Лекция № 1
Введение. Понятие математических моделей и методов
Раздел 1. Введение
2. Методы построения математических моделей. Понятие о системном подходе. 1
3. Основные понятия математического моделирования экономических систем.. 4
4. Методы аналитического, имитационного и натурного моделирования. 5
Контрольные вопросы.. 6
Настоящая дисциплина посвящена изучению методов моделирования и практическому применению полученных знаний. Целью дисциплины является обучение студентов общим вопросам теории моделирования, методам построения математических моделей и формального описания процессов и объектов, применению математических моделей для проведения вычислительных экспериментов и решения оптимизационных задач, с использованием современных вычислительных средств.
В задачи дисциплины входит:
Ознакомить студентов с основными понятиями теории математического моделирования, теории систем, теории подобия, теории планирования эксперимента и обработки экспериментальных данных, используемых для построения математических моделей,
Дать студентам навыки в области постановки задачи моделирования, математического описания объектов /процессов/, численных методов реализации математических моделей на ЭВМ и решения оптимизационных задач.
В результате изучения дисциплины студент должен освоить методы математического моделирования процессов и объектов от постановки задачи до реализации математических моделей на ЭВМ и оформления результатов исследования моделей.
Курс дисциплины рассчитан на 12 лекций и 12 практических работ. В результате изучения дисциплины студент должен освоить методы математического моделирования от постановки задачи до реализации математических моделей на ЭВМ
5. Решение задачи.
Последовательное использование методов исследования операций и их реализация на современной информационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.
Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить на вычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании при выстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляет управленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает в обход человека, представляя ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию. Системный подход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как метод исследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, а только учит, как их лучше использовать.
Моделирование представляет собой мощный метод научного познания, при использовании которого исследуемый объект заменяется более простым объектом, называемым моделью. Основными разновидностями процесса моделирования можно считать два его вида - математическое и физическое моделирование. При физическом (натурном) моделировании исследуемая система заменяется соответствующей ей другой материальной системой, которая воспроизводит свойства изучаемой системы с сохранением их физической природы. Примером этого вида моделирования может служить пилотная сеть, с помощью которой изучается принципиальная возможность построения сети на основе тех или иных компьютеров, коммуникационных устройств, операционных систем и приложений.
Возможности физического моделирования довольно ограничены. Оно позволяет решать отдельные задачи при задании небольшого количества сочетаний исследуемых параметров системы. Действительно, при натурном моделировании вычислительной сети практически невозможно проверить ее работу для вариантов с использованием различных типов коммуникационных устройств - маршрутизаторов, коммутаторов и т. п. Проверка на практике около десятка разных типов маршрутизатров связана не только с большими усилиями и временными затратами, но и с немалыми материальными затратами.
Но даже и в тех случаях, когда при оптимизации сети изменяются не типы устройств и операционных систем, а только их параметры, проведение экспериментов в реальном масштабе времени для огромного количества всевозможных сочетаний этих параметров практичеки невозможно за обозримое время. Даже простое изменение максимального размера пакета в каком-либо протоколе требует переконфигурирования операционной системы в сотнях компьютеров сети, что требует от администратора сети проведения очень большой работы.
Поэтому, при оптимизации сетей во многих случаях предпочтительным оказывается использование математического моделирования. Математическая модель представляет собой совокупность соотношений (формул, уравнений, неравенств, логических условий), определяющих процесс изменения состояния системы в зависимости от ее параметров, входных сигналов, начальных условий и времени.
Особым классом математических моделей являются имитационные модели. Такие модели представляют собой компьютерную программу, которая шаг за шагом воспроизводит события, происходящие в реальной системе. Применительно к вычислительным сетям их имитационные модели воспроизводят процессы генерации сообщений приложениями, разбиение сообщений на пакеты и кадры определенных протоколов, задержки, связанные с обработкой сообщений, пакетов и кадров внутри операционной системы, процесс получения доступа компьютером к разделяемой сетевой среде, процесс обработки поступающих пакетов маршрутизатором и т. д. При имитационном моделировании сети не требуется приобретать дорогостоящее оборудование - его работы имитируется программами, достаточно точно воспроизводящими все основные особенности и параметры такого оборудования.
Преимуществом имитационных моделей является возможность подмены процесса смены событий в исследуемой системе в реальном масштабе времени на ускоренный процесс смены событий в темпе работы программы. В результате за несколько минут можно воспроизвести работу сети в течение нескольких дней, что дает возможность оценить работу сети в широком диапазоне варьируемых параметров.
Результатом работы имитационной модели являются собранные в ходе наблюдения за протекающими событиями статистические данные о наиболее важных характеристиках сети: временах реакции, коэффициентах использования каналов и узлов, вероятности потерь пакетов и т. п.
Существуют специальные языки имитационного моделирования, которые облегчают процесс создания программной модели по сравнению с использованием универсальных языков программирования. Примерами языков имитационного моделирования могут служить такие языки, как SIMULA, GPSS, SIMDIS.
Существуют также системы имитационного моделирования, которые ориентируются на узкий класс изучаемых систем и позволяют строить модели без программирования.
С.П. БОБКОВ, Д.О. БЫТЕВ
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ
Учебное пособие
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Ивановский государственный химико-технологический университет
Международный университет бизнеса и новых технологий (институт)
С.П. БОБКОВ, Д.О. БЫТЕВ
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ
для студентов высших учебных заведений.
Бобков С.П. Моделирование систем: учеб. пособие / С.П. Бобков,
Д.О. Бытев; Иван. гос. хим.-технол. ун-т. – Иваново, 2008. – 156 с. - ISBN
Цель учебного пособия – дать студентам общее представление о со- временных методах моделирования технических и технико-экономических систем и объектов.
В пособии рассматриваются общие вопросы и современная методо-
логия моделирования, непрерывные и дискретные детерминированные мо-
дели объектов и систем, стохастические модели с дискретным и непрерыв- ным временем. Большое внимание уделено методам имитационного моде- лирования систем с вероятностными характеристиками. Дается обзор дру- гих подходов к моделированию сложных систем, таких как информацион- но-энтропийный, использование нейронных сетей и сетей Петри.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям подготовки 080801 «Прикладная информатика» и 230201
«Информационные системы и технологии». Кроме того, пособие может быть полезным для студентов других специальностей и направлений.
