Od połowy XX wieku. w różnych dziedzinach ludzkiej działalności zaczęto szeroko stosować metody matematyczne i komputery. Pojawiły się nowe dyscypliny, takie jak „ekonomia matematyczna”, „chemia matematyczna”, „językoznawstwo matematyczne” itp., które zajmują się badaniem modeli matematycznych odpowiednich obiektów i zjawisk, a także metod badania tych modeli.
Model matematyczny to przybliżony opis dowolnej klasy zjawisk lub obiektów świata rzeczywistego w języku matematyki. Głównym celem modelowania jest badanie tych obiektów i przewidywanie wyników przyszłych obserwacji. Modelowanie jest jednak również metodą poznawania otaczającego świata, co pozwala na jego kontrolowanie.
Modelowanie matematyczne i związany z nim eksperyment komputerowy są niezbędne w przypadkach, gdy eksperyment na pełną skalę jest z tego czy innego powodu niemożliwy lub trudny. Na przykład niemożliwe jest zorganizowanie eksperymentu na pełną skalę w historii, aby sprawdzić „co by się stało, gdyby...”. Nie można sprawdzić poprawności tej lub innej teorii kosmologicznej. W zasadzie możliwe jest, ale mało rozsądne, eksperymentowanie z rozprzestrzenianiem się jakiejś choroby, takiej jak dżuma, lub przeprowadzenie wybuchu jądrowego w celu zbadania jego konsekwencji. Wszystko to można jednak zrobić na komputerze, mając wcześniej zbudowane modele matematyczne badanych zjawisk.
1) Budowa modelu. Na tym etapie określany jest jakiś „niematematyczny” obiekt – zjawisko naturalne, konstrukcja, plan gospodarczy, proces produkcyjny itp. W tym przypadku z reguły trudno jest jednoznacznie opisać sytuację. W pierwszej kolejności identyfikuje się główne cechy zjawiska i relacje między nimi na poziomie jakościowym. Następnie znalezione zależności jakościowe formułuje się w języku matematyki, czyli konstruuje model matematyczny. To najtrudniejsza część modelowania.
2) Rozwiązanie problemu matematycznego, do którego prowadzi model. Na tym etapie wiele uwagi poświęca się opracowaniu algorytmów i metod numerycznych rozwiązywania problemu na komputerze, za pomocą których można znaleźć wynik z wymaganą dokładnością iw dopuszczalnym czasie.
3) Interpretacja uzyskanych konsekwencji z modelu matematycznego. Konsekwencje wyprowadzone z modelu w języku matematyki są interpretowane w języku przyjętym w tej dziedzinie.
4) Sprawdzenie adekwatności modelu. Na tym etapie stwierdza się, czy wyniki eksperymentu zgadzają się z teoretycznymi konsekwencjami modelu z pewną dokładnością.
5) Modyfikacja modelu. Na tym etapie albo model staje się bardziej złożony, aby był bardziej adekwatny do rzeczywistości, albo ulega uproszczeniu w celu uzyskania praktycznie akceptowalnego rozwiązania.
Modele można klasyfikować według różnych kryteriów. Na przykład, w zależności od charakteru rozwiązywanych problemów, modele można podzielić na funkcjonalne i strukturalne. W pierwszym przypadku wszystkie wielkości charakteryzujące zjawisko lub obiekt są wyrażone ilościowo. Jednocześnie niektóre z nich są uważane za zmienne niezależne, podczas gdy inne są uważane za funkcje tych wielkości. Model matematyczny jest zwykle układem równań różnych typów (różniczkowych, algebraicznych itp.), które ustalają relacje ilościowe między rozważanymi wielkościami. W drugim przypadku model charakteryzuje strukturę złożonego obiektu, składającego się z oddzielnych części, pomiędzy którymi istnieją pewne połączenia. Zazwyczaj te zależności nie są wymierne. Do budowy takich modeli wygodnie jest wykorzystać teorię grafów. Wykres to obiekt matematyczny, który jest zbiorem punktów (wierzchołków) na płaszczyźnie lub w przestrzeni, z których niektóre są połączone liniami (krawędziami).
W zależności od charakteru danych wyjściowych i wyników predykcji modele można podzielić na deterministyczne i probabilistyczno-statystyczne. Modele pierwszego typu dają określone, jednoznaczne przewidywania. Modele drugiego typu opierają się na informacjach statystycznych, a uzyskane za ich pomocą predykcje mają charakter probabilistyczny.
1) Problemy z ruchem pocisku.
