Przykład 1.5.1.
Niech jakiś region gospodarczy wytwarza kilka (n) rodzajów produktów wyłącznie we własnym zakresie i tylko dla ludności tego regionu. Zakłada się, że opracowano proces technologiczny i zbadano zapotrzebowanie ludności na te towary. Niezbędne jest określenie rocznej wielkości produkcji wyrobów, biorąc pod uwagę fakt, że wielkość ta musi zapewniać zarówno zużycie finalne, jak i przemysłowe.
Zróbmy matematyczny model tego problemu. W zależności od jego stanu podaje się: rodzaje wyrobów, zapotrzebowanie na nie oraz proces technologiczny; znajdź wielkość produkcji dla każdego rodzaju produktu.
Oznaczmy znane ilości:
c i- zapotrzebowanie społeczne na i-ty produkt ( i=1,...,n); a ij- numer i-ty produkt wymagany do wytworzenia jednostki j -tego produktu przy użyciu tej technologii ( i=1,...,n ; J=1,...,n);
X i - wielkość produkcji i-ty produkt ( i=1,...,n); całość z =(c 1 ,..., c n ) nazywa się wektorem popytu, liczby a ij– współczynniki technologiczne, a zbiór X =(X 1 ,..., X n ) jest wektorem uwalniania.
Zgodnie ze stanem problemu wektor X jest podzielony na dwie części: na spożycie końcowe (wektor z ) i reprodukcja (wektor x-s ). Oblicz tę część wektora X który idzie do reprodukcji. Zgodnie z naszymi oznaczeniami do produkcji X J idzie ilość j-tego produktu a ij · X J Ilość i-ty produkt.
Następnie suma a i1 · X 1 +...+ a w · X n pokazuje wartość i-ty produkt, który jest potrzebny na całą produkcję X =(X 1 ,..., X n ).
Dlatego równość musi utrzymać:
Rozszerzając to rozumowanie na wszystkie rodzaje produktów, dochodzimy do pożądanego modelu:
Rozwiązywanie tego układu n równań liniowych względem X 1 ,...,X n i znajdź wymagany wektor wyjściowy.
Aby napisać ten model w bardziej zwartej (wektorowej) postaci, wprowadzamy notację:
Kwadrat ( 
) -macierz ALE zwana macierzą technologii. Łatwo sprawdzić, czy nasz model będzie teraz napisany tak: x-s=Ah lub
(1.6)
Mamy klasyczny model ” Wejście wyjście ”, którego autorem jest słynny amerykański ekonomista V. Leontiev.
Przykład 1.5.2.
Rafineria ropy naftowej ma dwa gatunki ropy: gatunek ALE w ilości 10 sztuk, klasa W- 15 sztuk. Podczas przetwarzania oleju uzyskuje się dwa materiały: benzynę (oznaczamy b) i olej opałowy ( M). Istnieją trzy opcje technologii przetwarzania:
I: 1 jednostka ALE+ 2 jednostki W daje 3 jednostki. b+ 2 jednostki M
II: 2 jednostki ALE+ 1 jednostka W daje 1 jednostkę. b+ 5 jednostek M
III: 2 rozdziały ALE+ 2 jednostki W daje 1 jednostkę. b+ 2 jednostki M
Cena benzyny to 10 USD za sztukę, olej opałowy to 1 USD za sztukę.
Należy określić najkorzystniejszą kombinację procesów technologicznych przerobu dostępnej ilości oleju.
Przed modelowaniem wyjaśniamy następujące punkty. Z uwarunkowań problemu wynika, że „opłacalność” procesu technologicznego dla zakładu należy rozumieć w sensie uzyskania maksymalnych przychodów ze sprzedaży jego wyrobów gotowych (benzyny i oleju opałowego). W związku z tym jasne jest, że „decyzja o wyborze (podejmowaniu) decyzji” zakładu polega na określeniu, którą technologię i ile razy zastosować. Oczywiście takich możliwości jest wiele.
Oznaczmy nieznane wielkości:
X i- ilość użycia i-ty proces technologiczny (i=1,2,3). Pozostałe parametry modelu (rezerwy gatunków oleju, ceny benzyny i oleju opałowego) znany.
Teraz jedna konkretna decyzja rośliny sprowadza się do wyboru jednego wektora X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , dla której przychód zakładu jest równy (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) dolarów.Tutaj 32 dolary to dochód uzyskany z jednego zastosowania pierwszego procesu technologicznego (10 dolary 3 jednostki. b+ 1 USD 2 jednostki M= 32 USD). Współczynniki 15 i 12 mają podobne znaczenie odpowiednio dla drugiego i trzeciego procesu technologicznego. Rozliczenie rezerwy ropy prowadzi do następujących warunków:
dla odmiany ALE:
dla odmiany W:,
gdzie w pierwszej nierówności współczynnikami 1, 2, 2 są wskaźniki zużycia oleju klasy A przy jednorazowym zastosowaniu procesów technologicznych I,II,III odpowiednio. Podobne znaczenie mają współczynniki drugiej nierówności dla oleju klasy B.
Model matematyczny jako całość ma postać:
Znajdź taki wektor x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) Zmaksymalizować
f(x) = 32x 1 +15x 2 +12x 3
gdy warunki są spełnione:
Skrócona forma tego wpisu jest następująca:
pod ograniczeniami
(1.7)
Otrzymaliśmy tak zwany problem programowania liniowego.
Model (1.7.) jest przykładem modelu optymalizacyjnego typu deterministycznego (z dobrze zdefiniowanymi elementami).
Przykład 1.5.3.
Inwestor musi określić najlepszy zestaw akcji, obligacji i innych papierów wartościowych, aby kupić je za określoną kwotę w celu uzyskania określonego zysku przy minimalnym ryzyku dla siebie. Zwrot z każdego dolara zainwestowanego w papier wartościowy J-tego typu, charakteryzujący się dwoma wskaźnikami: oczekiwany zysk i rzeczywisty zysk. Dla inwestora pożądane jest, aby oczekiwany zysk na 1 dolara inwestycji dla całego zestawu papierów wartościowych nie był niższy od określonej wartości b.
Należy zauważyć, że do prawidłowego zamodelowania tego problemu matematyk wymaga pewnej podstawowej wiedzy z zakresu teorii portfela papierów wartościowych.
Oznaczmy znane parametry problemu:
n- liczba rodzajów papierów wartościowych; a J– rzeczywisty zysk (liczba losowa) z j-tego rodzaju papieru wartościowego; 
jest oczekiwany zysk z J rodzaj zabezpieczenia.
Oznacz nieznane ilości :
tak J - środki przeznaczone na zakup papierów wartościowych tego typu J.
W naszym zapisie całkowita zainwestowana kwota jest wyrażona jako 
. Aby uprościć model wprowadzamy nowe ilości
.
Zatem, X i- jest to udział wszystkich środków przeznaczonych na zakup papierów tego typu J.
Jest oczywiste, że 
Z kondycji problemu widać, że celem inwestora jest osiągnięcie określonego poziomu zysku przy minimalnym ryzyku. Zasadniczo ryzyko jest miarą odchylenia rzeczywistego zysku od oczekiwanego. Można go zatem utożsamiać z kowariancją zysku dla papierów wartościowych typu i oraz typu j. Tutaj M jest oznaczeniem matematycznego oczekiwania.
Model matematyczny pierwotnego problemu ma postać:
pod ograniczeniami
,
,
,
. (1.8)
Uzyskaliśmy znany model Markowitza do optymalizacji struktury portfela papierów wartościowych.
Model (1.8.) jest przykładem modelu optymalizacyjnego typu stochastycznego (z elementami losowości).
Przykład 1.5.4.
Na podstawie organizacji handlowej rozróżnia się n rodzajów jednego z produktów minimum asortymentowego. Do sklepu musi być dostarczony tylko jeden z rodzajów tego produktu. Wymagany jest wybór rodzaju towaru, który należy wnieść do sklepu. Jeśli rodzaj produktu J będzie popyt, wtedy sklep zyska na jego sprzedaży R J, jeśli nie jest popyt - strata q J .
