycli dat door alle hoekpunten gaat gelijk, dus in ons geval zijn er precies drie cycli .
6) Het probleem van het vinden van een verband tussen de structuur en eigenschappen van stoffen.
Overweeg verschillende chemische verbindingen die normale alkanen worden genoemd. Ze bestaan uit n koolstofatomen en n + 2 waterstofatomen (n = 1, 2 ...), onderling verbonden zoals weergegeven in figuur 3 voor n = 3. Laat de experimentele waarden van de kookpunten van deze verbindingen bekend zijn:
y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.
Het is nodig om een benaderende relatie tussen het kookpunt en het getal n voor deze verbindingen te vinden. We nemen aan dat deze afhankelijkheid de vorm heeft
jij » een n+b
waar een, b - te bepalen constanten. voor het vinden van een en b vervangen we in deze formule achtereenvolgens n = 3, 4, 5, 6 en de overeenkomstige waarden van de kookpunten. We hebben:
– 42 » 3 een+ b, 0 » 4 een+ b, 28 » 5 een+ b, 69 » 6 een+b.
Om de beste te bepalen een en b er zijn veel verschillende methoden. Laten we de eenvoudigste gebruiken. We drukken b uit in termen van een uit deze vergelijkingen:
b" - 42 - 3 een, b » – 4 een, b » 28 – 5 een, b » 69 – 6 een.
Laten we als de gewenste b het rekenkundig gemiddelde van deze waarden nemen, dat wil zeggen, we zetten b » 16 - 4,5 een. Laten we deze waarde b in het oorspronkelijke stelsel van vergelijkingen substitueren en, berekenend een, we krijgen voor een de volgende waarden: een» 37, een» 28, een» 28, een» 36 een de gemiddelde waarde van deze getallen, dat wil zeggen, we stellen een» 34. De gewenste vergelijking heeft dus de vorm
j » 34n – 139.
Laten we de nauwkeurigheid van het model controleren op de eerste vier verbindingen, waarvoor we de kookpunten berekenen met behulp van de verkregen formule:
y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.
De rekenfout van deze eigenschap voor deze verbindingen is dus niet groter dan 5°. We gebruiken de resulterende vergelijking om het kookpunt te berekenen van een verbinding met n = 7, die niet is opgenomen in de beginverzameling, waarvoor we n = 7 in deze vergelijking vervangen: y р (7) = 99°. Het resultaat bleek vrij nauwkeurig te zijn: het is bekend dat de experimentele waarde van het kookpunt y e (7) = 98°.
7) Het probleem van het bepalen van de betrouwbaarheid van het elektrische circuit.
Hier beschouwen we een voorbeeld van een probabilistisch model. Laten we eerst wat informatie geven over de waarschijnlijkheidstheorie - een wiskundige discipline die de patronen bestudeert van willekeurige verschijnselen die worden waargenomen tijdens herhaalde herhaling van een experiment. Laten we een willekeurige gebeurtenis A een mogelijke uitkomst van een ervaring noemen. Gebeurtenissen A 1 , ..., A k vormen een volledige groep als een van hen noodzakelijkerwijs optreedt als resultaat van het experiment. Gebeurtenissen worden onverenigbaar genoemd als ze niet tegelijkertijd in dezelfde ervaring kunnen plaatsvinden. Laat de gebeurtenis A m keer optreden tijdens de n-voudige herhaling van het experiment. De frequentie van de gebeurtenis A is het getal W = . Het is duidelijk dat de waarde van W niet precies kan worden voorspeld totdat een reeks van n experimenten is uitgevoerd. De aard van willekeurige gebeurtenissen is echter zodanig dat in de praktijk soms het volgende effect wordt waargenomen: met een toename van het aantal experimenten is de waarde praktisch niet meer willekeurig en stabiliseert zich rond een niet-willekeurig getal P(A), de zogenaamde waarschijnlijkheid van de gebeurtenis A. Voor een onmogelijke gebeurtenis (die nooit voorkomt in het experiment) P(A)=0, en voor een bepaalde gebeurtenis (die altijd voorkomt in het experiment) P(A)=1. Als gebeurtenissen A 1 , ..., A k een complete groep van onverenigbare gebeurtenissen vormen, dan is P(A 1)+...+P(A k)=1.
