Odczytywanie wykresu pochodnej funkcji. Opracowanie lekcji na temat „czytanie wykresu funkcji”. Dodatkowe przykładowe rozwiązanie

Ogólna lekcja na ten temat:

„Używanie pochodnej i jej wykresu do odczytywania właściwości funkcji”

Rodzaj lekcji: lekcja uogólniająca z wykorzystaniem ICT w formie prezentacji.

Cele Lekcji:

Edukacyjny:

Promowanie przyswajania przez studentów posługiwania się pochodną w zadaniach praktycznych;

Nauczenie studentów jasnego posługiwania się właściwościami funkcji i pochodnej.

Rozwijanie:

Rozwijać umiejętność analizowania kwestii zadania i wyciągania wniosków;

Rozwijaj umiejętności stosowania posiadanej wiedzy w zadaniach praktycznych.

Edukacyjny:

Zainteresowanie tematem;

Potrzeba tych teoretycznych i praktycznych umiejętności, aby kontynuować studia.

Cele Lekcji:

Rozwijanie określonych umiejętności i zdolności do pracy z wykresem pochodnej funkcji do wykorzystania podczas zdawania egzaminu;

Przygotuj się do testu.

Plan lekcji.

1. Aktualizacja wiedzy podstawowej (AKB).

2. Rozwój wiedzy, umiejętności i zdolności na ten temat.

3. Testowanie (B8 z egzaminu).

4. Wzajemna weryfikacja, ocenianie „sąsiada”.

5. Podsumowanie lekcji lekcji.

Wyposażenie: klasa komputerowa, tablica, marker, testy (2 opcje).

Podczas zajęć.

Moment organizacyjny.

Nauczyciel . Witam, usiądź.

W trakcie studiowania tematu „Badanie funkcji za pomocą pochodnej” wykształcono umiejętności znajdowania punktów krytycznych funkcji, pochodnej, wyznaczania za jej pomocą własności funkcji i budowania jej wykresu. Dzisiaj przyjrzymy się temu tematowi z innej perspektywy: jak określić właściwości samej funkcji za pomocą wykresu pochodnej funkcji. Nasze zadanie: nauczyć się poruszać w różnych zadaniach związanych z wykresami funkcji i ich pochodnymi.

W ramach przygotowań do egzaminu z matematyki w KIMs postawiono zadania polegające na wykorzystaniu wykresu pochodnego do badania funkcji. Dlatego w tej lekcji musimy usystematyzować naszą wiedzę na ten temat i nauczyć się jak szybko znajdować odpowiedzi na pytania z zadań B8.

Slajd nr 1.

Temat: „Zastosowanie pochodnej i jej wykresu do odczytu własności funkcji”

Cele Lekcji:

Opracowanie ZUN-u zastosowania pochodnej, jej znaczenia geometrycznego oraz wykresu pochodnej do wyznaczania własności funkcji.

Rozwój efektywności wykonywania testów USE.

Wykształcenie takich cech osobowości jak uważność, umiejętność pracy z tekstem, umiejętność pracy z wykresem pochodnej

2. Aktualizacja wiedzy podstawowej (AKB). Slajdy #4 do #10.

Na ekranie pojawią się teraz pytania do powtórzenia. Twoje zadanie: dać jasną i zwięzłą odpowiedź na każdy punkt. Poprawność odpowiedzi możesz sprawdzić na ekranie.

( Pytanie najpierw pojawia się na ekranie, po odpowiedziach uczniów pojawia się prawidłowa odpowiedź do weryfikacji.)

Lista pytań do AOP.

Definicja pochodnej.

Geometryczne znaczenie pochodnej.

Zależność między wartościami pochodnej, nachyleniem stycznej, kątem między styczną a dodatnim kierunkiem osi OX.

Zastosowanie pochodnej do wyznaczania przedziałów monotoniczności funkcji.

