момент количества движения
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (кинетический момент, момент импульса, угловой момент) мера механического движения тела или системы тел относительно какого-либо центра (точки) или оси. Для вычисления момента количества движения К материальной точки (тела) справедливы те же формулы, что и для вычисления момента силы, если заменить в них вектор силы на вектор количества движения mv, в частности K0 = . Сумма моментов количества движения всех точек системы относительно центра (оси) называется главным моментом количества движения системы (кинетическим моментом) относительно этого центра (оси). При вращательном движении твердого тела главный момент количества движения относительно оси вращения z тела выражается произведением момента инерции Iz на угловую скорость? тела, т.е. КZ = Iz?.
Момент количества движения
кинетический момент, одна из мер механического движения материальной точки или системы. Особенно важную роль М. к. д. играет при изучении вращательного движения. Как и для момента силы, различают М. к. д. относительно центра (точки) и относительно оси.
Для вычисления М. к. д. k материальной точки относительно центра О или оси z справедливы все формулы, приведённые для вычисления момента силы, если в них заменить вектор F вектором количества движения mv. Т. о., ko = , где r ≈ радиус-вектор движущейся точки, проведённый из центра О, a kz равняется проекции вектора ko на ось z, проходящую через точку О. Изменение М. к. д. точки происходит под действием момента mo(F) приложенной силы и определяется теоремой об изменении М. к. д., выражаемой уравнением dko/dt = mo(F). Когда mо(F) = 0, что, например, имеет место для центральных сил, движение точки подчиняется площадей закону. Этот результат важен для небесной механики, теории движения искусственных спутников Земли, космических летательных аппаратов и др.
Главный М. к. д. (или кинетический момент) механической системы относительно центра О или оси z равен соответственно геометрической или алгебраической сумме М. к. д. всех точек системы относительно того же центра или оси, т. е. Ko = Skoi, Kz = Skzi. Вектор Ko может быть определён его проекциями Kx, Ky, Kz на координатные оси. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью w, Kx = ≈ Ixzw, Ky = ≈Iyzw, Kz = Izw, где lz ≈ осевой, а Ixz, lyz ≈ центробежные моменты инерции. Если ось z является главной осью инерции для начала координат О, то Ko = Izw.
Изменение главного М. к. д. системы происходит под действием только внешних сил и зависит от их главного момента Moe. Эта зависимость определяется теоремой об изменении главного М. к. д. системы, выражаемой уравнением dKo/dt = Moe. Аналогичным уравнением связаны моменты Kz и Mze. Если Moe = 0 или Mze = 0, то соответственно Ko или Kz будут величинами постоянными, т. е. имеет место закон сохранения М. к. д. (см. Сохранения законы). Т. о., внутренние силы не могут изменить М. к. д. системы, но М. к. д. отдельных частей системы или угловые скорости под действием этих сил могут изменяться. Например, у вращающегося вокруг вертикальной оси z фигуриста (или балерины) величина Kz= Izw будет постоянной, т. к. практически Mze = 0. Но изменяя движением рук или ног значение момента инерции lz, он может изменять угловую скорость w. Др. примером выполнения закона сохранения М. к. д. служит появление реактивного момента у двигателя с вращающимся валом (ротором). Понятие о М. к. д. широко используется в динамике твёрдого тела, особенно в теории гироскопа.
Размерность М. к. д. ≈ L2MT-1, единицы измерения ≈ кг×м2/сек, г×см2/сек. М. к. д. обладают также электромагнитное, гравитационное и др. физические поля. Большинству элементарных частиц присущ собственный, внутренний М. к. д. ≈ спин . Большое значение М. к. д. имеет в квантовой механике.
Лит. см. при ст. Механика.
Задачи с решениями
28.1 Железнодорожный поезд движется по горизонтальному и прямолинейному участку пути. При торможении развивается сила сопротивления, равная 0,1 веса поезда. В момент начала торможения скорость поезда равняется 20 м/с. Найти время торможения и тормозной путь.
РЕШЕНИЕ
28.2 По шероховатой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α=30°, спускается тяжелое тело без начальной скорости. Определить, в течение какого времени T тело пройдет путь длины l=39,2 м, если коэффициент трения f=0,2.