Rozważ następujący problem w mechanice.
Pocisk wystrzeliwany jest z Ziemi z prędkością początkową v 0 = 30 m/s pod kątem a = 45° do jej powierzchni; wymagane jest znalezienie trajektorii jego ruchu oraz odległości S między punktem początkowym i końcowym tej trajektorii.
Wtedy, jak wiadomo ze szkolnego kursu fizyki, ruch pocisku jest opisany wzorami:
gdzie t - czas, g = 10 m / s 2 - przyspieszenie swobodnego spadania. Wzory te dają matematyczny model zadania. Wyrażając t jako x z pierwszego równania i podstawiając je do drugiego, otrzymujemy równanie trajektorii pocisku:
Ta krzywa (parabola) przecina oś x w dwóch punktach: x 1 \u003d 0 (początek trajektorii) i 
(miejsce, w którym spadł pocisk). Podstawiając podane wartości v0 i a do otrzymanych wzorów otrzymujemy
odpowiedź: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.
Należy zauważyć, że przy konstrukcji tego modelu zastosowano szereg założeń: na przykład zakłada się, że Ziemia jest płaska, a powietrze i obrót Ziemi nie mają wpływu na ruch pocisku.
2) Problem zbiornika o najmniejszej powierzchni.
Należy wyznaczyć wysokość h 0 i promień r 0 zbiornika blaszanego o objętości V = 30 m 3, mającego kształt zamkniętego okrągłego walca, przy którym jego powierzchnia S jest minimalna (w tym przypadku najmniejsza do jego wytworzenia zostanie zużyta ilość cyny).
Piszemy następujące wzory na objętość i powierzchnię walca o wysokości h i promieniu r:
V = p r 2 h, S = 2 p r(r + h).
Wyrażając h w kategoriach r i V z pierwszego wzoru i podstawiając wynikowe wyrażenie do drugiego, otrzymujemy:
Zatem z matematycznego punktu widzenia problem sprowadza się do wyznaczenia wartości r, przy której funkcja S(r) osiąga swoje minimum. Znajdźmy te wartości r 0, dla których pochodna
idzie do zera: 
Możesz sprawdzić, czy druga pochodna funkcji S(r) zmienia znak z minus na plus, gdy argument r przechodzi przez punkt r 0 . Dlatego funkcja S(r) ma minimum w punkcie r0. Odpowiednia wartość h 0 = 2r 0 . Podstawiając podaną wartość V do wyrażenia na r 0 i h 0, otrzymujemy żądany promień 
i wzrost 
3) Zadanie transportowe.
W mieście znajdują się dwa magazyny mąki i dwie piekarnie. Codziennie z pierwszego magazynu eksportuje się 50 ton mąki, z drugiego 70 ton do fabryk, z czego 40 ton do pierwszego i 80 ton do drugiego.
Oznacz przez a ij to koszt transportu 1 tony mąki z i-tego magazynu do j-tego zakładu (i, j = 1,2). Zostawiać
a 11 \u003d 1,2 pkt, a 12 \u003d 1,6 pkt., a 21 \u003d 0,8 p., a 22 = 1 pkt.
Jak zaplanować transport, aby jego koszt był minimalny?
Dajmy problemowi matematyczne sformułowanie. Przez x 1 i x 2 oznaczamy ilość mąki, jaka musi być przetransportowana z pierwszego magazynu do pierwszej i drugiej fabryki, a przez x 3 i x 4 - odpowiednio z drugiego magazynu do pierwszej i drugiej fabryki. Następnie:
x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)
Całkowity koszt całego transportu określa wzór
f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.
Z matematycznego punktu widzenia zadaniem jest znalezienie czterech liczb x 1 , x 2 , x 3 i x 4 , które spełniają wszystkie podane warunki i dają minimum funkcji f . Rozwiążmy układ równań (1) względem xi (i = 1, 2, 3, 4) metodą eliminacji niewiadomych. Rozumiemy to
x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)
a x 4 nie mogą być jednoznacznie określone. Ponieważ x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), z równań (2) wynika, że 30J x 4 J 70. Podstawiając wyrażenie na x 1 , x 2 , x 3 do wzoru na f, otrzymujemy
f \u003d 148 - 0,2x 4.
Łatwo zauważyć, że minimum tej funkcji osiąga się przy maksymalnej możliwej wartości x 4, czyli przy x 4 = 70. Odpowiednie wartości innych niewiadomych określają wzory (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.
4) Problem rozpadu promieniotwórczego.