Zastosowanie pochodnej do wyznaczania punktów krytycznych, punktów ekstremalnych

6 .Niezbędne i wystarczające warunki dla ekstremum

7 . Zastosowanie pochodnej do znalezienia największej i najmniejszej wartości funkcji

(Uczniowie odpowiadają na każdą pozycję, dołączając do swoich odpowiedzi notatki i rysunki na tablicy. W przypadku błędnych i niekompletnych odpowiedzi koledzy z klasy poprawiają je i uzupełniają. Po udzieleniu przez uczniów odpowiedzi na ekranie pojawia się prawidłowa odpowiedź. Dzięki temu uczniowie mogą od razu określić poprawność ich odpowiedzi. )

3. Rozwój wiedzy, umiejętności i zdolności na ten temat. Slajdy #11 do #15.

Studentom oferowane są zadania od KIMs z Unified State Examination z matematyki ostatnich lat, z witryn internetowych na temat wykorzystania pochodnej i jej wykresu do badania właściwości funkcji. Zadania pojawiają się sekwencyjnie. Uczniowie zapisują swoje rozwiązania na tablicy lub ustnie. Następnie prawidłowe rozwiązanie pojawia się na slajdzie i jest porównywane z rozwiązaniem uczniów. Jeśli w decyzji popełni się błąd, to jest on analizowany przez całą klasę.

Slajdy #16 i #17.

Testowanie (B8 z egzaminu). Slajdy od numeru 18 do numeru 29. Slajd numer 30 - klucze do testu.

Nauczyciel : Tak więc podsumowaliśmy Twoją wiedzę na ten temat: powtórzyliśmy podstawowe właściwości pochodnej, rozwiązaliśmy problemy związane z wykresem pochodnej, przeanalizowaliśmy złożone i problematyczne aspekty wykorzystania pochodnej i wykresu pochodnej do badania właściwości funkcji.

Teraz przetestujemy w 2 opcjach. Na ekranie pojawią się obie opcje jednocześnie. Studiujesz pytanie, znajdujesz odpowiedź, wpisujesz ją do arkusza odpowiedzi. Po wykonaniu testu wymień formularze i sprawdź pracę sąsiada według gotowych odpowiedzi. Ocena(do 10 punktów - "2", od 11 do 15 punktów - "3", od 16 do 19 punktów - "4", ponad 19 punktów - "5".).

Podsumowując lekcję

Rozważaliśmy związek między monotonicznością funkcji i znakiem jej pochodnej a wystarczającymi warunkami istnienia ekstremum. Rozważaliśmy różne zadania do odczytania wykresu pochodnej funkcji, które znajdują się w tekstach egzaminu stanu ujednoliconego. Wszystkie rozważane przez nas zadania są dobre, ponieważ ich wykonanie nie zajmuje dużo czasu.

Podczas jednolitego egzaminu państwowego bardzo ważne jest szybkie i poprawne zapisanie odpowiedzi.

Prześlij arkusze odpowiedzi. Ocena z lekcji jest Ci już znana i zostanie umieszczona w dzienniku.

Myślę, że klasa jest gotowa do testu.

Praca domowa będzie kreatywna . numer slajdu 33 .

W dalszej części zajęć warto rozważyć zadanie kluczowe: zgodnie z wykresem pochodnej uczniowie muszą wymyślić (oczywiście z pomocą nauczyciela) różne pytania związane z właściwościami samej funkcji. Oczywiście kwestie te są omawiane, w razie potrzeby, korygowane, podsumowywane, zapisywane w zeszycie, po czym rozpoczyna się etap rozwiązywania tych zadań. Tutaj należy upewnić się, że uczniowie nie tylko podają poprawną odpowiedź, ale potrafią ją argumentować (udowodnić), używając odpowiednich definicji, właściwości, reguł.
Podajmy przykład takiego zadania: na tablicy (na przykład za pomocą projektora) uczniom oferuje się wykres pochodnej, sformułowano na nim 10 zadań (nie do końca poprawne lub odrzucono zduplikowane pytania).
Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana i ciągła na przedziale [–6; 6].
Z wykresu pochodnej y \u003d f "(x) określ:

1) liczba przedziałów funkcji rosnącej y = f(x);
2) długość przedziału malejącej funkcji y = f(x);
3) liczba ekstremów funkcji y = f(x);
4) maksymalny punkt funkcji y = f(x);
5) punkt krytyczny (stacjonarny) funkcji y = f(x), który nie jest punktem ekstremum;
6) odcięta punktu wykresu, w którym funkcja y = f(x) przyjmuje największą wartość na odcinku ;
7) odcięta punktu wykresu, w którym funkcja y = f(x) przyjmuje najmniejszą wartość na odcinku [–2; 2];
8) liczba punktów wykresu funkcji y = f(x), w których styczna jest prostopadła do osi Oy;
9) liczba punktów na wykresie funkcji y = f(x), w których styczna tworzy kąt 60° z kierunkiem dodatnim osi Ox;
10) odcięta punktu wykresu funkcji y = f (x), w której nachylenie stycznej przyjmuje najmniejszą wartość.
Odpowiedź: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Aby utrwalić umiejętność samodzielnego studiowania własności funkcji, można zaproponować uczniom zadanie związane z odczytaniem tego samego wykresu, ale w jednym przypadku jest to wykres funkcji, a w drugim jest to wykres jej pochodnej .