РЕШЕНИЕ
28.3 Поезд массы 4*10^5 кг входит на подъем i=tg α=0,006 (где α угол подъема) со скоростью 15 м/с. Коэффициент трения (коэффициент суммарного сопротивления) при движении поезда равен 0,005. Через 50 с после входа поезда на подъем его скорость падает до 12,5 м/с. Найти силу тяги тепловоза.
РЕШЕНИЕ
28.4 Гирька М привязана к концу нерастяжимой нити MOA, часть которой OA пропущена через вертикальную трубку; гирька движется вокруг оси трубки по окружности радиуса MC=R, делая 120 об/мин. Медленно втягивая нить OA в трубку, укорачивают наружную часть нити до длины OM1, при которой гирька описывает окружность радиусом R/2. Сколько оборотов в минуту делает гирька по этой окружности?
РЕШЕНИЕ
28.5 Для определения массы груженого железнодорожного состава между тепловозами и вагонами установили динамометр. Среднее показание динамометра за 2 мин оказалось 10^6 Н. За то же время состав набрал скорость 16 м/с (вначале состав стоял на месте). Найти массу состава, если коэффициент трения f=0,02.
РЕШЕНИЕ
28.6 Каков должен быть коэффициент трения f колес заторможенного автомобиля о дорогу, если при скорости езды v=20 м/с он останавливается через 6 с после начала торможения.
РЕШЕНИЕ
28.7 Пуля массы 20 г вылетает из ствола винтовки со скоростью v=650 м/с, пробегая канал ствола за время t=0,00095 c. Определить среднюю величину давления газов, выбрасывающих пулю, если площадь сечения канала σ=150 мм^2.
РЕШЕНИЕ
28.8 Точка M движется вокруг неподвижного центра под действием силы притяжения к этому центру. Найти скорость v2 в наиболее удаленной от центра точке траектории, если скорость точки в наиболее близком к нему положении v1=30 см/с, а r2 в пять раз больше r1.
РЕШЕНИЕ
28.9 Найти импульс равнодействующей всех сил, действующих на снаряд за время, когда снаряд из начального положения O переходит в наивысшее положение М. Дано: v0=500 м/с; α0=60°; v1=200 м/с; масса снаряда 100 кг.
РЕШЕНИЕ
28.10 Два астероида М1 и М2 описывают один и тот же эллипс, в фокусе которого S находится Солнце. Расстояние между ними настолько мало, что дугу М1М2 эллипса можно считать отрезком прямой. Известно, что длина дуги М1М2 равнялась a, когда середина ее находилась в перигелии P. Предполагая, что астероиды движутся с равными секториальными скоростями, определить длину дуги М1М2, когда середина ее будет проходить через афелий A, если известно, что SP=R1 и SA=R2.
РЕШЕНИЕ
28.11 Мальчик массы 40 кг стоит на полозьях спортивных саней, масса которых равна 20 кг, и делает каждую секунду толчок с импульсом 20 Н*с. Найти скорость, приобретаемую санями за 15 c, если коэффициент трения f=0,01.
РЕШЕНИЕ
28.12 Точка совершает равномерное движение по окружности со скоростью v=0,2 м/с, делая полный оборот за время T=4 c. Найти импульс S сил, действующих на точку, за время одного полупериода, если масса точки m=5 кг. Определить среднее значение силы F.
РЕШЕНИЕ
28.13 Два математических маятника, подвешенных на нитях длин l1 и l2 (l1>l2), совершают колебания одинаковой амплитуды. Оба маятника одновременно начали двигаться в одном направлении из своих крайних отклоненных положений. Найти условие, которому должны удовлетворять длины l1 и l2 для того, чтобы маятники по истечении некоторого промежутка времени одновременно вернулись в положение равновесия. Определить наименьший промежуток времени T.
РЕШЕНИЕ
28.14 Шарик массы m, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью a в отверстие, сделанное на плоскости. Определить движение шарика и натяжение нити T, если известно, что в начальный момент нить расположена по прямой, расстояние между шариком и отверстием равно R, а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равна v0.
РЕШЕНИЕ
28.15 Определить массу M Солнца, имея следующие данные: радиус Земли R=6,37*106 м, средняя плотность 5,5 т/м3, большая полуось земной орбиты a=1,49*10^11 м, время обращения Земли вокруг Солнца T=365,25 сут. Силу всемирного тяготения между двумя массами, равными 1 кг, на расстоянии 1 м считаем равной gR2/m Н, где m масса Земли; из законов Кеплера следует, что сила притяжения Земли Солнцем равна 4π2a3m/(T2r2), где r расстояние Земли от Солнца.
