В 1774 г. Л. Эйлер показал, что если функция у(х) доставляет минимум линейному интегралу J = J [у (х), то она должна удовлетворять некоторым дифференциальным уравнениям, названным впоследствии уравнениями Эйлера. Открытие этого факта явилось важным достижением математического моделирования (построения математических моделей). Стало ясно, что одна и та же математическая модель может быть представлена в двух эквивалентных видах: в виде функционала или в виде дифференциального уравнения Эйлера (системы дифференциальных уравнений). В связи с этим замена дифференциального уравнения функционалом получила название обратной задачи вариационного исчисления. Таким образом, решение задачи на экстремум функционала можно рассматривать так же, как и решение соответствующего этому функционалу дифференциального уравнения Эйлера. Следовательно, математическая постановка одной и той же физической задачи может быть представлена либо в виде функционала с соответствующими граничными условиями (экстремум этого функционала доставляет решение физической задачи), либо в виде соответствующего этому функционалу дифференциального уравнения Эйлера с теми же граничными условиями (интегрирование этого уравнения доставляет решение поставленной задачи).

Широкому распространению вариационных методов в прикладных науках способствовало появление в 1908 г. публикации В. Ритца, связанной с методом минимизации функционалов, названным впоследствии методом Ритца. Этот метод считается классическим вариационным методом. Основная его идея заключается в том, что искомая функция у = у(х) у доставляющая функционалу (А) с граничными условиями у (а) = А, у(Ъ ) = В минимальное значение, разыскивается в виде ряда

где Cj (i = 0, гг) - неизвестные коэффициенты; (р/(д) (г = 0, п) - координатные функции (алгебраический или тригонометрический полипом).

Координатные функции находятся в таком виде, чтобы они точно удовлетворяли граничным условиям задачи.

Подставляя (с) в (А), после определения производных от функционалаJ по неизвестным С, (г = 0, гг) относительно последних получается система алгебраических линейных уравнений. После определения коэффициентов С, решение задачи в замкнутом виде находится из (с).

При использовании большого числа членов ряда (с) (п - 5 ? °о) в принципе можно получить решение требуемой точности. Однако, как показыва- ют расчеты конкретных задач, матрица коэффициентов С, (г = 0, п) представляет собой заполненную квадратную матрицу с большим разбросом коэффициентов по абсолютной величине. Такие матрицы близки к вырожденным и, как правило, являются плохо обусловленными. Это связано с тем, что они не удовлетворяют ни одному из условий, при которых матрицы могут быть хорошо обусловленными. Рассмотрим некоторые из этих условий.

• 1. Положительная определенность матрицы (члены, находящиеся на главной диагонали, должны быть положительными и максимальными).
• 2. Ленточный вид матрицы относительно главной диагонали при минимальной ширине ленты (коэффициенты матрицы, находящиеся вне ленты, равны нулю).
• 3. Симметричность матрицы относительно главной диагонали.

В связи с этим при увеличении приближений в методе Ритца число обусловленности матрицы, определяемое отношением ее максимального собственного числа к минимальному, устремляется к бесконечно большой величине. А точность получаемого при этом решения ввиду быстрого накопления ошибок округления при решении больших систем алгебраических линейных уравнений может не улучшаться, а ухудшаться.

Наряду с методом Ритца развивался родственный с ним метод Галерки- на. В 1913 г. И. Г. Бубнов установил, что алгебраические линейные уравнения относительно неизвестных С, (/ = 0, п ) из (с) можно получать, не используя функционал вида (А). Математическая постановка задачи в данном случае включает дифференциальное уравнение с соответствующими граничными условиями. Решение, как и в методе Ритца, принимается в виде (с). Благодаря особой конструкции координатных функций ф,(х) решение (с) точно удовлетворяет граничным условиям задачи. Для определения неизвестных коэффициентов С, (г = 0, п) составляется невязка дифференциального уравнения и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям ф 7 Сг) (/ = i = 0, п). Определяя получающиеся при этом интегралы, относительно неизвестных коэффициентов С, (г = 0, гг) получаем систему алгебраических линейных уравнений, которая полностью совпадает с системой аналогичных уравнений метода Ритца. Таким образом, при решении одних и тех же задач с использованием одинаковых систем координатных функций методы Ритца и Бубнова - Галеркина приводят к одинаковым результатам.

Несмотря на идентичность получаемых результатов, важным преимуществом метода Бубнова-Галеркина по сравнению с методом Ритца является то, что он не требует построения вариационного аналога (функционала) дифференциального уравнения. Отметим, что подобный аналог не всегда может быть построен. В связи с этим методом Бубнова-Галеркина могут быть решены задачи, для которых классические вариационные методы неприменимы.

Еще одним методом, относящимся к группе вариационных, является метод Канторовича . Его отличительным признаком является то, что в качестве неизвестных коэффициентов в линейных комбинациях вида (с) принимаются не константы, а функции, зависящие от одной из независимых переменных задачи (например, времени). Здесь, как и в методе Бубнова-Галеркина, составляется невязка дифференциального уравнения и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям (ру(дг) (j = i = 0, п). После определения интегралов относительно неизвестных функций fj(x) будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Методы решения таких систем хорошо разработаны (имеются стандартные программы для ЭВМ).

Одним из направлений при решении краевых задач является совместное использование точных (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных (вариационных, взвешенных невязок, коллокаций и др.) аналитических методов. Такой комплексный подход позволяет наилучшим образом использовать положительные стороны этих двух важнейших аппаратов прикладной математики, так как появляется возможность без проведения тонких и громоздких математических расчетов в простой форме получать выражения, эквивалентные главной части точного решения, состоящего из бесконечного функционального ряда. Для практических расчетов, как правило, используется именно эта час- тичная сумма нескольких слагаемых . При использовании таких методов для получения более точных результатов на начальном участке параболической координаты необходимо выполнять большое число приближений. Однако при большом п координатные функции с соседними индексами приводят к алгебраическим уравнениям, связанным почти линейной зависимостью. Матрица коэффициентов в этом случае, являясь заполненной квадратной матрицей, близка к вырожденной и оказывается, как правило, плохо обусловленной. И при п - 3 ? °° приближенное решение может не сходиться даже к слабо точному решению. Решение систем алгебраических линейных уравнений с плохо обусловленными матрицами представляет существенные технические трудности вследствие быстрого накопления ошибок округления. Поэтому такие системы уравнений необходимо решать с большой точностью промежуточных вычислений .

