Описывать лексику языка удобнее в форме регулярных выражений, а распознавать язык с помощью КА. Поэтому важно уметь преобразовывать определения языка в форме регулярных выражений в определение в форме КА. Такое преобразование предложил Kennet Thompson.
Конечный автомат это пятерка (S, S, d, S 0 , F)
S - конечное множество состояний.
S - конечное множество допустимых входных сигналов.
d - функция переходов. Она отражает множество Sх(SÈ{e}) в множество состояний недетерминированного конечного автомата. Для детерминированного автомата функция переходов отражает множество SхS во множество состояний автомата. Другими словами, в зависимости от состояния и входного символа, d определяет новое состояние автомата.
S 0 - начальное состояние конечного автомата, S 0 Î S.
F - множество конечных состояний автомата, F Î S.
Работа конечного автомата представляет собой последовательность шагов. Шаг определяется состоянием автомата и входным символом. Сам шаг состоит в изменении состояния автомата и считывании следующего символа входной последовательности.
Существуют следующие правила преобразования регулярных выражений в конечный автомат.
1 Регулярное выражение “e” преобразуется в автомат из двух состояний и e -перехода между ними (рисунок 1).
Рисунок 1. – Автомат для e-перехода
2 Регулярное выражение из одного символа “а” преобразуется в конечный автомат из двух состояний и перехода между ними по входному сигналу а (рисунок 2).
Рисунок 2. – Автомат для перехода по символу а
3 Пусть есть регулярное выражение rs и уже построены конечные автоматы для выражения r и выражения s. Тогда два автомата соединяются последовательно. На рисунке 3 представлены исходные автоматы для языков r и s. На рисунке автомат для распознавания конкатенации этих языков.
Автомат для r Автомат для s
Рисунок 3. – Исходные автоматы
Рисунок 4. – Автомат для конкатенации языков
4 Пусть есть регулярное выражение r | s и уже построены конечные автоматы для выражения r и выражения s (рисунок 3). Тогда в результирующем автомате должна быть альтернатива выполнения одного из двух автоматов. То есть автомат для выражения r | s при автоматах для r и s с рисунка 3 имеет вид, представленный на рисунке 5.
Рисунок 5. – Автомат для объединения языков
5 Пусть есть регулярное выражение r* при построенном конечном автомате r. В этом случае вводятся два новых состояния для возможности обхода автомата выражения r, а также вводится e-переход между конечным и начальным состояниями для возможности многократного повторения автомата r. Если для регулярного выражения r построен автомат аналогичный рисунку 3, то регулярному выражению r* соответствует конечный автомат, представленный на рисунке 6.
Регулярные выражения (РВ) - это очень удобная форма записи так называемых регулярных или автоматных языков. Поэтому РВ используются в качестве входного языка во многих системах, обрабатывающих цепочки. Рассмотрим примеры таких систем:
В данной статье мы сначала ознакомимся с конечными автоматами и их видами (ДКА и НКА), и далее рассмотрим пример построения минимального ДКА по регулярному выражению.
Рассмотрим пример работы примитивного КА:
Данный КА состоит из:
Считывающее устройство может двигаться в одном направлении, как правило слева на право, тем самым считывая символы входной цепочки. За каждое такое движение оно может считать один символ. Далее, считанный символ передается блоку управлений. Блок управления изменяет состояние автомата на основе правил переходов. Если список правил переходов не содержит правила для считанного символа, то автомат «умирает».
Теперь рассмотрим, какими способами можно задать КА. Они могут задаваться в виде графов или в виде управляющих таблиц. В виде графа КА задается следующим способом:
В виде управляющей таблицы, так:
Пример КА в виде графа и в виде управляющей таблицы будет представлен ниже.