РЕШЕНИЕ
28.16 Точка массы m, подверженная действию центральной силы F, описывает лемнискату r2=a cos 2φ, где a величина постоянная, r расстояние точки от силового центра; в начальный момент r=r0, скорость точки равна v0 и составляет угол α с прямой, соединяющей точку с силовым центром. Определить величину силы F, зная, что она зависит только от расстояния r. По формуле Бине F =-(mc2/r2)(d2(1/r)/dφ2+1/r), где c удвоенная секторная скорость точки.
РЕШЕНИЕ
28.17 Точка M, масса которой m, движется около неподвижного центра O под влиянием силы F, исходящей из этого центра и зависящей только от расстояния MO=r. Зная, что скорость точки v=a/r, где a величина постоянная, найти величину силы F и траекторию точки.
РЕШЕНИЕ
28.18 Определить движение точки, масса которой 1 кг, под действием центральной силы притяжения, обратно пропорциональной кубу расстояния точки от центра притяжения, при следующих данных: на расстоянии 1 м сила равна 1 Н. В начальный момент расстояние точки от центра притяжения равно 2 м, скорость v0=0,5 м/с и составляет угол 45° с направлением прямой, проведенной из центра к точке.
РЕШЕНИЕ
28.19 Частица M массы 1 кг притягивается к неподвижному центру O силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния. Эта сила равна 8 Н на расстоянии 1 м. В начальный момент частица находится на расстоянии OM0=2 м и имеет скорость, перпендикулярную к OM0 и равную 0,5 м/с. Определить траекторию частицы.
РЕШЕНИЕ
28.20 Точка массы 0,2 кг, движущаяся под влиянием силы притяжения к неподвижному центру по закону тяготения Ньютона, описывает полный эллипс с полуосями 0,1 м и 0,08 м в течение 50 c. Определить наибольшую и наименьшую величины силы притяжения F при этом движении.
РЕШЕНИЕ
28.21 Математический маятник, каждый размах которого длится одну секунду, называется секундным маятником и применяется для отсчета времени. Найти длину l этого маятника, считая ускорение силы тяжести равным 981 см/с2. Какое время покажет этот маятник на Луне, где ускорение силы тяжести в 6 раз меньше земного? Какую длину l1 должен иметь секундный лунный маятник?
РЕШЕНИЕ
28.22 В некоторой точке Земли секундный маятник отсчитывает время правильно. Будучи перенесен в другое место, он отстает на T секунд в сутки. Определить ускорение силы тяжести в новом положении секундного маятника.
Количество движения (mV) - величина векторная, т.е. имеет определенное направление относительно выбранной точки отсчета (например, оси координат) или оси вращения. Основное уравнение динамики вращательного движения
можно также записать в виде
Здесь С/оо) имеет смысл аналога физической величины (mV) количества движения. Силовой момент М = Ph тогда с учетом (7.14)
Величину L можно рассматривать как момент количества движения (mV) относительно данной точки или оси. Она называется кинетическим моментом. Здесь h - кратчайшее расстояние от линии действия вектора mV по часовой стрелке. В общем случае
Знак «-» берется в случае вращения вектора mV по часовой стрелке.
Для пространственной системы момент количества движения материальной точки относительно оси, перпендикулярной к данной плоскости и проходящей через заданную точку 0, равен проекции момента количества движения. Например, для оси z: L z = L 0 cos а, где а - угол между данной плоскостью и радиус-вектором данной точки (расстояние от материальной точки до центра «0»).
Величина L относительно прямоугольных осей координат определяется проекциями скоростей на эти оси и координатами движущейся материаль-
Рис. 7.1.
ной точки. Например, в плоскости хОу (рис. 7.1) момент количества движения относительно оси z (перпендикулярной данной плоскости)
здесь L, и L 2 - моменты, создаваемые проекциями количества движения mV относительно точки 0.
По физическому смыслу производная - сумма моментов сил,
действующих на материальную точку, относительно выбранной оси координат. При JM i = 0, величина L = const, т.е. если момент равнодействующей силы равен нулю , то момент количества движения относительно выбранной оси остается постоянным.