Przed modelowaniem omówimy kilka podstawowych punktów. W tym problemie decydentem (DM) jest sklep. Jednak wynik (uzyskanie maksymalnego zysku) zależy nie tylko od jego decyzji, ale także od tego, czy importowane towary będą poszukiwane, czyli czy zostaną wykupione przez ludność (zakłada się, że z jakiegoś powodu sklep nie nie mają możliwości zbadania zapotrzebowania ludności ). Dlatego też populację można uznać za drugiego decydenta, wybierającego rodzaj dóbr zgodnie ze swoimi preferencjami. Najgorsza „decyzja” ludności dotycząca sklepu to: „nie ma popytu na towary importowane”. Tak więc, aby uwzględnić wszelkiego rodzaju sytuacje, sklep musi traktować populację jako swojego „przeciwnika” (warunkowo), dążąc do odwrotnego celu - zminimalizowania zysku sklepu.
Tak więc mamy problem decyzyjny z dwoma uczestnikami dążącymi do przeciwnych celów. Wyjaśnijmy, że sklep wybiera jeden z rodzajów towarów do sprzedaży (jest n rozwiązań), a ludność wybiera jeden z rodzajów towarów, na który jest największe zapotrzebowanie ( n opcje rozwiązania).
Aby skompilować model matematyczny, rysujemy tabelę z n linie i n kolumny (ogółem n 2 komórki) i zgadzają się, że wiersze odpowiadają wyborowi sklepu, a kolumny odpowiadają wyborowi populacji. Potem klatka (ja, j) odpowiada sytuacji, gdy sklep wybierze i-ty rodzaj towaru ( i-ta linia), a populacja wybiera J-ty rodzaj towaru ( J- kolumna). W każdej komórce piszemy wycenę liczbową (zysk lub stratę) odpowiedniej sytuacji z punktu widzenia sklepu:
Liczby q i napisane z minusem odzwierciedlającym utratę sklepu; w każdej sytuacji „wypłata” populacji jest (warunkowo) równa „wypłacie” sklepu, wziętej z przeciwnym znakiem.
Skrócony widok tego modelu przedstawia się następująco:
(1.9)
Otrzymaliśmy tak zwaną grę matrycową. Model (1.9.) jest przykładem modeli podejmowania decyzji w grach.
Pojęcie modelu i symulacji.
Model w szerokim znaczeniu- jest to dowolny obraz, odpowiednik obrazu mentalnego lub utrwalonego, opis, schemat, rysunek, mapa itp. dowolnej objętości, procesu lub zjawiska, użyty jako jego substytut lub reprezentant. Sam obiekt, proces lub zjawisko nazywamy pierwowzorem tego modelu.
Modelowanie - jest to badanie dowolnego obiektu lub układu obiektów poprzez budowanie i badanie ich modeli. Jest to wykorzystanie modeli do określenia lub udoskonalenia cech i racjonalizacji sposobów konstruowania nowo budowanych obiektów.
Każda metoda badań naukowych opiera się na idei modelowania, jednocześnie w metodach teoretycznych wykorzystywane są różnego rodzaju znaki, modele abstrakcyjne, a w eksperymentalnych modele przedmiotowe.
W badaniu złożone rzeczywiste zjawisko zastępuje się jakąś uproszczoną kopią lub schematem, czasami taka kopia służy jedynie do zapamiętania i rozpoznania pożądanego zjawiska na kolejnym spotkaniu. Czasami skonstruowany schemat odzwierciedla pewne istotne cechy, pozwala zrozumieć mechanizm zjawiska, pozwala przewidzieć jego zmianę. Różne modele mogą odpowiadać temu samemu zjawisku.
Zadaniem badacza jest przewidywanie charakteru zjawiska i przebiegu procesu.
Czasami zdarza się, że obiekt jest dostępny, ale eksperymenty z nim są kosztowne lub prowadzą do poważnych konsekwencji środowiskowych. Wiedzę o takich procesach uzyskuje się za pomocą modeli.
Ważną kwestią jest to, że sama natura nauki wiąże się z badaniem nie jednego konkretnego zjawiska, ale szerokiej klasy zjawisk pokrewnych. Oznacza to potrzebę sformułowania pewnych ogólnych stwierdzeń kategorycznych, które nazywamy prawami. Oczywiście przy takim sformułowaniu pomija się wiele szczegółów. Aby wyraźniej zidentyfikować wzorzec, świadomie sięgają po zgrubienie, idealizację, schematyczność, to znaczy badają nie samo zjawisko, ale mniej lub bardziej dokładną jego kopię lub model. Wszystkie prawa są prawami dotyczącymi modeli i dlatego nie dziwi fakt, że z biegiem czasu niektóre teorie naukowe są uznawane za bezużyteczne. Nie prowadzi to do upadku nauki, ponieważ jeden model został zastąpiony innym. bardziej nowoczesny.
Szczególną rolę w nauce odgrywają modele matematyczne, budulec i narzędzia tych modeli – pojęcia matematyczne. Nagromadziły się i udoskonaliły przez tysiące lat. Współczesna matematyka dostarcza wyjątkowo potężnych i uniwersalnych środków badawczych. Niemal każde pojęcie w matematyce, każdy przedmiot matematyczny, począwszy od pojęcia liczby, jest modelem matematycznym. Konstruując model matematyczny badanego obiektu lub zjawiska, wyróżnia się te jego cechy, cechy i szczegóły, które z jednej strony zawierają mniej lub bardziej kompletną informację o obiekcie, a z drugiej strony pozwalają formalizacja matematyczna. Formalizacja matematyczna oznacza, że cechy i szczegóły obiektu można powiązać z odpowiednimi adekwatnymi pojęciami matematycznymi: liczbami, funkcjami, macierzami i tak dalej. Następnie związki i zależności znalezione i założone w badanym obiekcie pomiędzy jego poszczególnymi częściami i składnikami można zapisać za pomocą zależności matematycznych: równości, nierówności, równań. Wynikiem jest matematyczny opis badanego procesu lub zjawiska, czyli jego matematyczny model.
Badanie modelu matematycznego zawsze wiąże się z pewnymi regułami działania na badanych obiektach. Zasady te odzwierciedlają relacje między przyczynami a skutkami.
Budowanie modelu matematycznego jest centralnym etapem badania lub projektowania dowolnego systemu. Cała późniejsza analiza obiektu zależy od jakości modelu. Budowanie modelu nie jest formalną procedurą. Mocno zależy od badacza, jego doświadczenia i gustu, zawsze opiera się na pewnym materiale doświadczalnym. Model powinien być wystarczająco dokładny, adekwatny i wygodny w użyciu.
Modelowanie matematyczne.
Klasyfikacja modeli matematycznych.
Modele matematyczne mogą byćustalona oraz stochastyczny .
Deterministyczny Model oraz - są to modele, w których ustalana jest zależność jeden do jednego między zmiennymi opisującymi obiekt lub zjawisko.
Podejście to opiera się na znajomości mechanizmu funkcjonowania obiektów. Modelowany obiekt jest często skomplikowany, a odszyfrowanie jego mechanizmu może być bardzo pracochłonne i czasochłonne. W tym przypadku postępują w następujący sposób: przeprowadza się eksperymenty na oryginale, przetwarza wyniki i bez zagłębiania się w mechanizm i teorię modelowanego obiektu, wykorzystując metody statystyki matematycznej i teorii prawdopodobieństwa, ustalają zależności między zmienne opisujące obiekt. W takim przypadku zdobądźstochastyczny Model . W stochastyczny model, związek między zmiennymi jest losowy, czasami dzieje się to w sposób fundamentalny. Oddziaływanie ogromnej liczby czynników, ich połączenie prowadzi do losowego zestawu zmiennych opisujących obiekt lub zjawisko. Z natury trybów model jeststatystyczny oraz dynamiczny.
StatystycznyModelzawiera opis zależności pomiędzy głównymi zmiennymi symulowanego obiektu w stanie ustalonym bez uwzględnienia zmian parametrów w czasie.
W dynamicznymodeleopisuje relacje między głównymi zmiennymi symulowanego obiektu w przejściu z jednego trybu do drugiego.
Modele są oddzielny oraz ciągły, jak również mieszany rodzaj. W ciągły zmienne przyjmują wartości z pewnego przedziału, woddzielnyzmienne przyjmują izolowane wartości.
Modele liniowe- wszystkie funkcje i relacje opisujące model są liniowo zależne od zmiennych inie liniowyInaczej.
Modelowanie matematyczne.
Wymagania , przedstawione do modeli.
