Príklad 1.5.1.
Nech nejaký ekonomický región vyrába niekoľko (n) druhov výrobkov výlučne sám a len pre obyvateľov tohto regiónu. Predpokladá sa, že technologický postup bol vypracovaný a dopyt obyvateľstva po tomto tovare bol študovaný. Je potrebné určiť ročný objem produkcie produktov s prihliadnutím na skutočnosť, že tento objem musí zabezpečovať konečnú aj priemyselnú spotrebu.
Urobme si matematický model tohto problému. Podľa jeho stavu sa udávajú: druhy výrobkov, dopyt po nich a technologický postup; nájsť objem produkcie pre každý typ produktu.
Označme známe množstvá:
c i- dopyt verejnosti po i- produkt ( i=1,...,n); a ij- číslo i-tý výrobok potrebný na výrobu jednotky j -tého výrobku pomocou tejto technológie ( i=1,...,n ; j=1,...,n);
X i - objem výstupu i- produkt ( i=1,...,n); totality s =(c 1 ,..., c n ) sa nazýva vektor dopytu, čísla a ij– technologické koeficienty a súbor X =(X 1 ,..., X n ) je vektor uvoľňovania.
Podľa stavu problému, vektora X je rozdelená na dve časti: na konečnú spotrebu (vektor s ) a reprodukciu (vektor x-s ). Vypočítajte túto časť vektora X ktorý ide na reprodukciu. Podľa našich označení pre výrobu X j množstvo j-tého produktu ide a ij · X j množstvo i- produkt.
Potom suma a i1 · X 1 +...+ a v · X n ukazuje hodnotu i-tý produkt, ktorý je potrebný pre celý výstup X =(X 1 ,..., X n ).
Preto musí platiť rovnosť:
Rozšírením tohto zdôvodnenia na všetky typy produktov sa dostávame k požadovanému modelu:
Riešenie tejto sústavy n lineárnych rovníc vzhľadom na X 1 ,...,X n a nájdite požadovaný výstupný vektor.
Aby sme tento model napísali v kompaktnejšej (vektorovej) forme, zavedieme zápis:
Námestie ( 
) -matica ALE nazývaná technologická matica. Je ľahké skontrolovať, že náš model bude teraz napísaný takto: x-s=Ah alebo
(1.6)
Máme klasický model" Vstup výstup “, ktorej autorom je známy americký ekonóm V. Leontiev.
Príklad 1.5.2.
Ropná rafinéria má dva druhy oleja: stupeň ALE v množstve 10 jednotiek, zn AT- 15 jednotiek. Pri spracovaní ropy sa získajú dva materiály: benzín (označujeme B) a vykurovací olej ( M). Existujú tri možnosti technológie spracovania:
ja: 1 jednotka ALE+ 2 jednotky AT dáva 3 jednotky. B+ 2 jednotky M
II: 2 jednotky ALE+ 1 jednotka AT dáva 1 jednotku. B+ 5 jednotiek M
III: 2 jednotky ALE+ 2 jednotky AT dáva 1 jednotku. B+ 2 jednotky M
Cena benzínu je 10 USD za kus, vykurovací olej 1 USD za kus.
Je potrebné určiť najvýhodnejšiu kombináciu technologických postupov spracovania dostupného množstva ropy.
Pred modelovaním si ujasníme nasledujúce body. Z podmienok problému vyplýva, že „ziskovosť“ technologického procesu pre závod treba chápať v zmysle získania maximálneho príjmu z predaja jeho hotových výrobkov (benzínu a vykurovacieho oleja). V tomto smere je zrejmé, že „rozhodnutím (výberom) (tvorbou) závodu“ je určiť, ktorú technológiu a koľkokrát použiť. Je zrejmé, že takýchto možností je veľa.
Označme neznáme množstvá:
X i- množstvo použitia i- technologický postup (i=1,2,3). Ďalšie parametre modelu (zásoby druhov ropy, ceny benzínu a vykurovacieho oleja) známy.
Teraz je jedno konkrétne rozhodnutie rastliny zredukované na výber jedného vektora X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , za ktorú sa rovná tržba závodu (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) Tu je 32 dolárov príjem získaný z jednej aplikácie prvého technologického procesu (10 dolárov 3 jednotky. B+ 1 $ 2 jednotky M= 32 USD). Koeficienty 15 a 12 majú podobný význam pre druhý a tretí technologický proces. Účtovanie rezerv ropy vedie k nasledujúcim podmienkam:
pre spestrenie ALE:
pre spestrenie AT:,
kde v prvej nerovnosti koeficienty 1, 2, 2 sú miery spotreby oleja triedy A pre jednorazovú aplikáciu technologických procesov ja,II,III resp. Koeficienty druhej nerovnosti majú podobný význam pre olej triedy B.
Matematický model ako celok má tvar:
Nájdite taký vektor x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) maximalizovať
f(x) = 32x 1 +15x 2 +12x 3
keď sú splnené podmienky:
Skrátená forma tohto záznamu je nasledovná:
pod obmedzeniami
(1.7)
Dostali sme takzvaný problém lineárneho programovania.
Model (1.7.) je príkladom optimalizačného modelu deterministického typu (s dobre definovanými prvkami).
Príklad 1.5.3.
Investor potrebuje určiť najlepší súbor akcií, dlhopisov a iných cenných papierov, aby ich nakúpil za určitú sumu, aby získal určitý zisk s minimálnym rizikom pre seba. Návratnosť každého dolára investovaného do cenného papiera j-tý typ, charakterizovaný dvoma ukazovateľmi: očakávaným ziskom a skutočným ziskom. Pre investora je žiaduce, aby očakávaný zisk na dolár investícií pre celý súbor cenných papierov nebol nižší ako daná hodnota b.
Všimnite si, že pre správne modelovanie tohto problému potrebuje matematik určité základné znalosti z oblasti portfóliovej teórie cenných papierov.
Označme známe parametre problému:
n- počet druhov cenných papierov; ale j– skutočný zisk (náhodné číslo) z j-tého druhu cenného papiera; 
je očakávaný zisk z j typ zabezpečenia.
Označte neznáme množstvá :
r j - prostriedky určené na nákup cenných papierov typu j.
V našom zápise je celková investovaná suma vyjadrená ako 
. Pre zjednodušenie modelu uvádzame nové veličiny
.
Touto cestou, X i- ide o podiel všetkých finančných prostriedkov vyčlenených na nákup cenných papierov daného druhu j.
To je jasné 
Z podmienky problému je vidieť, že cieľom investora je dosiahnuť určitú úroveň zisku s minimálnym rizikom. Riziko je v podstate mierou odchýlky skutočného zisku od očakávaného. Preto sa dá stotožniť s kovarianciou zisku pre cenné papiere typu i a typu j. Tu je M označenie matematického očakávania.
Matematický model pôvodného problému má tvar:
pod obmedzeniami
,
,
,
. (1.8)
Získali sme známy Markowitzov model na optimalizáciu štruktúry portfólia cenných papierov.
Model (1.8.) je príkladom optimalizačného modelu stochastického typu (s prvkami náhodnosti).
Príklad 1.5.4.
Na základe obchodnej organizácie existuje n druhov jedného z produktov sortimentného minima. Do predajne musí byť doručený len jeden z druhov tohto produktu. Je potrebné zvoliť si druh tovaru, ktorý je vhodné priniesť do predajne. Ak typ produktu j bude dopyt, potom bude obchod profitovať z jeho predaja R j, ak nie je dopyt - strata q j .
Pred modelovaním si preberieme niekoľko základných bodov. V tomto probléme je rozhodujúcim subjektom (DM) obchod. Výsledok (získanie maximálneho zisku) však závisí nielen od jeho rozhodnutia, ale aj od toho, či bude po dovážanom tovare dopyt, teda či ho bude obyvateľstvo vykupovať (predpokladá sa, že obchod z nejakého dôvodu áno). nemajú možnosť študovať dopyt obyvateľstva). Obyvateľstvo preto možno považovať za druhého rozhodovateľa, ktorý si vyberá druh tovaru podľa svojich preferencií. Najhoršie "rozhodnutie" obyvateľstva pre obchod je: "dovážaný tovar nie je žiadaný." Takže, aby sa zohľadnili všetky druhy situácií, obchod musí považovať obyvateľstvo za svojho „oponenta“ (podmienečne), pričom sleduje opačný cieľ - minimalizovať zisk obchodu.