Laat de ervaring bijvoorbeeld bestaan uit het werpen van een dobbelsteen en het observeren van het aantal gevallen punten X. Dan kunnen we de volgende willekeurige gebeurtenissen introduceren A i =(X = i), i = 1, ..., 6. Ze vormen een complete groep van onverenigbare even waarschijnlijke gebeurtenissen, dus P(A i) = (i = 1, ..., 6).
De som van gebeurtenissen A en B is de gebeurtenis A + B, die erin bestaat dat minstens één van hen in het experiment voorkomt. Het product van gebeurtenissen A en B is gebeurtenis AB, die bestaat uit het gelijktijdig optreden van deze gebeurtenissen. Voor onafhankelijke gebeurtenissen A en B zijn de formules waar
P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).
8) Beschouw nu het volgende: taak. Stel dat drie elementen in serie zijn geschakeld in een elektrisch circuit en onafhankelijk van elkaar werken. De faalkansen van het 1e, 2e en 3e element zijn respectievelijk P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. We zullen het circuit als betrouwbaar beschouwen als de kans dat er geen stroom in het circuit zal zijn niet meer dan 0,4 is. Het is nodig om te bepalen of de gegeven keten betrouwbaar is.
Omdat de elementen in serie zijn geschakeld, staat er geen stroom in het circuit (gebeurtenis A) als ten minste één van de elementen uitvalt. Laat A i de gebeurtenis zijn dat het i-de element werkt (i = 1, 2, 3). Dan is P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Het is duidelijk dat A 1 A 2 A 3 de gebeurtenis is dat alle drie de elementen tegelijkertijd werken, en
P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.
Dan P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, dus P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.
Concluderend merken we op dat de bovenstaande voorbeelden van wiskundige modellen (waaronder functionele en structurele, deterministische en probabilistische) illustratief zijn en uiteraard niet de hele verscheidenheid aan wiskundige modellen uitputten die in de natuur- en menswetenschappen voorkomen.
In het artikel dat onder uw aandacht is gebracht, bieden we voorbeelden van wiskundige modellen. Daarnaast zullen we aandacht besteden aan de fasen van het maken van modellen en een aantal problemen analyseren die verband houden met wiskundige modellering.
Een ander probleem van ons zijn wiskundige modellen in de economie, waarvan we later een definitie zullen bespreken. We stellen voor om ons gesprek te beginnen met het concept "model", kort hun classificatie te overwegen en verder te gaan met onze belangrijkste vragen.
We horen vaak het woord "model". Wat is het? Deze term heeft veel definities, hier zijn er slechts drie:
Op basis van alles wat eerder is gezegd, kunnen we een kleine conclusie trekken: met het model kun je een complex systeem of object in detail bestuderen.
Alle modellen kunnen worden ingedeeld op basis van een aantal kenmerken:
Informatiemodellen zijn op hun beurt onderverdeeld in teken en verbaal. En iconisch - op computer en niet-computer. Laten we nu verder gaan met een gedetailleerde beschouwing van voorbeelden van een wiskundig model.
Zoals je misschien wel vermoedt, weerspiegelt een wiskundig model enkele kenmerken van een object of fenomeen met behulp van speciale wiskundige symbolen. Wiskunde is nodig om de wetten van de wereld in zijn eigen specifieke taal te modelleren.
De methode van wiskundige modellering is vrij lang geleden ontstaan, duizenden jaren geleden, samen met de komst van deze wetenschap. De aanzet voor de ontwikkeling van deze modelleringsmethode werd echter gegeven door het verschijnen van computers (elektronische computers).
Laten we nu verder gaan met classificatie. Het kan ook worden uitgevoerd volgens enkele tekens. Ze zijn weergegeven in de onderstaande tabel.
We stellen voor om te stoppen en de laatste classificatie nader te bekijken, omdat deze de algemene patronen van modellering en de doelen van de modellen die worden gemaakt, weerspiegelt.
In dit hoofdstuk stellen we voor om dieper in te gaan op beschrijvende wiskundige modellen. Om alles heel duidelijk te maken zal er een voorbeeld gegeven worden.