Niech N(0) będzie początkową liczbą atomów substancji promieniotwórczej, a N(t) będzie liczbą nierozłożonych atomów w czasie t. Ustalono eksperymentalnie, że szybkość zmiany liczby tych atomów N „(t) jest proporcjonalna do N (t), to znaczy N” (t) \u003d -l N (t), l > 0 jest stała radioaktywności danej substancji. W szkolnym toku analizy matematycznej okazuje się, że rozwiązanie tego równania różniczkowego ma postać N(t) = N(0)e –l t . Czas T, w którym liczba początkowych atomów zmniejszyła się o połowę, nazywany jest okresem półtrwania i jest ważną cechą radioaktywności substancji. Aby wyznaczyć T, należy wpisać wzór 
Następnie 
Na przykład dla radonu l = 2,084 10–6, a więc T = 3,15 dnia.
5) Problem komiwojażera.
Komiwojażer mieszkający w mieście A 1 musi odwiedzić miasta A 2 , A 3 i A 4 , każde miasto dokładnie raz , a następnie wrócić z powrotem do A 1 . Wiadomo, że wszystkie miasta są połączone parami drogami, a długości dróg b ij pomiędzy miastami A i i A j (i, j = 1, 2, 3, 4) są następujące:
b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.
Konieczne jest ustalenie kolejności odwiedzania miast, w których długość odpowiedniej ścieżki jest minimalna.
Przedstawmy każde miasto jako punkt na płaszczyźnie i oznaczmy odpowiednią etykietą Ai (i = 1, 2, 3, 4). Połączmy te punkty odcinkami linii: będą przedstawiać drogi między miastami. Dla każdej „drogi” podajemy jej długość w kilometrach (ryc. 2). Rezultatem jest graf - obiekt matematyczny składający się z pewnego zbioru punktów na płaszczyźnie (zwanych wierzchołkami) i pewnego zbioru linii łączących te punkty (zwanych krawędziami). Ponadto graf ten jest opatrzony etykietami, ponieważ do jego wierzchołków i krawędzi przypisane są niektóre etykiety - liczby (krawędzie) lub symbole (wierzchołki). Cykl na wykresie to ciąg wierzchołków V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 taki, że wierzchołki V 1 , ..., V k są różne i dowolna para wierzchołków V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) oraz para V 1 , V k są połączone krawędzią. Zatem rozważanym problemem jest znalezienie takiego cyklu na grafie przechodzącym przez wszystkie cztery wierzchołki, dla których suma wszystkich wag krawędzi jest minimalna. Przeszukajmy wszystkie różne cykle przechodzące przez cztery wierzchołki i zaczynające się od A 1:
1) Za 1, Za 4, Za 3, Za 2, Za 1;
2) Za 1, Za 3, Za 2, Za 4, Za 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .
Teraz znajdźmy długości tych cykli (w km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Zatem trasa o najmniejszej długości jest pierwszą.
Zwróć uwagę, że jeśli w grafie jest n wierzchołków i wszystkie są połączone parami krawędziami (taki graf nazywamy kompletnym), to liczba cykli przechodzących przez wszystkie wierzchołki jest równa.Dlatego w naszym przypadku są dokładnie trzy cykle .
6) Problem znalezienia związku między strukturą a właściwościami substancji.
Rozważ kilka związków chemicznych zwanych normalnymi alkanami. Składają się z n atomów węgla i n + 2 atomów wodoru (n = 1, 2 ...), połączonych ze sobą, jak pokazano na rysunku 3 dla n = 3. Niech będą znane eksperymentalne wartości temperatur wrzenia tych związków:
y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69 °.
Wymagane jest znalezienie przybliżonej zależności między temperaturą wrzenia a liczbą n dla tych związków. Zakładamy, że ta zależność ma postać
r » a n+b
gdzie a, b - stałe do ustalenia. Za znalezienie a i b podstawiamy do tego wzoru kolejno n = 3, 4, 5, 6 i odpowiednie wartości punktów wrzenia. Mamy:
– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.
Aby określić najlepsze a oraz b istnieje wiele różnych metod. Użyjmy najprostszego z nich. Wyrażamy b w kategoriach a z tych równań:
b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.
Przyjmijmy jako pożądane b średnią arytmetyczną tych wartości, czyli postawimy b » 16 - 4,5 a. Wstawmy tę wartość b do pierwotnego układu równań i obliczając a, dostajemy za a następujące wartości: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 aśrednia wartość tych liczb, czyli stawiamy a» 34. Zatem pożądane równanie ma postać
y » 34n – 139.