Основное отличие ДКА и НКА состоит в том, что ДКА в процессе работы может находится только в одном состоянии, а НКА в нескольких состояниях одновременно. В качестве примера работы НКА можно привести идею американского физика Хью Эверетта от том, что любое событие разбивает мир на несколько миров, в каждом из которых это событие закончилось по-своему. Например, в одном мире Гитлер выиграл Вторую мировую войну, в другом – Ньютон вместо физики занялся бизнесом и открытие законов классической механики пришлось отложить лет на 50. Чтобы сделать какие-то выводы из работы автомата, следует изучить все «миры». После того как вся входная цепочка будет считана, мы полагаем, что НКА допускает данную цепочку, если он завершил работу в допускающем состоянии хотя бы в одном из множества «миров». Соответственно, автомат отвергает цепочку, если он завершил работу в недопускающем состоянии в каждом «мире». ДКА же принимает цепочку, это очевидно, если после считывания всей входной цепочки он оказывается в допускающем состоянии.
В большинстве случаев построить НКА гораздо проще чем ДКА. Но, не смотря на это использовать НКА для моделирования - не самая хорошая идея. К счастью, для каждого НКА можно построить ДКА, допускающий тот же входной язык. В данной статье мы не будем приводить алгоритм построения ДКА по НКА, а рассмотрим данный алгоритм на основе наглядного примера ниже.
Для начала приведем список операций РВ используемый в данной статье, в порядке их приоритетности:
Рассмотрим пример, дано регулярное выражение:
Xy* (x | y*) | ab (x | y*) | (x | a*) (x | y*)
Нужно построить минимальный ДКА по регулярному выражению и продемонстрировать распознавание корректной и некорректной цепочки.
Для начала упростим данное РВ, используя правосторонний дистрибутивный закон конкатенации относительно объединения получаем следующее РВ:
(xy* | ab | (x | a*)) (x | y*)
Теперь строим автомат по данному РВ:
По правилу преобразования конкатенации (не будем приводить правила преобразования РВ в КА, так как они довольно очевидные), получаем следующий автомат:
По правилу преобразования объединения:
По правилу преобразования конкатенации:
И в конце применяем правило преобразования замыкания и получаем εНКА. Здесь нужно оговорится, что εНКА - это НКА, который содержит ε-переходы. В свою очередь ε-переход - это переход, при котором автомат не учитывает входную цепочку или другими словами переход по пустому символу.
Избавляемся от ε-переходов («звездочкой» обозначены конечные состояния):
В данном НКА состояния s3 и s5 эквивалентны, так как δ(s3, x) = δ(s5, x) = s1 и δ(s3, y) = δ(s5, y) = s5, s7. Переименовываем состояния s6 -> s5 и s7 -> s6:
Строим ДКА по НКА:
В данном ДКА состояния p1 и p5 эквивалентны, так как
δ(p1, x) = δ(p5, x) = p4 и δ(p1, y) = δ(p5, y) = p5. Переименовываем состояния p6 -> p5 и p7 -> p6:
Данный автомат является минимальным ДКА.
Пускай δ - функция переходов, то расширенную функцию переходов, построенную по δ, обозначим δ’, и ω - входная цепочка.
Допустим на вход подается цепочка ω = aaax, мы ожидаем, что автомат окажется в одном из допускающих состояний.
δ’(p0, ε) = p0
δ’(p0, a) = δ(δ’(p0, ε), a) = δ(p0, a) = p3
δ’(p0, aa) = δ(δ’(p0, a), a) = δ(p3, a) = p5
δ’(p0, aaa) = δ(δ’(p0, aa), a) = δ(p5, a) = p5
δ’(p0, aaax) = δ(δ’(p0, aaa), x) = δ(p5, x) = p4
P4 - допустимое конечное состояние, таким образом цепочка aaax является корректной для данного автомата.
Теперь допустим, что ω = xyyb:
δ’(p0, ε) = p0
δ’(p0, x) = δ(δ’(p0, ε), x) = δ(p0, x) = p1
δ’(p0, xy) = δ(δ’(p0, x), y) = δ(p1, y) = p1
δ’(p0, xyy) = δ(δ’(p0, xy), y) = δ(p1, y) = p1
δ’(p0, xyyb) = δ(δ’(p0, xyy), b) = δ(p1, b) = ∅
Здесь мы видим, что если подать на вход автомату символ b, когда он находится в состоянии p1, то данный автомат умрет, следовательно цепочка xyyb - некорректна.