Artykuł został opublikowany przy wsparciu forum administratorów systemu i programistów. Na „CyberForum.ru” znajdziesz fora na takie tematy, jak programowanie, komputery, dyskusja na temat oprogramowania, programowanie stron internetowych, nauka, elektronika i AGD, kariera i biznes, rozrywka, ludzie i społeczeństwo, kultura i sztuka, dom i gospodarka, samochody , motocykle i nie tylko. Na forum możesz uzyskać bezpłatną pomoc. Więcej dowiesz się na stronie internetowej, która znajduje się pod adresem: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/ .

Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana i ciągła na przedziale [–6; pięć]. Rysunek przedstawia:
a) wykres funkcji y = f(x);
b) wykres pochodnej y \u003d f ”(x).
Ustal z harmonogramu:
1) minimalne punkty funkcji y = f(x);
2) liczba przedziałów malejącej funkcji y = f(x);
3) odcięta punktu wykresu funkcji y = f(x), w której przyjmuje największą wartość na odcinku;
4) liczba punktów na wykresie funkcji y = f(x), w których styczna jest równoległa do osi Ox (lub pokrywa się z nią).
Odpowiedzi:
a) 1) -3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
b) 1) -2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
Dla kontroli praca może być zorganizowana w parach: każdy uczeń z wyprzedzeniem przygotowuje wykres pochodnej na karcie dla swojego partnera, a poniżej zadaje 4-5 pytań w celu określenia właściwości funkcji. Na lekcjach wymieniają się kartami, wykonują zaproponowane zadania, po których każdy sprawdza i ocenia pracę partnera.

Wstecz do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele Lekcji:

Edukacyjne: Utrwalenie umiejętności uczniów pracujących z wykresami funkcji w ramach przygotowań do egzaminu.

Rozwijanie: rozwijanie zainteresowania poznawczego studentów dyscyplinami naukowymi, umiejętność zastosowania zdobytej wiedzy w praktyce.

Edukacyjne: pielęgnować uwagę, dokładność, poszerzać horyzonty uczniów.

Sprzęt i materiały: komputer, ekran, projektor, prezentacja „Czytanie wykresów. STOSOWANIE"

Podczas zajęć

1. Badanie czołowe.

1) <Презентация. Слайды 3,4>.

Jak nazywa się wykres funkcji, dziedzina definicji i zakres funkcji? Określ dziedzinę definicji i zakres funkcji.\

2) <Презентация. Слайды 5,6>.

Jaką funkcję nazywamy parzystymi, nieparzystymi własnościami wykresów tych funkcji?

2. Rozwiązanie ćwiczeń

1) <Презентация. Слайд 7>.

Funkcja okresowa. Definicja.

Rozwiąż zadanie: Mając dany wykres funkcji okresowej, x należy do przedziału [-2;1]. Oblicz f(-4)-f(-6)*f(12), T=3.

f(-4)=f(-4+T)=f(-4+3)= f(-1)=-1

f(-6)=f(-6+T)= f(-6+3*2)=f(0)=1

f(12)=f(12-4T)= =f(12-3*4)=f(0)=1

f(-4)-f(-6)*f(12)=-1-1*1=-2

2) <Презентация. Слайды 8,9,10>.

Rozwiązywanie nierówności za pomocą wykresów funkcyjnych.

a) Rozwiąż nierówność f(x) 0 jeśli rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) podanej na przedziale [-7;6]. Opcje odpowiedzi: 1) (-4;-3) (-1;1) (3;6], 2) [-7;-4) (-3;-1) (1;3), 3) , 4 ) (-6;0) (2;4) +

b) Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), podanej na przedziale [-4;7] Wskaż wszystkie wartości X, dla których nierówność f(x) -1 jest spełniona.