Рис. 7.2.
Например, для точечного тела М с массой т величина L z = 0, если на тело действует сила Р, направленная к началу координат, так как моменты силы Р и силы тяжести mg (параллельной оси z, рис. 7.2) равны нулю. Здесь L z = mxV = const.
Если направление скорости V 0 все время перпендикулярно радиусу г, величина которого при перемещении точки М 2 уменьшается, то из равенства L z = const следует увеличение скорости точки М при приближении к точке О.
По аналогии с главным моментом сил можно вывести понятие: главный момент количества движения i 0 механической системы (или кинетический момент), относительно заданного центра, который равен геометрической сумме величин L 0j всех материальных точек данной системы относительно этого центра, т.е.
Кинетический момент механической системы относительно оси (например оси г) равен алгебраической сумме моментов количества движения всех точек данной системы: L 0 = X L iz .
Очевидно, что производная от кинетического момента по времени равна главному моменту внешних сил, действующих на данную механическую систему (относительно выбранного центра), т.е.
Отсюда следует закон сохранения кинетического момента механической системы относительно оси
т.е. кинетический момент в данном случае остается постоянным.
Изменения кинетического момента механической системы при ударе вытекает как следствие из рассмотрения вышеизложенных понятий об импульсе силы и моментах количества движения и определяется выражениями (7.17) и (7.18). Так, например, при ударе изменение кинетического момента системы относительно любой оси равно сумме моментов внешних импульсов сил относительно данной оси. Если к точкам механической системы приложены только внутренние силовые импульсы, то кинетический момент системы при ударе не изменяется.
Для вычисления М. к. д. k материальной точки относительно центра О или оси z справедливы все формулы, приведённые для вычисления момента силы, если в них заменить вектор F вектором количества движения mv . Т. о.,k o = [r · mυ ], где r - радиус-вектор движущейся точки, проведённый из центра О , a k z равняется проекции вектора k o на ось z , проходящую через точку О . Изменение М. к. д. точки происходит под действием момента m o (F ) приложенной силы и определяется теоремой об изменении М. к. д., выражаемой уравнением dk o /dt = m o (F ). Когда m о (F ) = 0, что, например, имеет место для центральных сил, движение точки подчиняется Площадей закону.
Главный М. к. д . (или кинетический момент) механической системы относительно центра О или оси z равен соответственно геометрической или алгебраической сумме М. к. д. всех точек системы относительно того же центра или оси, т. е. K o = Σk oi , K z = Σk zi . Вектор K o может быть определён его проекциями K x , K y , K z на координатные оси. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω, K x = - I xz ω, K y = -I yz ω, K z = I z ω, где l z - осевой, а I xz , l yz - центробежные моменты инерции.
Если ось z является главной осью инерции для начала координат О, то K o = I z ω.
Изменение главного М. к. д. системы происходит под действием только внешних сил и зависит от их главного момента M o e . Эта зависимость определяется теоремой об изменении главного М. к. д. системы, выражаемой уравнением dK o /dt = M o e . Аналогичным уравнением связаны моменты K z и M z e . Если M o e = 0 или M z e = 0, то соответственно K o или K z будут величинами постоянными, т. е. имеет место закон сохранения М. к. д.
Билет 20
Общее уравнение динамики.
Общее уравнение динамики – при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики. Последовательность составления: а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции; б) сообщают системе возможные перемещения; в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.
Потенциальная сила. Работа потенциальной силы на конечном перемещении.
Потенциальная сила - сила, работа которой зависит только от начального и конечного положения точки её приложения и не зависит ни от вида траектории, ни от закона движения этой точки
Работа потенциальной силы равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути и от вида траектории движущейся точки не зависит.
Основным свойством потенциального силового поля и является то, что работа сил поля при движении в нем материальной точки зависит только от начального и конечного положений этой точки и ни от вида ее траектории, ни от закона движения не зависит.
Билет 21
Принцип виртуальных (возможных) перемещений.
Существуют две различные формулировки принципа возможных перемещений. В одной формулировке утверждается, что для равновесия материальной системы необходимо, чтобы равнялась нулю сумма элементарных работ всех внешних сил, приложенных к системе, на любом возможном перемещении.