P. S. В данной статье был рассмотрен алгоритм построение ДКА по РВ, но существуют более удобные алгоритмы, в частности для программирования, но это уже тема для другой статьи…
Для дальнейшего изучения свойств конечных автоматов и, в частности, для решения задачи синтеза важное значение имеет следующая теорема.
Теорема 7.7 (теорема о детерминизации). Для любого конечного автомата может быть построен эквивалентный ему детерминированный конечный автомат.
Для того чтобы доказать теорему, нужно, во-первых, описать алгоритм построения детерминированного конечного автомата по исходному; во-вторых, обосновать этот алгоритм, строго доказав, что он действительно дает конечный автомат, который является детерминированным и эквивалентным исходному. Здесь мы приведем только сам алгоритм построения детерминированного автомата.
Преобразование произвольного конечного автомата к эквивалентному детерминированному осуществляется в два этапа: сначала удаляются дуги с меткой \lambda , затем проводится собственно детерминизация.
1. Удаление λ-переходов (дуг с меткой \lambda ).
Чтобы перейти от исходного конечного автомата M=(V,Q,q_0,F,\delta) к эквивалентному конечному автомату M"=(V,Q",q_0,F",\delta") без λ-переходов, достаточно в исходном графе M проделать следующие преобразования.
а. Все состояния, кроме начального, в которые заходят только дуги с меткой \lambda , удаляются; тем самым определяется множество Q" конечного автомата M" . Понятно, что Q"\subseteq Q . При этом полагаем, что начальное состояние остается прежним.
б. Множество дуг конечного автомата M" и их меток (тем самым и функция переходов M" ) определяется так: для любых двух состояний p,r\in Q",~ p\to_{a}r имеет место тогда и только тогда, когда a\in V , а в графе M имеет место одно из двух: либо существует дуга из p в r , метка которой содержит символ a , либо существует такое состояние q , что p\Rightarrow_{\lambda}^{+}q и q\to_{a}r . При этом вершина q , вообще говоря, может и не принадлежать множеству Q" , т.е. она может и исчезнуть при переходе к автомату M" (рис. 7.11). Если же q\in Q" , то, естественно, в M" сохранится дуга (q,r) и символ a будет одним из символов, принадлежащих метке этой дуги (рис. 7.12).
Таким образом, в M" сохраняются все дуги M , метки которых отличны от \lambda и которые соединяют пару (вершин) состояний из множества Q" (не удаляемых согласно п. а). Кроме этого, для любой тройки состояний p,q,r (не обязательно различных!), такой, что p,r\in Q" и существует путь ненулевой длины из p в q , метка которого равна \lambda (т.е. путь по λ-переходам), а из q в r ведет дуга, метка которой содержит символ a входного алфавита, в M" строится дуга из p в r , метка которой содержит символ a (см. рис. 7.11).
в. Множество заключительных состояний F" конечного автомата M" содержит все состояния q\in Q" , т.е. состояния конечного автомата M , не удаляемые согласно п. а, для которых имеет место q\Rightarrow_{\lambda}^{\ast}q_f для некоторого q_f\in F (т.е. либо состояние q само является заключительным состоянием конечного автомата M , либо из него ведет путь ненулевой длины по дугам с меткой \lambda в одно из заключительных состояний конечного автомата M ) (рис. 7.13).
2. Собственно детерминизация.
Пусть M=(Q,V,q_0,F,\delta) - конечный автомат без λ-переходов. Построим эквивалентный M детерминированный конечный автомат M_1 .
Этот конечный автомат определяется таким образом, что его множество состояний есть множество всех подмножеств множества состояний конечного автомата M . Это значит, что каждое отдельное состояние конечного автомата M_1 определено как некоторое подмножество множества состояний конечного автомата M . При этом начальным состоянием нового конечного автомата (т.е. M_1 ) является одноэлементное подмножество, содержащее начальное состояние старого конечного автомата (т.е. M ), а заключительными состояниями нового конечного автомата являются все такие подмножества Q , которые содержат хотя бы одну заключительную вершину исходного конечного автомата M .