Om te beginnen is deze visie beschrijvend te noemen. Dit komt doordat we gewoon berekeningen en prognoses maken, maar de uitkomst van het evenement op geen enkele manier kunnen beïnvloeden.
Een treffend voorbeeld van een beschrijvend wiskundig model is de berekening van het vliegpad, de snelheid en de afstand tot de aarde van een komeet die de uitgestrektheid van ons zonnestelsel binnendrong. Dit model is beschrijvend, omdat alle verkregen resultaten ons alleen kunnen waarschuwen voor een of ander gevaar. Helaas kunnen wij de uitkomst van het evenement niet beïnvloeden. Op basis van de verkregen berekeningen is het echter mogelijk om maatregelen te nemen om het leven op aarde te behouden.
Nu zullen we het hebben over economische en wiskundige modellen, waarvan voorbeelden verschillende situaties kunnen zijn. In dit geval hebben we het over modellen die helpen om onder bepaalde omstandigheden het juiste antwoord te vinden. Ze moeten een aantal parameters hebben. Om het heel duidelijk te maken, overweeg een voorbeeld uit het agrarische deel.
We hebben een graanschuur, maar het graan bederft heel snel. In dit geval moeten we het juiste temperatuurregime kiezen en het opslagproces optimaliseren.
We kunnen dus het concept van "optimalisatiemodel" definiëren. In wiskundige zin is dit een stelsel van vergelijkingen (zowel lineair als niet), waarvan de oplossing helpt om de optimale oplossing in een bepaalde economische situatie te vinden. We hebben een voorbeeld van een wiskundig model overwogen (optimalisatie), maar ik wil er nog één ding aan toevoegen: dit type behoort tot de klasse van extreme problemen, ze helpen de werking van het economisch systeem te beschrijven.
We merken nog een nuance op: modellen kunnen van een ander karakter zijn (zie onderstaande tabel).
Nu nodigen we je uit om wat te praten over het wiskundige model van multiobjectieve optimalisatie. Daarvoor gaven we een voorbeeld van een wiskundig model voor het optimaliseren van een proces volgens een bepaald criterium, maar wat als het er veel zijn?
Een sprekend voorbeeld van een multicriteria-taak is het organiseren van goede, gezonde en tegelijkertijd zuinige voeding van grote groepen mensen. Dergelijke taken worden vaak aangetroffen in het leger, schoolkantines, zomerkampen, ziekenhuizen enzovoort.
Welke criteria worden ons gegeven in deze taak?
Zoals je kunt zien, vallen deze doelen helemaal niet samen. Dit betekent dat bij het oplossen van een probleem gezocht moet worden naar de optimale oplossing, een balans tussen beide criteria.
Over spelmodellen gesproken, het is noodzakelijk om het concept van "speltheorie" te begrijpen. Simpel gezegd, deze modellen weerspiegelen wiskundige modellen van echte conflicten. Het is alleen de moeite waard om te begrijpen dat, in tegenstelling tot een echt conflict, een wiskundig spelmodel zijn eigen specifieke regels heeft.
Nu zal ik een minimum aan informatie uit de speltheorie geven, die je zal helpen begrijpen wat een spelmodel is. En dus zijn er in het model noodzakelijkerwijs partijen (twee of meer), die meestal spelers worden genoemd.
Alle modellen hebben bepaalde kenmerken.
Het spelmodel kan worden gekoppeld of meerdere. Als we twee onderwerpen hebben, is het conflict gepaard, als er meer zijn - meerdere. Er is ook een antagonistisch spel te onderscheiden, het wordt ook wel een nulsomspel genoemd. Dit is een model waarin de winst van een van de deelnemers gelijk is aan het verlies van de ander.
In deze sectie zullen we ons concentreren op wiskundige simulatiemodellen. Voorbeelden van taken zijn:
In dit geval hebben we het over modellen die zo dicht mogelijk bij echte processen liggen. Over het algemeen imiteren ze elke manifestatie in de natuur. In het eerste geval kunnen we bijvoorbeeld de dynamiek van het aantal mieren in één kolonie modelleren. In dit geval kunt u het lot van elk individu observeren. In dit geval wordt de wiskundige beschrijving zelden gebruikt, vaker zijn er schriftelijke voorwaarden:
Worden dus gebruikt om een groot systeem te beschrijven. Wiskundige conclusie is de verwerking van de ontvangen statistische gegevens.