[-0,5;3], 2) [-0,5;3] U , 3) [-4; 0,5] U +, 4) [-4;0,5]

c) Rysunek przedstawia wykresy funkcji y=f(x)i y=g(x), podanych na przedziale [-3;6]. Wskaż wszystkie wartości X, dla których jest spełniona nierówność f(x) g(x)

[-1;2], 2) [-2;3], 3) [-3;-2] U +, 4) [-3;-1] U

3) <Презентация. Слайд 11>.

Zwiększanie i zmniejszanie funkcji

Jedna z figur przedstawia wykres funkcji, która rośnie na odcinku , druga pokazuje funkcję, która maleje na odcinku [-2;0]. Wymień te zdjęcia.

4) <Презентация. Слайды 12,13,14>.

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne

a) Jaki jest warunek wzrostu i spadku funkcji wykładniczej i logarytmicznej. Przez który punkt przechodzą wykresy funkcji wykładniczych i logarytmicznych, jaką właściwość mają wykresy tych funkcji?

b) Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji y \u003d 2 -x. Wskaż tę liczbę .

Wykres funkcji wykładniczej przechodzi przez punkt (0, 1) Ponieważ podstawa stopnia jest mniejsza niż 1, funkcja ta musi się zmniejszać. (Nr 3)

c) Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji y=log 5 (x-4). Podaj numer tego wykresu.

Wykres funkcji logarytmicznej y=log 5 x przechodzi przez punkt (1;0) , to jeśli x -4 = 1, to y=0, x=1+4, x=5. (5;0) – punkt przecięcia wykresu z osią OX. Jeśli x -4 = 5 , to y=1, x=5+4, x=9,

5) <Презентация. Слайды 15, 16, 17>.

Znajdowanie liczby stycznych do wykresu funkcji z wykresu jej pochodnej

a) Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale (-6;7). Rysunek przedstawia wykres pochodnej tej funkcji. Wszystkie styczne równoległe do prostej y=5-2x (lub zbieżne z nią) są rysowane na wykresie funkcji. Określ liczbę punktów na wykresie funkcji, w których te styczne są rysowane.

K = tga = f'(xo). Według warunku k \u003d -2. Dlatego f '(x o) \u003d -2. Rysujemy linię prostą y \u003d -2. Przecina wykres w dwóch punktach, co oznacza, że styczne do funkcji są rysowane w dwóch punktach.

b) Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-7;3]. Rysunek przedstawia wykres jego pochodnej. Znajdź liczbę punktów na wykresie funkcji y=f(x), w których styczne do wykresu są równoległe do osi x lub pokrywają się z nią.

Współczynnik kątowy linii prostych równoległych do osi x lub pokrywających się z nią jest równy zero. Dlatego K=tg a = f `(xo)=0. Oś OX przecina ten wykres w czterech punktach.

c) Funkcja y=f(x) zdefiniowany na przedziale (-6;6). Rysunek przedstawia wykres jego pochodnej. Znajdź liczbę punktów na wykresie funkcji y=f(x), w których styczne do wykresu są nachylone pod kątem 135 o do dodatniego kierunku osi x.

6) <Презентация. Слайды 18, 19>.

Znajdowanie nachylenia stycznej z wykresu pochodnej funkcji

a) Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-2;6]. Rysunek przedstawia wykres pochodnej tej funkcji. Podaj odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma najmniejsze nachylenie.

k=tga=f'(xo). Pochodna funkcji przyjmuje najmniejszą wartość y \u003d -3 w punkcie x \u003d 2. Dlatego styczna do wykresu ma najmniejsze nachylenie w punkcie x=2

b) Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-7;3]. Rysunek przedstawia wykres pochodnej tej funkcji. Podaj odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma największą współczynnik kątowy.

7) <Презентация. Слайд 20>.

Znajdowanie wartości pochodnej z wykresu funkcji

Rysunek przedstawia wykres funkcji y \u003d f (x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x o. Znajdź wartość pochodnej f `(x) w punkcie x o

f'(xo)=tga. Ponieważ na rysunku a jest kątem rozwartym, to tg a< 0.Из прямоугольного треугольника tg (180 0 -a)=3:2. tg (180 0 -a)= 1,5. Следовательно, tg a= -1,5.Отсюда f `(x o)=-1,5

8) <Презентация. Слайд 21>.