Máme teda problém s rozhodovaním, keď dvaja účastníci sledujú opačné ciele. Ujasnime si, že obchod si vyberá jeden z druhov tovaru na predaj (je n riešení) a obyvateľstvo si vyberá jeden z druhov tovaru, po ktorom je najväčší dopyt ( n možnosti riešenia).
Na zostavenie matematického modelu nakreslíme tabuľku s n linky a n stĺpcov (celkom n 2 bunky) a súhlasíte s tým, že riadky zodpovedajú výberu obchodu a stĺpce zodpovedajú výberu populácie. Potom bunka (i, j) zodpovedá situácii, keď si obchod vyberie i- druh tovaru ( i-tý riadok) a obyvateľstvo si vyberá j- druh tovaru ( j- stĺpec). Do každej bunky napíšeme číselné hodnotenie (zisk alebo strata) zodpovedajúcej situácie z pohľadu obchodu:
čísla q i napísané s mínusom, ktoré odráža stratu obchodu; v každej situácii sa „výplata“ populácie (podmienečne) rovná „výplate“ obchodu, braná s opačným znamienkom.
Skrátený pohľad na tento model je nasledovný:
(1.9)
Dostali sme takzvanú maticovú hru. Model (1.9.) je príkladom modelov rozhodovania v hrách.
Pojem model a simulácia.
Model v širšom zmysle- je to akýkoľvek obraz, analóg mentálneho alebo ustáleného obrazu, popis, diagram, kresba, mapa atď. akéhokoľvek zväzku, procesu alebo javu, ktorý sa používa ako jeho náhrada alebo predstaviteľ. Samotný objekt, proces alebo jav sa nazýva originál tohto modelu.
Modelovanie - ide o štúdium akéhokoľvek objektu alebo systému objektov stavaním a štúdiom ich modelov. Ide o použitie modelov na určenie alebo spresnenie charakteristík a racionalizáciu spôsobov konštrukcie novovybudovaných objektov.
Akákoľvek metóda vedeckého výskumu je založená na myšlienke modelovania, zatiaľ čo teoretické metódy využívajú rôzne druhy symbolických, abstraktných modelov, zatiaľ čo experimentálne metódy využívajú modely predmetov.
Pri skúmaní zložitého reálneho javu je nahradený nejakou zjednodušenou kópiou alebo schémou, niekedy takáto kópia slúži len na zapamätanie a na ďalšom stretnutí na zistenie želaného javu. Niekedy konštruovaná schéma odráža niektoré podstatné črty, umožňuje pochopiť mechanizmus javu, umožňuje predpovedať jeho zmenu. Rôzne modely môžu zodpovedať rovnakému javu.
Úlohou výskumníka je predpovedať povahu javu a priebeh procesu.
Niekedy sa stane, že objekt je k dispozícii, ale experimenty s ním sú drahé alebo vedú k vážnym environmentálnym následkom. Poznatky o takýchto procesoch sa získavajú pomocou modelov.
Dôležitým bodom je, že samotná povaha vedy zahŕňa štúdium nie jedného konkrétneho javu, ale širokej triedy súvisiacich javov. Z toho vyplýva potreba formulovať nejaké všeobecné kategorické tvrdenia, ktoré sa nazývajú zákony. Prirodzene, pri takejto formulácii sa veľa detailov zanedbáva. Aby zreteľnejšie identifikovali vzor, zámerne siahajú po zhrubnutí, idealizácii, schematickosti, teda neštudujú jav samotný, ale jeho viac-menej presnú kópiu alebo model. Všetky zákony sú zákonmi o modeloch, a preto nie je prekvapujúce, že sa postupom času niektoré vedecké teórie ukázali ako nepoužiteľné. To nevedie ku kolapsu vedy, pretože jeden model bol nahradený iným. modernejší.
Osobitnú úlohu vo vede zohrávajú matematické modely, stavebný materiál a nástroje týchto modelov – matematické pojmy. Počas tisícročí sa hromadili a zlepšovali. Moderná matematika poskytuje mimoriadne silné a univerzálne prostriedky výskumu. Takmer každý pojem v matematike, každý matematický objekt, počnúc pojmom číslo, je matematickým modelom. Pri konštrukcii matematického modelu skúmaného objektu alebo javu sa vyčleňujú tie jeho znaky, znaky a detaily, ktoré na jednej strane obsahujú viac-menej úplné informácie o objekte a na druhej strane umožňujú matematická formalizácia. Matematická formalizácia znamená, že vlastnosti a detaily objektu môžu byť spojené s vhodnými adekvátnymi matematickými pojmami: číslami, funkciami, maticami atď. Potom možno pomocou matematických vzťahov zapísať súvislosti a vzťahy nájdené a predpokladané v skúmanom objekte medzi jeho jednotlivými časťami a komponentmi: rovnosti, nerovnosti, rovníc. Výsledkom je matematický popis skúmaného procesu alebo javu, teda jeho matematický model.
Štúdium matematického modelu je vždy spojené s nejakými pravidlami pôsobenia na skúmané objekty. Tieto pravidlá odrážajú vzťahy medzi príčinami a následkami.
Vytvorenie matematického modelu je ústrednou etapou pri štúdiu alebo návrhu akéhokoľvek systému. Celá následná analýza objektu závisí od kvality modelu. Vytvorenie modelu nie je formálny postup. Silne závisí od výskumníka, jeho skúseností a vkusu, vždy sa spolieha na určitý experimentálny materiál. Model by mal byť dostatočne presný, primeraný a mal by byť vhodný na použitie.
Matematické modelovanie.
Klasifikácia matematických modelov.
Matematické modely môžu byťurčený a stochastické .
Deterministický Model a - ide o modely, v ktorých sa medzi premennými opisujúcimi objekt alebo jav vytvorí vzájomná zhoda.
Tento prístup je založený na znalostiach mechanizmu fungovania objektov. Modelovaný objekt je často zložitý a dešifrovanie jeho mechanizmu môže byť veľmi prácne a časovo náročné. V tomto prípade postupujú nasledovne: experimentujú sa na origináli, výsledky sa spracúvajú a bez toho, aby sa vŕtali v mechanizme a teórii modelovaného objektu, pomocou metód matematickej štatistiky a teórie pravdepodobnosti sa stanovujú vzťahy medzi premenné popisujúce objekt. V tomto prípade získajtestochastické Model . AT stochastické model, vzťah medzi premennými je náhodný, niekedy sa to deje zásadne. Vplyv obrovského množstva faktorov, ich kombinácia vedie k náhodnému súboru premenných popisujúcich objekt alebo jav. Podľa povahy režimov je modelštatistické a dynamický.
ŠtatistickéModelzahŕňa popis vzťahov medzi hlavnými premennými simulovaného objektu v ustálenom stave bez zohľadnenia zmeny parametrov v čase.
AT dynamickýmodelovpopisuje vzťah medzi hlavnými premennými simulovaného objektu pri prechode z jedného režimu do druhého.
Modely sú diskrétne a nepretržitý, ako aj zmiešané typu. AT nepretržitý premenné nadobúdajú hodnoty z určitého intervalu, vdiskrétnepremenné nadobúdajú izolované hodnoty.
Lineárne modely- všetky funkcie a vzťahy, ktoré popisujú model, sú lineárne závislé od premenných anie lineárneinak.
Matematické modelovanie.
Požiadavky , prezentované k modelkám.
1. Všestrannosť- charakterizuje úplnosť zobrazenia modelom študovaných vlastností reálneho objektu.
Matematické modelovanie.
Hlavné fázy modelovania.