1. Wszechstronność- charakteryzuje kompletność zobrazowania według modelu badanych właściwości obiektu rzeczywistego.
Modelowanie matematyczne.
Główne etapy modelowania.
1. Stwierdzenie problemu.
Ustalenie celu analizy i sposobów jego osiągnięcia oraz wypracowanie wspólnego podejścia do badanego problemu. Na tym etapie wymagane jest głębokie zrozumienie istoty zadania. Czasami nie mniej trudno jest poprawnie postawić zadanie, niż je rozwiązać. Inscenizacja nie jest procesem formalnym, nie ma ogólnych zasad.
2. Studium podstaw teoretycznych i zebranie informacji o przedmiocie oryginału.
Na tym etapie wybiera się lub rozwija odpowiednią teorię. Jeśli go nie ma, ustala się związek przyczynowy między zmiennymi opisującymi obiekt. Określane są dane wejściowe i wyjściowe, przyjmuje się założenia upraszczające.
3. Formalizacja.
Polega na wyborze systemu symboli i wykorzystaniu ich do zapisania relacji między składnikami przedmiotu w postaci wyrażeń matematycznych. Ustala się klasę zadań, której można przypisać powstały model matematyczny obiektu. Wartości niektórych parametrów na tym etapie mogą nie być jeszcze określone.
4. Wybór metody rozwiązania.
Na tym etapie ustalane są ostateczne parametry modeli z uwzględnieniem warunków pracy obiektu. Dla otrzymanego problemu matematycznego dobiera się metodę rozwiązania lub opracowuje specjalną metodę. Przy wyborze metody brana jest pod uwagę wiedza użytkownika, jego preferencje, a także preferencje programisty.
5. Implementacja modelu.
Po opracowaniu algorytmu pisany jest program, który jest debugowany, testowany i uzyskuje się rozwiązanie pożądanego problemu.
6. Analiza otrzymanych informacji.
Porównuje się otrzymane i oczekiwane rozwiązanie, kontroluje się błąd modelowania.
7. Sprawdzenie adekwatności obiektu rzeczywistego.
Porównuje się wyniki uzyskane przez modelalbo z dostępnymi informacjami o obiekcie, albo przeprowadza się eksperyment, a jego wyniki porównuje się z obliczonymi.
Proces modelowania jest iteracyjny. W przypadku niezadowalających wyników etapów 6. lub 7. następuje powrót do jednego z wczesnych etapów, który mógłby doprowadzić do opracowania nieudanego modelu. Ten etap i wszystkie kolejne etapy są dopracowywane, a takie dopracowywanie modelu następuje aż do uzyskania akceptowalnych wyników.
Model matematyczny to przybliżony opis dowolnej klasy zjawisk lub obiektów świata rzeczywistego w języku matematyki. Głównym celem modelowania jest badanie tych obiektów i przewidywanie wyników przyszłych obserwacji. Modelowanie jest jednak również metodą poznawania otaczającego świata, co pozwala na jego kontrolowanie.
Modelowanie matematyczne i związany z nim eksperyment komputerowy są niezbędne w przypadkach, gdy eksperyment na pełną skalę jest z tego czy innego powodu niemożliwy lub trudny. Na przykład niemożliwe jest zorganizowanie eksperymentu na pełną skalę w historii, aby sprawdzić „co by się stało, gdyby...”. Nie można sprawdzić poprawności tej lub innej teorii kosmologicznej. W zasadzie możliwe jest, ale mało rozsądne, eksperymentowanie z rozprzestrzenianiem się jakiejś choroby, takiej jak dżuma, lub przeprowadzenie wybuchu nuklearnego w celu zbadania jego konsekwencji. Wszystko to można jednak zrobić na komputerze, mając wcześniej zbudowane modele matematyczne badanych zjawisk.
1) Budowa modelu. Na tym etapie określany jest jakiś „niematematyczny” obiekt – zjawisko naturalne, konstrukcja, plan gospodarczy, proces produkcyjny itp. W tym przypadku z reguły trudno jest jednoznacznie opisać sytuację. W pierwszej kolejności identyfikuje się główne cechy zjawiska i relacje między nimi na poziomie jakościowym. Następnie znalezione zależności jakościowe formułuje się w języku matematyki, czyli konstruuje model matematyczny. To najtrudniejsza część modelowania.
2) Rozwiązanie problemu matematycznego, do którego prowadzi model. Na tym etapie dużo uwagi poświęca się opracowaniu algorytmów i metod numerycznych rozwiązywania problemu na komputerze, za pomocą których można znaleźć wynik z wymaganą dokładnością iw akceptowalnym czasie.
3) Interpretacja uzyskanych konsekwencji z modelu matematycznego.Konsekwencje wyprowadzone z modelu w języku matematyki są interpretowane w języku przyjętym w tej dziedzinie.
4) Sprawdzenie adekwatności modelu.Na tym etapie stwierdza się, czy wyniki eksperymentu zgadzają się z teoretycznymi konsekwencjami modelu z pewną dokładnością.
5) Modyfikacja modelu.Na tym etapie albo model staje się bardziej złożony, aby był bardziej adekwatny do rzeczywistości, albo ulega uproszczeniu w celu uzyskania praktycznie akceptowalnego rozwiązania.
Modele można klasyfikować według różnych kryteriów. Na przykład, w zależności od charakteru rozwiązywanych problemów, modele można podzielić na funkcjonalne i strukturalne. W pierwszym przypadku wszystkie wielkości charakteryzujące zjawisko lub obiekt są wyrażone ilościowo. Jednocześnie niektóre z nich są uważane za zmienne niezależne, podczas gdy inne są uważane za funkcje tych wielkości. Model matematyczny jest zwykle układem równań różnych typów (różniczkowych, algebraicznych itp.), które ustalają relacje ilościowe między rozważanymi wielkościami. W drugim przypadku model charakteryzuje strukturę złożonego obiektu, składającego się z oddzielnych części, pomiędzy którymi istnieją pewne połączenia. Zazwyczaj te zależności nie są wymierne. Do budowy takich modeli wygodnie jest wykorzystać teorię grafów. Wykres to obiekt matematyczny, który jest zbiorem punktów (wierzchołków) na płaszczyźnie lub w przestrzeni, z których niektóre są połączone liniami (krawędziami).
W zależności od charakteru danych wyjściowych i wyników predykcji modele można podzielić na deterministyczne i probabilistyczno-statystyczne. Modele pierwszego typu dają określone, jednoznaczne przewidywania. Modele drugiego typu opierają się na informacjach statystycznych, a uzyskane za ich pomocą predykcje mają charakter probabilistyczny.
MODELOWANIE MATEMATYCZNE I OGÓLNE MODELE KOMPUTEROWE LUB SYMULACYJNE
Teraz, gdy w kraju dokonuje się niemal powszechna informatyzacja, można usłyszeć wypowiedzi specjalistów różnych zawodów: „Wprowadźmy komputer w naszym kraju, wtedy wszystkie zadania zostaną natychmiast rozwiązane”. Ten punkt widzenia jest całkowicie błędny, same komputery nie mogą nic zrobić bez matematycznych modeli pewnych procesów, ao powszechnej komputeryzacji można tylko pomarzyć.
Na poparcie powyższego postaramy się uzasadnić potrzebę modelowania, w tym modelowania matematycznego, ujawnić jego zalety w poznawaniu i przekształcaniu świata zewnętrznego przez człowieka, zidentyfikować istniejące niedociągnięcia i przejść… do modelowania symulacyjnego, tj. modelowanie za pomocą komputerów. Ale wszystko jest w porządku.
Przede wszystkim odpowiedzmy na pytanie: czym jest model?
Model to przedmiot materialny lub mentalnie reprezentowany, który w procesie poznania (badania) zastępuje oryginał, zachowując pewne typowe dla tego badania właściwości.
Dobrze zbudowany model jest bardziej dostępny do badań niż rzeczywisty obiekt. Na przykład eksperymenty z gospodarką kraju w celach edukacyjnych są niedopuszczalne, tutaj nie można obejść się bez modelu.
Podsumowując to, co zostało powiedziane, możemy odpowiedzieć na pytanie: do czego służą modele? W celu
Co jest pozytywnego w każdym modelu? Pozwala zdobyć nową wiedzę o przedmiocie, ale niestety nie jest w takim czy innym stopniu kompletna.