Табл.7. Ил.92. Библиогр.:10 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Иванов-
ского государственного химико-технологического университета.
Рецензенты:
кафедра прикладной математики Ивановского государственного энергетического университета; доктор физико-математических наук В.А.Соколов, (Ярославский государственный университет).
ISBN 5-9616-0268-6 © ГОУ ВПО Ивановский государст- венный химико-технологический университет», 2008
1.5. Понятие математической схемы моделирования. . . . . . . . . . . . . . 12
1.6. Общая методика создания математических моделей. . . . . . . . . . . 13
1.7. Основные понятия системного подхода к созданию
математических моделей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. Математические модели технических объектов. . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1. Компонентные функциональные уравнения объектов. . . . . 20
2.1.2. Фазовые переменные и их аналогии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.3. Топологические уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.4. Примеры создания моделей технических объектов. . . . . . . 25
2.1.5. Модели технологических аппаратов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Конечные автоматы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1. Понятие конечного автомата. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2. Способы описания и классы конечных автоматов. . . . . . . . 32
2.2.3. Другие виды конечных автоматов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1. Элементы теории марковских случайных процессов. . . . . . . . . . . 39
3.1.1. Понятие случайного процесса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2. Дискретные цепи Маркова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.3. Стационарное распределение вероятностей. . . . . . . . . . . . . 43
3.1.4. Непрерывные марковские цепи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.5. Уравнения А.Н. Колмогорова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.6. Потоки событий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2. Основы теории массового обслуживания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1. Обобщенная структурная схема СМО. Параметры
и характеристики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2. Разомкнутые СМО с ожиданием и терпеливыми заявками. 58
3.2.3. Предельные варианты разомкнутой СМО. . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.4.Общий случай разомкнутой СМО. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.5. Замкнутые СМО. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.6. Сети массового обслуживания
с простейшими потоками событий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3. Вероятностные автоматы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
| 4. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.1. Определение метода имитационного моделирования. . . . . . . . . . | |
| 4.2. Основные понятия имитационного моделирования. . . . . . . . . . . . | |
| 4.3. Основные этапы имитационного моделирования. . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.4. Время в имитационных моделях. Псевдопараллелизм. . . . . . . . . . | |
| 4.5. Обобщённые алгоритмы имитационного моделирования. . . . . . . | |
| 4.6. Моделирование случайных факторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.1. Моделирование базовых случайных величин. . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.2. Моделирование непрерывных случайных величин | |
| с произвольным распределением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.3. Моделирование дискретных случайных величин. . . . . . . . . | |
| 4.6.4. Моделирование случайных событий и их потоков. . . . . . . | |
| 4.7 Моделирование случайных процессов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.7.1 Дискретные цепи Маркова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.7.2 Непрерывные цепи Маркова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.8. Обработка и анализ результатов имитационного моделирования. | |
| 4.8.1. Оценка вероятностных параметров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.8.2. Оценка корреляционных параметров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.8.3. Расчет средних по времени параметров СМО. . . . . . . . . . . . | |
| 4.9. Планирование экспериментов с имитационными моделями. . . . . | |
| 4.10. Общие проблемы имитационного моделирования. . . . . . . . . . . . | |
| 5. ОБЗОР АЛЬТЕРНАТИВНЫХ ПОДХОДОВ К МОДЕЛИРОВАНИЮ | |
| СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1. Сети Петри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1.1. Определение сети Петри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1.2. Функционирование сети Петри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1.3. Анализ сетей Петри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2. Нейронные сети. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.1. Понятие нейронной сети. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.2. Искусственный нейрон. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.3. Основные виды активационных функций искусственных | |
| нейронов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.4. Виды простейших нейронных сетей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.5. Рекуррентные и самоорганизующиеся нейронные сети. . . | |
| 5.2.6. Общие замечания по использованию нейронных сетей. . . . | |
| 5.3. Информационно-энтропийный подход к моделированию систем | |
| СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| . . . . . . . . . |
ВВЕДЕНИЕ
Моделирование является универсальным методом получения и использо- вания знаний об окружающем мире. Моделирование всегда используется чело- веком в целенаправленной деятельности, особенно в исследовательской. В со- временных условиях усиливается роль и значение математического моделиро- вания, которое с развитием средств вычислительной техники часто стали назы- вать компьютерным.
Математические (компьютерные) модели, в силу своей логичности и строгого формального характера, позволяют выявить основные факторы, опре- деляющие свойства изучаемых систем и исследовать их реакции на внешние воздействия и изменения параметров. Часто математические модели проще и удобнее использовать, чем натуральные (физические). Они позволяют прово- дить вычислительные эксперименты, реальная постановка которых затруднена или невозможна.
Изучение основных принципов математического моделирования является неотъемлемой частью подготовки специалистов в технических областях дея- тельности. Дисциплины, связанные с изучением основных аспектов моделиро- вания объектов и систем в обязательном порядке входят в соответствующие учебные планы, являясь компонентами федеральных образовательных стандар- тов.
Целью данного учебного пособия является последовательное изложение современных методов моделирования. Пособие предназначено главным обра- зом для студентов, обучающихся по специальностям и направлениям «Инфор- мационные системы» и «Прикладная информатика (по отраслям». Однако, учи- тывая опыт преподавания подобных дисциплин в технических вузах, авторы сочли целесообразным не ограничиваться рассмотрением только информаци- онных систем, но и включить в текст рассмотрение технических и технико- экономических систем и объектов.