Sprawdźmy dokładność modelu na początkowych czterech związkach, dla których obliczamy temperaturę wrzenia korzystając z otrzymanego wzoru:
y r (3) = – 37°, r r (4) = – 3°, r r (5) = 31°, r r (6) = 65°.
Zatem błąd obliczeniowy tej właściwości dla tych związków nie przekracza 5°. Otrzymane równanie wykorzystujemy do obliczenia temperatury wrzenia związku o n = 7, który nie jest zawarty w zbiorze początkowym, dla którego podstawiamy n = 7 do tego równania: y р (7) = 99°. Wynik okazał się dość dokładny: wiadomo, że doświadczalna wartość temperatury wrzenia y e (7) = 98°.
7) Problem wyznaczania niezawodności obwodu elektrycznego.
Rozważamy tutaj przykład modelu probabilistycznego. Najpierw podajmy trochę informacji z teorii prawdopodobieństwa - dyscypliny matematycznej, która bada wzorce zjawisk losowych obserwowanych podczas wielokrotnego powtarzania eksperymentu. Nazwijmy zdarzenie losowe A możliwym wynikiem jakiegoś doświadczenia. Zdarzenia A 1 , ..., A k tworzą kompletną grupę, jeśli jedno z nich koniecznie występuje w wyniku eksperymentu. Zdarzenia nazywane są niekompatybilnymi, jeśli nie mogą wystąpić jednocześnie w tym samym doświadczeniu. Niech zdarzenie A wystąpi m razy podczas n-krotnego powtórzenia doświadczenia. Częstotliwość zdarzenia A to liczba W = . Oczywiście wartości W nie można dokładnie przewidzieć, dopóki nie zostanie przeprowadzona seria n eksperymentów. Charakter zdarzeń losowych jest jednak taki, że w praktyce czasami obserwuje się następujący efekt: wraz ze wzrostem liczby eksperymentów wartość praktycznie przestaje być losowa i stabilizuje się wokół jakiejś nielosowej liczby P(A), zwanej prawdopodobieństwo zdarzenia A. Dla zdarzenia niemożliwego (które nigdy nie występuje w eksperymencie) P(A)=0, a dla pewnego zdarzenia (które zawsze występuje w eksperymencie) P(A)=1. Jeżeli zdarzenia A 1 , ..., A k tworzą kompletną grupę niezgodnych zdarzeń, to P(A 1)+...+P(A k)=1.
Niech na przykład doświadczenie polega na rzuceniu kostką i obserwowaniu liczby upuszczonych punktów X. Następnie możemy wprowadzić następujące zdarzenia losowe A i =(X = i), i = 1,...,6. kompletna grupa niekompatybilnych, jednakowo prawdopodobnych zdarzeń, stąd P(A i) = (i = 1, ..., 6).
Suma zdarzeń A i B to zdarzenie A+B, które polega na tym, że przynajmniej jedno z nich występuje w eksperymencie. Iloczynem zdarzeń A i B jest zdarzenie AB, które polega na jednoczesnym wystąpieniu tych zdarzeń. Dla zdarzeń niezależnych A i B wzory są prawdziwe
P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).
8) Rozważ teraz następujące: zadanie. Załóżmy, że trzy elementy są połączone szeregowo w obwód elektryczny, pracując niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo uszkodzenia pierwszego, drugiego i trzeciego elementu wynosi odpowiednio P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Uznamy obwód za niezawodny, jeśli prawdopodobieństwo, że w obwodzie nie będzie prądu, nie będzie większe niż 0,4. Wymagane jest określenie, czy dany łańcuch jest niezawodny.
Ponieważ elementy są połączone szeregowo, w obwodzie nie będzie prądu (zdarzenie A), jeśli przynajmniej jeden z elementów ulegnie awarii. Niech A i będzie zdarzeniem, w którym działa i-ty element (i = 1, 2, 3). Wtedy P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Oczywiście A 1 A 2 A 3 jest zdarzeniem, w którym wszystkie trzy elementy działają jednocześnie i
P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.
Wtedy P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, więc P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.
Podsumowując, zauważamy, że powyższe przykłady modeli matematycznych (wśród których są funkcjonalne i strukturalne, deterministyczne i probabilistyczne) mają charakter ilustracyjny i oczywiście nie wyczerpują całej różnorodności modeli matematycznych, które powstają w naukach przyrodniczych i humanistycznych.