1. Vyjadrenie problému.
Určenie účelu analýzy a spôsobov, ako ho dosiahnuť, a vyvinúť spoločný prístup k skúmanému problému. V tejto fáze je potrebné hlboké pochopenie podstaty úlohy. Niekedy nie je o nič menej ťažké správne nastaviť úlohu ako ju vyriešiť. Inscenácia nie je formálny proces, neexistujú žiadne všeobecné pravidlá.
2. Štúdium teoretických základov a zber informácií o predmete originálu.
V tomto štádiu sa vyberie alebo vypracuje vhodná teória. Ak nie je prítomný, medzi premennými opisujúcimi objekt sa vytvárajú kauzálne vzťahy. Stanovia sa vstupné a výstupné údaje, vytvoria sa zjednodušujúce predpoklady.
3. Formalizácia.
Spočíva vo výbere sústavy symbolov a ich použitím na zapisovanie vzťahu medzi zložkami objektu vo forme matematických výrazov. Vytvorí sa trieda úloh, ktorej možno priradiť výsledný matematický model objektu. Hodnoty niektorých parametrov v tejto fáze ešte nemusia byť špecifikované.
4. Výber spôsobu riešenia.
V tejto fáze sa nastavujú finálne parametre modelov s prihliadnutím na podmienky prevádzky objektu. Pre získaný matematický problém sa vyberie metóda riešenia alebo sa vyvinie špeciálna metóda. Pri výbere metódy sa berú do úvahy znalosti používateľa, jeho preferencie, ako aj preferencie vývojára.
5. Implementácia modelu.
Po vyvinutí algoritmu sa napíše program, ktorý sa odladí, otestuje a získa sa riešenie požadovaného problému.
6. Analýza prijatých informácií.
Porovnáva sa prijaté a očakávané riešenie, kontroluje sa chyba modelovania.
7. Kontrola primeranosti reálneho objektu.
Výsledky získané modelom sa porovnajúbuď s dostupnými informáciami o objekte, alebo sa vykoná experiment a jeho výsledky sa porovnajú s vypočítanými.
Proces modelovania je iteratívny. V prípade neuspokojivých výsledkov etáp 6. alebo 7. uskutočňuje sa návrat do jednej z raných fáz, ktorá by mohla viesť k vývoju neúspešného modelu. Táto fáza a všetky nasledujúce fázy sa dolaďujú a k takému spresňovaniu modelu dochádza, kým sa nedosiahnu prijateľné výsledky.
Matematický model je približný popis akejkoľvek triedy javov alebo objektov reálneho sveta v jazyku matematiky. Hlavným účelom modelovania je preskúmať tieto objekty a predpovedať výsledky budúcich pozorovaní. Modelovanie je však aj metóda poznávania okolitého sveta, ktorá umožňuje jeho ovládanie.
Matematické modelovanie a súvisiaci počítačový experiment sú nevyhnutné v prípadoch, keď je experiment v plnom rozsahu z jedného alebo druhého dôvodu nemožný alebo ťažký. Napríklad nie je možné v histórii zaviesť experiment v plnom rozsahu na overenie „čo by sa stalo, keby...“ Nie je možné overiť správnosť tej či onej kozmologickej teórie. V zásade je možné, ale ťažko rozumné experimentovať so šírením nejakej choroby, ako je mor, alebo uskutočniť jadrový výbuch s cieľom študovať jeho následky. To všetko sa však dá urobiť na počítači, ktorý predtým vytvoril matematické modely skúmaných javov.
1) Stavba modelu. V tejto fáze sa špecifikuje nejaký „nematematický“ objekt – prírodný jav, stavba, ekonomický plán, výrobný proces a pod. V tomto prípade je spravidla obtiažny jasný popis situácie. Najprv sa identifikujú hlavné črty javu a vzťah medzi nimi na kvalitatívnej úrovni. Potom sa nájdené kvalitatívne závislosti formulujú v jazyku matematiky, to znamená, že sa zostaví matematický model. Toto je najťažšia časť modelovania.
2) Riešenie matematického problému, ku ktorému model vedie. V tejto fáze sa veľká pozornosť venuje vývoju algoritmov a numerických metód na riešenie problému na počítači, pomocou ktorých je možné nájsť výsledok s požadovanou presnosťou av povolenom čase.
3) Interpretácia získaných dôsledkov z matematického modelu.Dôsledky odvodené z modelu v jazyku matematiky sú interpretované v jazyku akceptovanom v tejto oblasti.
4) Kontrola vhodnosti modelu.V tejto fáze sa zisťuje, či výsledky experimentu súhlasia s teoretickými dôsledkami z modelu v rámci určitej presnosti.
5) Úprava modelu.V tejto fáze sa buď model stáva zložitejším, aby bol adekvátnejší realite, alebo je zjednodušený, aby sa dosiahlo prakticky prijateľné riešenie.
Modely možno klasifikovať podľa rôznych kritérií. Napríklad podľa charakteru riešených problémov možno modely rozdeliť na funkčné a štrukturálne. V prvom prípade sú kvantitatívne vyjadrené všetky veličiny charakterizujúce jav alebo predmet. Súčasne sa niektoré z nich považujú za nezávislé premenné, zatiaľ čo iné sa považujú za funkcie týchto veličín. Matematický model je zvyčajne sústava rovníc rôznych typov (diferenciálnych, algebraických atď.), ktoré stanovujú kvantitatívne vzťahy medzi uvažovanými veličinami. V druhom prípade model charakterizuje štruktúru komplexného objektu, pozostávajúceho zo samostatných častí, medzi ktorými existujú určité súvislosti. Tieto vzťahy sa zvyčajne nedajú kvantifikovať. Na zostavenie takýchto modelov je vhodné použiť teóriu grafov. Graf je matematický objekt, ktorý je množinou bodov (vrcholov) v rovine alebo v priestore, z ktorých niektoré sú spojené čiarami (hranami).
Podľa charakteru počiatočných údajov a výsledkov predikcie možno modely rozdeliť na deterministické a pravdepodobnostno-štatistické. Modely prvého typu dávajú definitívne a jednoznačné predpovede. Modely druhého typu sú založené na štatistických informáciách a predpovede získané pomocou nich majú pravdepodobnostný charakter.
MATEMATICKÉ MODELOVANIE A VŠEOBECNÉ POČÍTAČOVÉ ALEBO SIMULAČNÉ MODELY
Teraz, keď v krajine prebieha takmer univerzálna informatizácia, možno počuť vyjadrenia odborníkov rôznych profesií: „Zaveďme u nás počítač, potom budú všetky úlohy okamžite vyriešené.“ Tento uhol pohľadu je úplne mylný, samotné počítače bez matematických modelov určitých procesov nedokážu nič a o univerzálnej informatizácii sa dá len snívať.
Na podporu vyššie uvedeného sa pokúsime zdôvodniť potrebu modelovania, vrátane matematického modelovania, odhaliť jeho výhody pri poznávaní a pretváraní vonkajšieho sveta človekom, identifikovať existujúce nedostatky a prejsť ... na simulačné modelovanie, t.j. modelovanie pomocou počítačov. Ale všetko je v poriadku.
Najprv si odpovedzme na otázku: čo je to model?
Model je hmotný alebo mentálne reprezentovaný objekt, ktorý v procese poznávania (štúdia) nahrádza pôvodný, pričom si zachováva niektoré typické vlastnosti, ktoré sú pre toto štúdium dôležité.
Dobre zostavený model je pre výskum dostupnejší ako skutočný objekt. Napríklad experimenty s ekonomikou krajiny na vzdelávacie účely sú neprijateľné, tu sa bez modelu nezaobídeme.
Keď zhrnieme, čo bolo povedané, môžeme odpovedať na otázku: na čo sú modely? Za účelom
Čo je pozitívne na akomkoľvek modeli? Umožňuje vám získať nové poznatky o objekte, ale, žiaľ, nie sú do tej či onej miery úplné.
Modelformulovaný v jazyku matematiky pomocou matematických metód sa nazýva matematický model.
Východiskom pre jeho výstavbu je zvyčajne nejaká úloha, napríklad ekonomická. Rozšírené, popisné aj optimalizačné matematické, charakterizujúce rôzne ekonomické procesy a udalosti ako:
Ako sa zostavuje matematický model?