Материал пособия выстроен следующим образом. В первой главе рас- сматриваются общие вопросы и современная методология моделирования, ис- пользование системного подхода при создании математических моделей. Вто- рая глава посвящена рассмотрению непрерывных и дискретных детерминиро- ванных моделей объектов и систем. Предлагается использование метода анало- гий при синтезе и анализе моделей технических объектов различной физиче- ской природы. В третьей главе изучаются стохастические модели с дискретным и непрерывным временем. Большое внимание в пособии уделено методам ими- тационного моделирования систем с вероятностными характеристиками, что составляет содержание четвертой главы. В пятой главе дается обзор других подходов к моделированию сложных систем, таких как информационно- энтропийный, использование нейронных сетей и сетей Петри.
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.
Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.
Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.
1) Построение модели . На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.
2) Решение математической задачи, к которой приводит модель . На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.
3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.
4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.
5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.
Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие - как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф - это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).
По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.
1) Задачи о движении снаряда.
Рассмотрим следующую задачу механики.
Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v 0 = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.
Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:
где t - время, g = 10 м/с 2 - ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:
Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух
точках: x 1 = 0 (начало траектории) и 
(место падения
снаряда). Подставляя в полученные формулы
заданные значения v0 и a, получим
ответ: y = x – 90x 2 , S = 90 м.
Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.
2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
Требуется найти высоту h 0 и радиус r 0 жестяного бака объема V = 30 м 3 , имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).
Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:
V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).
Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:
Таким образом, с математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r 0 , при которых производная
обращается в ноль:
Можно проверить, что вторая производная
функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при
переходе аргумента r через точку r 0 .
Следовательно, в точке r0 функция S(r) имеет
минимум. Соответствующее значение h 0 = 2r 0 .
Подставляя в выражение для r 0 и h 0
заданное значение V, получим искомый радиус 
и высоту 
3) Транспортная задача.
В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго - 70 т на заводы, причем на первый - 40 т, а на второй - 80 т.
Обозначим через a ij стоимость перевозки 1 т муки с i-го склада на j-й завод (i, j = 1,2). Пусть
a 11 = 1,2 р., a 12 = 1,6 р., a 21 = 0,8 р., a 22 = 1 р.
Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?
Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через x 1 и x 2 количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через x 3 и x 4 - со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда:
x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)
Общая стоимость всех перевозок определяется формулой
f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4 .
С математической точки зрения, задача заключается в том, чтобы найти четыре числа x 1 , x 2 , x 3 и x 4 , удовлетворяющие всем заданным условиям и дающим минимум функции f. Решим систему уравнений (1) относительно xi (i = 1, 2, 3, 4) методом исключения неизвестных. Получим, что
x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4 , x 3 = 70 – x 4 , (2)
а x 4 не может быть определено однозначно. Так как x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), то из уравнений (2) следует, что 30Ј x 4 Ј 70. Подставляя выражение для x 1 , x 2 , x 3 в формулу для f, получим
f = 148 – 0,2x 4 .
Легко видеть, что минимум этой функции достигается при максимально возможном значении x 4 , то есть при x 4 = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяются по формулам (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.
4) Задача о радиоактивном распаде.
Пусть N(0) - исходное количество атомов
радиоактивного вещества, а N(t) - количество
нераспавшихся атомов в момент времени t.
Экспериментально установлено, что скорость
изменения количества этих атомов N"(t)
пропорциональна N(t), то есть N"(t)=–l
N(t),
l
>0 - константа
радиоактивности данного вещества. В школьном
курсе математического анализа показано, что
решение этого дифференциального уравнения имеет
вид N(t) = N(0)e –l
t . Время T, за
которое число исходных атомов уменьшилось вдвое,
называется периодом полураспада, и является
важной характеристикой радиоактивности
вещества. Для определения T надо положить в
формуле 
Тогда 
Например, для
радона l
= 2,084 ·
10 –6 ,
и следовательно, T = 3,15 сут.
5) Задача о коммивояжере.
Коммивояжеру, живущему в городе A 1 , надо посетить города A 2 , A 3 и A 4 , причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A 1 . Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог b ij между городами A i и A j (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы:
b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.
Надо
определить порядок посещения городов, при
котором длина соответствующего пути минимальна.
Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах (рис. 2). Получился граф - математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки - числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 такая, что вершины V 1 , ..., V k - различны, а любая пара вершин V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) и пара V 1 , V k соединены ребром. Таким образом, рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в A 1:
1) A 1 , A 4 , A 3 , A 2 , A 1 ;
2) A 1 , A 3 , A 2 , A 4 , A 1 ;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .
Найдем теперь длины этих циклов (в км): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Итак, маршрут наименьшей длины - это первый.
Заметим, что если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.
6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.
Рассмотрим
несколько химических соединений, называемых
нормальными алканами. Они состоят из n атомов
углерода и n + 2 атомов водорода (n = 1, 2 ...), связанных
между собой так, как показано на рисунке 3 для n = 3.
Пусть известны экспериментальные значения
температур кипения этих соединений:
y э (3) = – 42°, y э (4) = 0°, y э (5) = 28°, y э (6) = 69°.
Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений. Предположим, что эта зависимость имеет вид
y » a n + b,
где a , b - константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:
– 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b.
Для определения наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:
b » – 42 – 3a , b » – 4a , b » 28 – 5a , b » 69 – 6a .
Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b » 16 – 4,5a . Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a , получим для a следующие значения: a » 37, a » 28, a » 28, a » 36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть положим a » 34. Итак, искомое уравнение имеет вид
y » 34n – 139.
Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:
y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.
Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: y р (7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения y э (7) = 98°.
7) Задача об определении надежности электрической цепи.
Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели. Сначала приведем некоторые сведения из теории вероятностей - математической дисциплины, изучающей закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. Назовем случайным событием A возможный исход некоторого опыта. События A 1 , ..., A k образуют полную группу, если в результате опыта обязательно происходит одно из них. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном опыте. Пусть при n-кратном повторении опыта событие A произошло m раз. Частотой события A называется число W = . Очевидно, что значение W нельзя предсказать точно до проведения серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике иногда наблюдается следующий эффект: при увеличении числа опытов значение практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа P(A), называемого вероятностью события A. Для невозможного события (которое никогда не происходит в опыте) P(A)=0, а для достоверного события (которое всегда происходит в опыте) P(A)=1. Если события A 1 , ..., A k образуют полную группу несовместимых событий, то P(A 1)+...+P(A k)=1.