W zgłoszonym artykule przedstawiamy przykłady modeli matematycznych. Ponadto zwrócimy uwagę na etapy tworzenia modeli oraz przeanalizujemy niektóre problemy związane z modelowaniem matematycznym.
Kolejnym naszym zagadnieniem są modele matematyczne w ekonomii, których przykłady omówimy nieco później. Proponujemy rozpocząć naszą rozmowę od samego pojęcia „modeli”, krótko przyjrzeć się ich klasyfikacji i przejść do naszych głównych pytań.
Często słyszymy słowo „model”. Co to jest? Termin ten ma wiele definicji, oto tylko trzy z nich:
Na podstawie wszystkiego, co zostało powiedziane wcześniej, możemy wyciągnąć mały wniosek: model pozwala szczegółowo przestudiować złożony system lub obiekt.
Wszystkie modele można sklasyfikować według kilku kryteriów:
Z kolei modele informacyjne dzielą się na znakowe i werbalne. I kultowy - na komputerze i poza komputerem. Przejdźmy teraz do szczegółowego rozważenia przykładów modelu matematycznego.
Jak można się domyślić, model matematyczny odzwierciedla niektóre cechy obiektu lub zjawiska za pomocą specjalnych symboli matematycznych. Matematyka jest potrzebna do modelowania praw świata we własnym specyficznym języku.
Metoda modelowania matematycznego powstała dość dawno temu, tysiące lat temu, wraz z pojawieniem się tej nauki. Impulsem do rozwoju tej metody modelowania było jednak pojawienie się komputerów (komputerów elektronicznych).
Przejdźmy teraz do klasyfikacji. Można to również przeprowadzić według niektórych znaków. Przedstawiono je w poniższej tabeli.
Proponujemy zatrzymać się i przyjrzeć się tej ostatniej klasyfikacji, ponieważ odzwierciedla ona ogólne wzorce modelowania i cele tworzonych modeli.
W tym rozdziale proponujemy bardziej szczegółowo omówić opisowe modele matematyczne. Aby wszystko było bardzo jasne, zostanie podany przykład.
Po pierwsze, pogląd ten można nazwać opisowym. Wynika to z tego, że po prostu robimy obliczenia i prognozy, ale nie możemy w żaden sposób wpłynąć na wynik zdarzenia.
Uderzającym przykładem opisowego modelu matematycznego jest obliczenie toru lotu, prędkości, odległości od Ziemi komety, która najechała przestrzeń naszego Układu Słonecznego. Model ten ma charakter opisowy, ponieważ wszystkie uzyskane wyniki mogą nas jedynie ostrzec przed jakimś niebezpieczeństwem. Niestety nie mamy wpływu na wynik wydarzenia. Jednak na podstawie uzyskanych obliczeń możliwe jest podjęcie wszelkich działań w celu zachowania życia na Ziemi.
Teraz porozmawiamy trochę o modelach ekonomicznych i matematycznych, których przykładami mogą być różne sytuacje. W tym przypadku mówimy o modelach, które pomagają znaleźć właściwą odpowiedź w określonych warunkach. Muszą mieć jakieś parametry. Aby było to bardzo jasne, rozważ przykład z części agrarnej.
Mamy spichlerz, ale ziarno bardzo szybko się psuje. W takim przypadku musimy dobrać odpowiedni reżim temperaturowy i zoptymalizować proces przechowywania.
W ten sposób możemy zdefiniować pojęcie „modelu optymalizacji”. W sensie matematycznym jest to układ równań (zarówno liniowych, jak i nie), którego rozwiązanie pomaga znaleźć optymalne rozwiązanie w określonej sytuacji ekonomicznej. Rozważaliśmy przykład modelu matematycznego (optymalizacji), ale dodam jeszcze jedno: ten typ należy do klasy problemów ekstremalnych, pomagają opisać funkcjonowanie systemu gospodarczego.
Zwracamy uwagę na jeszcze jeden niuans: modele mogą mieć inny charakter (patrz tabela poniżej).
Teraz zapraszamy do porozmawiania trochę o modelu matematycznym optymalizacji wielokryterialnej. Wcześniej podaliśmy przykład matematycznego modelu optymalizacji procesu według dowolnego kryterium, ale co jeśli jest ich dużo?
Uderzającym przykładem zadania wielokryterialnego jest organizacja prawidłowego, zdrowego i jednocześnie ekonomicznego żywienia dużych grup ludzi. Takie zadania często spotyka się w wojsku, stołówkach szkolnych, obozach letnich, szpitalach i tak dalej.