Pomocou tohto algoritmu môžete vyriešiť akýkoľvek optimalizačný problém, vrátane viackriteriálneho, t.j. taký, v ktorom sa nesleduje jeden, ale viacero cieľov, vrátane protichodných.
Vezmime si príklad. Teória radenia - problém radenia. Musíte vyvážiť dva faktory – náklady na údržbu servisných zariadení a náklady na zotrvanie v rade. Po vytvorení formálneho popisu modelu sa výpočty vykonajú pomocou analytických a výpočtových metód. Ak je model dobrý, odpovede nájdené s jeho pomocou sú adekvátne modelovaciemu systému, ak je zlý, treba ho vylepšiť a nahradiť. Kritériom primeranosti je prax.
Optimalizačné modely, vrátane multikriteriálnych, majú spoločnú vlastnosť - je známy cieľ (alebo viacero cieľov), ktorý treba často dosiahnuť v zložitých systémoch, kde nejde ani tak o riešenie optimalizačných problémov, ale o skúmanie a predpovedanie stavov. v závislosti od zvolených stratégií kontroly. A tu sa stretávame s ťažkosťami pri realizácii predchádzajúceho plánu. Sú nasledovné:
V súvislosti s vymenovanými ťažkosťami, ktoré vznikajú pri štúdiu zložitých systémov, si prax vyžadovala flexibilnejšiu metódu, a tá sa objavila - simulačné modelovanie „Simulačné modelovanie“.
Obvykle sa pod simulačným modelom rozumie súbor počítačových programov, ktoré popisujú fungovanie jednotlivých blokov systémov a pravidlá interakcie medzi nimi. Využitie náhodných veličín si vyžaduje opakované uskutočňovanie experimentov so simulačným systémom (na počítači) a následnú štatistickú analýzu získaných výsledkov. Veľmi častým príkladom využitia simulačných modelov je riešenie problému radenia metódou MONTE CARLO.
Práca so simulačným systémom je teda experiment realizovaný na počítači. Aké sú výhody?
– Väčšia blízkosť k reálnemu systému ako matematické modely;
– Princíp blokov umožňuje overiť každý blok pred jeho začlenením do celkového systému;
– Použitie závislostí zložitejšej povahy, ktoré nie sú popísané jednoduchými matematickými vzťahmi.
Uvedené výhody určujú nevýhody
– vytvorenie simulačného modelu je dlhšie, náročnejšie a drahšie;
– na prácu so simulačným systémom musíte mať počítač vhodný pre danú hodinu;
– interakcia medzi používateľom a simulačným modelom (rozhraním) by nemala byť príliš komplikovaná, pohodlná a dobre známa;
- konštrukcia simulačného modelu si vyžaduje hlbšie štúdium reálneho procesu ako matematické modelovanie.
Vynára sa otázka: môže simulačné modelovanie nahradiť optimalizačné metódy? Nie, ale vhodne ich dopĺňa. Simulačný model je program, ktorý implementuje nejaký algoritmus, na optimalizáciu riadenia, ktorého optimalizačný problém je najskôr vyriešený.
Takže ani počítač, ani matematický model, ani algoritmus na jeho samostatné štúdium nedokážu vyriešiť pomerne komplikovaný problém. Ale spolu predstavujú silu, ktorá vám umožňuje poznať svet okolo vás, riadiť ho v záujme človeka.
1.2.1
|
1.2.2 Klasifikácia podľa oblasti použitia (Makarova N.A.)
školenie- vizuálny pomôcky, trenažéry , oh mlátenie programy |
1.2.3 Klasifikácia podľa spôsobu prezentácie Makarova N.A.)
materiál
modely- inak
možno nazvať predmetom. Vnímajú geometrické a fyzikálne vlastnosti originálu a vždy majú skutočné stelesnenie. |
1.2.4 Klasifikácia modelov uvedená v knihe „Krajina informatiky“ (Gein A.G.))„...tu je zdanlivo jednoduchá úloha: ako dlho bude trvať prechod cez púšť Karakum? Odpoveď, samozrejme závisí od spôsobu cestovania. Ak cestovať ďalejťavy, potom bude potrebný jeden termín, ďalší, ak idete autom, tretí, ak letíte lietadlom. A čo je najdôležitejšie, na plánovanie výletu sú potrebné rôzne modely. V prvom prípade možno požadovaný model nájsť v memoároch slávnych púštnych prieskumníkov: veď bez informácií o oázach a ťavích chodníkoch sa človek nezaobíde. V druhom prípade nenahraditeľné informácie obsiahnuté v atlase ciest. V treťom - môžete použiť letový poriadok. |
1.2.5 Klasifikácia modelov uvedená v príručke A.I. BochkinaExistuje mnoho spôsobov klasifikácie .Predstavujeme len niekoľko známejších nadácií a znaky: diskrétnosť a spojitosť, matica a skalárne modely, statické a dynamické modely, analytické a informačné modely, vecné a obrazové znamienkové modely, veľkorozmerné a nemierkové modely... |
Prednáška 1
METODICKÉ ZÁKLADY MODELOVANIA
Súčasný stav problematiky modelovania systémov
Koncepty modelovania a simulácie
Modelovanie možno považovať za náhradu skúmaného objektu (originálu) jeho podmieneným obrazom, popisom alebo iným objektom, tzv. Model a poskytovanie správania blízkeho originálu v rámci určitých predpokladov a prijateľných chýb. Modelovanie sa zvyčajne vykonáva s cieľom poznať vlastnosti originálu skúmaním jeho modelu a nie samotného objektu. Samozrejme, modelovanie má svoje opodstatnenie v prípade, keď je jednoduchšie ako vytvárať samotný originál, alebo keď je z nejakého dôvodu lepšie netvoriť vôbec.
Pod Model rozumie sa fyzický alebo abstraktný objekt, ktorého vlastnosti sú v určitom zmysle podobné vlastnostiam skúmaného objektu.V tomto prípade sú požiadavky na model dané riešeným problémom a dostupnými prostriedkami. Existuje niekoľko všeobecných požiadaviek na modely:
2) úplnosť – poskytnutie všetkých potrebných informácií príjemcovi
o objekte;
3) flexibilita - schopnosť reprodukovať rôzne situácie vo všetkom
rozsah meniacich sa podmienok a parametrov;
4) komplexnosť vývoja by mala byť prijateľná pre existujúce
čas a softvér.
Modelovanie je proces vytvárania modelu objektu a skúmania jeho vlastností skúmaním modelu.
Modelovanie teda zahŕňa 2 hlavné fázy:
1) vývoj modelu;
2) štúdium modelu a vyvodenie záverov.
Zároveň sa v každej fáze riešia rôzne úlohy a
v podstate odlišné metódy a prostriedky.
V praxi sa používajú rôzne metódy modelovania. V závislosti od spôsobu implementácie možno všetky modely rozdeliť do dvoch veľkých tried: fyzikálne a matematické.
Matematické modelovanie Je zvykom považovať ho za prostriedok na štúdium procesov alebo javov pomocou ich matematických modelov.
Pod fyzické modelovanie sa chápe ako štúdium predmetov a javov na fyzikálnych modeloch, kedy sa skúmaný proces reprodukuje so zachovaním jeho fyzikálnej podstaty alebo sa použije iný fyzikálny jav podobný skúmanému. V čom fyzické modely Spravidla predpokladajú skutočné stelesnenie tých fyzikálnych vlastností originálu, ktoré sú v konkrétnej situácii podstatné, napríklad pri návrhu nového lietadla vzniká jeho model, ktorý má rovnaké aerodynamické vlastnosti; pri plánovaní budovy architekti robia rozloženie, ktoré odráža priestorové usporiadanie jej prvkov. V tomto smere sa nazýva aj fyzikálne modelovanie prototypovanie.