Пусть, например, опыт состоит в подбрасывании игральной кости и наблюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие случайные события A i ={X = i}, i = 1, ..., 6. Они образуют полную группу несовместных равновероятных событий, поэтому P(A i) = (i = 1, ..., 6).
Суммой событий A и B называется событие A + B, состоящее в том, что в опыте происходит хотя бы одно из них. Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном появлении этих событий. Для независимых событий A и B верны формулы
P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).
8) Рассмотрим теперь следующую задачу . Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.
Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть A i - событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A 1 A 2 A 3 - событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и
P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.
Тогда P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, поэтому P(A) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.
В заключение отметим, что приведенные примеры математических моделей (среди которых есть функциональные и структурные, детерминистические и вероятностные) носят иллюстративный характер и, очевидно, не исчерпывают всего разнообразия математических моделей, возникающих в естественных и гуманитарных науках.
Содержание Предмет математического моделирования. Основы моделирования. Понятие модели. Принцип моделирования. Моделирование как метод научного познания. Этапы моделирования. Характеристика 1 – 2 этапов. Этапы моделирования. Характеристика 3 – 4 этапов. Классификация моделей. Общий обзор. Классификация экономико-математических моделей. Этапы экономико-математического моделирования. Математическая модель. Линейное программирование. Постановка задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования. Симплексный метод. Построение начального опорного плана. Симплексные таблицы. Признак оптимальности опорного плана. Понятие двойственности. Построение двойственных задач и их свойства. Транспортная задача. Построение исходного опорного плана. Транспортная задача. Метод потенциалов.
Содержание Основные понятия и определения теории графов. Упорядочение элементов орграфа. Алгоритм Фалкерсона. Решение задач о нахождении кратчайших путей в графе. Задача о максимальном потоке и ее приложения. Транспортная задача в сетевой постановке. Элементы сетевого планирования. Принципы динамического программирования, вычислительная процедура метода. Метод Монте-Карло. Суть метода. Решение задач методом Монте-Карло. Элементы теории матричных игр. Парные матричные игры с нулевой суммой. Методы решения матричных игр. Игры с природой. Критерии для принятия решения. Пакет Maple 7. Общий обзор пакета. Его возможности. Интерфейс программы, работа с командами. Использование переменных. Работа с таблицами.
Предмет математического моделирования. Основы моделирования Математическое моделирование - это исследование явлений, процессов, систем или объектов путем построения и изучения их моделей и использования последних для определения или уточнения характеристик и рациональных способов построения вновь конструируемых технологических процессов, систем и объектов. Математическая модель - это абстракция реального мира, в которой интересующие исследователя отношения между реальными элементами заменены подходящими отношениями между математическими категориями. Эти отношения, как правило, представлены в форме уравнений и (или) неравенств, характеризующих функционирование моделируемой реальной системы. Искусство построения математических моделей состоит в том, чтобы совместить как можно большую лаконичность в ее математическом описании с достаточной точностью модельного воспроизводства именно тех сторон анализируемой реальности, которые интересуют исследователя. Меню Моделирование - творческий процесс, требующий серьезной подготовки и переработки большого объема информации, сочетающий в себе трудоемкость и эвристические начала и носящий вероятностный характер.
Понятие модели. Моделирование как метод научного познания Модель - это некоторое упрощенное подобие реального объекта, явления или процесса. Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который замещает объект-оригинал с целью его исследования, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты и свойства оригинала. Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследования, чем реальный объект (например, такой, как экономика страны, Солнечная система и т. п.). Другое, не менее важное назначение модели состоит в том, что с ее помощью выявляются наиболее существенные факторы, формирующие те или иные свойства объекта. Модель также позволяет учиться управлять объектом, что важно в тех случаях, когда экспериментировать с объектом бывает неудобно, трудно или невозможно (например, когда эксперимент имеет большую продолжительность или когда существует риск привести объект в нежелательное или необратимое состояние). Таким образом, можно сделать вывод, что модель необходима для того, чтобы: понять, как устроен конкретный объект - каковы его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром; научиться управлять объектом или процессом и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (оптимизация); Меню прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект, процесс.