Znajdowanie minimum (maksimum) funkcji z wykresu jej pochodnej

Przy x=4 pochodna zmienia znak z minus na plus. Więc x=4 jest punktem minimalnym funkcji y=f(x)

W punkcie x \u003d 1 pochodna zmienia znak z plusem i minusem . Więc x=1 jest punktem maksymalny funkcje y=f(x))

3. Niezależna praca

<Презентация. Слайд 22>.

1 opcja

1) Znajdź zakres funkcji.

2) Rozwiąż nierówność f(x) 0

3) Wyznacz przedziały funkcji malejącej.

4) Znajdź minimalne punkty funkcji.

5) Wskaż odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma największe nachylenie.

Opcja 2

1) Znajdź zakres funkcji.

2) Rozwiąż nierówność f(x) 0

3) Wyznacz przedziały funkcji narastania.

Wykres pochodnej funkcji y=f(x)

4) Znajdź maksymalne punkty funkcji.

5) Podaj odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma najmniejsze nachylenie.

4. Podsumowanie lekcji

zjeżdżalnia 12

Symetria wokół prostej y=x

Wykresy tych funkcji rosną, gdy a > 1 i maleją przy 0

slajd 13

Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji y=2-x. Określ to zdjęcie. Wykres funkcji wykładniczej Wykres funkcji wykładniczej przechodzi przez punkt (0, 1) Ponieważ podstawa stopnia jest mniejsza niż 1, funkcja ta musi się zmniejszać.

Slajd 14

Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji y=log5 (x-4). Podaj numer tego wykresu. Wykres funkcji logarytmicznej y=log5x przechodzi przez punkt (1;0), to jeśli x -4 =1, toy=0, x=1+4, x=5. (5;0) – punkt przecięcia wykresu z osią OX Jeżeli x -4 = 5, to y=1, x=5+4, x=9, Wykres funkcji logarytmicznej 9 5 1

zjeżdżalnia 15

Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale (-6;7). Rysunek przedstawia wykres pochodnej tej funkcji. Wszystkie styczne są rysowane do wykresu funkcji równolegle do prostej y=5-2x (lub pokrywającej się z nią). Określ liczbę punktów na wykresie funkcji, w których te styczne są rysowane. K = tga = f'(xo) Z warunku k=-2. Dlatego f'(xo)=-2 Rysujemy prostą y=-2. Przecina ona wykres w dwóch punktach, co oznacza, że styczne do funkcji są rysowane w dwóch punktach. Znajdowanie liczby stycznych do wykresu funkcji z wykresu jej pochodnej

zjeżdżalnia 16

Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-7;3]. Rysunek przedstawia wykres jego pochodnej. Znajdź liczbę punktów na wykresie funkcji y=f(x), w których styczne do wykresu są równoległe do osi x lub pokrywają się z nią. Nachylenie linii równoległych do osi x lub zbieżnych z nią jest równe zeru. Dlatego K=tg a = f `(xo)=0 Oś OX przecina ten wykres w czterech punktach. Znajdowanie liczby stycznych do funkcji z wykresu jej pochodnej

Slajd 17

Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale (-6;6). Rysunek przedstawia wykres jego pochodnej. Znajdź liczbę punktów na wykresie funkcji y=f(x), w których styczne do wykresu są nachylone pod kątem 135ok do dodatniego kierunku osi x. K = tg 135o= f'(xo) tg 135o=tg(180o-45o)=-tg45o=-1 Zatem f`(xo)=-1 przeprowadzone w trójkach. Znajdowanie liczby stycznych do funkcji z wykresu jej pochodnej

Slajd 18

Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale[-2;6]. Rysunek przedstawia wykres pochodnej tej funkcji. Podaj odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma najmniejszy współczynnik kątowy k=tg a=f'(xo) Pochodna funkcji przyjmuje najmniejszą wartość y=-3 w punkcie x=2. Dlatego styczna do wykresu ma najmniejsze nachylenie w punkcie x \u003d 2 Znajdowanie nachylenia stycznej z wykresu pochodnej funkcji -3 2

Slajd 19

Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-7;3]. Rysunek przedstawia wykres pochodnej tej funkcji. Podaj odciętą dnia, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma największe nachylenie. k \u003d tg a \u003d f '(xo) Dlatego styczna do wykresu ma największe nachylenie w punkcie x \u003d -5 Znajdowanie nachylenia stycznej z wykresu pochodnej funkcji 3 -5