Jakie kryteria są nam dane w tym zadaniu?
Jak widać, cele te wcale się nie pokrywają. Oznacza to, że przy rozwiązywaniu problemu należy szukać optymalnego rozwiązania, równowagi między tymi dwoma kryteriami.
Mówiąc o modelach gier, konieczne jest zrozumienie pojęcia „teorii gier”. Mówiąc najprościej, modele te odzwierciedlają matematyczne modele rzeczywistych konfliktów. Warto tylko zrozumieć, że w przeciwieństwie do prawdziwego konfliktu, matematyczny model gry ma swoje specyficzne reguły.
Teraz podam minimum informacji z teorii gier, które pomogą Ci zrozumieć, czym jest model gry. I tak w modelu koniecznie są partie (dwie lub więcej), które zwykle nazywa się graczami.
Wszystkie modele mają pewne cechy.
Model gry może być sparowany lub wielokrotny. Jeśli mamy dwa tematy, to konflikt jest sparowany, jeśli więcej - wielokrotny. Można również wyróżnić grę antagonistyczną, nazywaną też grą o sumie zerowej. Jest to model, w którym zysk jednego z uczestników równa się utracie drugiego.
W tej części skupimy się na symulacyjnych modelach matematycznych. Przykładowe zadania to:
W tym przypadku mówimy o modelach, które są jak najbardziej zbliżone do rzeczywistych procesów. Ogólnie rzecz biorąc, imitują każdą manifestację w naturze. W pierwszym przypadku możemy na przykład modelować dynamikę liczebności mrówek w jednej kolonii. W takim przypadku możesz obserwować losy każdej osoby. W tym przypadku opis matematyczny jest rzadko używany, częściej pojawiają się warunki pisemne:
Są więc używane do opisu dużego systemu. Wnioskiem matematycznym jest przetwarzanie otrzymanych danych statystycznych.
Bardzo ważne jest, aby wiedzieć, że istnieją pewne wymagania dla tego typu modelu, między innymi te podane w poniższej tabeli.
Wszechstronność | Ta właściwość pozwala na użycie tego samego modelu podczas opisywania grup obiektów tego samego typu. Należy zauważyć, że uniwersalne modele matematyczne są całkowicie niezależne od fizycznej natury badanego obiektu. |
Adekwatność | Tutaj ważne jest, aby zrozumieć, że ta właściwość pozwala na najbardziej poprawną reprodukcję rzeczywistych procesów. W problemach eksploatacyjnych ta właściwość modelowania matematycznego jest bardzo ważna. Przykładem modelu jest proces optymalizacji wykorzystania instalacji gazowej. W tym przypadku porównuje się wyliczone i rzeczywiste wskaźniki, w wyniku czego sprawdzana jest poprawność opracowanego modelu. |
Precyzja | Wymóg ten implikuje zbieżność wartości, które uzyskujemy przy obliczaniu modelu matematycznego i parametrów wejściowych naszego obiektu rzeczywistego |
gospodarka | Wymóg ekonomii każdego modelu matematycznego charakteryzuje się kosztami wdrożenia. Jeżeli praca z modelem prowadzona jest ręcznie, to należy obliczyć, ile czasu zajmie rozwiązanie jednego zadania za pomocą tego modelu matematycznego. Jeśli mówimy o projektowaniu wspomaganym komputerowo, to obliczane są wskaźniki czasu i pamięci komputera |
W sumie zwyczajowo wyróżnia się cztery etapy modelowania matematycznego.
W tej sekcji pokrótce naświetlimy tę kwestię Przykładami zadań mogą być:
Model ekonomiczno-matematyczny przedstawia abstrakcję ekonomiczną wyrażoną za pomocą terminów i znaków matematycznych.
Przykładami komputerowego modelu matematycznego są:
Model komputerowy to obraz obiektu lub systemu, przedstawiony jako:
Jednocześnie model ten odzwierciedla strukturę i połączenia systemu.
Mówiliśmy już o tym, czym jest model ekonomiczno-matematyczny. Przykład rozwiązania problemu zostanie rozważony w tej chwili. Musimy przeanalizować program produkcyjny, aby zidentyfikować rezerwę na zwiększenie zysków przy zmianie asortymentu.
Nie zajmiemy się w pełni problemem, a jedynie zbudujemy model ekonomiczny i matematyczny. Kryterium naszego zadania jest maksymalizacja zysku. Wtedy funkcja ma postać: Л=р1*х1+р2*х2… dążąca do maksimum. W tym modelu p to zysk na jednostkę, x to liczba wyprodukowanych jednostek. Ponadto w oparciu o zbudowany model należy dokonać obliczeń i podsumować.