Впредь, допуская некоторую вольность речи, мы будем иногда называть состояния конечного автомата M_1 состояниями-множествами. Важно, однако, четко усвоить, что каждое такое состояние-множество есть отдельное состояние нового конечного автомата, но никак не множество его состояний. В то же время для исходного ("старого") конечного автомата M это именно множество его состояний. Образно говоря, каждое подмножество состояний старого конечного автомата "свертывается" в одно состояние нового конечного автомата*.
*Формально следовало бы определить множество Q_1 как множество, находящееся во взаимно однозначном соответствии с множеством 2^Q , но нам все-таки удобнее считать, что Q_1 совпадает с 2^Q , - ведь множеством состояний конечного автомата может быть любое непустое конечное множество.
Функция переходов нового конечного автомата определена так, что из состояния-множества S по входному символу а конечный автомат M_1 переходит в состояние-множество, представляющее собой объединение всех множеств состояний старого конечного автомата, в которые этот старый конечный автомат переходит по символу а из каждого состояния множества S . Таким образом, конечный автомат M_1 является детерминированным по построению.
Приведенное выше словесное описание можно перевести в формулы следующим образом: строим конечный автомат M_1 так, что
M_1=(Q_1,V,\{q_0\},F_1,\delta_1) , где
\begin{cases}Q_1=2^Q,\quad F_1=\{T\colon\, T\cap F\ne\varnothing,~T\in2^Q\},\\ (\forall S\subseteq Q)(\forall a\in V)\Bigl(\delta_1(S,a)= \bigcup\limits_{q\in S}\delta(q,a)\Bigr). \end{cases}
Обратим внимание на то, что среди состояний нового конечного автомата есть состояние \varnothing , причем, согласно (7.8), \delta_1(\varnothing,a)=\varnothing для любого входного символа a . Это значит, что, попав в такое состояние, конечный автомат M_1 уже его не покинет. Вообще же любое состояние q конечного автомата, такое, что для любого входного символа a имеем \delta(q,a)=q , называют поглощающим состоянием конечного автомата. Таким образом, состояние \varnothing детерминированного конечного автомата M_1 является поглощающим. Полезно заметить также, что \delta_1(S,a)=\varnothing тогда и только тогда, когда для каждого q\in S (состояния старого конечного автомата из множества состояний S ) \delta(q,a)=\varnothing , т.е. в графе M из каждого такого состояния q не выходит ни одна дуга, помеченная символом a .
Можно доказать, что полученный по такому алгоритму конечный автомат эквивалентен исходному.
Пример 7.9. Детерминизируем конечный автомат, изображенный на рис. 7.14.
Эквивалентный конечный автомат без λ-переходов изображен на рис. 7.15. Заметим, что вершина q_2 исчезает, так как в нее заходят только "пустые" дуги.
Чтобы детерминизировать полученный автомат, совершенно не обязательно выписывать все его 2^3=8 состояний, среди которых многие могут оказаться не достижимыми из начального состояния \{q_0\} . Чтобы получить достижимые из \{q_0\} состояния, и только их, воспользуемся так называемым методом вытягивания.
Этот метод в общем случае можно описать так.
В исходном конечном автомате (без пустых дуг) определяем все множества состояний, достижимых из начального, т.е. для каждого входного символа a находим множество \delta(q_0,a) . Каждое такое множество в новом автомате является состоянием, непосредственно достижимым из начального.
Для каждого из определенных состояний-множеств S и каждого входного символа a находим множество \textstyle{\mathop{\bigcup\limits_{q\in S} \delta(q,a)}\limits^{\phantom{A}^{.}}} . Все полученные на этом шаге состояния будут состояниями нового (детерминированного) автомата, достижимыми из начальной вершины по пути длины 2. Описанную процедуру повторяем до тех пор, пока не перестанут появляться новые состояния-множества (включая пустое!). Можно показать, что при этом получаются все такие состояния конечного автомата M_1 , которые достижимы из начального состояния \{q_0\} .