Этапы моделирования Характеристика 1 этапа I этап. Постановка задачи Под задачей в самом общем смысле понимается некая проблема, которую надо решить. Главное - определить объект моделирования и понять, что собой должен представлять результат. По характеру постановки все задачи можно разделить на две основные группы. К первой группе можно отнести задачи, в которых требуется исследовать, как изменяется характеристика объекта при некотором воздействии на него. Такую постановку задачи принято называть "что будет, если. . . ". Вторая группа задач имеет такую обобщенную формулировку: какое надо произвести воздействие на объект, чтобы его параметры удовлетворяли некоторому заданному условию? Такая постановка задачи часто называется "как сделать, чтобы. . . ". Цели моделирования определяются расчетными параметрами модели. Чаще всего это поиск ответа на вопрос, поставленный в формулировке задачи. Далее переходят к описанию объекта или процесса. На этой стадии выявляются факторы, от которых зависит поведение модели. При моделировании в электронных таблицах учитывать можно только те параметры, которые имеют количественные характеристики. Иногда задача может быть уже сформулирована в упрощенном виде, и в ней четко поставлены цели и определены параметры модели, которые надо учесть. При анализе объекта необходимо ответить на следующий вопрос: можно ли исследуемый объект или процесс рассматривать как единое целое или же это система, состоящая из более простых объектов? Если это единое целое, то можно перейти к построению информационной модели. Если система - надо перейти к анализу объектов, ее составляющих, определить связи между ними. Меню
Этапы моделирования Характеристика 2 этапа II этап. Разработка модели По результатам анализа объекта составляется информационная модель. В ней детально описываются все свойства объекта, их параметры, действия и взаимосвязи. Далее информационная модель должна быть выражена в одной из знаковых форм. Учитывая, что мы будем работать в среде электронных таблиц, то информационную модель необходимо преобразовать в математическую. На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель в форме таблиц, в которой выделяются три области данных: исходные данные, промежуточные расчеты, результаты. Исходные данные вводятся "вручную". Расчеты, как промежуточные, так и окончательные, проводятся по формулам, записанным по правилам электронных таблиц. Меню
Этапы моделирования Характеристика 3 этапа III этап. Компьютерный эксперимент Чтобы дать жизнь новым конструкторским разработкам, внедрить новые технические решения в производство или проверить новые идеи, нужен эксперимент. В недалеком прошлом такой эксперимент можно было провести либо в лабораторных условиях на специально создаваемых для него установках, либо на натуре, т. е. на настоящем образце изделия, подвергая его всяческим испытаниям. Это требует больших материальных затрат и времени. В помощь пришли компьютерные исследования моделей. При проведении компьютерного эксперимента проверяют правильность построения моделей. Изучают поведение модели при различных параметрах объекта. Каждый эксперимент сопровождается осмыслением результатов. Если результаты компьютерного эксперимента противоречат смыслу решаемой задачи, то ошибку надо искать в неправильно выбранной модели или в алгоритме и методе ее решения. После выявления и устранения ошибок компьютерный эксперимент повторяется. Меню
Этапы моделирования Характеристика 4 этапа IV этап. Анализ результатов моделирования Заключительный этап моделирования - анализ модели. По полученным расчетным данным проверяется, насколько расчеты отвечают нашему представлению и целям моделирования. На этом этапе определяются рекомендации по совершенствованию принятой модели и, если возможно, объекта или процесса. Меню
Классификация моделей Классификация по области использования Учебные: наглядные пособия, различные тренажеры, обучающие программы. Опытные: уменьшенные или увеличенные копии исследуемого объекта для дальнейшего изучения (модели корабля, автомобиля, самолета, гидростанции). Научно-технические модели создают для исследования процессов и явлений (стенд для проверки телевизоров; синхротрон - ускоритель электронов и др.). Игровые: военные, экономические, спортивные, деловые игры. Имитационные: отражают реальность с той или иной степенью точности (испытание нового лекарственного средства в ряде опытах на мышах; эксперименты по внедрению в производство новой технологии). Классификация с учетом фактора времени Статическая модель - модель объекта в данный момент времени. Динамическая модель позволяет увидеть изменения объекта во времени. Меню
Классификация моделей Классификация по способу представления Материальная модель - это физическое подобие объекта. Они воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала (чучела птиц, муляжи животных, внутренних органов человеческого организма, географические и исторические карты, схема солнечной системы). Информационная модель - это совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром. Любая информационная модель содержит лишь существенные сведения об объекте с учетом той цели, для которой она создается. Информационные модели одного и того же объекта, предназначенные для разных целей, могут быть совершенно разными. Вербальная модель - информационная модель в мысленной или разговорной форме. Знаковая модель - информационная модель, выраженная специальными знаками, т. е. средствами любого формального языка. Знаковые модели - это рисунки, тексты, графики, схемы, таблицы и т. д. Компьютерная модель - модель, реализованная средствами программной среды. Прежде чем построить модель объекта (явления, процесса), необходимо выделить составляющие его элементы и связи между ними (провести системный анализ) и "перевести" полученную структуру в какую-либо заранее определенную форму - формализовать информацию. Меню Формализация - это процесс выделения и перевода внутренней структуры предмета, явления или процесса в определенную информационную структуру - форму.
Классификация экономикоматематических моделей Экономико-математические модели – модели управляемых и регулируемых экономических процессов, использующиеся для преобразования экономической действительности. Адекватность моделей объектам моделирования определяется по совпадению результатов исследования с наблюдаемыми фактами. Практика в этом случае означает действительность. По целевому назначению экономико-математические модели бывают Теоретико-аналитические Прикладные Экономико-математические модели делятся на модели всего народного хозяйства и его подсистем (отраслей, регионов и т. д.) Модели бывают функциональные и структурные. Модели бывают дескрептивные и нормативные. Дескрептивные модели отвечают на вопрос, как это происходит и как может дальше развиваться? Нормативные модели отвечают на вопрос как это должно быть? То есть предполагают целенаправленную деятельность. Различают модели жёстко детерминистские и модели, учитывающие случайность и неопределённость. Модели бывают статически и динамические. По длительности рассматриваемого периода различают модели краткосрочного (1 -5 лет) и долгосрочного (10 -15 и более лет) прогнозирования, планирования. Само время в таких моделях может изменяться либо, непрерывно либо дискретно. Меню Модели могут быть линейные и нелинейные.
Этапы экономико-математического моделирования. Постановка экономической проблемы и её анализ. Главное – определить сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы на которые, требуется получить ответы. Этап включает выделение важнейших черт и свойств объекта, абстрагирование от второстепенных. Формирование гипотез, если требуется, объясняющих поведение и развитие объекта. Построение математической модели. Этап формализации экономической проблемы. Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше. Изменение сложности и громоздкости модели затрудняет процесс исследования. Нужно учитывать реальные возможности информационного и математического обеспечения. Нужно сопоставить затраты на моделирование с получаемым эффектом. Одной из важнейших особенностей математической модели является потенциальная возможность их использования для решения разных задач. Меню
Этапы экономико-математического моделирования. Математический анализ модели. Целью данного этапа является выяснение общих свойств модели. Важный момент – доказательство существования решения. Подготовка исходной информации Надо учитывать за какие сроки будет собрана нужная информация, учитывать затраты на подготовку информации. В процессе подготовки широко используются методы теории вероятности, теоретической и математической статистики. Численное решение. Разработка алгоритмов для численного решения задачи, составления программ для компьютера и непосредственно проведение расчетов. Трудность на этом этапе создаёт большая размерность экономических задач и необходимость обработки значительных массивов информации. Меню Анализ численных результатов и их применение. На этом этапе встаёт вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени их практической применимости.