Zadanie. Rybak wrócił z następującym połowem:
Ile ryb kupił w sklepie?
Tak więc przykład budowy modelu matematycznego tego problemu jest następujący. Całkowitą liczbę ryb oznaczamy jako x. Zgodnie z warunkiem 0,2x to liczba ryb żyjących na południowych szerokościach geograficznych. Teraz łączymy wszystkie dostępne informacje i otrzymujemy matematyczny model problemu: x=0,2x+8. Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy odpowiedź na główne pytanie: kupił w sklepie 10 ryb.
Aby zbudować model matematyczny, potrzebujesz:
Modelowanie matematyczne, poza badaniem obiektu, procesu lub systemu i sporządzaniem ich opisu matematycznego, obejmuje również:
Opis matematyczny badanych procesów i systemów zależy od:
Budowa modelu matematycznego zwykle rozpoczyna się od budowy i analizy najprostszego, najbardziej przybliżonego modelu matematycznego rozważanego obiektu, procesu lub systemu. W przyszłości, jeśli to konieczne, model zostanie dopracowany, jego korespondencja z obiektem zostanie uzupełniona.
Weźmy prosty przykład. Musisz określić powierzchnię biurka. Zwykle w tym celu mierzy się jego długość i szerokość, a następnie mnoży otrzymane liczby. Taka elementarna procedura oznacza w istocie, co następuje: rzeczywisty obiekt (powierzchnia stołu) zostaje zastąpiony abstrakcyjnym modelem matematycznym – prostokątem. Wymiary uzyskane w wyniku pomiaru długości i szerokości powierzchni stołu są przypisywane prostokątowi, a obszar takiego prostokąta jest w przybliżeniu przyjmowany jako pożądany obszar stołu. Jednak model prostokątny na biurko jest najprostszym, najbardziej surowym modelem. Przy poważniejszym podejściu do problemu, przed zastosowaniem modelu prostokąta do wyznaczenia powierzchni stołu, należy ten model sprawdzić. Kontrole można przeprowadzić w następujący sposób: zmierzyć długości przeciwległych boków stołu, a także długości jego przekątnych i porównać je ze sobą. Jeżeli z wymaganym stopniem dokładności długości przeciwległych boków i długości przekątnych są równe parami, to powierzchnię stołu można rzeczywiście uznać za prostokąt. W przeciwnym razie model prostokątny będzie musiał zostać odrzucony i zastąpiony ogólnym modelem czworobocznym. Przy wyższych wymaganiach dotyczących dokładności może być konieczne dalsze dopracowanie modelu, na przykład w celu uwzględnienia zaokrąglenia rogów stołu.
Za pomocą tego prostego przykładu pokazano, że model matematyczny nie jest jednoznacznie określony przez badany obiekt, proces lub system.
LUB (do potwierdzenia jutro)
Sposoby rozwiązania mat. Modele:
1, Konstrukcja m. na podstawie praw natury (metoda analityczna)
2. Formalny sposób za pomocą statystyki. Przetwarzanie i wyniki pomiarów (podejście statystyczne)
3. Budowa licznika na podstawie modelu elementów (układy złożone)
1, Analityczny - użyj z wystarczającym badaniem. Znana ogólna prawidłowość. modele.
2. eksperyment. W przypadku braku informacji
3. Imitacja m. – bada właściwości obiektu św. Ogólnie.
Przykład budowy modelu matematycznego.
Model matematyczny jest matematyczną reprezentacją rzeczywistości.
Modelowanie matematyczne to proces konstruowania i badania modeli matematycznych.
Wszystkie nauki przyrodnicze i społeczne posługujące się aparatem matematycznym w rzeczywistości zajmują się modelowaniem matematycznym: zastępują obiekt jego modelem matematycznym, a następnie go badają. Połączenie modelu matematycznego z rzeczywistością odbywa się za pomocą łańcucha hipotez, idealizacji i uproszczeń. Za pomocą metod matematycznych z reguły opisuje się idealny obiekt, budowany na etapie sensownego modelowania.
Dlaczego potrzebne są modele?
Bardzo często podczas badania obiektu pojawiają się trudności. Sam oryginał jest czasem niedostępny, jego użycie nie jest wskazane lub zaangażowanie oryginału jest kosztowne. Wszystkie te problemy można rozwiązać za pomocą symulacji. Model w pewnym sensie może zastąpić badany obiekt.