Slajd 20

Rysunek przedstawia wykres funkcji y \u003d f (x) i styczną do niej w punkcie z odciętą xo. Znajdź wartość pochodnej f `(x) w punkcie xo f ”(xo) \u003d tg a Ponieważ na rysunku a jest kątem rozwartym, to tg a

slajd 21

Znajdowanie minimum (maksimum) funkcji z wykresu jej pochodnej

W punkcie x=4, pochodna zmienia znak z minus na plus. Średniax=4 to minimum funkcji y=f(x) 4 W punktach x=1 pochodna zmienia znak od plusa. minus Valuex=1 to maksymalny punkt funkcji y=f(x))

zjeżdżalnia 22

Niezależna praca

Rys.11) Znajdź zakres funkcji. 2) Rozwiąż nierówność f(x) ≥ 0 3) Wyznacz przedziały funkcji malejącej. Rys.2-wykres pochodnej funkcji y=f(x) 4) Znajdź minimalne punkty funkcji. 5) Podaj odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma największe nachylenie. Rys.11) Znajdź zakres funkcji. 2) Rozwiąż nierówność f(x)≤ 0 3) Wyznacz przedziały funkcji rosnącej. Rys.2-wykres pochodnej funkcji y=f(x) 4) Znajdź maksymalne punkty funkcji. 5) Podaj odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma najmniejsze nachylenie. 1 opcja 2 opcja