Линейное программирование. Это раздел математического моделирования, все зависимости которого линейны. Математическая модель любой задачи линейного программирования имеет вид Z= max(min) Меню Условия не отрицательности Xj ≥ 0
Пример: При изготовлении изделий u 1 и u 2 используются токарные и фрезерные станки, а также сталь и цветные металлы, по технологическим нормам на производство единице изделия u 1 требуется 300 и 200 единиц соответственно токарного и фрезерного оборудования (в часах), и 10 и 20 единиц стали и цветных металлов (в кг.). для производства изделия u 2 требуется 400, 100, 70, 50 соответственно единиц тех же ресурсов. Цех располагает 12400 и 6800 часами, 640 и 840 кг. материала. Прибыль от реализации единице изделия u 1=6000 ден. ед. , u 2=16000 ден. ед. Требуется: Свести исходные данные в таблицу, удобную для построения модели. Составить математическую модель задачи. Определить план выпуска изделий, обеспечить max прибыль при условие что, время работы фрезерных станков должно быть использовано полностью.
Решение: Пусть х1 - число изделий u 1, а х2 – число изделий u 2, z – суммарная прибыль.
Линейное программирование. Эта общая или производная форма записи. Переменные Xj, которые удовлетворяют системе ограничений и условию не отрицательности, называются допустимыми. Допустимые переменные, которые превращают целевую функцию в max или min, называются оптимальными. Методы решения таких задач подразделяются на универсальные и специальные. Универсальным методом решают любые ЗЛП. Специальные методы учитывают особенности модели. Особенностью ЗЛП является то, что max (min) целевая функция достигает на границе области допустимых решений. К ЗЛП относятся: задача о выборе оптимальных технологий; задача о смесях; задача о раскрое материала; транспортная задача; Меню задача о наилучшем использовании ресурсов; задача о размещении заказа;
Постановка задачи линейного программирования Любая ЗЛП записывается с помощью математической модели. Существует 3 формы записи ЗЛП Меню Общая (произвольная)
Постановка задачи линейного программирования Все эти формы эквивалентны. Чтобы от max перейти к min (или наоборот) надо поменять знаки у каждого слагаемого в записи целевой функции. Чтобы превратить неравенство вида в неравенство вида (и наоборот) нужно обе части неравенства умножить на -1. Меню Каноническая (основная) Чтобы неравенство превратить в равенство (и наоборот) нужно добавить или отнять от левой части дополнительную неотрицательную переменную, она называется балансовой. При записи целевой функции она имеет коэффициент =0.
ЛЕКЦИЯ 4
Определение и назначение математического моделирования
Под моделью (от латинского modulus - мера, образец, норма) будем понимать такой материально или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием.
Суть математического моделирования (ММ ) заключается в замене изучаемого объекта (процесса) адекватной математической моделью и последующем исследовании свойств этой модели с помощью либо аналитических методов, либо вычислительных экспериментов.
Иногда полезнее вместо того, чтобы давать строгие определения, описывать то или инее понятие на конкретном примере. Поэтому проиллюстри-руем приведенные выше определения ММ на примере задачи расчета удельного импульса. В начале 60-х годов перед учеными ставилась задача разработки ракетного топлива с наибольшим удельным импульсом. Принцип движения ракеты состоит в следующем: жидкое топливо и окислитель из баков ракеты подаются в двигатель, где происходит их сгорание, а продукты сгорания вылетают в атмосферу. Из закона сохранения импульса следует, что в этом ракета будет двигаться со скоростью.
Удельный импульс топлива – это полученный импульс, деленный на массу топлива. Проведение экспериментов было очень дорогостоящим и приводило к систематической порче оборудования. Оказалось, что легче и дешевле рассчитать термодинамические функции идеальных газов, вычислить с их помощью состав вылетающих газов и температуру плазмы, а затем и удельный импульс. То есть провести ММ процесса горения топлива.
Понятие математического моделирования (ММ) сегодня одно из самых распространенных в научной литературе . Подавляющее большинство современных дипломных и диссертационных работ связано с разработкой и использованием соответствующих математических моделей. Компьютерное ММ сегодня является составной частью многих областей человеческой деятельности (наука, техника, экономика, социология и т. д.). Это одна из причин сегодняшнего дефицита специалистов в области информационных технологий .
Бурный рост математического моделирования обусловлен стремительным совершенствованием вычислительной техники. Если еще 20 лет назад проведением численных расчетов занималось лишь небольшое число программистов, то теперь объем памяти и быстродействие современных компьютеров, позволяющих решать задачи математического моделирования доступных всем специалистам, включая студентов ВУЗов.
В любой дисциплине вначале дается качественное описание явлений. А затем уже – количественное, сформулированное в виде законов, устанавливающих связи между различными величинами (напряженность поля, интенсивность рассеяния, заряд электрона, …) в форме математических уравнений. Поэтому можно сказать, что в каждой дисциплине столько науки, сколько в ней есть математики, и этот факт позволяет успешно решать многие задачи методами математического моделирования.
Данный курс предназначен для студентов, специализирующихся в области прикладной математики, которые выполняют дипломные работы под руководством ведущих ученых, работающих в различных областях. Поэтому данный курс необходим не только как учебный материал, но и как подготовка к дипломной работе. Для изучения данного курса нам будут необходимы следующие разделы математики:
1. Уравнения математической физики (кантовая механика, газо - и гидродинамика)
2. Линейная алгебра (теория упругости)
3. Скалярные и векторные поля (теория поля)
4. Теория вероятностей (квантовая механика, статистическая физика, физическая кинетика)
5. Специальные функции.
6. Тензорный анализ (теория упругости)
7. Математический анализ
ММ в естествознании, технике, и экономике
Рассмотрим вначале различные разделы естествознания, техники, экономики, в которых используются математические модели.