Najprostsze przykłady modeli
§ Fotografię można nazwać modelem osoby. Aby rozpoznać osobę, wystarczy zobaczyć jego zdjęcie.
§ Architekt stworzył układ nowej dzielnicy mieszkalnej. Jednym ruchem ręki może przenieść wieżowiec z jednej części do drugiej. W rzeczywistości nie byłoby to możliwe.
Typy modeli
Modele można podzielić na materiał" I ideał. powyższe przykłady to modele materiałowe. Idealne modele często mają kultowy kształt. Jednocześnie prawdziwe koncepcje zastępowane są pewnymi znakami, które można łatwo utrwalić na papierze, w pamięci komputera itp.
Modelowanie matematyczne
Modelowanie matematyczne należy do klasy modelowania znaków. Jednocześnie modele można tworzyć z dowolnych obiektów matematycznych: liczb, funkcji, równań itp.
Budowanie modelu matematycznego
§ Istnieje kilka etapów konstruowania modelu matematycznego:
1. Zrozumienie zadania, podkreślenie najważniejszych dla nas cech, właściwości, wartości i parametrów.
2. Wprowadzenie notacji.
3. Opracowanie systemu ograniczeń, jakie muszą spełniać wprowadzone wartości.
4. Formułowanie i rejestrowanie warunków, jakie musi spełniać pożądane rozwiązanie optymalne.
Proces modelowania nie kończy się na kompilacji modelu, a dopiero na nim się zaczyna. Po skompilowaniu modelu wybierają metodę znalezienia odpowiedzi, rozwiązują problem. po znalezieniu odpowiedzi porównaj ją z rzeczywistością. I jest możliwe, że odpowiedź nie jest satysfakcjonująca, w takim przypadku model jest modyfikowany lub nawet wybierany jest zupełnie inny model.
Przykład modelu matematycznego
Zadanie
Związek produkcyjny, w skład którego wchodzą dwie fabryki mebli, musi unowocześnić swój park maszynowy. Ponadto pierwsza fabryka mebli musi wymienić trzy maszyny, a druga siedem. Zamówienia można składać w dwóch fabrykach obrabiarek. Pierwsza fabryka może wyprodukować nie więcej niż 6 maszyn, a druga przyjmie zamówienie, jeśli będzie ich co najmniej trzy. Wymagane jest określenie sposobu składania zamówień.
Cztery siódma klasa.
W 7A jest 15 dziewczynek i 13 chłopców,
w 7B - 12 dziewczynek i 12 chłopców,
w 7B - 9 dziewczynek i 18 chłopców,
w 7G - 20 dziewczynek i 10 chłopców.
Jeśli musimy odpowiedzieć na pytanie, ilu uczniów jest w każdej z klas siódmych, to będziemy musieli wykonać tę samą operację dodawania 4 razy:
w 7A 15 + 13 = 28 uczniów;
w 7B 12 +12 = 24 uczniów;
w 7B 9 + 18 = 27 uczniów;
w 7D 20 + 10 = 30 uczniów.
A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych
Treść lekcji podsumowanie lekcji wsparcie ramka prezentacja lekcji metody akceleracyjne technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia samokontrola warsztaty, szkolenia, case'y, questy praca domowa pytania do dyskusji pytania retoryczne od studentów Ilustracje audio, wideoklipy i multimedia fotografie, obrazki grafika, tabele, schematy humor, anegdoty, dowcipy, komiksy przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły chipy dla dociekliwych ściągawki podręczniki podstawowe i dodatkowe słowniczek pojęć inne Doskonalenie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu w podręczniku elementów innowacji na lekcji zastępując przestarzałą wiedzę nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarzowy na rok zalecenia metodyczne programu dyskusji Zintegrowane lekcjeZadania rozwiązywane metodami LP są bardzo zróżnicowane pod względem treści. Ale ich modele matematyczne są podobne i są warunkowo połączone w trzy duże grupy problemów:
Tabela 3.1
Pytania do samokontroli
1. Stwierdzenie problemu transportowego. opisać budowę modelu matematycznego.
2. Co to jest zrównoważony i niezrównoważony problem transportu?
3. Co oblicza się w funkcji celu zadania transportowego?
4. Co odzwierciedla każda nierówność systemu ograniczeń problemu planu?
5. Co odzwierciedla każda nierówność systemu więzów problemu mieszaniny?
6. Co oznaczają zmienne w zadaniu planu i zadaniu mieszanki?