Особое место среди приближенных аналитических методов, позволяющих получать аналитические решения на начальном участке временной (параболической) координаты занимают методы, в которых используется понятие фронта температурного возмущения. Согласно этим методам, весь процесс нагрева или охлаждения тел формально разделяется на две стадии. Первая из них характеризуется постепенным распространением фронта температурного возмущения от поверхности тела к его центру, а вторая - изменением температуры но всему объему тела вплоть до наступления стационарного состояния. Такое разделение теплового процесса по времени на две стадии позволяет осуществлять поэтапное решение задач нестационарной теплопроводности и для каждой из стадий в отдельности, как правило, уже в первом приближении находить удовлетворительные по точности, достаточно простые и удобные в инженерных приложениях расчетные формулы. Данные методы обладают и существенным недостатком, заключающимся в необходимости априорного выбора координатной зависимости искомой температурной функции. Обычно принимаются квадратичная или кубическая параболы. Эта неоднозначность решения порождает проблему точности, так как, принимая заранее тот или иной профиль температурного поля, всякий раз будем получать различные конечные результаты.

Среди методов, в которых используется идея конечной скорости перемещения фронта температурного возмущения, наибольшее распространение получил интегральный метод теплового баланса . С его помощью уравнение в частных производных удается свести к обыкновенному дифференциальному уравнению с заданными начальными условиями, решение которого довольно часто можно получить в замкнутом аналитическом виде. Интегральный метод, например, можно использовать для приближенного решения задач, когда теплофизические свойства не являются постоянными, а определяются сложной функциональной зависимостью, и задач, в которых совместно с теплопроводностью приходится также учитывать и конвекцию. Интегральному методу также присущ отмеченный выше недостаток - априорный выбор температурного профиля, что порождает проблему однозначности решения и приводит к низкой его точности.

Многочисленные примеры применения интегрального метода к решению задач теплопроводности приведены в работе Т. Гудмена . В этой работе наряду с иллюстрацией больших возможностей показана и его ограниченность. Так, несмотря на то что многие задачи успешно решаются интегральным методом, существует целый класс задач, для которых этот метод практически не применим. Это, например, задачи с импульсным изменением входных функций. Причина обусловлена тем, что температурный профиль в виде квадратичной или кубической параболы не соответствует истинному профилю температур для таких задач. Поэтому если истинное распределение температуры в исследуемом теле принимает вид немонотонной функции, то получить удовлетворительное решение, согласующееся с физическим смыслом задачи, ни при каких условиях не удается.

Очевидный путь повышения точности интегрального метода - использование полиномиальных температурных функций более высокого порядка. В этом случае основные граничные условия и условия плавности на фронте температурного возмущения не являются достаточными для определения коэффициентов таких полиномов. В связи с этим возникает необходимость поиска недостающих граничных условий, которые совместно с заданными позволили бы определять коэффициенты оптимального температурного профиля более высокого порядка, учитывающего все физические особенности исследуемой задачи. Такие дополнительные граничные условия могут быть получены из основных граничных условий и исходного дифференциального уравнения их дифференцированием в граничных точках но пространственной координате и но времени .

При исследовании различных задач теплообмена предполагают, что теп- лофизические свойства не зависят от температуры, а в качестве граничных принимают линейные условия. Однако если температура тела изменяется в широких пределах, то ввиду зависимости теплофизических свойств от температуры уравнение теплопроводности становится нелинейным. Его решение значительно усложняется, и известные точные аналитические методы оказываются неэффективными. Интегральный метод теплового баланса позволяет преодолеть некоторые трудности, связанные с нелинейностью задачи. Например, с его помощью уравнение в частных производных с нелинейными граничными условиями приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с заданными начальными условиями, решение которого часто может быть получено в замкнутой аналитической форме.

Известно, что точные аналитические решения в настоящее время получены лишь для задач в упрощенной математической постановке, когда не учитываются многие важные характеристики процессов (нелинейность, переменность свойств и граничных условий и пр.). Все это приводит к существенному отклонению математических моделей от реальных физических процессов, протекающих в конкретных энергетических установках. К тому же точные решения выражаются сложными бесконечными функциональными рядами, которые в окрестностях граничных точек и при малых значениях временной координаты являются медленно сходящимися. Такие решения малопригодны для инженерных приложений, и особенно в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточным этапом решения каких-либо других задач (задач термоуиругости, обратных задач, задач управления и др.). В связи с этим большой интерес представляют перечисленные выше методы прикладной математики, позволяющие получать решения, хотя и приближенные, но в аналитической форме, с точностью, во многих случаях достаточной для инженерных приложений. Эти методы позволяют значительно расширить круг задач, для которых могут быть получены аналитические решения по сравнению с классическими методами.

И геометрией . Основной отличительный признак анализа в сравнении с другими направлениями - наличие функций переменных величин как предмета исследования. При этом, если элементарные разделы анализа в учебных программах и материалах часто объединяют с элементарной алгеброй (например, существуют многочисленные учебники и курсы с наименованием «Алгебра и начала анализа»), то современный анализ в значительной степени использует методы современных геометрических разделов, прежде всего, дифференциальной геометрии и топологии .

История

Отдельные ответвления от «анализа бесконечно малых», такие как теория обыкновенных дифференциальных уравнений (Эйлер , Иоганн Бернулли , Д’Аламбер), вариационное исчисление (Эйлер, Лагранж), теория аналитических функций (Лагранж, Коши , впоследствии - Риман), начали обособляться ещё в XVIII - первой половине XIX века. Однако началом формирования анализа как самостоятельного современного раздела считаются труды середины XIX века по формализации ключевых понятий классического анализа - вещественного числа , функции , предела , интеграла , прежде всего, в трудах Коши и Больцано , и приобретшие законченную форму к 1870-м - 1880-м годам в работах Вейерштрасса , Дедекинда и Кантора . В этой связи сформировались теория функций вещественной переменной и, в развитии методов работы с аналитическими функциями, - теория функций комплексной переменной . Созданная Кантором в конце XIX века наивная теория множеств дала толчок к появлению понятий метрического и топологического пространств, что в значительной мере изменило весь инструментарий анализа, повысив уровень абстракции изучаемых объектов и переместив фокус с вещественных чисел к нечисловым понятиям.

В начале XX века в основном силами французской математической школы (Жордан , Борель , Лебег , Бэр) была создана теория меры , благодаря которой обобщено понятие интеграла, а также построена теория функций действительной переменной . Также в начале XX века начал формироваться функциональный анализ как самостоятельный подраздел современного анализа, изучающий топологические векторные пространства и их отображения . Термин «функциональный анализ» ввёл Адамар , обозначая ветвь вариационного исчисления, разрабатываемую на рубеже XIX и XX веков группой итальянских и французских математиков (в их числе - Вольтерра , Арцела). В 1900 году Фредгольм публикует статью об интегральных уравнения, как давшую толчок для развития теории интегральных уравнений , развития общей теории интегрирования (Лебег), так и формирования функционального анализа . В 1906 году в работе Гильберта очерчена спектральная теория , в том же году опубликована работа Фреше , в которой впервые в анализ введены абстрактные метрические пространства . В 1910-е - 1920-е годы уточнены понятия отделимости и впервые применены общетопологические методы к анализу (Хаусдорф), освоены функциональные пространства и начато формирование общей теории нормированных пространств (Гильберт, Рис , Банах , Хан). В период 1929-1932 годов сформирована аксиоматическая теория гильбертовых пространств (Джон фон Нейман , Маршалл Стоун , Рис). В 1936 году Соболевым сформулировано понятие обобщённой функции (позднее в 1940-х годах независимо от него к подобному понятию пришёл Лоран Шварц), получившее широкое распространение во многих разделах анализа и нашедшее широкое применение в приложениях (например, обобщённой является δ {\displaystyle \delta } -функция Дирака). В 1930-е - 1950-е годы в функциональном анализе получены значительные результаты за счёт применения общеалгебраических инструментов (векторные решётки , операторные алгебры , банаховы алгебры).