Естествознание
Физика, устанавливающая основные законы естествознания, давно разделилась на теоретическую и экспериментальную. Выводом уравнений, описывающих физические явления, занимается теоретическая физика. Таким образом, теоретическая физика также может считаться одним из направлений математического моделирования. (Вспомним, что название первой книги по физике – «Математические начала натуральной философии» И. Ньютона можно перевести на современный язык как «Математические модели естествознания».) На основании полученных законов проводятся инженерные расчеты, которые проводятся в различных институтах, фирмах, КБ. Эти организации разрабатывают технологии изготовления современной продукции, которые являются наукоемкими.Таким образом, понятие наукоемкие технологии включает в себя расчеты с помощью соответствующих математических моделей.
Один из наиболее обширных разделов физики – классическая механика (иногда этот раздел называется теоретической или аналитической механикой). Данный раздел теоретической физики изучает движение и взаимодействие тел. Расчеты с помощью формул теоретической механики необходимы при изучении вращения тел (расчет моментов инерции, гиростатов – устройств сохраняющих в неподвижности оси вращения), анализе движения тела в безвоздушном пространстве, и др. Один из разделов теоретической механики называется теорией устойчивости и лежит в основе многих математических моделей, описывающих движение самолетов, кораблей, ракет. Разделы практической механики – курсы «Теория машин и механизмов», «Детали машин», изучается студентами почти всех технических вузов (включая МГИУ).
Теория упругости – часть раздела механики сплошных сред , предполагающая, что материал упругого тела однороден и непрерывно распределен по всему объему тела, так что самый малый элемент, вырезанный из тела, обладает теми же физическими свойствами, что и все тело. Приложение теории упругости – курс «сопротивление материалов», изучается студентами всех технических вузов (включая МГИУ). Данный раздел необходим для всех расчетов прочности. Здесь и расчет прочности корпусов кораблей, самолетов, ракет, расчет прочности стальных и железобетонных конструкций зданий и многое другое.
Газо- и гидродинамика , как и теория упругости – часть раздела механики сплошных сред , рассматривает законы движения жидкости и газа. Уравнения газо - и гидродинамики необходимы при анализе движения тел в жидкой и газообразной среде (спутники, подводные лодки, ракеты, снаряды, автомобили), при расчетах истечения газа из сопел двигателей ракет, самолетов. Практическое приложение гидродинамики – гидравлика (тормоз, руль,…)
Предыдущие разделы механики рассматривали движении тел в макромире, и физические законы макромира неприменимы в микромире, в котором движутся частицы вещества - протоны, нейтроны, электроны. Здесь действуют совершенно другие принципы, и для описания микромира необходима квантовая механика
. Основное уравнение, описывающее поведение микрочастиц - уравнение Шредингера: 
. Здесь - оператор Гамильтона (гамильтониан). Для одномерного уравнения движения частицы https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-потенциальная энергия. Решение этого уравнения – набор собственных значений энергии и собственных функций..gif" width="55" height="24 src=">– плотность вероятности. Квантовомеханические расчеты нужны для разработки новых материалов (микросхемы), создания лазеров, разработки методов спектрального анализа, и др.
Большое количество задач решает кинетика , описывающая движение и взаимодействие частиц. Здесь и диффузия , теплообмен, теория плазмы – четвертого состояния вещества.
Статистическая физика рассматривает ансамбли частиц, позволяет сказать о параметрах ансамбля, исходя из свойств отдельных частиц. Если ансамбль состоит из молекул газа, то выведенные методами статистической физики свойства ансамбля представляют собой хорошо известные со средней школы уравнения газового состояния: https://pandia.ru/text/78/009/images/image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-молекулярный вес газа. К – постоянная Ридберга. Статистическими методами рассчитываются также свойства растворов, кристаллов, электронов в металлах. ММ статистической физики – теоретическая основа термодинамики, которая лежит в основе расчета двигателей, тепловых сетей и станций.
Теория поля
описывает методами ММ одну из основных форм материи – поле. При этом основной интерес представляют электромагнитные поля. Уравнения электромагнитного поля (электродинамики) были выведены Максвеллом: , 
, , 
. Здесь и https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - плотность заряда, -плотность тока. Уравнения электродинамики лежат в основе расчетов распространения электромагнитных волн, необходимых для описания распространения радиоволн (радио, телевидение, сотовая связь), объяснения работы радиолокационных станций.
Химию можно представить в двух аспектах, выделяя описательную химию – открытие химических факторов и их описание – и теоретическую химию – разработку теорий, позволяющих обобщить установленные факторы и представить их в виде определенной системы (Л. Полинг). Теоретическая химия называется также физической химией и является, в сущности, разделом физики, изучающей вещества и их взаимодействия. Поэтому все, что было сказано относительно физики, в полной мере относится и к химии. Разделами физической химии будут термохимия, изучающая тепловые эффекты реакций, химическая кинетика (скорости реакций), квантовая химия (строение молекул). При этом задачи химии бывают чрезвычайно сложными. Так, например, для решения задач квантовой химии – науки о строении атомов и молекул, используются программы, сравнимые по объему с программами ПВО страны. Например, для того, чтобы описать молекулу UCl4, состоящую из 5 ядер атомов и +17*4) электронов, нужно записать уравнение движения – уравнения в частных производных.
Биология
В биологию математика пришла по настоящему только во второй половине 20 века. Первые попытки математически описать биологические процессы относятся к моделям популяционной динамики. Популяцией называется сообщество особей одного вида, занимающих некоторую область пространства на Земле. Эта область математической биологии, изучающая изменение численности популяции в различных условиях (наличие конкурирующих видов, хищников, болезней и т. п.) и в дальнейшем служила математическим полигоном, на котором "отрабатывались" математические модели в разных областях биологии. В том числе модели эволюции, микробиологии, иммунологии и других областей, связанных с клеточными популяциями.
Самая первая известная модель, сформулированная в биологической постановке, ‑ знаменитый ряд Фибоначчи (каждое последующее число является суммой двух предыдущих), который приводит в своем труде Леонардо из Пизы в 13 веке. Это ряд чисел, описывающий количество пар кроликов, которые рождаются каждый месяц, если кролики начинают размножаться со второго месяца и каждый месяц дают потомство в виде пары кроликов. Ряд представляет последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
|
|
|
|
8, 13, …
Другим примером является изучение процессов ионного трансмембранного переноса на искусственной бислойной мембране. Здесь для того, чтобы изучить законы образования поры, через которую ион проходит сквозь мембрану внутрь клетки, необходимо создать модельную систему, которую можно изучать экспериментально, и для которой можно использовать хорошо разработанное наукой физическое описание.