Для конечного автомата на рис. 7.15 имеем:
\begin{aligned}& \delta_1(\{q_0\},a)=\{q_1\};\qquad \delta_1(\{q_0\},b)=\{q_1,q_3\};\\ & \delta_1(\{q_1\},a)=\{q_1\};\qquad \delta_1(\{q_1\},b)=\{q_1\};\\ & \delta_1(\{q_1,q_3\},a)= \delta(q_1,a)\cup \delta(q_3,a)= \{q_1\}\cup\{q_1\}=\{q_1\};\\ & \delta_1(\{q_1,q_3\},b)= \delta(q_1,b)\cup \delta(q_3,b)= \{q_1\}\cup\{q_1\}=\{q_1\}. \end{aligned}
Так как новых состояний-множеств больше не появилось, процедура "вытягивания" на этом заканчивается, и мы получаем граф, изображенный на рис. 7.16.
Одним из важных теоретических следствий теоремы о детерминизации является следующая теорема.
Теорема 7.8. Дополнение регулярного языка есть регулярный язык.
Пусть L - регулярный язык в алфавите V . Тогда дополнение языка L (как множества слов) есть язык \overline{L}=V^{\ast}\setminus L .
Согласно теореме 7.7, для регулярного языка L может быть построен детерминированный конечный автомат M , допускающий L . Поскольку в детерминированном автомате из каждой вершины по каждому входному символу определен переход в точности в одну вершину, то, какова бы ни была цепочка x в алфавите V , для нее найдется единственный путь в M , начинающийся в начальном состоянии, на котором читается цепочка x . Ясно, что цепочка x допускается автоматом M , то есть x\in L(M) , тогда и только тогда, когда последнее состояние указанного пути является заключительным. Отсюда следует, что цепочка x\notin L(M) тогда и только тогда, когда последнее состояние указанного пути не заключительное. Но нам как раз и нужен конечный автомат M" , который допускает цепочку x тогда и только тогда, когда ее не допускает исходный конечный автомат M . Следовательно, превращая каждое заключительное состояние M в не заключительное и наоборот, получим детерминированный автомат, допускающий дополнение языка L .
Доказанная теорема позволяет строить конечный автомат, не допускающий определенное множество цепочек, следующим методом: строим сначала автомат, допускающий данное множество цепочек, затем детерминизируем его и переходим к автомату для дополнения так, как это указано в доказательстве теоремы 7.8.
Пример 7.10. а. Построим конечный автомат, допускающий все цепочки в алфавите \{0;1\} , кроме цепочки 101.
Сначала построим конечный автомат, допускающий единственную цепочку 101. Этот автомат приведен на рис. 7.17.
Этот автомат квазидетерминированный, но не детерминированный, так как он не полностью определен. Проведем его детерминизацию и получим детерминированный эквивалентный конечный автомат, изображенный на рис. 7.18.
И наконец, переходя к дополнению (и переименовывая состояния), получим автомат, изображенный на рис. 7.19.
Обратим внимание, что в полученном автомате все вершины, кроме вершины s_3 , являются заключительными.
Заметим также, что переход к дополнению, о котором идет речь в доказательстве теоремы 7.8, может быть проведен только в детерминированном автомате. Если бы мы поменяли ролями заключительные и незаключительные вершины в автомате, изображенном на рис. 7.17, то получили бы автомат, допускающий язык \{\lambda,1,10\} , который не является - как нетрудно сообразить - множеством всех цепочек, отличных от цепочки 101.
Отметим также, что конечный автомат на рис. 7.19 допускает все цепочки, содержащие вхождение цепочки 101, но не совпадающие с самой этой цепочкой. Вот, например, путь, несущий цепочку 1011: s_0,s_1,s_2,s_3,t .
б. Построим конечный автомат, допускающий все цепочки в алфавите \{0;1\} , кроме тех, которые содержат вхождение цепочки 101. Рассмотрим язык L , каждая цепочка которого содержит вхождение цепочки 101. Его можно задать так:
L=(0+1)^{\ast}101(0+1)^{\ast}.
Нам нужно построить автомат для дополнения языка L .
Непосредственно по регулярному выражению в этом случае легко построить конечный автомат, допускающий язык L (рис. 7.20).
Затем методом "вытягивания" проведем детерминизацию. Результат детерминизации представлен на рис. 7.21.
Для полного решения задачи осталось только на рис. 7.21 поменять ролями заключительные и не заключительные вершины (рис. 7.22).