Modelsformułowany w języku matematyki przy użyciu metod matematycznych nazywany jest modelem matematycznym.
Punktem wyjścia do jego budowy jest zwykle jakieś zadanie, na przykład ekonomiczne. Powszechne, zarówno opisowe, jak i optymalizacyjne matematyczne, charakteryzujące różne procesy gospodarcze oraz wydarzenia takie jak:
Jak budowany jest model matematyczny?
Za pomocą tego algorytmu można rozwiązać dowolny problem optymalizacyjny, w tym wielokryterialny, tj. taki, w którym realizowany jest nie jeden, ale kilka celów, także sprzecznych.
Weźmy przykład. Teoria kolejek - problem kolejkowania. Należy zrównoważyć dwa czynniki - koszt utrzymania urządzeń serwisowych i koszt utrzymania linii. Po zbudowaniu formalnego opisu modelu wykonuje się obliczenia metodami analitycznymi i obliczeniowymi. Jeśli model jest dobry, to znalezione za jego pomocą odpowiedzi są adekwatne do systemu modelowania, jeśli jest zły, to trzeba go poprawić i wymienić. Kryterium adekwatności jest praktyka.
Modele optymalizacyjne, w tym wielokryterialne, mają wspólną cechę - znany jest cel (lub kilka celów), do osiągnięcia którego często trzeba mieć do czynienia ze złożonymi systemami, gdzie nie tyle chodzi o rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych, co o badanie i przewidywanie stanów w zależności od wybranych strategii sterowania. I tu mamy trudności z realizacją poprzedniego planu. Są to:
W związku z wymienionymi trudnościami, które pojawiają się podczas badania złożonych systemów, praktyka wymagała bardziej elastycznej metody i okazało się - modelowanie symulacyjne " Modelowanie symulacyjne".
Zwykle model symulacyjny rozumiany jest jako zbiór programów komputerowych, które opisują funkcjonowanie poszczególnych bloków systemów oraz zasady interakcji między nimi. Wykorzystanie zmiennych losowych powoduje konieczność wielokrotnego przeprowadzania eksperymentów z systemem symulacyjnym (na komputerze) i późniejszej analizy statystycznej uzyskanych wyników. Bardzo powszechnym przykładem wykorzystania modeli symulacyjnych jest rozwiązanie problemu kolejkowania metodą MONTE CARLO.
Praca z systemem symulacyjnym jest zatem eksperymentem przeprowadzanym na komputerze. Jakie są korzyści?
– Większa bliskość do systemu rzeczywistego niż modele matematyczne;
– Zasada blokowa umożliwia weryfikację każdego bloku przed włączeniem go do całego systemu;
– Wykorzystanie zależności o charakterze bardziej złożonym, nieopisanym prostymi zależnościami matematycznymi.
Wymienione zalety określają wady
– zbudowanie modelu symulacyjnego jest dłuższe, trudniejsze i droższe;
– do pracy z systemem symulacyjnym niezbędny jest komputer odpowiedni do zajęć;
– interakcja użytkownika z modelem symulacyjnym (interfejsem) nie powinna być zbyt skomplikowana, wygodna i dobrze znana;
- budowa modelu symulacyjnego wymaga głębszego zbadania rzeczywistego procesu niż modelowanie matematyczne.
Powstaje pytanie: czy modelowanie symulacyjne może zastąpić metody optymalizacyjne? Nie, ale dogodnie je uzupełnia. Model symulacyjny to program, który implementuje pewien algorytm, w celu optymalizacji sterowania, nad którym problem optymalizacyjny jest najpierw rozwiązywany.
Tak więc ani komputer, ani model matematyczny, ani algorytm do samodzielnego badania nie są w stanie rozwiązać dość skomplikowanego problemu. Ale razem reprezentują siłę, która pozwala poznać otaczający nas świat, zarządzać nim w interesie człowieka.
1.2.1
|
1.2.2 Klasyfikacja według obszaru zastosowania (Makarova N.A.)
Szkolenie- wizualny pomoce, trenerzy , och rzucanie programy |
1.2.3 Klasyfikacja według metody prezentacji Makarova N.A.)
materiał
modele- Inaczej
można nazwać podmiotem. Dostrzegają geometryczne i fizyczne właściwości oryginału i zawsze mają prawdziwe ucieleśnienie. |
1.2.4 Klasyfikacja modeli podana w książce „Land of Informatics” (Gein A.G.))„...oto pozornie proste zadanie: ile czasu zajmie przejście pustyni Karakum? Oczywiście odpowiedź zależy od rodzaju podróży. Jeśli podróżować na wielbłądy, wtedy wymagany będzie jeden termin, inny, jeśli jedziesz samochodem, trzeci, jeśli lecisz samolotem. A co najważniejsze, do zaplanowania podróży potrzebne są różne modele. W pierwszym przypadku wymagany model można znaleźć we wspomnieniach słynnych odkrywców pustyni: w końcu nie można obejść się bez informacji o oazach i szlakach wielbłądów. W drugim przypadku niezastąpione informacje zawarte w atlasie dróg. W trzecim - możesz skorzystać z rozkładu lotów. |
1.2.5 Klasyfikacja modeli podana w podręczniku A.I. BochkinaIstnieje wiele sposobów na klasyfikację .Prezentujemy tylko kilka z bardziej znanych podkładów i znaki: dyskrecja oraz ciągłość, macierz i skalarne, statyczne i dynamiczne, analityczne i informacyjne, podmiotowe i figuratywno-znakowe, wielkoskalowe i nieskalowe... |
Wykład 1
METODOLOGICZNE PODSTAWY MODELOWANIA
Aktualny stan problemu modelowania systemów
Koncepcje modelowania i symulacji
Modelowanie można uznać za zastąpienie badanego obiektu (pierwotnego) jego warunkowym obrazem, opisem lub innym obiektem, zwanym Model oraz zapewnienie zachowania zbliżonego do oryginału przy pewnych założeniach i akceptowalnych błędach. Modelowanie jest zwykle wykonywane w celu poznania właściwości oryginału poprzez zbadanie jego modelu, a nie samego obiektu. Oczywiście modelowanie jest uzasadnione w przypadku, gdy jest prostsze niż tworzenie samego oryginału lub gdy tego drugiego z jakiegoś powodu lepiej nie tworzyć.
Pod Model rozumiany jest obiekt fizyczny lub abstrakcyjny, którego właściwości są w pewnym sensie zbliżone do właściwości badanego obiektu.W tym przypadku wymagania dotyczące modelu są determinowane przez rozwiązywany problem i dostępne środki. Istnieje szereg ogólnych wymagań dotyczących modeli:
2) kompletność – dostarczenie odbiorcy wszystkich niezbędnych informacji
o obiekcie;
3) elastyczność – umiejętność odtwarzania różnych sytuacji we wszystkim
zakres zmieniających się warunków i parametrów;
4) złożoność rozwoju powinna być akceptowalna dla istniejących
czas i oprogramowanie.
Modelowanie to proces budowania modelu obiektu i badania jego właściwości poprzez badanie modelu.
Tak więc modelowanie obejmuje 2 główne etapy:
1) opracowanie modelu;
2) studium modelu i wyciąganie wniosków.
Jednocześnie na każdym etapie rozwiązywane są różne zadania i
zasadniczo różne metody i środki.
W praktyce stosuje się różne metody modelowania. W zależności od sposobu implementacji wszystkie modele można podzielić na dwie duże klasy: fizyczną i matematyczną.
Modelowanie matematyczne Zwyczajowo traktuje się to jako środek do badania procesów lub zjawisk za pomocą ich modeli matematycznych.
Pod modelowanie fizyczne rozumie się jako badanie obiektów i zjawisk na modelach fizycznych, gdy badany proces jest odtwarzany z zachowaniem jego fizycznego charakteru lub wykorzystuje się inne zjawisko fizyczne podobne do badanego. W której modele fizyczne Z reguły zakładają one rzeczywiste ucieleśnienie tych właściwości fizycznych oryginału, które są istotne w konkretnej sytuacji, np. przy projektowaniu nowego samolotu tworzony jest jego model o takich samych właściwościach aerodynamicznych; Planując budynek, architekci tworzą układ, który odzwierciedla układ przestrzenny jego elementów. W związku z tym nazywa się również modelowanie fizyczne prototypowanie.