Elementy analizy matematycznej w Unified State Examination Malinovskaya Galina Mikhailovna [e-mail chroniony] Materiał referencyjny Tabela pochodnych funkcji głównych.  Zasady różniczkowania (pochodna sumy, iloczynu, ilorazu dwóch funkcji).  Pochodna funkcji zespolonej.  Geometryczne znaczenie pochodnej.  Fizyczne znaczenie pochodnej.  Materiał odniesienia Punkty ekstremalne (maksimum lub minimum) funkcji podane graficznie.  Znalezienie największej (najmniejszej) wartości funkcji, która jest ciągła na danym przedziale. Funkcja pierwotna funkcji. Wzór Newtona-Leibniza. Znalezienie obszaru trapezu krzywoliniowego.  Zastosowania fizyczne  1.1 Punkt materialny porusza się po linii prostej zgodnie z prawem 𝑥 𝑡 = −𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23 , gdzie x to odległość od punktu odniesienia w metrach, t to czas w sekundach od początku ruchu. Znajdź jego prędkość (w metrach na sekundę) w czasie t= 3s.  1.2 Punkt materialny porusza się 1 3 prostoliniowo zgodnie z prawem 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 3 3𝑡 2 − 5𝑡 + 3 , gdzie x to odległość od punktu odniesienia w metrach, t to czas w sekundach mierzony od początku ruch. W którym momencie (w sekundach) jej prędkość wynosiła 2 m/s? Rozwiązanie: Szukamy pochodnej x(t) (funkcji drogi w czasie).  W zadaniu 1.1 podstawiamy jego wartość zamiast t i obliczamy prędkość (Odpowiedź: 59).  W zadaniu 1.2 przyrównujemy znalezioną pochodną do danej liczby i rozwiązujemy równanie względem zmiennej t. (Odpowiedź: 7).  Zastosowania geometryczne 2.1 Prosta 𝑦 = 7𝑥 − 5 jest równoległa do stycznej do wykresu 2 funkcji 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 . Znajdź odciętą punktu kontaktu. 2.2 Linia 𝑦 = 3𝑥 + 1 jest styczna do drugiego wykresu funkcji 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3 . Znajdź. 2.3 Prosta 𝑦 = −5𝑥 + 8 jest styczna do drugiego wykresu funkcji 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15 . Znajdź b, zakładając, że odcięta punktu stycznego jest większa niż 0. 2.4 Prosta 𝑦 = 3𝑥 + 4 jest styczna do wykresu 2 funkcji 3𝑥 − 3𝑥 + 𝑐. Znajdź ok. Rozwiązanie: W zadaniu 2.1 szukamy pochodnej funkcji i przyrównujemy ją do nachylenia prostej (Odpowiedź: 0,5).  W zadaniach 2.2-2.4 tworzymy układ dwóch równań. W jednym zrównujemy funkcje, w drugim zrównujemy ich pochodne. W systemie z dwiema niewiadomymi (zmienną x i parametrem) szukamy parametru. (Odpowiedzi: 2,2) a=0,125; 2.3) b=-33; 2,4) c=7).   2.5 Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) oraz styczną do niej w punkcie z odciętą 𝑥0 . Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie 𝑥0 .  2.6 Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) oraz styczną do niej w punkcie z odciętą 𝑥0 . Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie 𝑥0 .  2.7 Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x). Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych dotyka wykresu tej funkcji w punkcie o odciętej 10. Znajdź wartość pochodnej funkcji w punkcie x=10. 𝑥0 = 0 Rozwiązanie:     Wartość pochodnej funkcji w punkcie jest styczną nachylenia stycznej do wykresu funkcji narysowanej w danym punkcie. „Kończymy” trójkąt prostokątny i szukamy stycznej odpowiedniego kąta, którą przyjmujemy dodatnią, jeśli styczna tworzy kąt ostry z dodatnim kierunkiem osi Ox (styczna „rośnie”) i ujemną, jeśli kąt jest rozwarty (styczna maleje). W zadaniu 2.7 konieczne jest narysowanie stycznej przez wskazany punkt i początek. Odpowiedzi: 2,5) 0,25; 2.6) -0,25; 2,7 -0,6. Odczytywanie wykresu funkcji lub wykresu pochodnej funkcji  3.1 Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), zdefiniowanej na przedziale (6;8). Określ liczbę punktów całkowitych, w których pochodna funkcji jest dodatnia.  3.2 Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), zdefiniowanej na przedziale (-5;5). Określ liczbę punktów całkowitych, w których pochodna funkcji f(x) jest ujemna. Rozwiązanie: znak pochodnej jest powiązany z zachowaniem funkcji.  Jeśli pochodna jest dodatnia, wybierz część wykresu funkcji, w której funkcja rośnie. Jeśli pochodna jest ujemna, to gdzie funkcja maleje. Na osi Wół wybieramy przedział odpowiadający tej części.  Zgodnie z pytaniem zadania albo przeliczamy liczbę liczb całkowitych zawartych w zadanym przedziale, albo znajdujemy ich sumę.  Odpowiedzi: 3.1) 4; 3.2) 8.   3.3 Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), zdefiniowanej na przedziale (-2;12). Znajdź sumę ekstremów funkcji f(x). Przede wszystkim patrzymy na to, co jest na rysunku: wykres funkcji lub wykres pochodnej.  Jeśli jest to wykres pochodnej, to interesują nas tylko znaki pochodnej i odcięte punkty przecięcia z osią Wół.  Dla jasności możesz narysować bardziej znany rysunek ze znakami pochodnej w odniesieniu do otrzymanych przedziałów i zachowania funkcji.  Zgodnie z obrazkiem odpowiedz na pytanie zadania. (Odpowiedź: 3.3) 44).   