Het is erg belangrijk om te weten dat er enkele vereisten zijn voor dit type model, waaronder die in de onderstaande tabel.
Veelzijdigheid | Met deze eigenschap kunt u hetzelfde model gebruiken bij het beschrijven van groepen objecten van hetzelfde type. Het is belangrijk op te merken dat universele wiskundige modellen volledig onafhankelijk zijn van de fysieke aard van het bestudeerde object. |
geschiktheid | Hier is het belangrijk om te begrijpen dat deze eigenschap de meest correcte reproductie van echte processen mogelijk maakt. Bij operationele problemen is deze eigenschap van wiskundige modellering erg belangrijk. Een voorbeeld van een model is het proces van optimalisatie van het gebruik van een gassysteem. In dit geval worden berekende en werkelijke indicatoren vergeleken, waardoor de juistheid van het gecompileerde model wordt gecontroleerd. |
Nauwkeurigheid | Deze vereiste impliceert het samenvallen van de waarden die we verkrijgen bij het berekenen van het wiskundige model en de invoerparameters van ons echte object |
economie | De eis van zuinigheid voor elk wiskundig model wordt gekenmerkt door implementatiekosten. Als het werk met het model handmatig wordt uitgevoerd, moet worden berekend hoeveel tijd het kost om één probleem op te lossen met behulp van dit wiskundige model. Als we het hebben over computerondersteund ontwerp, dan worden indicatoren van tijd en computergeheugen berekend |
In totaal is het gebruikelijk om vier fasen te onderscheiden in wiskundige modellering.
In deze sectie zullen we het probleem kort uitlichten. Voorbeelden van taken kunnen zijn:
Het economisch-wiskundige model vertoont een economische abstractie, die wordt uitgedrukt in wiskundige termen en tekens.
Voorbeelden van een wiskundig computermodel zijn:
Een computermodel is een afbeelding van een object of systeem, gepresenteerd als:
Tegelijkertijd weerspiegelt dit model de structuur en onderlinge verbindingen van het systeem.
We hebben het al gehad over wat een economisch-wiskundig model is. Een voorbeeld van het oplossen van het probleem zal nu worden overwogen. We moeten het productieprogramma analyseren om de reserve te identificeren voor toenemende winst met een verschuiving in het assortiment.
We zullen het probleem niet volledig beschouwen, maar alleen een economisch en wiskundig model bouwen. Het criterium van onze taak is winstmaximalisatie. De functie heeft dan de vorm: Л=р1*х1+р2*х2… neigt naar het maximum. In dit model is p de winst per eenheid, x is het aantal geproduceerde eenheden. Verder is het op basis van het geconstrueerde model noodzakelijk om berekeningen te maken en samen te vatten.
Een taak. De visser kwam terug met de volgende vangst:
Hoeveel vissen heeft hij in de winkel gekocht?
Een voorbeeld van het construeren van een wiskundig model van dit probleem is als volgt. Het totale aantal vissen noteren we als x. Volgens de voorwaarde is 0,2x het aantal vissen dat op zuidelijke breedtegraden leeft. Nu combineren we alle beschikbare informatie en krijgen we een wiskundig model van het probleem: x=0,2x+8. We lossen de vergelijking op en krijgen het antwoord op de hoofdvraag: hij kocht 10 vissen in de winkel.
Om een wiskundig model te bouwen, heb je nodig:
Wiskundige modellering omvat naast het bestuderen van een object, proces of systeem en het samenstellen van hun wiskundige beschrijving ook:
De wiskundige beschrijving van de bestudeerde processen en systemen hangt af van:
De constructie van een wiskundig model begint meestal met de constructie en analyse van het eenvoudigste, meest ruwe wiskundige model van het object, proces of systeem in kwestie. In de toekomst wordt het model, indien nodig, verfijnd, de overeenstemming met het object wordt completer.