К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направления как теория динамических систем и эргодическая теория (Джордж Биркгоф , Колмогоров , фон Нейман), существенно обобщены результаты гармонического анализа за счёт применения общеалгебраических средств - топологических групп и представлений (Вейль , Петер , Понтрягин). Начиная с 1940-х - 1950-х годов методы функционального анализа нашли применение в прикладных сферах, в частности, в работах Канторовича 1930-х - 1940-х годов инструменты функционального анализа использованы в вычислительной математике и экономике (линейное программирование). В 1950-е годы в трудах Понтрягина и учеников в развитие методов вариационного исчисления создана теория оптимального управления .

Начиная со второй половины XX века с развитием дифференциальной топологии к анализу примкнуло новое направление - анализ на многообразиях , получившее название «глобальный анализ» , фактически начавшее формироваться ранее, в 1920-е годы в рамках теории Морса как обобщение вариационного исчисления (называемое Морсом «вариационное исчисление в целом», англ. variation calculus in large ). К этому направлению относят созданные в развитие теории бифуркаций динамических систем (Андронов) такие направления, как теорию особенностей (Уитни , ) и теорию катастроф (Том , и Мазер , ), получившие в 1970-е годы развитие в работах Зимана и Арнольда .

Классический математический анализ

Классический математический анализ - раздел, фактически полностью соответствующий историческому «анализу бесконечно малых », состоит из двух основных компонентов: дифференциального и интегрального исчислений. Основные понятия - предел функции , дифференциал , производная , интеграл , главные результаты - формула Ньютона - Лейбница , связывающая определённый интеграл и первообразную и ряд Тейлора - разложение в ряд бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки.

Под термином «математический анализ» обычно понимают именно этот классический раздел, при этом он используется в основном в учебных программах и материалах. При этом изучение основ анализа входит в большинство среднеобразовательных программ, а более или менее полное изучение предмета включено в программы первых лет высшего образования для широкого круга специальностей, в том числе многих гуманитарных. В англо-американской образовательной традиции для обозначения классического математического анализа используется термин «исчисление» (англ. calculus ).

Теория функций вещественной переменной (иногда именуется кратко - теория функций ) возникла вследствие формализации понятий вещественного числа и функции : если в классических разделах анализа рассматривались только функции, возникающие в конкретных задачах, естественным образом, то в теории функций сами функции становятся предметом изучения, исследуется их поведение, соотношения их свойств. Один из результатов, иллюстрирующих специфику теории функций вещественной переменной - факт, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке (притом согласно более ранним представлениям классического математического анализа дифференцируемость всех непрерывных функций не подвергалась сомнению).

Основные направления теории функций вещественной переменной :

Теория функций комплексной переменной

Предмет изучения теории функций комплексной переменной - числовые функции, определённые на комплексной плоскости C 1 {\displaystyle \mathbb {C} ^{1}} или комплексном евклидовом пространстве C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} , при этом наиболее тщательно изучены аналитические функции , играющие важную связующую роль практически для всех ветвей математического анализа. В частности, понятие аналитической функции обобщено для произвольных банаховых пространств , тем самым многие результаты теории функций комплексной переменной нашли обобщение в функциональном анализе.

Функциональный анализ

Функциональный анализ как раздел характеризуется наличием в качестве предмета изучения топологических векторных пространств и их отображений с наложенными на них различными алгебраическими и топологическими условиями . Центральную роль в функциональном анализе играют функциональные пространства, классический пример - пространства всех измеримых функций , чья p {\displaystyle p} -я степень интегрируема; при этом уже L 2 {\displaystyle L^{2}} - бесконечномерное пространство (гильбертово пространство), и пространства бесконечных размерностей присущи функциональному анализу настолько, что иногда весь раздел определяется как часть математики, изучающая бесконечномерные пространства и их отображения . Важнейшей формой пространств в классических разделах функционального анализа являются банаховы пространства - нормированные векторные пространства, полные по метрике, порождённой нормой: значительная доля интересных на практике пространств являются таковыми, среди них - все гильбертовы пространства, пространства L p {\displaystyle L^{p}} , пространства Харди , пространства Соболева . Важную роль играют в функциональном анализе играют алгебраические структуры, являющиеся банаховыми пространствами - банаховы решётки и банаховы алгебры (в том числе - C ∗ {\displaystyle C^{*}} -алгебры , алгебры фон Неймана).

В абстрактном гармоническом анализе классические методы обобщены для абстрактных структур с использованием таких понятий, как мера Хаара и представления групп . Важнейший результат коммутативного гармонического анализа - теорема Понтрягина о двойственности , благодаря которой относительно простыми общеалгебраическими средствами описываются практически все классические результаты гармонического анализа. Дальнейшее развитие теории - некоммутативный гармонический анализ, имеющий важные приложения в квантовой механике .

Дифференциальные и интегральные уравнения

В теории интегральных уравнений , кроме классических методов решения, выделяются такие направления, как теория Фредгольма , оказавшая заметное влияние на формирование функционального анализа как самостоятельного раздела, в частности, способствовавшая формированию понятия гильбертова пространства .

Теория динамических систем и эргодическая теория

Из основных направлений изучения дифференциальных уравнений в качестве самостоятельных разделов выделились теория динамических систем , изучающая эволюцию во времени механических систем, и эргодическая теория , нацеленная на обоснование статистической физики . Несмотря на прикладной характер задач, к этим разделам относится широкий пласт понятий и методов общематемического значения, в частности, таковы понятия устойчивости и эргодичности .

Глобальный анализ

Глобальный анализ - раздел анализа, изучающий функции и дифференциальные уравнения на многообразиях и векторных расслоениях ; иногда это направление обозначается как «анализ на многообразиях».