HIL modelovanie je štúdium riadených systémov na simulačných komplexoch so zahrnutím reálnych zariadení do modelu. Spolu s reálnymi zariadeniami uzavretý model zahŕňa simulátory nárazov a interferencií, matematické modely vonkajšieho prostredia a procesov, pre ktoré nie je známy dostatočne presný matematický popis. Začlenenie reálnych zariadení alebo reálnych systémov do obvodu na modelovanie zložitých procesov umožňuje znížiť apriórnu neistotu a preskúmať procesy, pre ktoré neexistuje presný matematický popis. Pomocou poloprirodzenej simulácie sa štúdie vykonávajú s prihliadnutím na malé časové konštanty a nelinearity, ktoré sú vlastné skutočnému zariadeniu. Pri štúdiu modelov so zahrnutím reálnej výbavy sa využíva koncept dynamická simulácia, pri štúdiu zložitých systémov a javov - evolučné, imitácia a kybernetickú simuláciu.
Je zrejmé, že skutočný prínos modelovania možno dosiahnuť iba vtedy, ak sú splnené dve podmienky:
1) model poskytuje správne (adekvátne) zobrazenie vlastností
pôvodný, významný z hľadiska skúmanej prevádzky;
2) model umožňuje odstrániť vyššie uvedené problémy, ktoré sú vlastné
vykonávanie výskumu skutočných objektov.
Riešenie praktických problémov matematickými metódami sa dôsledne uskutočňuje formulovaním problému (vývoj matematického modelu), výberom metódy na štúdium získaného matematického modelu a analýzou získaného matematického výsledku. Matematická formulácia problému sa zvyčajne prezentuje vo forme geometrických obrazov, funkcií, systémov rovníc atď. Opis objektu (javu) možno znázorniť pomocou spojitých alebo diskrétnych, deterministických alebo stochastických a iných matematických foriem.
Teória matematického modelovania zabezpečuje identifikáciu zákonitostí v prúdení rôznych javov okolitého sveta či činnosti systémov a zariadení ich matematickým popisom a modelovaním bez testov v teréne. V tomto prípade sa používajú ustanovenia a zákony matematiky, ktoré opisujú simulované javy, systémy alebo zariadenia na určitej úrovni ich idealizácie.
Matematický model (MM) je formalizovaný popis systému (alebo operácie) v nejakom abstraktnom jazyku, napríklad vo forme množiny matematických vzťahov alebo schémy algoritmu, t.j. e) taký matematický popis, ktorý poskytuje imitáciu činnosti systémov alebo zariadení na úrovni dostatočne blízkej ich skutočnému správaniu získanému počas testov systémov alebo zariadení v plnom rozsahu.
Akýkoľvek MM opisuje skutočný objekt, jav alebo proces s určitým stupňom priblíženia sa realite. Typ MM závisí od povahy skutočného objektu a od cieľov štúdie.
Matematické modelovanie sociálne, ekonomické, biologické a fyzikálne javy, predmety, systémy a rôzne zariadenia je jedným z najdôležitejších prostriedkov na pochopenie prírody a navrhovanie širokej škály systémov a zariadení. Známe sú príklady efektívneho využitia modelovania pri tvorbe jadrových technológií, letectva a kozmických systémov, pri predpovedi atmosférických a oceánskych javov, počasia a pod.
Takéto vážne oblasti modelovania si však často vyžadujú superpočítače a roky práce veľkých tímov vedcov na príprave dát pre modelovanie a jeho ladenie. Napriek tomu aj v tomto prípade matematické modelovanie zložitých systémov a zariadení šetrí nielen peniaze na výskum a testovanie, ale môže eliminovať aj ekologické katastrofy – napríklad umožňuje upustiť od testovania jadrových a termonukleárnych zbraní v prospech tzv. ich matematické modelovanie či testovanie leteckých systémov pred ich skutočnými letmi.Zatiaľ sa matematické modelovanie na úrovni riešenia jednoduchších problémov napríklad z oblasti mechaniky, elektrotechniky, elektroniky, rádiotechniky a mnohých ďalších oblastí vedy a techniky teraz sú k dispozícii na vykonávanie na moderných počítačoch. A pri použití zovšeobecnených modelov je možné modelovať pomerne zložité systémy, napríklad telekomunikačné systémy a siete, radarové alebo rádionavigačné systémy.
Účel matematického modelovania je analýza reálnych procesov (v prírode alebo technológii) matematickými metódami. To si zase vyžaduje formalizáciu procesu MM, ktorý sa má preskúmať. Modelom môže byť matematický výraz obsahujúci premenné, ktorých správanie je podobné správaniu reálneho systému. Model môže obsahovať prvky náhodnosti, ktoré zohľadňujú pravdepodobnosti možné akcie dvoch alebo viacerých „hráčov“, hry; alebo môže predstavovať skutočné premenné vzájomne prepojených častí operačného systému.
Matematické modelovanie na štúdium charakteristík systémov možno rozdeliť na analytické, simulačné a kombinované. MM sú zase rozdelené na simulačné a analytické.
Analytické modelovanie
Pre analytické modelovanie je charakteristické, že procesy fungovania systému sú zapísané vo forme nejakých funkčných vzťahov (algebraické, diferenciálne, integrálne rovnice). Analytický model možno skúmať nasledujúcimi metódami:
1) analytické, keď sa snažia získať vo všeobecnosti explicitné závislosti pre charakteristiky systémov;
2) numerické, keď nie je možné nájsť riešenie rovníc vo všeobecnej forme a riešia sa pre konkrétne počiatočné údaje;
3) kvalitatívne, keď sa pri absencii riešenia nájdu niektoré jeho vlastnosti.
Analytické modely je možné získať len pre relatívne jednoduché systémy. Pre zložité systémy často vznikajú veľké matematické problémy. Pri aplikácii analytickej metódy sa pristupuje k výraznému zjednodušeniu pôvodného modelu. Štúdia na zjednodušenom modeli však pomáha získať len orientačné výsledky. Analytické modely matematicky správne odrážajú vzťah medzi vstupnými a výstupnými premennými a parametrami. Ich štruktúra však neodráža vnútornú štruktúru objektu.
V analytickom modelovaní sú jeho výsledky prezentované vo forme analytických výrazov. Napríklad pripojením RC- obvod na zdroj konštantného napätia E(R, C a E sú komponenty tohto modelu), môžeme urobiť analytické vyjadrenie pre časovú závislosť napätia u(t) na kondenzátore C:
Toto je lineárna diferenciálna rovnica (DE) a je analytickým modelom tohto jednoduchého lineárneho obvodu. Jeho analytické riešenie, za počiatočných podmienok u(0) = 0, čo znamená vybitý kondenzátor C na začiatku simulácie vám umožňuje nájsť požadovanú závislosť - vo forme vzorca:
u(t) = E(1− naprp(- t/RC)). (2)
Avšak aj v tomto najjednoduchšom príklade je potrebné určité úsilie na vyriešenie diferenciálnej rovnice (1) alebo na jej aplikáciu počítačové matematické systémy(SCM) so symbolickými výpočtami - systémy počítačovej algebry. Pre tento celkom triviálny prípad je riešenie problému modelovania lineárneho RC-obvod dáva analytické vyjadrenie (2) pomerne všeobecnej formy - je vhodné na popis činnosti obvodu pre ľubovoľné hodnoty komponentov R, C a E a popisuje exponenciálny náboj kondenzátora C cez odpor R zo zdroja konštantného napätia E.
Hľadanie analytických riešení v analytickom modelovaní sa nepochybne ukazuje ako mimoriadne cenné na odhaľovanie všeobecných teoretických zákonitostí jednoduchých lineárnych obvodov, systémov a zariadení. Jeho zložitosť však prudko narastá, keď sa vplyv na model stáva zložitejším a poradie a počet stavové rovnice, ktoré popisujú rast modelovaného objektu. Pri modelovaní objektov druhého alebo tretieho rádu môžete získať viac či menej viditeľné výsledky, ale aj pri vyššom ráde sa analytické výrazy stávajú príliš ťažkopádne, zložité a ťažko pochopiteľné. Napríklad aj jednoduchý elektrónkový zosilňovač často obsahuje desiatky komponentov. Avšak, mnoho moderných SCM, ako sú systémy symbolickej matematiky Javor, Mathematica alebo streda MATLAB sú schopné vo veľkej miere automatizovať riešenie zložitých problémov analytického modelovania.