В другой формулировке, наоборот, говорится, что система должна находиться в равновесии, чтобы сумма элементарных работ всех сил равнялась нулю. Такое определение этого принципа дается, например, в работе: “Виртуальная работа заданных сил, приложенных к системе с идеальными связями и находящейся в равновесии, равна нулю”.
Математически принцип возможных перемещений представляется в виде:
, (1)
где - скалярное произведение вектора силы и вектора виртуального перемещения.
Мощность пары сил
Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.
Мощность пары сил:
,
где омега Z – проекция угловой скорости на ось вращения.
Билет 22
1.Прнцип виртуальных перемещений
Рассмотрим виртуальное перемещение точки системы с номером i. Виртуальным перемещением δr i называется мысленное бесконечно малое перемещение точки, допускаемое связями без их разрушения в данное фиксированное мгновение времени.
Если связь одна и описывается уравнением (2), физически ясно, что связь не нарушится, когда вектор виртуального перемещения
где grad f - градиент функции (2) при фиксированном t , перпендикулярный поверхности связи в месте нахождения точки, равный
В вариационном исчислении бесконечно малые величины δr i , δx i , δy i , δz i называются вариациями функций r i , x i , y i , z i . Изменения координат точек или уравнений связи при неизменном времени находятся синхронным варьированием, которое осуществляется согласно левым частям формул (4) и (6).
То есть проекции δx i , δy i , δz i виртуального перемещения точки δr обращают в нуль первую вариацию уравнения связи при условии, что время не варьируется (синхронное варьирование):
| (7) |
Следовательно, виртуальное перемещение точки не характеризует ее движение, а определяет связь или, в общем случае, связи, наложенные на точку системы. Таким образом, виртуальные перемещения позволяют учесть эффект механических связей, не вводя реакции связей, как мы это делали раньше, и получать уравнения равновесия или движения системы в аналитическом виде, не содержащие неизвестных реакций связей.
2.Элементарная работа
Элементарная работа сил
, действующих на абсолютно твердое тело, равна алгебраической сумме двух слагаемых: работы главного вектора этих сил на элементарном поступательном перемещении тела вместе с произвольно выбранным полюсом и работы главного момента сил, взятого относительно полюса, на элементарном вращательном перемещении тела вокруг полюса. [1
]
Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиуса-вектора точки приложения силы. [2 ]
Элементарная работа сил при этом зависит от выбора возможного перемещения системы. [3 ]
Элементарная работа силы при вращении тела, на которое сила действуе
Билет 23
1. Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах.
Запишем принцип, выражая виртуальную работу активных сил системы в обобщенных координатах:
Так как на систему наложены голономные связи, вариации обобщенных координат не зависят между собой и не могут быть одновременно равны нулю. Поэтому последнее равенство выполнится только тогда, когда коэффициенты при δ j (j = 1 ÷ s) одновременно обращаются в нуль, то есть
2.Работа силы на конечном перемещении
Работа
силы на конечном перемещении определяется как интегральная сумма элементарных Работа
и при перемещении M
0 M
1 выражается криволинейным интегралом:
Билет 24
1.уравнение Лагранжа второго рода.
Для вывода уравнений запишем принцип Даламбера-Лагранжа в обобщенных координатах в виде -Q j u = Q j (j = 1 ÷ s) .
Принимая во внимание, что Ф i = -m i a i = -m i dV i / dt , получаем:
(1)
(2)
Подставляя (2) в (1) получаем дифференциальное уравнение движения системы в обобщенных координатах, которое названо уравнением Лагранжа второго рода:
(3)
то есть, материальная система с голономными связями описывается уравнениями Лагранжа второго рода по всем s обобщенным координатам.
Отметим важные особенности полученных уравнений.
1. Уравнения (3) - это система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно s неизвестных функций q j (t), полностью определяющих движение системы.
2. Число уравнений равно числу степеней свободы, то есть движение любой голономной системы описывается наименьшим числом уравнений.
3. В уравнения (3) не нужно включать реакции идеальных связей, что позволяет, находя закон движения несвободной системы, выбором обобщенных координат исключить задачу определения неизвестных реакций связей.
4. Уравнения Лагранжа второго рода позволяют указать единую последовательность действий для решения многих задач динамики, которую часто называют формализмом Лагранжа.