Modelowanie HIL jest badaniem systemów sterowanych na kompleksach symulacyjnych z uwzględnieniem rzeczywistego wyposażenia w modelu. Model zamknięty, obok rzeczywistego sprzętu, obejmuje symulatory uderzeń i zakłóceń, modele matematyczne środowiska zewnętrznego oraz procesów, dla których nie jest znany wystarczająco dokładny opis matematyczny. Włączenie rzeczywistych urządzeń lub rzeczywistych systemów w obwód do modelowania złożonych procesów umożliwia zmniejszenie niepewności a priori i badanie procesów, dla których nie ma dokładnego opisu matematycznego. Za pomocą symulacji półnaturalnej wykonywane są badania z uwzględnieniem małych stałych czasowych i nieliniowości właściwych rzeczywistym urządzeniom. W badaniu modeli z uwzględnieniem rzeczywistego wyposażenia stosowana jest koncepcja symulacja dynamiczna, w badaniu złożonych systemów i zjawisk - ewolucyjny, imitacja oraz symulacja cybernetyczna.
Oczywiście prawdziwą korzyść z modelowania można uzyskać tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:
1) model zapewnia prawidłowe (odpowiednie) wyświetlanie właściwości
oryginał, istotny z punktu widzenia badanej operacji;
2) model pozwala na wyeliminowanie wyżej wymienionych problemów, które są immanentne
prowadzenie badań na obiektach rzeczywistych.
Rozwiązywanie problemów praktycznych metodami matematycznymi jest konsekwentnie realizowane poprzez sformułowanie problemu (opracowanie modelu matematycznego), wybór metody badania otrzymanego modelu matematycznego oraz analizę otrzymanego wyniku matematycznego. Matematyczne sformułowanie problemu jest zwykle przedstawiane w postaci obrazów geometrycznych, funkcji, układów równań itp. Opis obiektu (zjawiska) można przedstawić za pomocą form ciągłych lub dyskretnych, deterministycznych lub stochastycznych i innych form matematycznych.
Teoria modelowania matematycznego zapewnia identyfikację prawidłowości przebiegu różnych zjawisk otaczającego świata lub działania systemów i urządzeń poprzez ich matematyczny opis i modelowanie bez badań terenowych. W tym przypadku stosuje się przepisy i prawa matematyki opisujące symulowane zjawiska, systemy lub urządzenia na pewnym poziomie ich idealizacji.
Model matematyczny (MM) jest sformalizowanym opisem systemu (lub operacji) w jakimś abstrakcyjnym języku, na przykład w postaci zbioru relacji matematycznych lub schematu algorytmu, tj. e. taki opis matematyczny, który zapewnia imitację działania systemów lub urządzeń na poziomie wystarczająco zbliżonym do ich rzeczywistego zachowania uzyskanego podczas pełnoskalowych testów systemów lub urządzeń.
Każdy MM opisuje rzeczywisty obiekt, zjawisko lub proces z pewnym przybliżeniem do rzeczywistości. Rodzaj MM zależy zarówno od charakteru obiektu rzeczywistego, jak i celów badania.
Modelowanie matematyczne Zjawiska społeczne, ekonomiczne, biologiczne i fizyczne, obiekty, systemy i różne urządzenia to jeden z najważniejszych sposobów zrozumienia przyrody i projektowania szerokiej gamy systemów i urządzeń. Znane są przykłady efektywnego wykorzystania modelowania w tworzeniu technologii jądrowych, systemów lotniczych i kosmicznych, w prognozowaniu zjawisk atmosferycznych i oceanicznych, pogody itp.
Jednak tak poważne obszary modelowania często wymagają superkomputerów i lat pracy dużych zespołów naukowców w celu przygotowania danych do modelowania i jego debugowania. Niemniej jednak i w tym przypadku modelowanie matematyczne złożonych systemów i urządzeń nie tylko pozwala zaoszczędzić pieniądze na badaniach i testowaniu, ale może również wyeliminować katastrofy ekologiczne – umożliwia np. rezygnację z testowania broni jądrowej i termojądrowej na rzecz modelowanie matematyczne czy testowanie systemów lotniczych przed ich rzeczywistym lotem.Tymczasem modelowanie matematyczne na poziomie rozwiązywania prostszych problemów, np. z zakresu mechaniki, elektrotechniki, elektroniki, radiotechniki i wielu innych dziedzin nauki i techniki teraz dostępne do wykonania na nowoczesnych komputerach. A przy użyciu modeli uogólnionych możliwe staje się modelowanie dość złożonych systemów, na przykład systemów i sieci telekomunikacyjnych, radarów lub systemów radionawigacyjnych.
Cel modelowania matematycznego to analiza rzeczywistych procesów (w przyrodzie lub technologii) metodami matematycznymi. To z kolei wymaga zbadania sformalizowania procesu MM.Model może być wyrażeniem matematycznym zawierającym zmienne, których zachowanie jest zbliżone do zachowania systemu rzeczywistego.Model może zawierać elementy losowości, które uwzględniają prawdopodobieństwa możliwe akcje dwóch lub więcej „graczy”, gry; lub może reprezentować rzeczywiste zmienne połączonych części systemu operacyjnego.
Modelowanie matematyczne do badania charakterystyk systemów można podzielić na analityczne, symulacyjne i łączone. Z kolei MM dzielą się na symulacyjne i analityczne.
Modelowanie analityczne
Do modelowanie analityczne charakterystyczne jest, że procesy funkcjonowania układu są zapisane w postaci pewnych zależności funkcjonalnych (równań algebraicznych, różniczkowych, całkowych). Model analityczny można zbadać następującymi metodami:
1) analityczne, gdy dążą do uzyskania w ujęciu ogólnym jawnych zależności dla cech systemów;
2) numeryczne, gdy nie można znaleźć rozwiązania równań w postaci ogólnej i są one rozwiązywane dla określonych danych wyjściowych;
3) jakościowy, gdy w przypadku braku rozwiązania stwierdzone zostaną niektóre jego właściwości.
Modele analityczne można uzyskać tylko dla stosunkowo prostych systemów. W przypadku złożonych systemów często pojawiają się duże problemy matematyczne. Aby zastosować metodę analityczną, dochodzi się do znacznego uproszczenia pierwotnego modelu. Jednak badanie na uproszczonym modelu pozwala uzyskać jedynie orientacyjne wyniki. Modele analityczne matematycznie poprawnie odzwierciedlają relacje między zmiennymi wejściowymi i wyjściowymi oraz parametrami. Ale ich struktura nie odzwierciedla wewnętrznej struktury obiektu.
W modelowaniu analitycznym jego wyniki przedstawiane są w postaci wyrażeń analitycznych. Na przykład, łącząc RC- obwód do stałego źródła napięcia mi(R, C oraz mi są składowe tego modelu), możemy dokonać analitycznego wyrażenia na zależność napięcia w czasie ty(t) na kondensatorze C:
Jest to liniowe równanie różniczkowe (DE) i analityczny model tego prostego obwodu liniowego. Jego rozwiązanie analityczne, w warunkach początkowych ty(0) = 0, co oznacza rozładowany kondensator C na początku symulacji pozwala znaleźć wymaganą zależność - w postaci wzoru:
ty(t) = mi(1− byłyp(- t/RC)). (2)
Jednak nawet w tym najprostszym przykładzie wymagane są pewne wysiłki, aby rozwiązać równanie różniczkowe (1) lub zastosować komputerowe systemy matematyczne(SCM) z obliczeniami symbolicznymi - systemy algebry komputerowej. W tym dość trywialnym przypadku rozwiązanie problemu modelowania liniowego RC-obwód daje wyrażenie analityczne (2) o dość ogólnej postaci - nadaje się do opisywania działania obwodu dla dowolnych wartości komponentów R, C oraz mi i opisuje wykładniczy ładunek kondensatora C przez rezystor R ze stałego źródła napięcia mi.