Jeden typ modelovania je numerická simulácia, ktorá spočíva v získavaní potrebných kvantitatívnych údajov o správaní sa systémov alebo zariadení akoukoľvek vhodnou numerickou metódou, ako je Eulerova alebo Runge-Kutta metóda. V praxi je modelovanie nelineárnych systémov a zariadení pomocou numerických metód oveľa efektívnejšie ako analytické modelovanie jednotlivých súkromných lineárnych obvodov, systémov alebo zariadení. Napríklad na riešenie DE (1) alebo DE systémov v zložitejších prípadoch sa nezíska riešenie v analytickej forme, ale numerické simulačné údaje môžu poskytnúť dostatočne úplné údaje o správaní simulovaných systémov a zariadení, ako aj graf grafy popisujúce toto správanie závislostí.
Simulácia
o imitácia Pri modelovaní algoritmus, ktorý implementuje model, reprodukuje proces fungovania systému v čase. Napodobňujú sa elementárne javy, ktoré tvoria proces, so zachovaním ich logickej štruktúry a postupnosti plynutia v čase.
Hlavnou výhodou simulačných modelov oproti analytickým je schopnosť riešiť zložitejšie problémy.
Simulačné modely uľahčujú zohľadnenie prítomnosti diskrétnych alebo spojitých prvkov, nelineárnych charakteristík, náhodných efektov atď. Preto je táto metóda široko používaná v štádiu návrhu zložitých systémov. Hlavným nástrojom na realizáciu simulačného modelovania je počítač, ktorý umožňuje digitálne modelovanie systémov a signálov.
V tejto súvislosti definujeme slovné spojenie „ počítačové modelovanie“, ktorý sa v literatúre používa čoraz častejšie. To budeme predpokladať počítačové modelovanie- ide o matematické modelovanie pomocou výpočtovej techniky. V súlade s tým technológia počítačovej simulácie zahŕňa nasledujúce akcie:
1) definícia účelu modelovania;
2) vývoj koncepčného modelu;
3) formalizácia modelu;
4) softvérová implementácia modelu;
5) plánovanie modelových experimentov;
6) implementácia plánu experimentu;
7) analýza a interpretácia výsledkov simulácie.
o simulačné modelovanie použitý MM reprodukuje algoritmus („logiku“) fungovania skúmaného systému v čase pre rôzne kombinácie hodnôt parametrov systému a prostredia.
Príkladom najjednoduchšieho analytického modelu je rovnica rovnomerného priamočiareho pohybu. Pri štúdiu takéhoto procesu pomocou simulačného modelu by sa malo implementovať pozorovanie zmeny prejdenej dráhy v čase.Samozrejme, v niektorých prípadoch je vhodnejšie analytické modelovanie, v iných - simulácia (alebo kombinácia oboch). Pre dobrý výber je potrebné zodpovedať dve otázky.
Aký je účel modelovania?
Do akej triedy možno zaradiť simulovaný jav?
Odpovede na obe tieto otázky možno získať počas vykonávania prvých dvoch fáz modelovania.
Simulačné modely nielen vlastnosťami, ale aj štruktúrou zodpovedajú modelovanému objektu. V tomto prípade existuje jednoznačná a explicitná zhoda medzi procesmi získanými na modeli a procesmi vyskytujúcimi sa na objekte. Nevýhodou simulačného modelovania je, že vyriešenie problému trvá dlho, kým sa dosiahne dobrá presnosť.
Výsledkom simulačného modelovania práce stochastického systému sú realizácie náhodných premenných alebo procesov. Na nájdenie charakteristík systému je preto potrebné viacnásobné opakovanie a následné spracovanie údajov. Najčastejšie sa v tomto prípade používa typ simulácie - štatistické
modelovanie(alebo metóda Monte Carlo), t.j. reprodukcia v modeloch náhodných faktorov, udalostí, veličín, procesov, polí.
Podľa výsledkov štatistického modelovania sa stanovujú odhady pravdepodobnostných kritérií kvality, všeobecných a konkrétnych, charakterizujúcich fungovanie a efektívnosť riadeného systému. Štatistické modelovanie sa široko používa na riešenie vedeckých a aplikovaných problémov v rôznych oblastiach vedy a techniky. Metódy štatistického modelovania sú široko používané pri štúdiu zložitých dynamických systémov, hodnotení ich fungovania a efektívnosti.
Záverečná fáza štatistického modelovania je založená na matematickom spracovaní získaných výsledkov. Tu sa využívajú metódy matematickej štatistiky (parametrický a neparametrický odhad, testovanie hypotéz). Príkladom parametrického hodnotenia je vzorový priemer merania výkonnosti. Spomedzi neparametrických metód sú najpoužívanejšie histogramová metóda.
Uvažovaná schéma je založená na viacerých štatistických testoch systému a metódach štatistiky nezávislých náhodných veličín.Táto schéma nie je v praxi ani zďaleka vždy prirodzená a nákladovo optimálna. Skrátenie času testovania systému je možné dosiahnuť použitím presnejších metód odhadu. Ako je známe z matematických štatistík, efektívne odhady majú najvyššiu presnosť pre danú veľkosť vzorky. Optimálna filtrácia a metóda maximálnej pravdepodobnosti poskytujú všeobecnú metódu na získanie takýchto odhadov.V problémoch štatistického modelovania je spracovanie realizácií náhodných procesov nevyhnutné nielen pre analýzu výstupných procesov.
Je tiež veľmi dôležité kontrolovať charakteristiky vstupných náhodných efektov. Kontrola spočíva v kontrole, či rozdelenia generovaných procesov zodpovedajú daným rozdeleniam. Táto úloha je často formulovaná ako úloha testovania hypotéz.
Všeobecným trendom v počítačom podporovanej simulácii zložitých riadených systémov je túžba skrátiť čas simulácie, ako aj vykonávať výskum v reálnom čase. Výpočtové algoritmy sú pohodlne reprezentované v opakujúcej sa forme, ktorá umožňuje ich implementáciu tempom aktuálnych informácií.
PRINCÍPY SYSTÉMOVÉHO PRÍSTUPU V MODELOVANÍ
Základy teórie systémov
Hlavné ustanovenia teórie systémov vznikli v rámci štúdia dynamických systémov a ich funkčných prvkov. Systém je chápaný ako skupina vzájomne súvisiacich prvkov, ktoré pôsobia spoločne pri plnení vopred určenej úlohy. Systémová analýza vám umožňuje určiť najrealistickejšie spôsoby dokončenia úlohy, čím sa zabezpečí maximálne uspokojenie požiadaviek.
Prvky, ktoré tvoria základ teórie systémov, sa nevytvárajú pomocou hypotéz, ale sú objavované experimentálne. Na začatie budovania systému je potrebné mať všeobecnú charakteristiku technologických procesov. To isté platí pre princípy tvorby matematicky formulovaných kritérií, ktoré musí proces alebo jeho teoretický popis spĺňať. Modelovanie je jednou z najdôležitejších metód vedeckého výskumu a experimentovania.
Pri budovaní modelov objektov sa využíva systematický prístup, čo je metodika riešenia zložitých problémov, ktorá je založená na uvažovaní o objekte ako o systéme fungujúcom v určitom prostredí. Systémový prístup zahŕňa odhalenie integrity objektu, identifikáciu a štúdium jeho vnútornej štruktúry, ako aj prepojenia s vonkajším prostredím. V tomto prípade je objekt prezentovaný ako súčasť reálneho sveta, ktorý je identifikovaný a študovaný v súvislosti s riešeným problémom stavby modelu. Okrem toho systematický prístup zahŕňa dôsledný prechod od všeobecného k konkrétnemu, keď sa úvaha zakladá na cieli dizajnu a objekt sa zvažuje vo vzťahu k životnému prostrediu.