Одно из первых направлений глобального анализа - теория Морса и её применение к задачам о геодезических на римановых многообразиях ; направление получило название «вариационное исчисление в целом». Основные результаты - лемма Морса , описывающая поведение гладких функций на гладких многообразиях в невырожденных особых точках, и такой гомотопический инвариант, как категория Люстерника - Шнирельмана . Многие из конструкций и утверждений обобщены на случай бесконечномерных многообразий (гильбертовых многообразий * , банаховых многообразий ). Результаты, полученные в рамках глобального анализа особых точек нашли широкое и для решения чисто топологических задач, такова, например, теорема периодичности Ботта , во многом послужившая основанием для самостоятельного раздела математики - K {\displaystyle K} -теории , а также теорема об h {\displaystyle h} -кобордизме , следствием которой является выполнение гипотезы Пуанкаре для размерности, превосходящей 4.

Ещё один крупный блок направлений глобального анализа, получивший широкое применение в физике и экономике - теория особенностей , теория бифуркаций и теория катастроф ; основное направление исследований данного блока - классификация поведений дифференциальных уравнений или функций в окрестностях критических точек и выявление характерных особенностей соответствующих классов.

Нестандартный анализ

Нестандартный анализ - формализация ключевых понятий анализа средствами математической логики , основная идея - формальная актуализация бесконечно больших и бесконечно малых величин, и логическая формализация манипуляций с ними. При этом средства нестандартного анализа оказываются весьма удобными: ими получены результаты, ранее не найденные классическими средствами из-за недостатка наглядности

Математические методы

Формализация и моделирование процессов сбора, движения и преобразования информации связаны с использованием математических методов, реализующих необходимые вычислительные и логические операции, в том числе и в автоматизированных информационных системах. Поэтому правовая информатика тесно связана с математикой и использует методы различных математических наук.

В последнее время при изучении информационных процессов в области права используется теория вероятностей, математическая статистика, математическая логика, исследование операций и многие другие математические науки и дисциплины. Математические методы, специфически преломляясь в теории права, обогащают и усиливают метод правовой науки, но, естественно, не заменяют его.

Сегодня можно говорить, что усилия специалистов, применяющих точные методы математики в правовой области, сосредоточены в двух направлениях: первое - это математическая обработка результатов правовых исследований; второе - исследование структуры права математическими методами. Эти направления составляют основу для создания и применения в правовой области различных автоматизированных систем обработки социально-правовой информации.

Первое направление разрабатывалось еще в 1775 г. Пьером Симоном Лапласом, предложившим использовать методы теории вероятностей для оценки свидетельских показаний, для анализа выборов и решений собраний и для определения вероятностей ошибок в судебных приговорах.

Его последователи Симеон Пуассон и Огюст Курно соответственно в 1837 г. и в 1877 г. опубликовали трактат «Исследование вероятности по материалам уголовных и гражданских судебных решений на основе общих правил исчисления вероятностей» и монографию «Основы теории шансов и вероятностей», в которой глава 15 была названа: «Теория вероятностей судебных решений. Применение ее к статистике гражданских дел». В США эстафету правометрических исследований принял профессор из Мичигана Дж. Шуберт, который в 1959 г. опубликовал работу «Количественный анализ судейского поведения». В 1961 г. Стюарт Нагель опубликовал ряд работ, среди которых «Ожидание вердикта» содержит количественный показатель возможности выиграть или проиграть иски, вытекающие из причинения вреда, в зависимости от наличия в деле целого ряда переменных, которые обрабатываются методом статистических обобщений.

В настоящее время в рамках этого направления успешно применяются различные математические методы для решения следующих задач: количественное описание правовых явлений; обеспечение учета и отчетности в правовой деятельности путем численной обработки различных статистических показателей.

Второе направление основано на идее сведения рассуждений к вычислениям и имеет глубокие исторические корни, восходящие к Р. Декарту. Он подразумевал возможность создания искусственного языка науки, дал его развернутую характеристику и тех громадных выгод, которые связаны с применением последнего. Декарт предполагал наличие некоторого природного порядка в наших мыслях, который сравнивал с порядком в мире чисел. При всем бесконечном множестве чисел каждое из них имеет единственное знаковое представление, следовательно, каждому из них можно дать собственное имя, что позволит действия с ними записывать особым компактным языком. Поскольку для чисел такой универсальный язык разработан, то, по мнению Декарта, со временем будет сконструирован еще более универсальный язык, охватывающий не только числа, но и любые объекты, которые могут стать предметом исследования. Такой язык позволит обозначать любые идеи путем выделения простых представлений и фиксации элементов, из которых состоит каждая мысль. Тем самым будет исключена любая возможность заблуждения. Такой язык противопоставит словам, имеющим неконкретное значение, четко определенные искусственные элементы. Вместо «давайте поспорим» ученые будут говорить «давайте вычислим».

Развитию идеи универсального языка науки большое внимание уделено в работах Г. Лейбница, который заложил фундамент математической логики. По Лейбницу, идеал общего метода, благодаря которому возможно будет систематизировать вечные истины, доказывать их, даже открывать новые, состоит в следующем:

1) необходимо разложить все понятия на простейшие, подобно тому, как в математике составные числа разлагаются на произведение простых множителей. Число простейших понятий в таком языке не может быть велико;

2) обозначив каждое из понятий особым символом, мы получим «алфавит человеческой мысли»;

3) всевозможные комбинации простых понятий дадут нам совокупность сложных. И хотя число первых невелико, однако, как показывают формулы комбинаторики, число их комбинаций может быть почти неисчерпаемым;

4) необходимо ввести особые символы для основных соотношений между понятиями и установить правила употребления и комбинации этих символов.

Таким образом, предполагалось процесс мышления свести к особого рода механическим исчислениям, чем, по существу, и занимается современная символическая логика.

Современная логика создала множество систем, описывающих отдельные фрагменты содержательных рассуждений. Для моделирования структуры правовых норм специально разработана «нормативная логика», предметом исследования которой являются логическая структура и логические связи нормативных высказываний.

Так, оценивая принципы логического моделирования структуры правовых норм, правоотношений и нормативных умозаключений, В. Кнапп и А. Герлох указывают, что лежащая в их основе классификация правовых норм является упрощенной абстракцией действительных правовых норм, носящих сложный характер. Например, исследуя сравнимость и совместимость правовых понятий, эти авторы приходят к выводу, что несравнимость понятий «наследственное право» и «избирательное право» нельзя доказать логическим рассуждением в рамках любой из логических теорий, поскольку наличие общего признака «право» делает формально сравнимыми эти понятия. Для доказательства несравнимости этих понятий, по мнению авторов, нельзя обойтись без аппарата теории права.

Другой вид формализации правовых норм основан на использовании математической логики для моделирования логической структуры правовой нормы.

Математическая логика - современный вид формальной логики, т.е. науки, изучающей умозаключения с точки зрения их формального строения.

Любая мысль в форме понятий, суждений или умозаключений не существует вне языка. Выявить и исследовать логические структуры можно лишь путем анализа языковых выражений.