Niewątpliwie znalezienie rozwiązań analitycznych w modelowaniu analitycznym okazuje się niezwykle cenne dla ujawnienia ogólnych praw teoretycznych prostych obwodów, systemów i urządzeń liniowych, jednak jej złożoność gwałtownie wzrasta w miarę jak wpływ na model staje się bardziej złożony, a kolejność i liczba równania stanu opisujące wzrost modelowanego obiektu. Podczas modelowania obiektów drugiego lub trzeciego rzędu można uzyskać mniej lub bardziej widoczne wyniki, ale nawet w przypadku wyższego rzędu wyrażenia analityczne stają się nadmiernie nieporęczne, złożone i trudne do zrozumienia. Na przykład nawet prosty wzmacniacz elektroniczny często zawiera dziesiątki elementów. Jednak wiele nowoczesnych SCM, takich jak systemy matematyki symbolicznej Klon, Matematyka lub środa MATLAB potrafią w dużym stopniu zautomatyzować rozwiązywanie złożonych problemów modelowania analitycznego.
Jednym z rodzajów modelowania jest symulacja numeryczna, polegająca na pozyskiwaniu niezbędnych danych ilościowych o zachowaniu systemów lub urządzeń dowolną odpowiednią metodą numeryczną, taką jak metoda Eulera czy Runge-Kutty. W praktyce modelowanie układów i urządzeń nieliniowych metodami numerycznymi jest znacznie wydajniejsze niż modelowanie analityczne pojedynczych prywatnych obwodów, systemów lub urządzeń liniowych. Na przykład, aby rozwiązać układy DE (1) lub DE w bardziej złożonych przypadkach rozwiązanie w postaci analitycznej nie jest uzyskiwane, ale dane symulacyjne numeryczne mogą dostarczyć wystarczająco kompletnych danych o zachowaniu symulowanych układów i urządzeń, a także wykreślić wykresy opisujące to zachowanie zależności.
Symulacja
Na imitacja W modelowaniu algorytm implementujący model odtwarza proces funkcjonowania systemu w czasie. Imitowane są elementarne zjawiska składające się na ten proces, z zachowaniem ich logicznej struktury i kolejności upływu czasu.
Główną zaletą modeli symulacyjnych w porównaniu do analitycznych jest możliwość rozwiązywania bardziej złożonych problemów.
Modele symulacyjne ułatwiają uwzględnienie obecności elementów dyskretnych lub ciągłych, charakterystyk nieliniowych, efektów losowych itp. Dlatego metoda ta jest szeroko stosowana na etapie projektowania złożonych systemów. Głównym narzędziem do realizacji modelowania symulacyjnego jest komputer umożliwiający cyfrowe modelowanie układów i sygnałów.
W związku z tym definiujemy frazę „ modelowanie komputerowe”, który jest coraz częściej używany w literaturze. Założymy, że modelowanie komputerowe- to modelowanie matematyczne z wykorzystaniem technologii komputerowej. W związku z tym technologia symulacji komputerowej obejmuje następujące działania:
1) określenie celu modelowania;
2) opracowanie modelu koncepcyjnego;
3) sformalizowanie modelu;
4) programowa implementacja modelu;
5) planowanie eksperymentów modelowych;
6) realizacja planu eksperymentu;
7) analiza i interpretacja wyników symulacji.
Na modelowanie symulacyjne zastosowany MM odtwarza algorytm („logikę”) funkcjonowania badanego systemu w czasie dla różnych kombinacji wartości parametrów systemu i otoczenia.
Przykładem najprostszego modelu analitycznego jest równanie jednostajnego ruchu prostoliniowego. Badając taki proces za pomocą modelu symulacyjnego należy zaimplementować obserwację zmiany przebytej drogi w czasie, oczywiście w niektórych przypadkach bardziej preferowane jest modelowanie analityczne, w innych symulacja (lub kombinacja obu). Aby dokonać dobrego wyboru, należy odpowiedzieć na dwa pytania.
Jaki jest cel modelowania?
Do jakiej klasy można zaliczyć symulowane zjawisko?
Odpowiedzi na oba te pytania można uzyskać podczas realizacji dwóch pierwszych etapów modelowania.
Modele symulacyjne nie tylko właściwościami, ale także strukturą odpowiadają modelowanemu obiektowi. W tym przypadku istnieje jednoznaczna i jednoznaczna korespondencja między procesami uzyskanymi na modelu a procesami zachodzącymi na obiekcie. Wadą modelowania symulacyjnego jest to, że rozwiązanie problemu w celu uzyskania dobrej dokładności zajmuje dużo czasu.
Wynikiem modelowania symulacyjnego pracy układu stochastycznego są realizacje zmiennych losowych lub procesów. Dlatego, aby znaleźć charakterystykę systemu, wymagane jest wielokrotne powtarzanie i późniejsze przetwarzanie danych. Najczęściej w tym przypadku używany jest rodzaj symulacji - statystyczny
modelowanie(lub metoda Monte Carlo), tj. odtwarzanie w modelach czynników losowych, zdarzeń, wielkości, procesów, pól.
Na podstawie wyników modelowania statystycznego określane są oszacowania probabilistycznych kryteriów jakości, ogólnych i szczegółowych, charakteryzujących funkcjonowanie i sprawność sterowanego systemu. Modelowanie statystyczne jest szeroko stosowane do rozwiązywania problemów naukowych i stosowanych w różnych dziedzinach nauki i techniki. Metody modelowania statystycznego znajdują szerokie zastosowanie w badaniu złożonych układów dynamicznych, ocenie ich funkcjonowania i wydajności.
Ostatni etap modelowania statystycznego opiera się na matematycznym przetwarzaniu uzyskanych wyników. Stosowane są tu metody statystyki matematycznej (estymacja parametryczna i nieparametryczna, testowanie hipotez). Przykładem oceny parametrycznej jest przykładowa średnia miary wydajności. Wśród metod nieparametrycznych najbardziej rozpowszechnione metoda histogramu.
Rozważany schemat oparty na wielokrotnych testach statystycznych systemu i metodach statystyki niezależnych zmiennych losowych nie zawsze jest w praktyce naturalny i optymalny pod względem kosztów. Skrócenie czasu testowania systemu można osiągnąć stosując dokładniejsze metody szacowania. Jak wiadomo ze statystyk matematycznych, efektywne oszacowania mają najwyższą dokładność dla danej wielkości próby. Filtrowanie optymalne i metoda największej wiarygodności stanowią ogólną metodę uzyskiwania takich oszacowań.W problemach modelowania statystycznego przetwarzanie realizacji procesów losowych jest niezbędne nie tylko do analizy procesów wyjściowych.
Bardzo ważne jest również kontrolowanie charakterystyk wejściowych efektów losowych. Kontrola polega na sprawdzeniu, czy rozkłady generowanych procesów odpowiadają zadanym rozkładom. To zadanie jest często formułowane jako zadanie testowania hipotez.
Ogólnym trendem w komputerowo wspomaganej symulacji złożonych systemów sterowanych jest dążenie do skrócenia czasu symulacji, a także prowadzenia badań w czasie rzeczywistym. Algorytmy obliczeniowe są wygodnie reprezentowane w formie rekurencyjnej, która pozwala na ich implementację w tempie aktualnych informacji.
ZASADY SYSTEMOWEGO PODEJŚCIA W MODELOWANIU
Podstawy teorii systemów
Główne zapisy teorii systemów powstały w toku badań układów dynamicznych i ich elementów funkcjonalnych. System rozumiany jest jako zespół powiązanych ze sobą elementów działających wspólnie w celu wykonania określonego zadania. Analiza systemów pozwala na określenie najbardziej realistycznych sposobów realizacji zadania, zapewniając maksymalne spełnienie wymagań.
Elementy stanowiące podstawę teorii systemów nie są tworzone za pomocą hipotez, ale odkrywane eksperymentalnie. Do rozpoczęcia budowy systemu niezbędne jest posiadanie ogólnej charakterystyki procesów technologicznych. To samo dotyczy zasad tworzenia matematycznie sformułowanych kryteriów, jakie musi spełniać proces lub jego opis teoretyczny. Modelowanie to jedna z najważniejszych metod badań naukowych i eksperymentów.
Przy budowaniu modeli obiektów stosuje się podejście systematyczne, czyli metodologię rozwiązywania złożonych problemów, która opiera się na traktowaniu obiektu jako systemu działającego w określonym środowisku. Podejście systemowe polega na ujawnieniu integralności obiektu, identyfikacji i badaniu jego struktury wewnętrznej, a także powiązań z otoczeniem zewnętrznym. W tym przypadku obiekt jest prezentowany jako część świata rzeczywistego, który jest identyfikowany i badany w związku z problemem budowy rozwiązywanego modelu. Ponadto systematyczne podejście obejmuje konsekwentne przejście od ogółu do szczegółu, gdy rozważania opierają się na celu projektowym, a obiekt jest rozpatrywany w odniesieniu do środowiska.