Komplexný objekt možno rozdeliť na podsystémy, čo sú časti objektu, ktoré spĺňajú nasledujúce požiadavky:
1) subsystém je funkčne nezávislá časť objektu. Je prepojený s inými subsystémami, vymieňa si s nimi informácie a energiu;
2) pre každý subsystém možno definovať funkcie alebo vlastnosti, ktoré sa nezhodujú s vlastnosťami celého systému;
3) každý zo subsystémov je možné ďalej členiť na úroveň prvkov.
Prvok sa v tomto prípade chápe ako podsystém nižšej úrovne, ktorého ďalšie členenie je z hľadiska riešeného problému neúčelné.
Systém teda možno definovať ako reprezentáciu objektu vo forme súboru subsystémov, prvkov a vzťahov za účelom jeho vytvorenia, výskumu alebo zlepšenia. Zväčšené znázornenie systému, ktoré zahŕňa hlavné podsystémy a prepojenia medzi nimi, sa zároveň nazýva makroštruktúra a podrobné odhalenie vnútornej štruktúry systému na úroveň prvkov sa nazýva mikroštruktúra.
Spolu so systémom zvyčajne existuje supersystém - systém vyššej úrovne, ktorý zahŕňa posudzovaný objekt a funkciu akéhokoľvek systému je možné určiť iba prostredníctvom supersystému.
Je potrebné vyčleniť pojem životné prostredie ako súbor objektov vonkajšieho sveta, ktoré výrazne ovplyvňujú efektívnosť systému, ale nie sú súčasťou systému a jeho supersystému.
V súvislosti so systematickým prístupom k budovaniu modelov sa používa pojem infraštruktúra, ktorý popisuje vzťah systému s jeho prostredím (prostredím), v tomto prípade výber, popis a štúdium vlastností objektu, ktoré sú podstatné. v rámci konkrétnej úlohy sa nazýva stratifikácia objektu a akýkoľvek model objektu je jeho stratifikovaným popisom.
Pre systematický prístup je dôležité určiť štruktúru systému, t.j. súbor väzieb medzi prvkami systému, odrážajúci ich interakciu. Aby sme to dosiahli, najprv zvážime štrukturálne a funkčné prístupy k modelovaniu.
Štrukturálnym prístupom sa odhalí zloženie vybraných prvkov systému a väzby medzi nimi. Súhrn prvkov a vzťahov umožňuje posúdiť štruktúru systému. Najvšeobecnejším popisom štruktúry je topologický popis. Umožňuje definovať komponenty systému a ich vzťahy pomocou grafov. Menej všeobecný je funkčný popis, keď sa berú do úvahy jednotlivé funkcie, t. j. algoritmy správania sa systému. Súčasne je implementovaný funkčný prístup, ktorý určuje funkcie, ktoré systém vykonáva.
Na základe systematického prístupu možno navrhnúť postupnosť vývoja modelu, pričom sa rozlišujú dve hlavné etapy návrhu: makrodizajn a mikrodizajn.
Vo fáze makronávrhu sa vytvorí model vonkajšieho prostredia, identifikujú sa zdroje a obmedzenia, vyberie sa systémový model a kritériá na hodnotenie primeranosti.
Štádium mikrodizajnu do značnej miery závisí od konkrétneho typu zvoleného modelu. Vo všeobecnom prípade ide o vytvorenie informačnej, matematickej, technickej a softvérovej podpory pre modelovací systém. V tejto fáze sa stanovujú hlavné technické charakteristiky vytvoreného modelu, odhaduje sa čas práce s ním a náklady na zdroje na získanie špecifikovanej kvality modelu.
Bez ohľadu na typ modelu je pri jeho zostavovaní potrebné riadiť sa niekoľkými zásadami systematického prístupu:
1) dôsledný postup vo fázach vytvárania modelu;
2) koordinácia informácií, zdrojov, spoľahlivosti a iných charakteristík;
3) správny pomer rôznych úrovní budovania modelu;
4) celistvosť jednotlivých fáz návrhu modelu.
Úlohy riešené metódami LP sú obsahovo veľmi rôznorodé. Ale ich matematické modely sú podobné a sú podmienene kombinované do troch veľkých skupín problémov:
Tabuľka 3.1
Otázky na sebaovládanie
1. Vyjadrenie k problému dopravy. opísať konštrukciu matematického modelu.
2. Čo je problém vyváženej a nevyváženej dopravy?
3. Čo sa počíta v objektívnej funkcii dopravnej úlohy?
4. Čo odráža každá nerovnosť systému obmedzení problému plánu?
5. Čo odráža každá nerovnosť systému obmedzení problému zmesi?
6. Čo znamenajú premenné v úlohe plánu a úlohe zmesi?
Matematické modely
Matematický model - približné opipopis objektu modelovania, vyjadrený pomocouschyu matematická symbolika.
Matematické modely sa objavili spolu s matematikou pred mnohými storočiami. Obrovský impulz pre rozvoj matematického modelovania dal vzhľad počítačov. Použitie počítačov umožnilo analyzovať a uviesť do praxe mnohé matematické modely, ktoré predtým neboli prístupné analytickému výskumu. Počítačom implementovaná matematikamodel oblohy volal počítačový matematický model, ale vykonávanie cielených výpočtov pomocou počítačového modelu volal výpočtový experiment.
Etapy počítačovej matematickej movymazanie znázornené na obrázku. najprvetapa - definovanie cieľov modelovania. Tieto ciele môžu byť rôzne:
Príklad z úplne inej oblasti: pokojne koexistujúce so stabilnými populáciami dvoch druhov jedincov so spoločnou potravinovou základňou, „zrazu“ začnú dramaticky meniť ich počty. A tu matematické modelovanie umožňuje (s istou mierou istoty) stanoviť príčinu (alebo aspoň vyvrátiť určitú hypotézu).
Rozvoj koncepcie riadenia objektov je ďalším možným cieľom modelovania. Aký letový režim lietadla by sa mal zvoliť, aby bol let bezpečný a nákladovo najefektívnejší? Ako naplánovať stovky druhov prác na výstavbe veľkého zariadenia tak, aby sa čo najskôr skončilo? Mnoho takýchto problémov systematicky vyvstáva pred ekonómami, dizajnérmi a vedcami.
Napokon, predpovedanie dôsledkov určitých dopadov na objekt môže byť tak relatívne jednoduchou záležitosťou v jednoduchých fyzikálnych systémoch, ako aj extrémne zložitou – na hranici uskutočniteľnosti – v biologických, ekonomických, sociálnych systémoch. Ak je pomerne ľahké odpovedať na otázku o zmene spôsobu šírenia tepla v tenkej tyči so zmenami v jej zliatine, potom je neporovnateľne ťažšie vysledovať (predpovedať) environmentálne a klimatické dôsledky konštrukcie tyče. veľká vodná elektráreň či sociálne dôsledky zmien v daňovej legislatíve. Možno aj tu budú v budúcnosti výraznejšie pomáhať metódy matematického modelovania.
Druhá fáza: definícia vstupných a výstupných parametrov modelu; rozdelenie vstupných parametrov podľa miery dôležitosti vplyvu ich zmien na výstup. Tento proces sa nazýva hodnotenie alebo rozdelenie podľa hodnotenia (pozri nižšie). „Formalisatvorba a modelovanie").
Tretia etapa: konštrukcia matematického modelu. V tejto fáze dochádza k prechodu od abstraktnej formulácie modelu k formulácii, ktorá má špecifické matematické znázornenie. Matematickým modelom sú rovnice, sústavy rovníc, sústavy nerovníc, diferenciálne rovnice alebo sústavy takýchto rovníc atď.
Štvrtá etapa: výber metódy na štúdium matematického modelu. Najčastejšie sa tu používajú numerické metódy, ktoré sa hodia na programovanie. Na riešenie toho istého problému je spravidla vhodných niekoľko metód, ktoré sa líšia presnosťou, stabilitou atď. Úspešnosť celého procesu modelovania často závisí od správneho výberu metódy.
Piata etapa: vývoj algoritmu, kompilácia a ladenie počítačového programu je proces, ktorý sa ťažko formalizuje. Z programovacích jazykov mnohí profesionáli v oblasti matematického modelovania preferujú FORTRAN: jednak kvôli tradícii, jednak kvôli neprekonateľnej efektivite kompilátorov (pre výpočtovú prácu) a prítomnosti obrovských, starostlivo odladených a optimalizovaných knižníc štandardných programov matematických metód napísaných v to. Používajú sa aj jazyky ako PASCAL, BASIC, C, v závislosti od povahy úlohy a sklonov programátora.