Под высказыванием принято понимать некоторое предположение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Над высказываниями определены следующие операции:

· конъюнкция (логическое «и»);

· дизъюнкция (логическое «или»);

· отрицание (логическое «не»);

· импликация («если.., то…»).

Так, А.О. Гаврилов предложил, используя логические операции, провести моделирование логической структуры правовой нормы. Цель моделирования - выявить логические (включая латентные) связи правовой нормы. Логическая структура правовой нормы может быть представлена в следующем виде:

((p → d ) → ˥ s ) → (˥ d → s )

где p - гипотеза нормы;

d - диспозиция;

s - санкция.

Приведенная формализация языка права позволяет промоделировать и проанализировать некоторые правовые нормы с помощью такого нового класса автоматизированных систем правовой информации, как экспертные системы.

Однако необходимо отметить, что применение языка математики для формализации права существенно ограничено. Это определяется во многом тем, что, как признает А.Г. Ольшанецкий, «среди юристов не сложилось еще единого мнения о логической природе, логической специфике юридических понятий, их конструктивной роли в развитии науки правоведения, в образовании нормативно-правового детерминанта, его логического движения в регулятивном механизме общественных систем. Мнения ученых в этом отношении неоднозначны, имеют спорный, порой противоречивый характер. В частности, высказывается мнение, что определенной логической спецификой обладают лишь некоторые понятия уголовного права. В понятиях других отраслей права специфически юридического либо незначительно, либо его вообще нет... Им присущи лишь особенности внелогического характера. В структуре... их содержания, в характере признаков, образующих его, нет каких-либо особенностей, которые давали бы возможность выделить эти понятия в особый класс научных понятий».

По мнению О.А. Гаврилова, существует пять основных причин, по которым математика не может стать универсальным инструментом исследований в области права:

1. С ростом сложности и целостности социально-правового объекта значительно уменьшается возможность его расчленения на формализуемые элементы.

2. Основные категории общественных наук - это сложные, многогранные и многоплановые понятия, связанные множеством неформализуемых связей, таких как базис, надстройка, производительные силы, производственные отношения, государство, право, экономика, политика, демократия.

3. Государство и право, как явления классового общества, представляют собой целостные социально-политические системы. Они характеризуются большим числом качественных признаков и связей, которые не являются ни количественными, ни вероятностными, ни функциональными (в математическом смысле слова) и поэтому не поддаются математической формализации.

4. Проводя сравнительный анализ математических методов и традиционных средств юридической науки, нельзя не видеть их взаимодополняющей противоположности.

5. Отличительная особенность исследований, выполненных на базе традиционных качественных методов, - их всесторонность и многообразность, гибкость охвата явлений. Отличительная черта математических исследований - это их высокая точность. Применяя традиционные приемы юридической науки, исследователь-юрист получает выигрыш в полноте картины, но зато теряет все точности. И наоборот, применяя количественные методы исследования, он выигрывает в точности научного описания, зато теряет в его гибкости и всесторонности.

Следует отметить, что не все юристы придерживаются такой точки зрения. Так, В.П. Павлов, исследуя возможность математизации правовых исследований, не соглашается с высказанной выше точкой зрения О.А. Гаврилова.

По его мнению, история любой науки свидетельствует о том, что на начальном уровне познания, на котором производится накопление научных фактов о наблюдаемых свойствах изучаемых явлений и эмпирических закономерностях (в виде тенденций развития интересующего нас явления в практической жизни), используют приемы наблюдения, эксперимента, измерения, описания, способы обобщения, сравнения анализа и синтеза, классификацию и систематизацию. Для реализации этих способов в правоведении широко используют традиционные общенаучные методы, такие как философский, метод сравнительного правоведения, метод комплексного исследования. Однако подлинно теоретический уровень достигается в том случае, когда выдвигаются научные гипотезы, формулируются законы и создаются теории. Этому уровню соответствуют различные методы объяснения конкретных явлений, среди которых можно выделить гипотетические, структурные, функциональные, метод абстрагирования, включающий в себя идеализацию и обобщение некоторых понятий, и метод обоснования гипотез и построения теорий. Этот уровень достижим только путем привлечения математики как наиболее универсального инструмента анализа материального мира. Диалектическая связь этих двух уровней заключается в том, что установление эмпирических фактов как первоначальный этап познания всегда осуществляется на базе определенных теоретических знаний предшествующего уровня, а сами эмпирические факты являются базой для повышения уровня теоретического знания в исследуемой области. Поэтому взаимодополняющая связь традиционных и математических методов заключается не в их противоположности, а как раз в том, что их универсальность позволяет обеспечить наглядность, точность и полноту исследуемого явления. Благодаря этому расширяется поле для осмысления при помощи традиционных средств тех областей исследуемого явления, которые были скрыты от наблюдателя фрагментарностью эмпирической картины явления.

Таким образом, основным препятствием на пути математического описания правовых норм является неоднозначность понятийного аппарата юридической науки, которая многократно возрастает при некритичном использовании математических средств для его анализа. Противоречие состоит в том, что без применения математического аппарата невозможно обеспечить полноту и точность правовых исследований, а применение математического аппарата невозможно в условиях существующей неоднозначности понятийного аппарата права.

Введение

Одним из направлений совершенствования анализа хозяйственной деятельности является внедрение экономико-математических методов и современных ЭВМ. Их применение повышает эффективность экономического анализа за счет расширения факторов, обоснования принимаемых управленческих решений, выбора оптимального варианта использования хозяйственных ресурсов, выявления и мобилизации резервов повышения эффективности производства.

Математические методы опираются на методологию экономико-математического моделирования и научно обоснованную классификацию задач анализа хозяйственной деятельности.

В зависимости от целей экономического анализа различают следующие экономико-математические модели: в детерминированных моделях - логарифмирование, долевое участие, дифференцирование; в стохастических моделях - корреляционно-регрессивный метод, линейное программирование, теорию массового обслуживания, теорию графов.

Общая характеристика математических методов анализа

Широкое использование математических методов является важным направлением совершенствования экономического анализа, повышает эффективность анализа деятельности предприятий и их подразделений. Это достигается за счет сокращения сроков проведения анализа, более полного охвата влияния факторов на результаты коммерческой деятельности, замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислениями, постановки и решения новых многомерных задач анализа, практически не выполнимых традиционными методами.

Применение математических методов в экономическом анализе деятельности предприятия требует:

· системного подхода к изучению экономики предприятий, учета всего множества существенных взаимосвязей между различными сторонами деятельности предприятий; в этих условиях сам анализ все более приобретает черты системного в кибернетическом смысле слова;

· разработки комплекса экономико-математических моделей, отражающих количественную характеристику экономических процессов и задач, решаемых с помощью экономического анализа;

· совершенствования системы экономической информации о работе предприятий;

· наличия технических средств (компьютеров и др.), осуществляющих хранение, обработку и передачу экономической информации в целях экономического анализа;

· организации компьютерного анализа хозяйственной деятельности, создания программного обеспечения анализа в системе управления.