Laten we een eenvoudig voorbeeld nemen. U moet het oppervlak van het bureau bepalen. Meestal worden hiervoor de lengte en breedte gemeten en vervolgens worden de resulterende getallen vermenigvuldigd. Zo'n elementaire procedure betekent eigenlijk het volgende: het echte object (tafeloppervlak) wordt vervangen door een abstract wiskundig model - een rechthoek. De afmetingen die zijn verkregen als resultaat van het meten van de lengte en breedte van het tafeloppervlak, worden toegeschreven aan de rechthoek en het gebied van een dergelijke rechthoek wordt ongeveer genomen als het gewenste oppervlak van de tafel. Het rechthoekige bureaumodel is echter het eenvoudigste, meest ruwe model. Met een serieuzere benadering van het probleem, moet dit model worden gecontroleerd voordat het rechthoekmodel wordt gebruikt om het tafeloppervlak te bepalen. Controles kunnen als volgt worden uitgevoerd: meet de lengtes van de tegenoverliggende zijden van de tafel, evenals de lengtes van de diagonalen en vergelijk ze met elkaar. Als, met de vereiste mate van nauwkeurigheid, de lengtes van de tegenoverliggende zijden en de lengtes van de diagonalen paarsgewijs gelijk zijn, dan kan het oppervlak van de tafel inderdaad als een rechthoek worden beschouwd. Anders moet het rechthoekmodel worden afgewezen en vervangen door een algemeen vierhoeksmodel. Bij een hogere eis aan nauwkeurigheid kan het nodig zijn om het model nog verder te verfijnen, bijvoorbeeld om rekening te houden met de afronding van de hoeken van de tafel.
Met behulp van dit eenvoudige voorbeeld werd aangetoond dat het wiskundige model niet uniek wordt bepaald door het onderzochte object, proces of systeem.
OF (wordt morgen bevestigd)
Manieren om mat op te lossen. modellen:
1, Constructie van m. op basis van de natuurwetten (analytische methode)
2. Formele manier met behulp van statistiek. Verwerking en meetresultaten (statistische benadering)
3. Constructie van een meter op basis van een model van elementen (complexe systemen)
1, Analytisch - gebruik bij voldoende studie. Algemene regelmaat bekend. modellen.
2. experimenteren. Bij gebrek aan informatie
3. Imitatie m. - onderzoekt de eigenschappen van het object sst. Over het algemeen.
Een voorbeeld van het bouwen van een wiskundig model.
Wiskundig model is een wiskundige weergave van de werkelijkheid.
Wiskundige modellering is het proces van het construeren en bestuderen van wiskundige modellen.
Alle natuur- en sociale wetenschappen die het wiskundige apparaat gebruiken, houden zich in feite bezig met wiskundige modellering: ze vervangen een object door zijn wiskundige model en bestuderen dit vervolgens. De verbinding van een wiskundig model met de werkelijkheid wordt gerealiseerd met behulp van een aaneenschakeling van hypothesen, idealiseringen en vereenvoudigingen. Met behulp van wiskundige methoden wordt in de regel een ideaal object beschreven, gebouwd in het stadium van zinvolle modellering.
Waarom zijn modellen nodig?
Heel vaak ontstaan er bij het bestuderen van een object moeilijkheden. Het origineel zelf is soms niet beschikbaar, of het gebruik ervan is niet aan te raden, of de betrokkenheid van het origineel is kostbaar. Al deze problemen kunnen worden opgelost met behulp van simulatie. Het model kan in zekere zin het bestudeerde object vervangen.
De eenvoudigste voorbeelden van modellen
§ Een foto is een model van een persoon te noemen. Om een persoon te herkennen, volstaat het om zijn foto te zien.
§ De architect heeft de indeling van de nieuwe woonwijk gemaakt. Met een handbeweging kan hij een hoogbouw van het ene deel naar het andere verplaatsen. In werkelijkheid zou dit niet mogelijk zijn.
Modeltypes
Modellen kunnen worden onderverdeeld in: materiaal" En ideaal. bovenstaande voorbeelden zijn materiaalmodellen. Ideale modellen hebben vaak een iconische vorm. Tegelijkertijd worden echte concepten vervangen door enkele tekens, die gemakkelijk op papier, in het computergeheugen, enz. Kunnen worden vastgelegd.