Obiekt złożony można podzielić na podsystemy, będące częściami obiektu, które spełniają następujące wymagania:
1) podsystem jest funkcjonalnie niezależną częścią obiektu. Jest połączona z innymi podsystemami, wymienia z nimi informacje i energię;
2) dla każdego podsystemu można określić funkcje lub właściwości, które nie pokrywają się z właściwościami całego systemu;
3) każdy z podsystemów może być dalej podzielony na poziom elementów.
W tym przypadku element rozumiany jest jako podsystem niższego poziomu, którego dalszy podział jest niewskazany z punktu widzenia rozwiązywanego problemu.
Zatem system można zdefiniować jako reprezentację obiektu w postaci zbioru podsystemów, elementów i relacji w celu jego stworzenia, badania lub doskonalenia. Jednocześnie powiększona reprezentacja układu, obejmująca główne podsystemy i połączenia między nimi, nazywana jest makrostrukturą, a szczegółowe ujawnienie struktury wewnętrznej układu na poziomie elementów nazywa się mikrostrukturą.
Wraz z systemem zwykle występuje supersystem - system wyższego poziomu, w skład którego wchodzi rozważany obiekt, a funkcję dowolnego systemu można określić tylko za pośrednictwem supersystemu.
Należy wyróżnić pojęcie środowiska jako zbioru obiektów świata zewnętrznego, które w istotny sposób wpływają na wydajność systemu, ale nie są częścią systemu i jego supersystemu.
W związku z systematycznym podejściem do budowania modeli stosuje się pojęcie infrastruktury, które opisuje relacje systemu z jego otoczeniem (otoczeniem).W tym przypadku dobór, opis i badanie właściwości obiektu, które są istotne w ramach określonego zadania nazywa się stratyfikacji obiektu, a każdy model obiektu jest jego opisem warstwowym.
Dla systematycznego podejścia ważne jest określenie struktury systemu, tj. zestaw powiązań między elementami systemu, odzwierciedlający ich interakcję. Aby to zrobić, najpierw rozważymy strukturalne i funkcjonalne podejście do modelowania.
Dzięki podejściu strukturalnemu ujawnia się skład wybranych elementów systemu i powiązania między nimi. Całość elementów i relacji umożliwia ocenę struktury systemu. Najbardziej ogólnym opisem struktury jest opis topologiczny. Pozwala na definiowanie elementów składowych systemu i ich relacji za pomocą wykresów. Mniej ogólny jest opis funkcjonalny, gdy rozważane są poszczególne funkcje, tj. algorytmy zachowania systemu. Jednocześnie wdrażane jest podejście funkcjonalne, które określa funkcje, jakie pełni system.
Na podstawie systematycznego podejścia można zaproponować sekwencję rozwoju modelu, w której rozróżnia się dwa główne etapy projektowania: makroprojektowanie i mikroprojektowanie.
Na etapie makroprojektowania budowany jest model środowiska zewnętrznego, identyfikowane są zasoby i ograniczenia, dobierany jest model systemu oraz kryteria oceny adekwatności.
Etap mikroprojektowania w dużej mierze zależy od konkretnego typu wybranego modelu. W ogólnym przypadku wiąże się to z tworzeniem wsparcia informacyjnego, matematycznego, technicznego i programowego dla systemu modelowania. Na tym etapie ustalane są główne parametry techniczne tworzonego modelu, szacowany jest czas pracy z nim oraz koszt zasobów do uzyskania określonej jakości modelu.
Niezależnie od rodzaju modelu, budując go należy kierować się szeregiem zasad systematycznego podejścia:
1) konsekwentny postęp przez kolejne etapy tworzenia modelu;
2) koordynacja informacji, zasobów, wiarygodności i innych cech;
3) prawidłowy stosunek różnych poziomów budowy modelu;
4) integralność poszczególnych etapów projektowania modelu.
Zadania rozwiązywane metodami LP są bardzo zróżnicowane pod względem treści. Ale ich modele matematyczne są podobne i są warunkowo połączone w trzy duże grupy problemów:
Tabela 3.1
Pytania do samokontroli
1. Stwierdzenie problemu transportowego. opisać budowę modelu matematycznego.
2. Co to jest zrównoważony i niezrównoważony problem transportu?
3. Co oblicza się w funkcji celu zadania transportowego?
4. Co odzwierciedla każda nierówność systemu ograniczeń problemu planu?
5. Co odzwierciedla każda nierówność systemu więzów problemu mieszaniny?
6. Co oznaczają zmienne w zadaniu planu i zadaniu mieszanki?
Modele matematyczne
Model matematyczny - przybliżona opiniaopis przedmiotu modelowania, wyrażony za pomocąsymbolika matematyczna schyu.
Modele matematyczne pojawiły się wraz z matematyką wiele wieków temu. Ogromny impuls do rozwoju modelowania matematycznego dało pojawienie się komputerów. Wykorzystanie komputerów umożliwiło przeanalizowanie i zastosowanie w praktyce wielu modeli matematycznych, które wcześniej nie były poddawane badaniom analitycznym. Matematyka realizowana komputerowomodel nieba nazywa komputerowy model matematyczny, a przeprowadzanie ukierunkowanych obliczeń z wykorzystaniem modelu komputerowego, nazywa eksperyment obliczeniowy.
Etapy komputerowej matematyki mousunięcie pokazano na rysunku. Pierwszyscena - definicja celów modelowania. Te cele mogą być różne:
Przykład z zupełnie innego obszaru: pokojowo koegzystując ze stabilnymi populacjami dwóch gatunków osobników o wspólnej bazie pokarmowej, „nagle” zaczynają dramatycznie zmieniać swoją liczebność. I tutaj modelowanie matematyczne pozwala (z pewnym stopniem pewności) ustalić przyczynę (lub przynajmniej obalić pewną hipotezę).
Kolejnym możliwym celem modelowania jest opracowanie koncepcji zarządzania obiektami. Jaki tryb lotu samolotu wybrać, aby lot był bezpieczny i najkorzystniejszy ekonomicznie? Jak zaplanować setki rodzajów prac przy budowie dużego obiektu, aby jak najszybciej się skończyły? Wiele takich problemów pojawia się systematycznie przed ekonomistami, projektantami i naukowcami.
Wreszcie przewidywanie konsekwencji pewnych oddziaływań na obiekt może być zarówno stosunkowo prostą sprawą w prostych systemach fizycznych, jak i niezwykle złożoną - na granicy wykonalności - w systemach biologicznych, ekonomicznych i społecznych. Jeśli stosunkowo łatwo jest odpowiedzieć na pytanie o zmianę sposobu propagacji ciepła w cienkim pręcie przy zmianach jego stopu, to nieporównywalnie trudniej prześledzić (przewidzieć) konsekwencje środowiskowe i klimatyczne budowy duża elektrownia wodna czy społeczne konsekwencje zmian w ustawodawstwie podatkowym. Być może i tutaj metody modelowania matematycznego będą bardziej pomocne w przyszłości.
Druga faza: definicja parametrów wejściowych i wyjściowych modelu; podział parametrów wejściowych według stopnia ważności wpływu ich zmian na produkcję. Proces ten nazywa się rankingiem lub podziałem według rangi (patrz poniżej). „Formalisai modelowanie").
Trzeci etap: budowa modelu matematycznego. Na tym etapie następuje przejście od abstrakcyjnego sformułowania modelu do sformułowania, które ma określoną reprezentację matematyczną. Model matematyczny to równania, układy równań, układy nierówności, równania różniczkowe lub układy takich równań itp.
Czwarty etap: wybór metody badania modelu matematycznego. Najczęściej stosuje się tutaj metody numeryczne, które dobrze nadają się do programowania. Z reguły do rozwiązania tego samego problemu nadaje się kilka metod, różniących się dokładnością, stabilnością itp. Powodzenie całego procesu modelowania często zależy od prawidłowego doboru metody.
Piąty etap: opracowanie algorytmu, kompilacja i debugowanie programu komputerowego to proces trudny do sformalizowania. Spośród języków programowania wielu profesjonalistów zajmujących się modelowaniem matematycznym preferuje FORTRAN: zarówno ze względu na tradycję, jak i niezrównaną wydajność kompilatorów (do pracy obliczeniowej) oraz obecność ogromnych, starannie debugowanych i zoptymalizowanych bibliotek standardowych programów metod matematycznych napisanych w to. Używane są również języki takie jak PASCAL, BASIC, C, w zależności od charakteru zadania i upodobań programisty.