Рис. 1.

Вершиной сегодняшнего дня в развитии систем управления являются ВРМ-системы ( Business Performance Management - управление эффективностью бизнеса), т.е. системы, позволяющие связывать воедино все функции управления. В рамках таких систем, например, топ-менеджеры имеют возможность анализировать и корректировать эти цифры и вносить свои новые данные. Системы позволяют им видеть и использовать отчетность смежных подразделений. Далее откорректированные и дополненные на нижнем уровне управления данные афишируются вновь до общекорпоративного уровня. Весь процесс двунаправленного планирования оперативно повторяется до тех пор, пока не будет составлен наиболее оптимальный план. ВРМ-системы позволяют составлять несколько версий плана (бюджета), так называемые гибкие сметы на разные объемы продаж с учетом возможных отрицательных или положительных незапланированных факторов. Так, в кризисные моменты есть возможность без промедления перевести организацию на аварийный бюджет. При этом времени на пересмотр, согласование всех статей бюджета в разрезе всех центров затрат и ответственности, естественно, не будет. Следует отметить, что основой для дальнейшего совершенствования ВРМ-систем является их методологическое и методическое аналитическое обеспечение.

Сформулированная математически задача экономического анализа может быть решена одним из разработанных математических методов. На рис. 1 представлена примерная схема основных математических методов, по которым ведутся работы, для использования их в анализе хозяйственной деятельности предприятий.

Методы элементарной математики используются в обычных традиционных экономических расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, учете затрат на производство, разработке планов, проектов, балансовых расчетах и т.д. Выделение методов классической высшей математики на схеме обусловлено тем, что они применяются не только в рамках других методов, например методов математической статистики и математического программирования, но и отдельно. Так, факторный анализ изменения многих экономических показателей может быть осуществлен с помощью дифференцирования и интегрирования.

Широкое распространение в экономическом анализе имеют методы математической статистики и теории вероятностей. Эти методы применяются в тех случаях, когда изменение анализируемых показателей можно представить как случайный процесс.

Статистические методы как основное средство изучения массовых, повторяющихся явлений играют важную роль в прогнозировании поведения экономических показателей. Когда связь между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая, то статистические и вероятностные методы есть практически единственный инструмент исследования. Наибольшее распространение из математико-статистических методов в экономическом анализе получили методы множественного и парного корреляционного анализа. Для изучения одномерных статистических совокупностей используются вариационный ряд, законы распределения, выборочный метод. Для изучения многомерных статистических совокупностей применяют корреляции, регрессии, дисперсионный и факторный анализ.

Эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основа эконометрии - экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса при помощи научной абстракции, отражения их характерных черт. Наибольшее распространение получил метод анализа затраты - выпуск. Это матричные (балансовые) модели, строящиеся по шахматной схеме и позволяющие в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства. Удобство расчетов и четкость экономической интерпретации - главные особенности матричных моделей. Это важно при создании систем автоматизированной обработки данных, при планировании производства продукции с использованием ЭВМ.

Математическое программирование - важный раздел современной прикладной математики. Методы математического (прежде всего линейного программирования служат основным средством решения задач; оптимизации хозяйственной деятельности. По своей сути эти методы есть средство плановых расчетов. Их ценность для экономического анализа выполнения планов состоит в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности производственных ресурсов и т.п.

Под исследованием операций имеются в виду разработка методов целенаправленных действий (операций), количественная оценка полученных решений и выбор наилучшего из них. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе хозяйственная деятельность предприятий. Цель - такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных.

Теория игр как раздел исследования операций - это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы.

Теория массового обслуживания исследует на основе теории вероятностей математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Так, любое из структурных подразделений предприятия можно представить как объект системы обслуживания.

Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлением носят случайный характер, их нельзя предсказать с однозначной определенностью. Однако в своей совокупности множество таких требований подчиняется определенным статистическим закономерностям, количественное изучение которых и является предметом теории массового обслуживания.

Экономическая кибернетика анализирует экономические явления и процессы в качестве очень сложных систем с точки зрения законов и механизмов управления и движения информации в них. Наибольшее распространение в экономическом анализе получили методы моделирования и системного анализа.

В ряде случаев приходится находить решение экстремальных задач при неполном знании механизма рассматриваемого явления. Такое решение отыскивается экспериментально. В последние годы в экономической науке усилился интерес к формализации методов эмпирического поиска оптимальных условий протекания процесса, использующих человеческий опыт и интуицию.

Эвристические методы - это неформализованные методы решения экономических задач, связанных со сложившейся хозяйственной ситуацией, на основе интуиции, прошлого опыта, экспертных оценок специалистов и т.д.

Для анализа хозяйственной деятельности многие методы из приведенной примерной схемы не нашли практического применения и только разрабатываются в теории экономического анализа. В учебнике рассматриваются основные экономико-математические методы, получившие уже применение в практике экономического анализа. Применение того или иного математического метода в экономическом анализе опирается на методологию экономико-математического моделирования хозяйственных процессов и научно-обоснованную классификацию методов и задач анализа.

По классификационному признаку оптимальности все экономико-математические методы (задачи) подразделяются на две группы: оптимизационные и не оптимизационные. Если метод или задача позволяет искать решение по заданному критерию оптимальности, то этот метод относят в группу оптимизационных методов. В случае, когда поиск решения ведется без критерия оптимальности, соответствующий метод относят к группе не оптимизационных методов.

По признаку получения точного решения все экономико-математические методы делятся на точные и приближенные. Если алгоритм метода позволяет получить только единственное решение по заданному критерию оптимальности или без него, то данный метод относят к группе точных методов. В случае, когда при поиске решения используется стохастическая информация и решение задачи можно получить с любой степенью точности, используемый метод относят к группе приближенных методов. К группе приближенных методов относят и такие, при применении которых не гарантируется получение единственного решения по заданному критерию оптимальности.

Таким образом, используя только два признака классификации, все экономико-математические методы делятся на четыре группы: 1) оптимизационные точные методы; 2) оптимизационные приближенные методы;

3) не оптимизационные точные методы; 4) не оптимизационные приближенные методы.

Так, к оптимизационным точным методам можно отнести методы теории оптимальных процессов, некоторые методы математического программирования и методы исследования операций. К оптимизационным приближенным методам относятся отдельные методы математического программирования, методы исследования операций, методы экономической кибернетики, методы математической теории планирования экстремальных экспериментов, эвристические методы.

К не оптимизационным точным методам относятся методы элементарной математики и классические методы математического анализа, эконометрические методы. К не оптимизационным приближенным методам относятся метод статистических испытаний и другие методы математической статистики.