Wiskundige modellering
Wiskundige modellering behoort tot de klasse van tekenmodellering. Tegelijkertijd kunnen modellen worden gemaakt van alle wiskundige objecten: getallen, functies, vergelijkingen, enz.
Een wiskundig model bouwen
§ Er zijn verschillende fasen bij het construeren van een wiskundig model:
1. De taak begrijpen, de belangrijkste kwaliteiten, eigenschappen, waarden en parameters voor ons benadrukken.
2. Introductie van notatie.
3. Opstellen van een stelsel van beperkingen waaraan de ingevoerde waarden moeten voldoen.
4. Formuleren en vastleggen van de voorwaarden waaraan de gewenste optimale oplossing moet voldoen.
Het modelleringsproces eindigt niet bij het samenstellen van het model, maar begint er pas mee. Nadat ze een model hebben samengesteld, kiezen ze een methode om het antwoord te vinden, het probleem op te lossen. nadat het antwoord is gevonden, vergelijk het met de werkelijkheid. En het kan zijn dat het antwoord niet voldoet, in dat geval wordt het model aangepast of zelfs een heel ander model gekozen.
Voorbeeld van een wiskundig model
Een taak
De productievereniging, waar twee meubelfabrieken onder vallen, moet haar machinepark opwaarderen. Bovendien moet de eerste meubelfabriek drie machines vervangen, en de tweede zeven. Bestellingen kunnen worden geplaatst bij twee machinefabrieken. De eerste fabriek kan niet meer dan 6 machines produceren en de tweede fabriek accepteert een bestelling als er minimaal drie zijn. Het is nodig om te bepalen hoe bestellingen te plaatsen.
Vier zevende leerjaar.
Er zijn 15 meisjes en 13 jongens in 7A,
in 7B - 12 meisjes en 12 jongens,
in 7B - 9 meisjes en 18 jongens,
in 7G - 20 meisjes en 10 jongens.
Als we de vraag moeten beantwoorden hoeveel studenten in elk van de zevende klassen zitten, dan moeten we dezelfde optelbewerking 4 keer uitvoeren:
in 7A 15 + 13 = 28 leerlingen;
in 7B 12 +12 = 24 studenten;
in 7B 9 + 18 = 27 studenten;
in 7D 20 + 10 = 30 leerlingen.
A. V. Pogorelov, Geometrie voor de rangen 7-11, Leerboek voor onderwijsinstellingen
Inhoud van de les les samenvatting ondersteuning kader les presentatie versnellingsmethoden interactieve technologieën Oefening opdrachten en oefeningen zelfonderzoek workshops, trainingen, cases, speurtochten huiswerk discussievragen retorische vragen van leerlingen Illustraties audio, videoclips en multimedia foto's, afbeeldingen grafieken, tabellen, schema's humor, anekdotes, grappen, stripverhalen, spreuken, kruiswoordpuzzels, citaten Add-ons samenvattingen artikelen fiches voor nieuwsgierige ledikanten leerboeken basis- en aanvullende woordenlijst overige Leerboeken en lessen verbeterenfouten in het leerboek corrigeren een fragment in het leerboek bijwerken elementen van innovatie in de les vervangen van verouderde kennis door nieuwe Alleen voor docenten perfecte lessen kalenderplan voor het jaar methodologische aanbevelingen van het discussieprogramma Geïntegreerde lessenDe taken die door LP-methoden worden opgelost, zijn zeer divers van inhoud. Maar hun wiskundige modellen zijn vergelijkbaar en zijn voorwaardelijk gecombineerd in drie grote groepen problemen:
Tabel 3.1
Vragen voor zelfbeheersing
1. Verklaring van het vervoersprobleem. de constructie van een wiskundig model beschrijven.
2. Wat is een evenwichtig en onevenwichtig vervoersprobleem?
3. Wat wordt berekend in de objectieve functie van de transporttaak?
4. Wat weerspiegelt elke ongelijkheid van het systeem van beperkingen van het planprobleem?
5. Wat weerspiegelt elke ongelijkheid van het systeem van beperkingen van het mengselprobleem?
6. Wat betekenen de variabelen in het planprobleem en het mengselprobleem?