Szósty etap: testowanie programu. Działanie programu jest testowane na zadaniu testowym ze znaną odpowiedzią. To dopiero początek procedury testowej, którą trudno opisać w formalnie wyczerpujący sposób. Zazwyczaj testowanie kończy się, gdy użytkownik, zgodnie ze swoimi cechami zawodowymi, uzna program za poprawny.
Siódmy etap: rzeczywisty eksperyment obliczeniowy, podczas którego staje się jasne, czy model odpowiada rzeczywistemu obiektowi (procesowi). Model jest wystarczająco adekwatny do rzeczywistego procesu, jeśli pewne cechy procesu uzyskane na komputerze pokrywają się z charakterystykami uzyskanymi eksperymentalnie z zadanym stopniem dokładności. Jeśli model nie odpowiada rzeczywistemu procesowi, wracamy do jednego z poprzednich etapów.
Klasyfikacja modeli matematycznych
Klasyfikacja modeli matematycznych może opierać się na różnych zasadach. Modele można klasyfikować według dziedzin nauki (modele matematyczne w fizyce, biologii, socjologii itp.). Można go klasyfikować według zastosowanego aparatu matematycznego (modele oparte na wykorzystaniu równań różniczkowych zwyczajnych, równań różniczkowych cząstkowych, metod stochastycznych, dyskretnych przekształceń algebraicznych itp.). Wreszcie, jeśli przejdziemy od ogólnych zadań modelowania w różnych naukach, niezależnie od aparatu matematycznego, najbardziej naturalna jest następująca klasyfikacja:
Wyjaśnijmy to na przykładach.
Modele opisowe (opisowe). Na przykład symulacje ruchu komety, która atakuje Układ Słoneczny, mają na celu przewidzenie trajektorii jej lotu, odległości, na jaką przeleci od Ziemi i tak dalej. W tym przypadku cele modelowania są opisowe, ponieważ nie ma możliwości wpłynięcia na ruch komety, aby coś w niej zmienić.
Modele optymalizacji służą do opisu procesów, na które można wpływać, próbując osiągnąć dany cel. W takim przypadku model zawiera jeden lub więcej parametrów, na które można wpływać. Na przykład zmieniając reżim cieplny w spichlerzu można postawić sobie za cel dobranie takiego reżimu, aby osiągnąć maksymalne zachowanie ziarna, tj. zoptymalizować proces przechowywania.
Modele wielokryterialne. Często konieczna jest optymalizacja procesu w kilku parametrach jednocześnie, a cele mogą być bardzo sprzeczne. Na przykład znając ceny żywności i zapotrzebowanie człowieka na żywność, należy organizować posiłki dla dużych grup ludzi (w wojsku, na koloniach dziecięcych itp.) fizjologicznie prawidłowo, a przy tym jak najtaniej. Jasne jest, że cele te wcale się nie pokrywają; podczas modelowania zostanie zastosowanych kilka kryteriów, między którymi należy szukać równowagi.
Modele gier może wiązać się nie tylko z grami komputerowymi, ale także z bardzo poważnymi sprawami. Na przykład przed bitwą, w obliczu niepełnych informacji o przeciwnej armii, dowódca musi opracować plan: w jakiej kolejności wprowadzić określone jednostki do bitwy itp., biorąc pod uwagę możliwą reakcję wroga. Istnieje specjalny dział współczesnej matematyki – teoria gier – który bada metody podejmowania decyzji w warunkach niepełnej informacji.
Na szkolnym kursie informatyki studenci w ramach kursu podstawowego otrzymują wstępną ideę komputerowego modelowania matematycznego. W szkole średniej modelowanie matematyczne można dogłębnie studiować w ramach ogólnego kursu kształcenia na zajęciach z fizyki i matematyki, a także w ramach specjalistycznych zajęć fakultatywnych.
Głównymi formami nauczania komputerowego modelowania matematycznego w liceum są wykłady, ćwiczenia laboratoryjne i zaliczeniowe. Zazwyczaj praca nad stworzeniem i przygotowaniem do badania każdego nowego modelu zajmuje 3-4 lekcje. W trakcie prezentacji materiału ustalane są zadania, które w przyszłości studenci powinni rozwiązywać samodzielnie, ogólnie nakreśla się sposoby ich rozwiązywania. Formułowane są pytania, na które odpowiedzi należy uzyskać podczas wykonywania zadań. Wskazana jest dodatkowa literatura, która pozwala na uzyskanie informacji pomocniczych dla skuteczniejszego wykonania zadań.
Formą organizacji zajęć z opracowania nowego materiału jest zwykle wykład. Po zakończeniu dyskusji nad kolejnym modelem studenci mają do dyspozycji niezbędne informacje teoretyczne oraz zestaw zadań do dalszej pracy. Przygotowując się do zadania, studenci wybierają odpowiednią metodę rozwiązania, wykorzystując znane, prywatne rozwiązanie, testują opracowany program. W przypadku całkiem możliwych trudności w realizacji zadań udzielana jest konsultacja, proponuje się bardziej szczegółowe opracowanie tych rozdziałów w literaturze.
Najbardziej istotna dla praktycznej części nauczania modelowania komputerowego jest metoda projektów. Zadanie formułowane jest dla ucznia w formie projektu edukacyjnego i realizowane jest na kilku lekcjach, a główną formą organizacyjną w tym przypadku jest praca w laboratorium komputerowym. Nauka modelowania metodą projektów edukacyjnych może być wdrażana na różnych poziomach. Pierwsza to zestawienie problemu z procesem realizacji projektu, którym kieruje nauczyciel. Druga to realizacja projektu przez uczniów pod kierunkiem nauczyciela. Trzeci to samodzielna realizacja przez studentów edukacyjnego projektu badawczego.
Wyniki pracy należy przedstawić w postaci liczbowej, w postaci wykresów, diagramów. Jeśli to możliwe, proces jest prezentowany na ekranie komputera w sposób dynamiczny. Po zakończeniu obliczeń i otrzymaniu wyników są one analizowane, porównywane ze znanymi faktami z teorii, potwierdzana jest wiarygodność i dokonywana jest miarodajna interpretacja, która jest następnie odzwierciedlana w pisemnym raporcie.
Jeśli wyniki zadowalają ucznia i nauczyciela, to praca liczy się zakończony, a jego ostatnim etapem jest przygotowanie raportu. Raport zawiera krótkie informacje teoretyczne na badany temat, matematyczne sformułowanie problemu, algorytm rozwiązania i jego uzasadnienie, program komputerowy, wyniki programu, analizę wyników i wnioski, spis literatury.
Po sporządzeniu wszystkich raportów, na sesji testowej uczniowie sporządzają krótkie sprawozdania z wykonanej pracy, broniąc swojego projektu. Jest to efektywna forma raportu zespołu projektowego na zajęcia, w tym postawienie problemu, zbudowanie formalnego modelu, wybór metod pracy z modelem, implementacja modelu na komputerze, praca z gotowym modelem, interpretacja wyników, prognozowanie. W efekcie studenci mogą otrzymać dwie oceny: pierwsza dotyczy opracowania projektu i powodzenia jego obrony, druga dotyczy programu, optymalności jego algorytmu, interfejsu itp. Studenci otrzymują również oceny z ankiet teoretycznych.
Istotnym pytaniem jest, jakich narzędzi użyć na szkolnym kursie informatyki do modelowania matematycznego? Komputerową implementację modeli można przeprowadzić:
Na poziomie szkoły podstawowej preferowane wydaje się pierwsze rozwiązanie. Jednak w szkole średniej, gdy programowanie jest obok modelowania kluczowym tematem informatyki, pożądane jest włączenie go jako narzędzia do modelowania. W procesie programowania szczegóły procedur matematycznych stają się dostępne dla studentów; co więcej, są po prostu zmuszeni je opanować, a to również przyczynia się do edukacji matematycznej. Jeśli chodzi o korzystanie ze specjalnych pakietów oprogramowania, jest to odpowiednie w profilu informatyki jako uzupełnienie innych narzędzi.
Ćwiczenie :