В схеме (см. рис. 1) были представлены укрупненные группы экономико-математических методов, отдельные методы из этих групп используются для решения различных задач как оптимизационных, так и не оптимизационных; как точных, так и приближенных. Большое значение в анализе хозяйственной деятельности имеет группировка методов (задач) балансовых и факторных.

Балансовые методы - это методы анализа структуры, пропорций, соотношений.

Экономический анализ - это, прежде всего факторный анализ (в широком смысле слова, а не только в виде стохастического факторного анализа).

Под экономическим факторным анализом понимаются постепенный переход от исходной факторной системы (результативный показатель) к конечной факторной системе (или наоборот), раскрытие полного набора прямых, количественно измеримых факторов, оказывающих влияние на изменение результатного показателя.

Рассмотрим примерную классификацию задач факторного анализа работы предприятий с точки зрения использования математических методов (рис. 2).

При прямом факторном анализе выявляются отдельные факторы, влияющие на изменение результатного показателя или процесса, устанавливаются формы детерминированной (функциональной) или стохастической зависимости между результатным показателем и определенным набором факторов и, наконец, выясняется роль отдельных факторов в изменении результатного экономического показателя. Постановка задачи прямого факторного анализа распространяется на детерминированный и стохастический случай.

Рис. 2 - Укрупненная схема классификации задач экономического факторного анализа

математический моделирование экономический аналитический

Задачи прямого детерминированного факторного анализа - наиболее распространенная группа задач в анализе хозяйственной деятельности.

Рассмотрим особенности постановки задачи прямого стохастического факторного анализа. Если в случае прямого детерминированного факторного анализа исходные данные для анализа имеются в форме конкретных чисел, то в случае прямого стохастического факторного анализа заданы выборкой (временной или поперечной). Решения задач стохастического факторного анализа требуют: глубокого экономического исследования для выявления основных факторов, влияющих на результатный показатель; подбора вида регрессии, который бы наилучшим образом отражал действительную связь изучаемого показателя с набором факторов; разработки метода, позволяющего определить влияние каждого фактора на результатный показатель.

Если результаты прямого детерминированного анализа должны получиться точными и однозначными, то стохастического - с некоторой вероятностью (надежностью), которую следует оценить.

Примером прямого стохастического факторного анализа является регрессионный анализ производительности труда и других экономических показателей.

В экономическом анализе, кроме задач, сводящихся к детали - зации показателя, к разбивке его на составляющие части, существует группа задач, где требуется увязать ряд экономических характеристик в комплексе, т.е. построить функцию, содержащую в себе основное качество всех рассматриваемых экономических показателей-аргументов, т.е. задач синтеза. В данном случае ставится обратная задача (относительно задачи прямого факторного анализа) - задача объединения ряда показателей в комплекс.

Задачи обратного факторного анализа могут быть детерминированными и стохастическими. Примерами задачи обратного детерминированного факторного анализа являются задачи комплексной оценки хозяйственной деятельности, а также задачи математического программирования, в том числе и линейного. Примером задачи обратного стохастического факторного анализа могут служить производственные функции, которыми устанавливаются зависимости между величиной выпуска продукции и затратами производственных факторов (первичных ресурсов). Для детального исследования экономических показателей или процессов необходимо проводить не только одноступенчатый, но и цепной факторный анализ: статический (пространственный) и динамический (пространственный и во времени).

Детализация факторов может быть продолжена и дальше. Закончив ее, решают обратную задачу факторного анализа, синтезируя результаты исследования для характеристики результатного показателя у. Такой метод исследования называется цепным статическим методом факторного анализа. При применении цепного динамического факторного анализа для полного изучения поведения результатного показателя недостаточно его статического значения; факторный анализ показателя проводится на различных интервалах дробления времени, на которых исследуется показатель.

Экономический факторный анализ может быть направлен на выяснение действия факторов, формирующих результаты хозяйственной деятельности, по различным источникам пространственного или временного происхождения.

Анализ динамических (временных) рядов показателей хозяйственной деятельности, расщепление уровня ряда на его составляющие (основную линию развития - тренд, сезонную, или периодическую, составляющую, циклическую составляющую, связанную с воспроизводственными явлениями, случайную составляющую) - задача временного факторного анализа.

Классификация задач факторного анализа упорядочивает постановку многих экономических задач, позволяет выявить общие закономерности в их решении. При исследовании сложных экономических процессов возможна комбинация постановки задач, если последние не относятся целиком к какому-либо типу, указанному в классификации.

В истории математики условно можно выделить два основных периода: элементарной и современной математики. Рубежом, от которого принято вести отсчет эпохи новой (иногда говорят - высшей) математики, стал XVII век – век появления математического анализа. К концу XVII в. И. Ньютоном, Г. Лейбницем и их предшественниками был создан аппарат нового дифференциального исчисления и интегрального исчисления, составляющий основу математического анализа и даже, пожалуй, математическую основу всего современного естествознания.

Математический анализ – это обширная область математики с характерным объектом изучения (переменной величиной), своеобразным методом исследования (анализом посредством бесконечно малых или посредством предельных переходов), определенной системой основных понятий (функция, предел, производная, дифференциал, интеграл, ряд) и постоянно совершенствующимся и развивающимся аппаратом, основу которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления.

Попробуем дать представление о том, какая математическая революция произошла в XVII в., чем характеризуется связанный с рождением математического анализа переход от элементарной математики к той, что ныне составляет предмет исследований математического анализа и чем объясняется его фундаментальная роль во всей современной системе теоретических и прикладных знаний.

Представьте себе, что перед вами прекрасно выполненная цветная фотография набегающей на берег штормовой океанской волны: могучая сутуловатая спина, крутая, но чуть впалая грудь, уже наклоненная вперед и готовая упасть голова с терзаемой ветром седой гривой. Вы остановили мгновение, вам удалось поймать волну, и вы можете теперь без спешки внимательно изучать ее во всех подробностях. Волну можно измерить, и, пользуясь средствами элементарной математики, вы сделаете много важных выводов об этой волне, а значит, и всех ее океанских сестрах. Но, остановив волну, вы лишили ее движения и жизни. Ее зарождение, развитие, бег, сила, с которой она обрушивается на берег, - все это оказалось вне вашего поля зрения, потому что вы не располагаете пока ни языком, ни математическим аппаратом, пригодными для описания и изучения не статических, а развивающихся, динамических процессов, переменных величин и их взаимосвязей.

«Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем сама природа: он определяет все ощутимые взаимосвязи, измеряет времена, пространства, силы, температуры». Ж. Фурье

Движение, переменные величины и их взаимосвязи окружают нас повсюду. Различные виды движения и их закономерности составляют основной объект изучения конкретных наук: физики, геологии, биологии, социологии и др. Поэтому точный язык и соответствующие математические методы описания и изучения переменных величин оказались необходимыми во всех областях знания примерно в той же степени, в какой числа и арифметика необходимы при описании количественных соотношений. Так вот, математический анализ и составляет основу языка и математических методов описания переменных величин и их взаимосвязей. В наши дни без математического анализа невозможно не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологических процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что все это - динамические процессы.

Элементарная математика была в основном математикой постоянных величин, она изучала главным образом соотношения между элементами геометрических фигур, арифметические свойства чисел и алгебраические уравнения. Ее отношение к действительности в какой-то мере можно сравнить с внимательным, даже тщательным и полным изучением каждого фиксированного кадра киноленты, запечатлевшей изменчивый, развивающийся живой мир в его движении, которого, однако, не видно на отдельном кадре и которое можно наблюдать, только посмотрев ленту в целом. Но как кино немыслимо без фотографии, так и современная математика невозможна без той ее части, которую мы условно называем элементарной, без идей и достижений многих выдающихся ученых, разделенных порой десятками столетий.

Математика едина, и «высшая» ее часть связана с «элементарной» примерно так же, как следующий этаж строящегося дома связан с предшествующим, и ширина горизонтов, которые математика открывает нам в окружающий мир, зависит от того, на какой этаж этого здания нам удалось подняться. Родившийся в XVII в. математический анализ открыл нам возможности для научного описания, количественного и качественного изучения переменных величин и движения в широком смысле этого слова.

Каковы же предпосылки появления математического анализа?

К концу XVII в. сложилась следующая ситуация. Во-первых, в рамках самой математики за долгие годы накопились некоторые важные классы однотипных задач (например, задачи измерения площадей и объемов нестандартных фигур, задачи проведения касательных к кривым) и появились методы их решения в различных частных случаях. Во-вторых, оказалось, что эти задачи теснейшим образом связаны с задачами описания произвольного (не обязательно равномерного) механического движения, и в частности с вычислением его мгновенных характеристик (скорости, ускорения в любой момент времени), а также с нахождением величины пройденного пути для движения, происходящего с заданной переменной скоростью. Решение этих проблем было необходимо для развития физики, астрономии, техники.

Наконец, в-третьих, к середине XVII в. трудами Р. Декарта и П. Ферма были заложены основы аналитического метода координат (так называемой аналитической геометрии), позволившие сформулировать разнородные по своему происхождению геометрические и физические задачи на общем (аналитическом) языке чисел и числовых зависимостей, или, как мы теперь говорим, числовых функций.

Стечение этих обстоятельств и привело к тому, что в конце XVII в. двум ученым – И. Ньютону и Г. Лейбницу – независимо друг от друга удалось создать для решения названных задач математический аппарат, подытоживший и обобщивший отдельные результаты предшественников, среди которых и ученый древности Архимед и современники Ньютона и Лейбница – Б. Кавальери, Б. Паскаль, Д. Грегори, И. Барроу. Этот аппарат и составил основу математического анализа – нового раздела математики, изучающего различные развивающиеся процессы, т.е. взаимосвязи переменных величин, которые в математике называют функциональными зависимостями или, иначе, функциями. Кстати, сам термин «функция» потребовался и естественно возник именно в XVII в., а к настоящему времени он приобрел не только общематематическое, но и общенаучное значение.

Начальные сведения об основных понятиях и математическом аппарате анализа даны в статьях «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление».

В заключение хотелось бы остановиться только на одном общем для всей математики и характерном для анализа принципе математического абстрагирования и в этой связи объяснить, в каком виде математический анализ изучает переменные величины и в чем секрет такой универсальности его методов для изучения всевозможных конкретных развивающихся процессов и их взаимосвязей.

Рассмотрим несколько поясняющих примеров и аналогий.

Мы порой уже не отдаем себе отчета в том, что, например, математическое соотношение , написанное не для яблок, стульев или слонов, а в отвлеченном от конкретных объектов абстрактном виде, - выдающееся научное завоевание. Это математический закон, который, как показывает опыт, применим к различным конкретным объектам. Значит, изучая в математике общие свойства отвлеченных, абстрактных чисел, мы тем самым изучаем количественные соотношения реального мира.

Например, из школьного курса математики известно, что , поэтому в конкретной ситуации вы могли бы сказать: «Если мне для перевозки 12 т грунта не выделят два шеститонных самосвала, то можно запросить три четырехтонки и работа будет выполнена, а если дадут только одну четырехтонку, то ей придется сделать три рейса». Так привычные теперь для нас отвлеченные числа и числовые закономерности связаны с их конкретными проявлениями и приложениями.

Примерно так же связаны законы изменения конкретных переменных величин и развивающихся процессов природы с той абстрактной, отвлеченной формой-функцией, в которой они появляются и изучаются в математическом анализе.

Например, абстрактное соотношение может быть отражением зависимости кассового сбора у кинотеатра от количества проданных билетов, если 20 – это 20 копеек – цена одного билета. Но если мы едем по шоссе на велосипеде, проезжая 20 км в час, то это же соотношение можно истолковать как взаимосвязь времени (часов) нашей велосипедной прогулки и покрытого за это время расстояния (километров)., вы всегда можете утверждать, что, например, изменение в несколько раз приводит к пропорциональному (т.е. во столько же раз) изменению величины , а если , то верно и обратное заключение. Значит, в частности, для увеличения кассового сбора кинотеатра в два раза вам придется привлечь вдвое больше зрителей, а для того, чтобы на велосипеде с той же скоростью проехать вдвое большее расстояние, вам придется ехать вдвое дольше.

Математика изучает и простейшую зависимость , и другие, значительно более сложные зависимости в отвлеченном от частной интерпретации, общем, абстрактном виде. Выявленные в таком исследовании свойства функции или методы изучения этих свойств будут носить характер общих математических приемов, заключений, законов и выводов, применимых к каждому конкретному явлению, в котором встречается изученная в абстрактном виде функция, независимо от того, к какой области знания это явление относится.

Итак, математический анализ как раздел математики оформился в конце XVII в. Предметом изучения в математическом анализе (как он представляется с современных позиций) являются функции, или, иначе, зависимости между переменными величинами.

С возникновением математического анализа математике стало доступно изучение и отражение развивающихся процессов реального мира; в математику вошли переменные величины и движение.

Тематические материалы:

Кто такой алексей навальный

Совместимость мужчина-Лев — женщина-Телец

К чему снится похищение сестры

К чему снится кактус в горшке сонник Сонник к чему снятся кактусы

Как можно задержать менструацию на несколько дней

Заготовка на зиму из кабачков под грибы Соленые кабачки как грибы

Молитвы о помощи Божией в исправлении жизни: молитвы

Как получить выписку из егрюл в налоговой?