2. Условие относительного покоя материальной точки получают из динамического уравнения Кориолиса, подставив в это уравнение значения относительного ускорения и кориолисовой силы инерции равные нулю:
Векторный момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра О -- вектор, приложенный в этом центре и направленный перпендикулярно плоскости векторов m и в ту сторону, откуда движение точки видно против хода часовой стрелки. Это определение удовлетворяет векторному равенству
Моментом количества движения материальной точки относительно некоторой оси z называется скалярная величина, взятая со знаком (+) или (-) и равная произведению модуля проекции вектора количества движения на плоскость, перпендикулярную этой оси, на перпендикуляр h, опущенный из точки пересечения оси с плоскостью на линию, вдоль которой направлена указанная проекция:
Кинетический момент механической системы относительно центра и оси
1. Кинетический момент относительно центра.
Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторого центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно того же центра.
2. Кинетический момент относительно оси.
Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторой оси называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно той же оси.
3. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью.
Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра и оси
1. Теорема моментов относительно центра.
Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра равна моменту силы, действующей на точку, относительно того же центра
2. Теорема моментов относительно оси.
Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторой оси равна моменту силы, действующей на точку, относительно той же оси
Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси
Теорема моментов относительно центра.
Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра;
Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторого центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра не изменяется (закон сохранения кинетического момента).
2. Теорема моментов относительно оси.
Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой неподвижной оси равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно этой оси
Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси не изменяется.
Например, = 0, тогда L z = const.
Работа и мощность сил
Работа силы -- скалярная мера действия силы.
1. Элементарная работа силы.
Элементарная работа силы -- это бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы: ; - приращение радиуса-вектора точки приложения силы, годографом которого является траектория этой точки. Элементарное перемещение точки по траектории совпадает с в силу их малости. Поэтому
если то dA > 0;если, то dA = 0;если , то dA < 0.
2. Аналитическое выражение элементарной работы.
Представим векторы и d через их проекции на оси декартовых координат:
, . Получим (4.40)
3. Работа силы на конечном перемещении равна интегральной сумме элементарных работ на этом перемещении
Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещается прямолинейно,
4. Работа силы тяжести. Используем формулу:Fx = Fy = 0; Fz = -G = -mg;
где h- перемещение точки приложения силы по вертикали вниз (высота).
При перемещении точки приложения силы тяжести вверх A 12 = -mgh (точка М 1 -- внизу, M 2 -- вверху).
Итак,. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории. При движении по замкнутой траектории (M 2 совпадает с М 1 ) работа равна нулю.
5. Работа силы упругости пружины.
Пружина растягивается только вдоль оси х:
F y = F z = О, F x = = -сх;
где - величина деформации пружины.
При перемещении точки приложения силы из нижнего положения в верхнее направление силы и направление перемещения совпадают, тогда
Поэтому работа силы упругости
Работа сил на конечном перемещении; Если = const, то
где - конечный угол поворота; , где п -- число оборотов тела вокруг оси.
Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Теорема Кенига
Кинетическая энергия - скалярная мера механического движения.
Кинетическая энергия материальной точки - скалярная положительная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости,
Кинетическая энергия механической системы -- арифметическая сумма кинетических энергий всех материал точек этой системы:
Кинетическая энергия системы, состоящей из п связанных между собой тел, равна арифметической сумме кинетических энергий всех тел этой системы:
Теорема Кенига
Кинетическая энергия механической системы в общем случае ее движения равна сумме кинетической энергии движения системы вместе с центром масс и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс:
где Vkc -- скорость k- й точки системы относительно центра масс.
Кинетическая энергия твердого тела при различном движении
Поступательное движение.
Вращение тела вокруг неподвижной оси . ,где -- момент инерции тела относительно оси вращения.
3. Плоскопараллельное движение. , где - момент инерции плоской фигуры относительно оси, проходящей через центр масс.
При плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс, ;
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
Теорема в дифференциальной форме.
Дифференциал от кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на точку,
Теорема в интегральной (конечной) форме.
Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
Теорема в дифференциальной форме.
Дифференциал от кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действующих на систему.
Теорема в интегральной {конечной) форме.
Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, приложенных к системе, на том же перемещении. ; Для системы твердых тел = 0 (по свойству внутренних сил). Тогда