в. Обсудим идею построения конечного автомата, допускающего те и только те цепочки в алфавите \{0;1\} , которые не начинаются цепочкой 01 и не заканчиваются цепочкой 11 (т.е. не разрешаются цепочки вида 01x и цепочки вида y11 , каковы бы ни были цепочки x,y\in\{0;1\} ).
В этом случае дополнением языка, для которого нужно построить конечный автомат, является множество всех таких цепочек нулей и единиц, которые начинаются цепочкой 01 или заканчиваются цепочкой 11. Допускающий это множество цепочек автомат строится как автомат для объединения 01(0+1)^{\ast}+(0+1)^{\ast}11 тем способом, который изложен при доказательстве теоремы Клини (см. теорему 7.6).
Из свойства замкнутости класса регулярных языков относительно дополнения (см. теорему 7.8) немедленно вытекает замкнутость этого класса относительно пересечения, теоретико-множественной и симметрической разности.
Следствие 7.3. Для любых двух регулярных языков L_1 и L_2 справедливы следующие утверждения:
1) пересечение L_1\cap L_2
регулярно;
2) разность L_1\setminus L_2
регулярна;
3) симметрическая разность L_1\vartriangle L_2
регулярна.
Справедливость утверждений вытекает из тождеств:
\begin{aligned} &{\scriptstyle{\mathsf{1)}}}\quad L_1\cap L_2= \overline{\overline{L_1} \cup\overline{L_2}}\,;\\ &{\scriptstyle{\mathsf{2)}}}\quad L_1\setminus L_2= L_1\cap \overline{L_2}\,;\\ &{\scriptstyle{\mathsf{3)}}}\quad L_1\,\triangle\,L_2 = (L_1\cup L_2)\setminus (L_1\cap L_2).\end{aligned}
Во-первых, полученные результаты позволяют утверждать, что класс регулярных языков относительно операций объединения, пересечения и дополнения является булевой алгеброй, в которой единицей служит универсальный язык, а нулем - пустой язык. Во-вторых, эти алгебраические свойства семейства регулярных языков позволяют решить важную проблему распознавания эквивалентности двух произвольных конечных автоматов.
Согласно определению 7.10, конечные автоматы эквивалентны, если допускаемые ими языки совпадают. Поэтому, чтобы убедиться в эквивалентности автоматов M_1 и M_2 , достаточно доказать, что симметрическая разность языков L(M_1) и L(M_2) пуста. Для этого, в свою очередь, достаточно построить автомат, допускающий эту разность, и убедиться в том, что допускаемый им язык пуст. В общем случае проблему распознавания того, что язык конечного автомата пуст, называют проблемой пустоты для конечного автомата. Чтобы решить эту проблему, достаточно найти множество заключительных состояний автомата, достижимых из начального состояния. Так как конечный автомат - это ориентированный граф, то решить такую проблему можно, например, с помощью, поиска в ширину. Язык, допускаемый конечным автоматом, пуст тогда и только тогда, когда множество заключительных состояний, достижимых из начального состояния, пусто. Практически эквивалентность конечных автоматов предпочтительнее распознавать, используя алгоритм минимизации, но сейчас нам важно подчеркнуть, что принципиальная возможность решить проблему эквивалентности вытекает из теоремы 7.7 и ее алгебраических следствий.
Регулярные выражения (РВ) - это очень удобная форма записи так называемых регулярных или автоматных языков. Поэтому РВ используются в качестве входного языка во многих системах, обрабатывающие цепочки. Рассмотрим примеры таких систем:
В данной статье мы сначала ознакомимся с конечными автоматами и их видами(ДКА и НКА), и далее рассмотрим пример построения минимального ДКА по регулярному выражению.