Šiesta etapa: testovanie programu. Fungovanie programu je testované na testovacom probléme so známou odpoveďou. Toto je len začiatok testovacieho postupu, ktorý je ťažké opísať formálne vyčerpávajúcim spôsobom. Zvyčajne sa testovanie končí, keď používateľ podľa svojich profesionálnych vlastností považuje program za správny.
Siedma etapa: skutočný výpočtový experiment, počas ktorého sa ukáže, či model zodpovedá reálnemu objektu (procesu). Model je dostatočne adekvátny skutočnému procesu, ak sa niektoré charakteristiky procesu získané na počítači zhodujú s experimentálne získanými charakteristikami s daným stupňom presnosti. Ak model nezodpovedá skutočnému procesu, vrátime sa k jednej z predchádzajúcich fáz.
Klasifikácia matematických modelov
Klasifikácia matematických modelov môže byť založená na rôznych princípoch. Modely je možné klasifikovať podľa vedných odborov (matematické modely vo fyzike, biológii, sociológii atď.). Možno ho klasifikovať podľa aplikovaného matematického aparátu (modely založené na použití obyčajných diferenciálnych rovníc, parciálnych diferenciálnych rovníc, stochastických metód, diskrétnych algebraických transformácií atď.). Napokon, ak vychádzame zo všeobecných úloh modelovania v rôznych vedách, bez ohľadu na matematický aparát, najprirodzenejšia je nasledujúca klasifikácia:
Vysvetlime si to na príkladoch.
Deskriptívne (deskriptívne) modely. Napríklad simulácie pohybu kométy, ktorá napadne Slnečnú sústavu, sa robia s cieľom predpovedať trajektóriu jej letu, vzdialenosť, v ktorej preletí od Zeme atď. V tomto prípade sú ciele modelovania popisné, keďže neexistuje spôsob, ako ovplyvniť pohyb kométy, niečo v nej zmeniť.
Optimalizačné modely sa používajú na opis procesov, ktoré je možné ovplyvniť v snahe dosiahnuť daný cieľ. V tomto prípade model obsahuje jeden alebo viac parametrov, ktoré je možné ovplyvniť. Napríklad zmenou tepelného režimu v sýpke si možno stanoviť za cieľ zvoliť taký režim, aby sa dosiahlo maximálne zachovanie zrna, t.j. optimalizovať proces skladovania.
Multikriteriálne modely. Často je potrebné optimalizovať proces vo viacerých parametroch súčasne a ciele môžu byť veľmi protichodné. Napríklad pri znalosti cien potravín a potravinovej potreby človeka je potrebné organizovať stravovanie pre veľké skupiny ľudí (v armáde, detskom letnom tábore a pod.) fyziologicky správne a zároveň čo najlacnejšie. Je jasné, že tieto ciele sa vôbec nezhodujú; pri modelovaní sa použije viacero kritérií, medzi ktorými treba hľadať rovnováhu.
Herné modely môže súvisieť nielen s počítačovými hrami, ale aj s veľmi vážnymi vecami. Napríklad pred bitkou, v prítomnosti neúplných informácií o nepriateľskej armáde, musí veliteľ vypracovať plán: v akom poradí priviesť určité jednotky do boja atď., S prihliadnutím na možnú reakciu nepriateľa. Existuje špeciálna sekcia modernej matematiky - teória hier - ktorá študuje metódy rozhodovania v podmienkach neúplných informácií.
V školskom kurze informatiky získajú študenti počiatočnú predstavu o počítačovom matematickom modelovaní ako súčasť základného kurzu. Na strednej škole možno matematické modelovanie do hĺbky študovať v kurze všeobecného vzdelávania pre hodiny fyziky a matematiky, ako aj v rámci špecializovaného voliteľného kurzu.
Hlavnými formami výučby počítačového matematického modelovania na strednej škole sú prednášky, laboratórne a zápočtové hodiny. Zvyčajne práca na tvorbe a príprave na štúdium každého nového modelu trvá 3-4 lekcie. V priebehu prezentácie materiálu sú stanovené úlohy, ktoré v budúcnosti musia študenti vyriešiť samostatne, vo všeobecnosti sú načrtnuté spôsoby ich riešenia. Formulujú sa otázky, na ktoré je potrebné získať odpovede pri plnení úloh. Je uvedená ďalšia literatúra, ktorá umožňuje získať pomocné informácie pre úspešnejšie splnenie úloh.
Formou organizácie vyučovania pri štúdiu nového materiálu je zvyčajne prednáška. Po ukončení diskusie o ďalšom modeli študentov mať k dispozícii potrebné teoretické informácie a súbor úloh pre ďalšiu prácu. Žiaci si pri príprave na zadanie zvolia vhodný spôsob riešenia, pomocou nejakého známeho súkromného riešenia otestujú vyvinutý program. V prípade celkom možných ťažkostí pri plnení úloh sa poskytuje konzultácia, navrhuje sa podrobnejšie rozpracovať tieto časti v literatúre.
Pre praktickú časť výučby počítačového modelovania je najdôležitejšia metóda projektov. Úloha je formulovaná pre študenta vo forme vzdelávacieho projektu a prebieha počas niekoľkých vyučovacích hodín, pričom hlavnou organizačnou formou je v tomto prípade práca v laboratóriu na počítači. Učenie sa modelovať pomocou metódy vzdelávacieho projektu možno realizovať na rôznych úrovniach. Prvým je problémové vyjadrenie procesu realizácie projektu, ktorý vedie učiteľ. Druhým je realizácia projektu žiakmi pod vedením pedagóga. Treťou je samostatná realizácia projektu pedagogického výskumu študentmi.
Výsledky práce by mali byť prezentované v číselnej forme, vo forme grafov, diagramov. Ak je to možné, proces je prezentovaný na obrazovke počítača v dynamike. Po ukončení výpočtov a prijatí výsledkov sa tieto analyzujú, porovnajú so známymi faktami z teórie, potvrdí sa spoľahlivosť a vykoná sa zmysluplná interpretácia, ktorá sa následne premietne do písomnej správy.
Ak výsledky uspokoja žiaka a učiteľa, tak prácu počíta a jeho poslednou fázou je príprava správy. Správa obsahuje stručné teoretické informácie k skúmanej téme, matematickú formuláciu problému, algoritmus riešenia a jeho zdôvodnenie, počítačový program, výsledky programu, analýzu výsledkov a záverov, zoznam literatúry.
Po vypracovaní všetkých správ študenti na testovacej relácii vypracujú stručné správy o vykonanej práci, obhajujú svoj projekt. Ide o efektívnu formu hlásenia projektového tímu triede, vrátane stanovenia problému, zostavenia formálneho modelu, výberu metód práce s modelom, implementácie modelu na počítači, práce s hotovým modelom, interpretácie výsledkov, predpovedanie. Výsledkom je, že študenti môžu získať dva stupne: prvý - za vypracovanie projektu a úspešnosť jeho obhajoby, druhý - za program, optimálnosť jeho algoritmu, rozhrania atď. Študenti získavajú známky aj v rámci teoretických prieskumov.
Podstatnou otázkou je, aké nástroje použiť v školskom kurze informatiky na matematické modelovanie? Počítačová implementácia modelov môže byť vykonaná:
Na úrovni základnej školy sa javí ako preferovaný prvý liek. Na strednej škole, keď je programovanie spolu s modelovaním kľúčovou témou informatiky, je však žiaduce zapojiť ho ako modelovací nástroj. V procese programovania sa študentom sprístupnia detaily matematických postupov; navyše sú jednoducho nútení ich ovládať a aj to prispieva k matematickému vzdelaniu. Pokiaľ ide o použitie špeciálnych softvérových balíkov, je to vhodné v profilovom kurze informatiky ako doplnok k iným nástrojom.
Úloha :