Классическим примером ММ также является популяция дрозофилы. Еще более удобной моделью являются вирусы , которые можно размножать в пробирке. Методами моделирования в биологии служат методы динамической теории систем, а средствами - дифференциальные и разностные уравнения, методы качественной теории дифференциальных уравнений, имитационное моделирование.
Цели моделирования в биологии:
3. Выяснение механизмов взаимодействия элементов системы
4. Идентификация и верификация параметров модели по экспериментальным данным.
5. Оценка устойчивости системы (модели).
6. Прогноз поведения системы при различных внешних воздействиях, различных способах управления и проч.
7. Оптимальное управление системой в соответствии с выбранным критерием оптимальности .
Техника
Совершенствованием техники занимается большое количество специалистов, которые в своей работе опираются на результаты научных исследований. Поэтому ММ в технике те же самые, что и ММ естествознания, о которых говорилось выше.
Экономика и социальные процессы
Принято считать, что математическое моделирование как метод анализа макроэкономических процессов было впервые применено лейб-медиком короля Людовика XV доктором Франсуа Кенэ , который в 1758 г. опубликовал работу «Экономическая таблица». В этой работе была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику. А в 1838 г. в книге О. Курно «Исследование математических принципов теории богатства» количественные методы были впервые использованы для анализа конкуренции на рынке товара при различных рыночных ситуациях.
Широко известна также теория Мальтуса о народонаселении, в которой он предложил идею: рост населения далеко не всегда желателен, и рост этот идет быстрее, чем растут возможности обеспечения населения продовольствием. Математическая модель такого процесса достаточно проста: Пусть - прирост численности населения за время https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> численность была равна . и - коэффициенты, учитывающие рождаемость и смертность (чел/год). Тогда
https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Инструментальные и математические методы " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel="bookmark">математические методы анализа (например, в последние десятилетия в гуманитарных науках появились математические теории развития культуры, построены и исследованы математические модели мобилизации, циклического развития социокультурных процессов, модель взаимодействия народа и правительства, модель гонки вооружений и др.).
В самых общих чертах процесс ММ социально-экономических процессов условно можно подразделить на четыре этапа:
Отметим, что, как правило, процесс математического моделирования носит циклический характер, поскольку даже при исследовании сравнительно простых процессов редко удается с первого шага построить адекватную математическую модель и подобрать точные ее параметры.
В настоящее время экономика рассматривается как сложная развивающаяся система, для количественного описания которой применяются динамические математические модели различной степени сложности. Одно из направлений исследования макроэкономической динамики связано с построением и анализом относительно простых нелинейных имитационных моделей, отражающих взаимодействие различных подсистем – рынка труда, рынка товаров, финансовой системы , природной среды и др.
Успешно развивается теория катастроф. Эта теория рассматривает вопрос об условиях, при которых изменение параметров нелинейной системы вызывает перемещение точки в фазовом пространстве, характеризующей состояние системы, из области притяжения к начальному положению равновесия в область притяжения к другому положению равновесия. Последнее очень важно не только для анализа технических систем, но и для понимания устойчивости социально-экономических процессов. В этой связи представляют интерес выводы о значении исследования нелинейных моделей для управления. В книге «Теория катастроф», опубликованной в 1990 г., он, в частности, пишет: «…нынешняя перестройка во многом объясняется тем, что начали действовать хотя бы некоторые механизмы обратной связи (боязнь личного уничтожения)».
(параметры модели)
При построении моделей реальных объектов и явлений часто приходится сталкиваться с недостатком информации. Для исследуемого объекта распределение свойств, параметры воздействия и начальное состояние известны с той или иной степенью неопределенности. При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенных параметров:
Классификация математических моделей
(методы реализации)
Методы реализации ММ можно классифицировать в соответствии с таблицей, приведенной ниже.
Методы реализации ММ Очень часто аналитическое решение для модели представляется в виде функций. Для получения значений этих функций при конкретных значениях входных параметров используют их разложение в ряды (например, Тейлора), и значение функции при каждом значении аргумента определяется приближенно. Модели, использующие такой прием, называются приближенными . При численном подходе совокупность математических соотношений модели заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений, т. е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента (сеточные методы). Найденное после расчетов на компьютере решение принимается за приближен-ное решение исходной задачи. Большинство существующих систем является очень сложными, и для них невозможно создать реальную модель, описанную аналитически. Такие системы следует изучать с помощью имитационного моделирования . Один из основных приемов имитационного моделирования связан с применением датчика случайных чисел. Так как огромное количество задач решается методами ММ, то способы реализации ММ изучаются не в одном учебном курсе. Здесь и уравнения в частных производных, численные методы решения этих уравнений, вычислительная математика, компьютерное моделирование и т. п. ПОЛИНГ, ЛАЙНУС КАРЛ (Pauling, Linus Carl) (), американский химик и физик, удостоенный в 1954 Нобелевской премии по химии за исследования природы химической связи и определение структуры белков. Родился 28 февраля 1901 в Портленде (шт. Орегон). В разработал квантовомеханический метод изучения строения молекул (наряду с американским физиком Дж. Слейером) - метод валентных связей, а также теорию резонанса, позволяющую объяснить строение углеродосодержащих соединений, прежде всего соединений ароматического ряда. В период культа личности СССР ученые, занимавшиеся квантовой химией подвергались гонениям и обвинялись в «полингизме». МАЛЬТУС, ТОМАС РОБЕРТ (Malthus, Thomas Robert) (), английский экономист. Родился в Рукери близ Доркинга в Суррее 15 или 17 февраля 1766. В 1798 анонимно опубликовал труд Опыт о законе народонаселения. В 1819 Мальтус был избран членом Королевского общества. |
1,
2
,
3,
5,