3.4 Rysunek przedstawia wykres ′ y=𝑓 (𝑥) - pochodna funkcji f(x) określona na przedziale (-7;14). Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji f(x) należącej do przedziału [-6;9]  3,5 Na rysunku przedstawiono wykres y=𝑓 ′ (𝑥) - pochodną funkcji f(x), określoną na przedziale (-11;11)... Znajdź liczba punktów ekstremów funkcji f(x) należących do odcinka [-10;10] Rozwiązanie: Poszukujemy punktów przecięcia wykresu pochodnej z osią Ox, zaznaczając tę część osi, która jest wskazany w zadaniu.  Wyznacz znak pochodnej na każdym z otrzymanych przedziałów (jeżeli wykres pochodnej znajduje się poniżej osi, to „-”, jeśli powyżej, to „+”).  Maksymalna liczba punktów to te, w których znak zmienił się z „+” na „-”, a minimum – z „-” na „+”. Punkty skrajne to oba.  Odpowiedzi: 3.4) 1; 3.5) 5.   3.6 Rysunek przedstawia wykres y=𝑓 ′ (𝑥) - pochodna funkcji f(x), zdefiniowana na przedziale (-8;3). W którym punkcie odcinka [-3; 2] funkcja f(x) przyjmuje wartość maksymalną.  3.7 Rysunek przedstawia wykres ′ y=𝑓 (𝑥) - pochodna funkcji f(x), zdefiniowana na przedziale (-8;4). W którym punkcie odcinka [-7;-3] funkcja f(x) przyjmuje najmniejszą wartość. Rozwiązanie:    Jeżeli pochodna zmienia znak na rozważanym odcinku, to rozwiązanie opiera się na twierdzeniu: jeśli funkcja ciągła na odcinku ma jeden punkt ekstremum i jest to punkt maksymalny (minimalny), to największa (najmniejsza) wartość funkcji na tym odcinku została osiągnięta w danym punkcie. Jeżeli funkcja ciągła na odcinku jest monotoniczna, to na swoich końcach osiąga na danym odcinku swoje wartości minimalne i maksymalne. Odpowiedzi: 3.6) -3; 3.7)-7.  3.8 Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), zdefiniowanej na przedziale (-5;5). Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do prostej y=6 lub się z nią pokrywa.  3.9 Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) oraz ośmiu punktów na osi x: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 . W ilu z tych punktów pochodna funkcji f(x) jest dodatnia?  4.2 Rysunek przedstawia wykres y=𝑓 ′ (𝑥) - pochodna funkcji f(x), zdefiniowana na przedziale (-5;7). Znajdź przedziały malejącej funkcji f(x). W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych zawartych w tych przedziałach.  4.5 Rysunek przedstawia wykres y=𝑓 ′ (𝑥) - pochodna funkcji f(x), zdefiniowana na przedziale (-4;8). Znajdź ekstremum funkcji f(x) należącej do odcinka [-2;6].  4.6 Rysunek przedstawia wykres y=𝑓 ′ (𝑥) - pochodna funkcji f(x), zdefiniowana na przedziale (-10;2). Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji f(x) jest równoległa lub pokrywa się z prostą y=-2x-11. Rozwiązanie: 4.6 Ponieważ rysunek przedstawia wykres pochodnej, a styczna jest równoległa do tej prostej, pochodna funkcji w tym punkcie wynosi -2. Szukamy punktów na wykresie pochodnej o rzędnej równej -2 i liczymy ich liczbę. Otrzymujemy 5.  Odpowiedzi: 3,8) 4; 3,9) 5; 4.2) 18; 4,5) 4; 4.6) 5.   4.8 Rysunek przedstawia wykres y=𝑓 ′ (𝑥) - pochodna funkcji f(x). Znajdź odciętą punktu, w którym styczna do wykresu y=f(x) jest równoległa do osi x lub się z nią pokrywa. Rozwiązanie: Jeśli linia jest równoległa do osi Wół, to jej nachylenie wynosi zero.  Nachylenie stycznej wynosi zero, więc pochodna wynosi zero.  Szukamy odciętej punktu przecięcia wykresu pochodnej z osią Ox.  Otrzymujemy -3.   4.9 Rysunek przedstawia wykres funkcji y=𝑓 ′ (x) pochodnej funkcji f(x) oraz ośmiu punktów na osi x: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥8 . W ilu z tych punktów rośnie pochodna funkcji f(x)? Geometryczne znaczenie całki oznaczonej  5.1 Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) (dwa promienie o wspólnym punkcie początkowym). Korzystając z tego rysunku, oblicz F(8)-F(2), gdzie F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych f(x). Rozwiązanie:     Powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest obliczana przez całkę oznaczoną. Całka oznaczona jest obliczana ze wzoru Newtona-Leibniza jako przyrost funkcji pierwotnej. W zadaniu 5.1 obliczamy pole trapezu zgodnie ze znanym wzorem przebiegu geometrii (będzie to przyrost funkcji pierwotnej). W Problemach 5.2 i 5.3 podano już funkcję pierwotną. Konieczne jest obliczenie jego wartości na końcach segmentu i obliczenie różnicy.  5.2 Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x). Funkcja 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 − jest jedną z 8 funkcji pierwotnych funkcji f(x). Znajdź obszar zacienionej figury. Rozwiązanie:     Powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest obliczana przez całkę oznaczoną. Całka oznaczona jest obliczana ze wzoru Newtona-Leibniza jako przyrost funkcji pierwotnej. W zadaniu 5.1 obliczamy pole trapezu zgodnie ze znanym wzorem przebiegu geometrii (będzie to przyrost funkcji pierwotnej). W zadaniu 5.2 podano już funkcję pierwotną. Konieczne jest obliczenie jego wartości na końcach segmentu i obliczenie różnicy. Powodzenia na egzaminie z matematyki 

Materiały tematyczne: