Теорема сложения вероятностей двух событий . Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления :
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий . Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих :
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Пример 2.16. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую - 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.
Решение.
События А - «стрелок попал в первую область» и В - «стрелок попал во вторую область» - несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.
Искомая вероятность равна:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)= 0,45+ 0,35 = 0,8.
Теорема сложения вероятностей п несовместных событий . Вероятность суммы п несовместных событий равна сумме вероятностей этих :
Р(А 1 +А 2 +…+А п)=Р(А 1)+Р(А 2)+…+Р(А п).
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Вероятность события В при условии, что произошло событие А , называется условной вероятностью события В и обозначается так: Р(В/А), или Р А (В).
. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:
Р(АВ)=Р(А)Р А (В).
Событие В не зависит от события А , если
Р А (В)=Р(В),
т.е. вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А .
Теорема умножения вероятностей двух независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Пример 2.17. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р 1 = 0,7; р 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Решение.
Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А – «попадание первого орудия» и В – «попадание второго орудия» независимы.
Вероятность события АВ – «оба орудия дали попадание»:
Искомая вероятность
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.
Теорема умножения вероятностей п событий. Вероятность произведения п событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:
Пример 2.18 . В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В) и при третьем – синий (событие С).
Решение.
Вероятность появления белого шара в первом испытании:
Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность:
Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором - черный, т. е. условная вероятность:
Искомая вероятность равна:
Теорема умножения вероятностей п независимых событий. Вероятность произведения п независимых событий равна произведению их вероятностей:
Р(А 1 А 2 …А п)=Р(А 1)Р(А 2)…Р(А п).
Вероятность появления хотя бы одного из события. Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1 , А 2 , …, А п, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :
.
Пример 2.19. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р 1 = 0,8; р 2 = 0,7; р 3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А ) при одном залпе из всех орудий.
Решение.
Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A 1 (попадание первого орудия), А 2 (попадание второго орудия) и А 3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям А 1 , А 2 и А 3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:
, , 
.
Искомая вероятность равна:
Если независимые события А 1 , А 2 , …, А п имеют одинаковую вероятность, равную р , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой:
Р(А)= 1 – q n ,
где q=1- p
2.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Пусть событие А может произойти при условии появления одного из несовместных событий Н 1 , Н 2 , …, Н п , образующих полную группу событий. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами .
Вероятность появления события А вычисляется по формуле полной вероятности:
Р(А)=Р(Н 1)Р(А/Н 1)+ Р(Н 2)Р(А/Н 2)+…+ Р(Н п)Р(А/Н п).
Допусти, что произведен опыт, в результате которого событие А произошло. Условные вероятности событий Н 1 , Н 2 , …, Н п относительно события А определяются формулами Байеса :
,
Пример 2.20 . В группе из 20 студентов, пришедших на экзамен, 6 подготовлены отлично, 8 – хорошо, 4 – удовлетворительно и 2 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 30 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 30 вопросов, хорошо подготовленный – на 24, удовлетворительно – на 15, плохо – на 7.
Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.
Решение.
Гипотезы – «студент подготовлен отлично»;
– «студент подготовлен хорошо»;
– «студент подготовлен удовлетворительно»;
– «студент подготовлен плохо».
До опыта:
; ; ; ;
7. Что называют полной группой событий?
8. Какие события называют равновозможными? Приведите примеры таких событий.
9. Что называют элементарным исходом?
10. Какие исходы называю благоприятными данному событию?
11. Какие операции можно проводить над событиями? Дайте им определения. Как обозначаются? Приведите примеры.
12. Что называется вероятностью?
13. Чему равна вероятность достоверного события?
14. Чему равна вероятность невозможного события?
15. В каких пределах заключена вероятность?
16. Как определяется геометрическая вероятность на плоскости?
17. Как определяется вероятность в пространстве?
18. Как определяется вероятность на прямой?
19. Чему равна вероятность суммы двух событий?
20. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?
21. Чему равна вероятность суммы n несовместных событий?
22. Какую вероятность называют условной? Приведите пример.
23. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.
24. Как найти вероятность появления хотя бы одного из событий?
25. Какие события называют гипотезами?
26. Когда применяются формула полной вероятности и формулы Байеса?
Тип задания: 4
Вероятность того, что аккумулятор не заряжен, равна 0,15. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит два таких аккумулятора. Найдите вероятность того, что оба аккумулятора в этой упаковке окажутся заряжены.
Показать решениеВероятность того, что аккумулятор заряжён, равна 1-0,15 = 0,85. Найдём вероятность события «оба аккумулятора заряжены». Обозначим через A и B события «первый аккумулятор заряжён» и «второй аккумулятор заряжён». Получили P(A) = P(B) = 0,85. Событие «оба аккумулятора заряжены» — это пересечение событий A \cap B, его вероятность равна P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.
Тип задания: 4
Тема:
Сложение и умножение вероятностей событий
Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,05 . Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит две ручки. Найдите вероятность того, что обе ручки в этой упаковке окажутся исправными.
Показать решениеВероятность того, что ручка исправная, равна 1-0,05 = 0,95. Найдём вероятность события «обе ручки исправны». Обозначим через A и B события «первая ручка исправна» и «вторая ручка исправна». Получили P(A) = P(B) = 0,95. Событие «обе ручки исправны» — это пересечение событий A\cap B, его вероятность равна P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 4
Тема:
Сложение и умножение вероятностей событий
На рисунке изображён лабиринт. Жук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти в обратном направлении жук не может, поэтому на каждой развилке он выбирает один из путей, в котором еще не был. С какой вероятностью жук придет к выходу Д, если выбор дальнейшего пути является случайным.
Показать решениеРасставим на перекрёстках стрелки в направлениях, по которым может двигаться жук (см. рис.).
Выберем на каждом из перекрёстков одно направление из двух возможных и будем считать, что при попадании на перекрёсток жук будет двигаться по выбранному нами направлению.
Чтобы жук достиг выхода Д, нужно, чтобы на каждом перекрёстке было выбрано направление, обозначенное сплошной красной линией. Всего выбор направления делается 4 раза, каждый раз независимо от предыдущего выбора. Вероятность того, что каждый раз выбрана сплошная красная стрелка, равна \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 4
Тема:
Сложение и умножение вероятностей событий
Стоянка освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Найдите вероятность того, что за год хотя бы одна лампа не перегорит.
Показать решениеСначала найдём вероятность события «обе лампы перегорели в течение года», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первая лампа перегорела в течение года» и «вторая лампа перегорела в течение года». По условию P(A) = P(B) = 0,4. Событие «обе лампы перегорели в течение года» — это A \cap B, его вероятность равна P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 (так как события A и B независимы).
Искомая вероятность равна 1 - P(A \cap B) = 1 - 0,16 = 0,84.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 4
Тема:
Сложение и умножение вероятностей событий
В гостинице стоят два кулера. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого кулера. Определите вероятность того, что хотя бы один из этих кулеров исправен.
Показать решениеСначала найдём вероятность события «оба кулера неисправны», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первый кулер неисправен» и «второй кулер неисправен». По условию P(A) = P(B) = 0,2. Событие «оба кулера неисправны» — это A \cap B , пересечение событий A и B , его вероятность равна P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,2\cdot 0,2 = 0,04 (так как события A и B независимы). Искомая вероятность равна 1-P(A \cap B)=1-0,04=0,96.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 4
Тема:
Сложение и умножение вероятностей событий
На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Механика», равна 0,25 . Вероятность того, что этот вопрос на тему «Электричество», равна 0,3 . Вопросов, которые относились бы сразу к двум темам, нет. Найдите вероятность того, что студенту попадётся вопрос по одной из этих двух тем.
Рассматривается эксперимент Е . Предполагается, что его можно проводить неоднократно. В результате эксперимента могут появляться различные события, составляющие некоторое множество F . Наблюдаемые события разделяются на три вида: достоверное, невозможное, случайное.
Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате проведения эксперимента Е . Обозначается Ω.
Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет в результате проведения эксперимента Е . Обозначается .
Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента Е .
Дополнительным (противоположным) событию А называется событие, обозначаемое , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событиеА .
Суммой (объединением) событий называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий (рисунок 3.1). Обозначения .
Рисунок 3.1
Произведением (пересечением) событий называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда все данные события происходят вместе (одновременно) (рисунок 3.2). Обозначения . Очевидно, что события А и Внесовместны , если .
Рисунок 3.2
Полной группой событий называется множество событий, сумма которых есть достоверное событие:
Событие В называют частным случаем события А , если с появлением события В появляется и событие А . Говорят также, что событие В влечет событие А (Рисунок 3.3). Обозначение .
Рисунок 3.3
События А и В называются эквивалентными , если они происходят или не происходят совместно при проведении эксперимента Е . Обозначение . Очевидно, что, еслии.
Сложным событием называют наблюдаемое событие, выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью алгебраических операций.
Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляют с помощью формул сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей
Следствия:
1) в случае, если события А и В несовместны, теорема сложения приобретает вид:
2) в случае трех слагаемых теорема сложения записывается в виде
3) сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна 1:
Совокупность событий ,, …,называютполной группой событий , если
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1:
Вероятность появления события А при условии, что событие В произошло, называют условной вероятностью и обозначают или.
А и В – зависимые события , если .
А и В – независимые события , если .
Теорема умножения вероятностей
Следствия:
1) для независимых событий А и В
2) в общем случае для произведения трех событий теорема умножения вероятностей имеет вид:
Образцы решения задач
Пример 1 ‑ В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны ,,. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.
Решение
Первый способ.
Обозначим события: - в цепи произошел отказ соответственно первого, второго и третьего элементов.
Событие А – тока в цепи не будет (откажет хотя бы один из элементов, так как они включены последовательно).
Событие ‑ в цепи ток (работают три элемента), . Вероятность противоположных событий связана формулой (3.4). Событие представляет собой произведение трех событий, являющихся попарно независимыми. По теореме умножения вероятностей независимых событий получаем
Тогда вероятность искомого события .
Второй способ.
С учетом принятых ранее обозначений запишем искомое событие А – откажет хотя бы один из элементов:
Так как слагаемые, входящие в сумму, совместны, следует применить теорему сложения вероятностей в общем виде для случая трех слагаемых (3.3):
Ответ: 0,388.
Задачи для самостоятельного решения
1 В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
2 В мешке смешаны нити, среди которых 30 % белых, а остальные –красные. Определить вероятности того, что вынутые наудачу две нити будут: одного цвета; разных цветов.
3 Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы за определенный промежуток времени первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за это время безотказно будут работать: только один элемент; только два элемента; все три элемента; хотя бы два элемента.
4 Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
а) на каждой грани из выпавших появится пять очков;
б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков;
в) на двух выпавших гранях появится одно очко, а на третьей грани – другое число очков;
г) на всех выпавших гранях появится разное число очков.
5 Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?
6 Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех – вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: в первый раз; во второй раз; в оба раза.
7 Вероятность того, что в мужской обувной секции магазина очередной раз будет продана пара обуви 46-го размера, равна 0,01. Сколько должно быть продано пар обуви в магазине, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, можно было ожидать, что будет продана хотя бы одна пара обуви 46-го размера?
8 В ящике 10 деталей, среди которых две нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных шести деталях окажется не более одной нестандартной.
9 Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что:
а) из трех проверенных изделий только два окажутся нестандартными;
б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.
10 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки:
а) три карточки вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «мир»;
б) извлеченные три карточки можно поменять местами произвольным образом. Какова вероятность того, что из них можно сложить слово «мир»?
11 Истребитель атакует бомбардировщик и дает по нему две независимые очереди. Вероятность сбить бомбардировщик первой очередью равна 0,2, а второй ‑ 0,3. Если бомбардировщик не сбит, он ведет по истребителю стрельбу из орудий кормовой установки и сбивает его с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что в результате воздушного боя сбит бомбардировщик или истребитель.
Домашнее задание
1 Формула полной вероятности. Формула Байеса.
2 Решить задачи
Задача 1 . Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа не потребует внимания рабочего первый станок, равна 0,9, второй – 0,8, третий – 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания рабочего.
Задача 2 . Вычислительный центр, который должен производить непрерывную обработку поступающей информации, располагает двумя вычислительными устройствами. Известно, что каждое из них имеет вероятность отказа за некоторое время, равную 0,2. Требуется определить вероятность:
а) того, что откажет одно из устройств, а второе будет исправно;
б) безотказной работы каждого из устройств.
Задача 3 . Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной последовательности: следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятность попадания для первого охотника равна 0,6, для второго – 0,7, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что будет произведено выстрелов:
г) четыре.
Задача 4 . Деталь проходит четыре операции обработки. Вероятность получения брака при первой операции равна 0,01, при второй – 0,02, при третьей – 0,03, при четвертой – 0,04. Найти вероятность получения детали без брака после четырех операций, предполагая, что события получения брака на отдельных операциях являются независимыми.
Вероятностью события А называют отношение числа m исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов: Р(А)=m/n.
Условной вероятностью события А (или вероятностью события А при условии, что наступило событие В), называется число Р В (А) = Р(АВ)/Р(В), где А и В – два случайных события одного и того же испытания.
Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий обозначается А+В.
Правила сложения вероятностей :
Произведением конечного числа событий называется событие, состоящее в том, что каждое из них произойдет. Произведение двух событий обозначается АВ.
Правила умножения вероятностей :
Задача 1 . В коробке имеется 250 лампочек, из них 100 по 90Вт, 50 - по 60Вт, 50 - по 25Вт и 50 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.
Решение.
А = {мощность лампочки равна 90Вт}, вероятность Р(А)=100/250=0,4;
В = {мощность лампочки равна 60Вт};
С = {мощность лампочки равна 25Вт};
D = {мощность лампочки равна 15Вт}.
2. События А, В, С, D образуют полную систему , так как все они несовместны и одно из них обязательно наступит в данном опыте (выборе лампочки). Вероятность наступления одного из них есть достоверное событие, тогда Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D)=1.
3. События {мощность лампочки не более 60Вт} (т.е. меньше или равна 60Вт), и {мощность лампочки более 60Вт} (в данном случае – 90Вт) являются противоположными. По свойству противоположных чисел Р(В)+Р(С)+Р(D)=1-Р(А).
4. Учитывая, что Р(В)+Р(С)+Р(D)=Р(В+С+D), получим Р(В+С+D)= 1-Р(А)=1-0,4=0,6.
Задача 2
. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,7,
а вторым стрелком – 0,9. Найти вероятность того, что
а) цель будет поражена только одним стрелком;
б) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.
Решение.
1. Рассматриваем следующие события:
А1 = {первый стрелок поражает цель}, Р(А1)=0,7 из условия задачи;
А̄1 = {первый стрелок промахнулся}, при этом Р(А1)+Р(А̄1) = 1, поскольку А1 и А̄1 – противоположные события.
Отсюда Р(А̄1)=1-0,7=0,3;
А2 = {второй стрелок поражает цель}, Р(А2)=0,9 из условия задачи;
А̄2 = {второй стрелок промахнулся}, при этом Р(А̄2)=1-0,9=0,1.
2. Событие А={цель поражена только одним стрелком} означает, что наступило одно из
двух несовместных событий: либо А1А̄2, либо А̄1А2.
По правилу сложения вероятностей Р(А)= Р(А1А̄2)+Р(А̄1А2).
Р(А1А̄2)= Р(А1)*Р(А̄2)= 0,7*0,1=0,07;
Р(А̄1А2)= Р(А̄1)*Р(А2)=0,3*0,9=0,27.
Тогда Р(А)= Р(А1А̄2)+Р(А̄1А2)=0,07+0,27=0,34.
3. Событие B={цель поражена хотя бы одним стрелком} означает, что либо цель поразил первый стрелок, либо цель поразил второй стрелок, либо цель поразили оба стрелка.
Событие B̄={цель не поражена ни одним стрелком} является противоположным событию В, а значит
Р(В)=1-Р(B̄).
Событие B̄ означает одновременное появление независимых событий Ā1 и Ā2, следовательно
Р(B̄)=Р(Ā1Ā2)= Р(Ā1)*Р(Ā2)=0,3*0,1=0,3.
Тогда Р(В)= 1-Р(B̄)=1-0,3=0,7.
Задача 3
. Экзаменационный билет состоит из трех вопросов. Вероятность
того, что студент ответит на первый вопрос 0,7; на второй – 0,9; на третий – 0,6. Найти вероятность
того, что студент, выбрав билет ответит:
а) на все вопросы;
г) по крайней мере на два вопроса.
Решение.
1. Рассматриваем следующие события:
А1 = {студент ответил на первый вопрос}, Р(А1)=0,7 из условия задачи;
А̄1 = {студент не ответил на первый вопрос}, при этом Р(А1)+Р(А̄1) = 1, поскольку А1
и А̄1 – противоположные события. Отсюда Р(А̄1)=1-0,7=0,3;
А2 = {студент ответил на второй вопрос}, Р(А2)=0,9 из условия задачи;
А̄2 = {студент не ответил на второй вопрос}, при этом Р(А̄2)=1-0,9=0,1;
А3 = {студент ответил на третий вопрос}, Р(А3)=0,6 из условия задачи;
А̄3 = {студент не ответил на третий вопрос}, при этом Р(А̄3)=1-0,6=0,4.
2. Событие А = {студент ответил на все вопросы} означает одновременное появление
независимых событий А1, А2 и А3, т.е. Р(А)= Р(А1А2А3).По правилу умножения вероятностей
независимых событий: Р(А1А2А3)= Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)= 0,7*0,9*0,6=0,378.
Тогда Р(А)= Р(А1А2А3)=0,378.
3. Событие D = {студент ответил по крайней мере на два вопроса} означает, что дан ответ
на любые два вопроса или на все три, т.е. наступило одно из четырех несовместных событий:
либо A1A2Ā3, либо А1Ā2А3, либо А̄1А2А3, либо А1А2А3.
По правилу сложения вероятностей
несовместных событий: Р(D)= Р(A1A2Ā3)+ Р(А1Ā2А3)+Р(А̄1А2А3)+Р(А1А2А3).
По правилу умножения вероятностей независимых событий:
Р(A1A2Ā3)= Р(A1)*Р(A2)*Р(Ā3)= 0,7*0,9*0,4=0,252;
Р(А1Ā2А3)= Р(А1)*Р(Ā2)*Р(А3)= 0,7*0,1*0,6=0,042;
Р(А̄1А2А3)= Р(А̄1)*Р(А2)*Р(А3)= 0,3*0,9*0,6=0,162;
Р(А1А2А3)= Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)= 0,7*0,9*0,6=0,378.
Тогда Р(D)= 0,252+0,042+0,162+0,378= 0,834.
Теорема сложения вероятностей
Рассмотрим несовместные случайные события.
Известно, что несовместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.
Предположим, что в данном испытании число всех равновозможных элементарных событий $n$. Из них событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $m_{A} $ и $m_{B} $ элементарных событий соответственно. Поскольку события $A$ и $B$ несовместные, то событию $A+B$ благоприятствуют $m_{A} +m_{B} $ элементарных событий. Имеем $P\left(A+B\right)=\frac{m_{A} +m_{B} }{n} =\frac{m_{A} }{n} +\frac{m_{B} }{n} =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.
Теорема 1
Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме их вероятностей.
Примечание 1
Следствие 1. Вероятность суммы любого количества несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий.
Следствие 2. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий (сумма вероятностей всех элементарных событий) равна единице.
Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поскольку они образуют полную группу несовместных событий.
Пример 1
Вероятность того, что на протяжении некоторого времени в городе ни разу не будет идти дождь, $p=0,7$. Найти вероятность $q$ того, что на протяжении этого же времени дождь в городе будет идти хотя бы один раз.
События "на протяжении некоторого времени в городе ни разу не шел дождь" и "на протяжении некоторого времени дождь в городе шел хотя бы один раз" противоположные. Поэтому $p+q=1$, откуда $q=1-p=1-0,7=0,3$.
Рассмотрим совместные случайные события.
Известно, что совместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.
Предположим, что в данном испытании число всех равновозможных элементарных событий $n$. Из них событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $m_{A} $ и $m_{B} $ элементарных событий соответственно. Поскольку события $A$ и $B$ совместны, то из всего количества $m_{A} +m_{B} $ элементарных событий определенное количество $m_{AB} $ благоприятствует одновременно и событию $A$, и событию $B$, то есть совместному их наступлению (произведению событий $A\cdot B$). Это количество $m_{AB} $ вошло одновременно и в $m_{A} $, и в $m_{B} $ Итак событию $A+B$ благоприятствуют $m_{A} +m_{B} -m_{AB} $ элементарных событий. Имеем: $P\left(A+B\right)=\frac{m_{A} +m_{B} -m_{AB} }{n} =\frac{m_{A} }{n} +\frac{m_{B} }{n} -\frac{m_{AB} }{n} =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\right)$.
Теорема 2
Вероятность суммы двух совместных событий равняется сумме вероятностей этих событий за минусом вероятности их произведения.
Замечание. Если события $A$ и $B$ несовместны, то их произведение $A\cdot B$ является невозможным событием, вероятность которого $P\left(A\cdot B\right)=0$. Следовательно, формула сложения вероятностей несовместных событий является частным случаем формулы сложения вероятностей совместных событий.
Пример 2
Найти вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных кубиков цифра 5 выпадет хотя бы один раз.
При одновременном бросании двух игральных кубиков число всех равновозможных элементарных событий равно $n=36$, поскольку на каждую цифру первого кубика может выпасти шесть цифр второго кубика. Из них событие $A$ -- выпадение цифры 5 на первом кубике -- осуществляется 6 раз, событие $B$ -- выпадение цифры 5 на втором кубике -- тоже осуществляется 6 раз. Из всех двенадцати раз цифра 5 один раз выпадает на обоих кубиках. Таким образом, $P\left(A+B\right)=\frac{6}{36} +\frac{6}{36} -\frac{1}{36} =\frac{11}{36} $.
Рассмотрим независимые события.
События $A$ и $B$, которые происходят в двух последовательных испытаниях, называются независимыми, если вероятность появления события $B$ не зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$.
Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шар а. Испытанием является извлечение шара. Событие $A$ -- "вынут белый шар в первом испытании". Вероятность $P\left(A\right)=\frac{1}{2} $. После первого испытания шар положили назад и провели второе испытание. Событие $B$ -- ``вынут белый шар во втором испытании"". Вероятность $P\left(B\right)=\frac{1}{2} $. Вероятность $P\left(B\right)$ не зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно события $A$ и $B$ независимы.
Известно, что независимые случайные события $A$ и $B$ двух последовательных испытаний имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность произведения $A\cdot B$ этих событий, то есть вероятность совместного их появления.
Предположим, что в первом испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_{1} $. Из них событию $A$ благоприятствуют $m_{1} $ элементарных событий. Предположим также, что во втором испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_{2} $. Из них событию $B$ благоприятствуют $m_{2} $ элементарных событий. Теперь рассмотрим новое элементарное событие, которое состоит в последовательном наступлении событий из первого и второго испытаний. Общее количество таких равновозможных элементарных событий равно $n_{1} \cdot n_{2} $. Поскольку события $A$ и $B$ независимы, то из этого числа совместному наступлению события $A$ и события $B$ (произведения событий $A\cdot B$) благоприятствует $m_{1} \cdot m_{2} $ событий. Имеем: $P\left(A\cdot B\right)=\frac{m_{1} \cdot m_{2} }{n_{1} \cdot n_{2} } =\frac{m_{1} }{n_{1} } \cdot \frac{m_{2} }{n_{2} } =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.
Теорема 3
Вероятность произведения двух независимых событий равняется произведению вероятностей этих событий.
Рассмотрим зависимые события.
В двух последовательных испытаниях происходят события $A$ и $B$. Событие $B$ называется зависимым от события $A$, если вероятность появления события $B$ зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$. Тогда вероятность события $B$, которая была вычислена при условии, что событие $A$ состоялось, называется условной вероятностью события $B$ при условии $A$ и обозначается $P\left(B/A\right)$.
Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Испытанием является извлечением шара. Событие $A$ -- "вынут белый шар в первом испытании". Вероятность $P\left(A\right)=\frac{1}{2} $. После первого испытания шар назад не кладут и выполняют второе испытание. Событие $B$ -- ``вынут белый шар во втором испытании"". Если в первом испытании был вынут белый шар, то вероятность $P\left(B/A\right)=\frac{1}{3} $. Если же в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность $P\left(B/\overline{A}\right)=\frac{2}{3} $. Таким образом вероятность события $B$ зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно, событие $B$ зависит от события $A$.
Предположим, что события $A$ и $B$ происходят в двух последовательных испытаниях. Известно, что событие $A$ имеет вероятность появления $P\left(A\right)$. Известно также, что событие $B$ является зависимым от события $A$ и его условная вероятность при условии $A$ равна $P\left(B/A\right)$.
Теорема 4
Вероятность произведения события $A$ и зависимого от него события $B$, то есть вероятность совместного их появления, может быть найдена по формуле $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.
Справедливой является также симметричная формула $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$, где событие $A$ предполагается зависимым от события $B$.
Для условий последнего примера найдем вероятность того, что белый шар будет извлечен в обоих испытаниях. Такое событие является произведением событий $A$ и $B$. Его вероятность равна $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} =\frac{1}{6} $.