Конечный автомат (КА) - это преобразователь, который позволяет сопоставить входу соответствующий выход, причем выход этот может зависеть не только от текущего входа, но и от того, что происходило раньше, от предыстории работы конечного автомата. Даже поведение человека, а не только искусственных систем можно описать с помощью КА. С помощью КА можно описать не только поведение искусственных систем, а даже поведение человека. Например, ваша реакция, на то что ваш сосед слушает громко музыку по ночам, будет одной после первого такого случая и совершенно другой после нескольких таких случаев. Таких предысторий может быть бесконечное число, возникает вопрос; Какой памятью должен обладать КА, чтобы вести себя по разному для каждой предыстроии? Понятно, что хранить бесконечное число предысторий не возможно. Поэтому автомат как бы разбивает все возможные предыстории на классы эквивалентности. Две истории являются эквивалентными, если они одинаково влияют на поведение автомата в дальнейшем. Класс эквивалентности к которому автомат отнес свою текущую предысторию, называют еще внутренним состоянием автомата.
Теперь рассмотрим, какими способами можно задать КА. Они могут задаваться в виде графов или в виде управляющих таблиц. В виде графа КА задается следующим способом:
В виде управляющей таблицы, так:
Пример КА в виде графа и в виде управляющей таблицы будет представлен ниже.
Основное отличие ДКА и НКА состоит в том, что ДКА в процессе работы может находится только в одном состоянии, а НКА в нескольких состояниях одновременно. В качестве примера работы НКА можно привести идею американского физика Хью Эверетта от том, что любое событие разбивает мир на несколько миров, в каждом из которых это событие закончилось по-своему. Например, в одном мире Гитлер выиграл 2-ю Мир. войну, в другом – Ньютон вместо физики занялся бизнесом и открытие законов классической механики пришлось отложить лет на 50. Чтобы сделать какие-то выводы из работы автомата, следует изучить все «миры». После того как вся входная цепочка будет считана, мы полагаем, что НКА допускает данную цепочку, если он завершил работу в допускающем состоянии хотя бы в одном из множества «миров». Соответственно, автомат отвергает цепочку, если он завершил работу в недопускающем состоянии в каждом «мире». ДКА же принимает цепочку, это очевидно, если после считывания всей входной цепочки он оказывается в допускающем состоянии.
В большинстве случаев построить НКА гораздо проще чем ДКА. Но, не смотря на это использовать НКА для моделирования - не самая хорошая идея. К счастью, для каждого НКА можно построить ДКА, допускающий тот же входной язык. В данной статье мы не будем приводить алгоритм построения ДКА по НКА, а рассмотрим данный алгоритм на основе наглядного примера ниже.
Для начала приведем синтаксис РВ используемый в данной статье:
Рассмотрим пример, дано регулярное выражение:
xy* (x | y*) | ab (x | y*) | (x | a*) (x | y*)
Нужно построить минимальный ДКА по регулярному выражению и продемонстрировать распознавание корректной и некорректной цепочки.
Для начала упростим данное РВ, используя правосторонний дистрибутивный закон конкатенации относительно объединения получаем следующее РВ:
(xy* | ab | (x | a*)) (x | y*)
Теперь строим автомат по данному РВ:
По правилу преобразования конкатенации(не будем приводить правила преобразования РВ в КА, так как они довольно очевидные), получаем следующий автомат:
По правилу преобразования объединения:
По правилу преобразования конкатенации:
И в конце применяем правило преобразования замыкания и получаем εНКА:
Избавляемся от ε-переходов («звездочкой» обозначены конечные состояния):
В данном НКА состояния s3 и s5 эквивалентны, так как δ(s3, x) = δ(s5, x) = s1 и δ(s3, y) = δ(s5, y) = s5, s7. Переименовываем состояния s6 -> s5 и s7 -> s6:
Строим ДКА по НКА:
В данном ДКА состояния p1 и p5 эквивалентны, так как
δ(p1, x) = δ(p5, x) = p4 и δ(p1, y) = δ(p5, y) = p5. Переименовываем состояния p6 -> p5 и p7 -> p6:
Данный автомат является минимальным ДКА.
Пускай δ - функция переходов, то расширенная функция переходов, построенную по δ, обозначим δ’, и ω - входная цепочка.
Допустим на вход подается цепочка ω = aaax, мы ожидаем что автомат окажется в одном из допускающих состояний.
δ’(p0, ε) = p0
δ’(p0, a) = δ(δ’(p0, ε), a) = δ(p0, a) = p3
δ’(p0, aa) = δ(δ’(p0, a), a) = δ(p3, a) = p5
δ’(p0, aaa) = δ(δ’(p0, aa), a) = δ(p5, a) = p5
δ’(p0, aaax) = δ(δ’(p0, aaa), a) = δ(p5, a) = p4
p4 - допустимое конечное состояние, таким образом цепочка aaax, является корректной для данного автомата.
Теперь допустим, что ω = xyyb:
δ’(p0, ε) = p0
δ’(p0, x) = δ(δ’(p0, ε), x) = δ(p0, x) = p1
δ’(p0, xy) = δ(δ’(p0, x), y) = δ(p1, y) = p1
δ’(p0, xyy) = δ(δ’(p0, xy), y) = δ(p1, y) = p1
δ’(p0, xyyb) = δ(δ’(p0, xyy), b) = δ(p1, b) = ∅
Здесь мы видим, что если подать на вход автомату символ b, когда он находится в состоянии p1, то данный автомат умрет, следовательно цепочка xyyb - некорректна.
P. S. В данной статье был рассмотрен алгоритм построение ДКА по РВ, но существуют более удобные алгоритмы, в частности для программирования, но это уже тема для другой статьи…
Рассмотрим алгоритм построения по регулярному выражению недетерминированного конечного автомата, допускающего тот же язык.
Алгоритм 3.1 . Построение недетерминированного конечного автомата по регулярному выражению.
Вход . Регулярное выражение r в алфавите T .
Выход . НКА M , такой что L(M) = L(r) .
Метод .Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих подвыражениям. На каждом шаге построения строящийся автомат имеет в точности одно заключительное состояние, в начальное состояние нет переходов из других состояний и нет переходов из заключительного состояния в другие.
Рассмотрим алгоритм построения по недетерминированному конечному автомату детерминированного конечного автомата, допускающего тот же язык.
Алгоритм 3.2 . Построение детерминированного конечного автомата по недетерминированному.
Вход . НКА M = (Q, T, D, q 0 , F) .
Выход . ДКА .
Метод . Каждое состояние результирующего ДКА - это некоторое множество состояний исходного НКА.
В алгоритме будут использоваться следующие функции: - множество состояний НКА, достижимых из состояний, входящих в R , посредством только переходов по e , то есть множество
Множество состояний НКА, в которые есть переход на входе a для состояний из R , то есть множество
Вначале Q" и D" пусты. Выполнить шаги 1-4:
(1) Определить .
(2) Добавить в Q" как непомеченное состояние
(3) Выполнить следующую процедуру:
(4) Определить .
Пример 3.6 . Результат применения алгоритма 3.2 приведен на рис. 3.10 .
Приведем теперь алгоритм построения по регулярному выражению детерминированного конечного автомата, допускающего тот же язык [?] .
Пусть дано регулярное выражение r в алфавите T . К регулярному выражению r добавим маркер конца: (r)# . Такое регулярное выражение будем называть пополненным. В процессе своей работы алгоритм будет использовать пополненное регулярное выражение.
Алгоритм будет оперировать с синтаксическим деревом
для пополненного регулярного выражения (r)#,
каждый
лист которого помечен символом 
, а каждая
внутренняя вершина
помечена знаком одной из операций: (конкатенация), |
(объединение), *
(итерация).
Каждому листу дерева (кроме e -листьев) присвоим уникальный номер, называемый позицией, и будем использовать его, с одной стороны, для ссылки на лист в дереве, и, с другой стороны, для ссылки на символ, соответствующий этому листу. Заметим, что если некоторый символ используется в регулярном выражении несколько раз, он имеет несколько позиций.
Обойдем дерево T снизу-вверх слева-направо и вычислим четыре функции: nullable,firstpos, lastpos и followpos . Три первые функции - nullable, firstpos и lastpos - определены на узлах дерева, а followpos - на множестве позиций. Значением всех функций, кроме nullable , является множество позиций. Функция followpos вычисляется через три остальные функции.
Функция firstpos(n) для каждого узла n синтаксического дерева регулярного выражения дает множество позиций, которые соответствуют первым символам в подцепочках , генерируемых подвыражением с вершиной в n . Аналогично, lastpos(n) дает множество позиций, которым соответствуют последние символы в
