Riyazi tədqiqatlar universallığına görə riyaziyyatdan çox uzaq sahələrdə istifadə olunur. Bu onunla izah olunur ki, riyazi dildə yazılmış hər hansı müddəa, qayda və ya qanun hər bir elmi tədqiqatın ən mühüm vəzifəsi olan proqnozlaşdırma (proqnozlaşdırma) alətinə çevrilir.
Ənənəvi (klassik) riyaziyyatın əsasını lemmalar, teoremlər və s. şəklində təqdim olunan deduksiya yolu ilə nəticələr əldə edilən aksiomlar sistemi təşkil edir. Onların əsasında alınan analitik həllər həddə dəqiqdir. Bu üsullar çərçivəsində həllərin mövcudluğu, onların unikallığı, habelə sabitlik və onların sayının qeyri-məhdud artması ilə mütləq dəqiq həllərə yaxınlaşması məsələləri araşdırılır.
Belə metodların inkişafı riyaziyyatın özünün inkişafına (onun yeni bölmələrinin və istiqamətlərinin yaranmasına) kömək edir. Bununla belə, bir çox tətbiq olunan problemlərin həlli üçün onlar səmərəsiz olur, çünki onlardan istifadə etmək üçün çoxlu fərziyyələr təqdim etmək lazımdır ki, bu da tədqiq olunan prosesin riyazi modelinin modeldən əhəmiyyətli dərəcədə fərqli olmasına səbəb olur. real fiziki proses.
Bu baxımdan riyaziyyatda adlanan bir sahə yarandı tətbiqi riyaziyyat. Onun ənənəvi olandan əsas fərqi odur ki, dəqiq deyil, mühəndislik tətbiqləri üçün kifayət qədər dəqiqliklə, lakin klassik riyaziyyat çərçivəsində qəbul edilən fərziyyələri nəzərə almadan təxmini həll var. Alınan həllərin düzgünlüyünün qiymətləndirilməsi hər hansı sınaq məsələlərinin dəqiq həlli ilə və ya eksperimental tədqiqatların nəticələri ilə müqayisə edilməklə həyata keçirilir.
Tətbiqi riyaziyyatın metodlarına variasiya (Ritz, Trefftz, Kantoroviç və s.), çəkili qalıqların ortoqonal üsulları (Bubnov-Qalerkin, Kantoroviç), kolleksiyalar, momentlər, ən kiçik kvadratlar və s.; variasiya-fərqli üsullar (sonlu elementlər, sərhəd elementləri; spektral üsul və s.) - Onların hamısı sözdə qrupa aiddir. birbaşa üsullar riyazi fizikanın problemlərinin həlli üçün diferensial və inteqral tənliklərin həllini cəbri xətti tənliklər sistemlərinin həllinə endirən belə təxmini analitik üsullardır. Bu üsulların inkişafının xronologiyası və onların fiziki mahiyyəti üzərində qısaca dayanaq.
1662-ci ildə fransız riyaziyyatçısı P.Ferma iki mühitin sərhəddində işığın sınması qanununu aşağıdakı kimi tərtib etmişdir: hamıdan mümkün yollar bir nöqtədən işığın hərəkəti A paraqrafa V hərəkət vaxtının minimuma çatdığı biri həyata keçirilir. Bu, variasiya prinsipinin ilk formalarından biri idi.
1696-cı ildə İ.Bernulli keçdiyi yolun (trayektoriya) uzunluğunun tapılması məsələsini tərtib etmişdir. maddi nöqtə, nöqtədən hərəkət edir A təkcə cazibə qüvvəsinin təsiri altında ən az vaxt nöqtəyə çatır V. Belə bir əyri tapmaq, adlanır brachistochrone(ən dik eniş əyrisi) funksionalın minimumunu təyin etmək üçün azaldılır
sərhəd şərtləri altında saat (0) = 0; y(a) = y a, hərəkətin başlanğıc və son nöqtələrinin koordinatlarıdır.
Budur T -ən dik eniş vaxtı; g- cazibə qüvvəsinin sürətləndirilməsi.
Funksionallığın təqdimatı (a) variasiya hesabının yaranmasının başlanğıcı idi. Oxşar funksionallıq ümumi görünüş aşağıdakı kimi yazılır:
sərhəd şərtləri altında y(a) = A = const, y(b) = B= const.
Adətən, riyazi fizikanın məsələlərində bəzi funksiyaların ekstremalları olur saat = y(x). Dəyişikliklər hesablamasının dəyəri ondan ibarətdir ki, burada funksiyalardan daha mürəkkəb dəyərlərin ekstremalları müəyyən edilir - funksionalların ekstremalları J =J funksiyalardan y(x). Bununla əlaqədar olaraq yeni fiziki obyektlərin öyrənilməsi və yeni riyazi istiqamətlərin inkişafı üçün imkanlar açılmışdır.
1774-cü ildə L. Eyler göstərdi ki, əgər funksiya y(x) xətt inteqralına minimum verir j = j[y(x), onda o, sonradan adlandırılan müəyyən diferensial tənlikləri təmin etməlidir Eyler tənlikləri. Bu faktın aşkarlanması mühüm nailiyyət idi riyazi modelləşdirmə(riyazi modellərin qurulması). Aydın oldu ki, eyni riyazi model iki ekvivalent formada təqdim oluna bilər: funksional formada və ya Eyler diferensial tənliyi (sistem) şəklində. diferensial tənliklər). Bu baxımdan diferensial tənliyin funksionalla əvəz edilməsi deyilir variasiyaların hesablanmasının tərs məsələsi. Beləliklə, funksionalın ekstremumu üzrə məsələnin həllinə bu funksionala uyğun gələn Eyler diferensial tənliyinin həlli kimi baxıla bilər. Nəticə etibarilə, eyni fiziki məsələnin riyazi tərtibi ya müvafiq sərhəd şərtləri olan funksional şəklində (bu funksionalın ekstremumu fiziki məsələnin həllini təmin edir), ya da müvafiq Eyler diferensial tənliyi şəklində təqdim edilə bilər. eyni sərhəd şərtləri ilə bu funksionala (bu tənliyin inteqrasiyası məsələnin həllini təmin edir).
Variasiya üsullarının geniş tətbiqi tətbiqi elmlər 1908-ci ildə funksionalların minimuma endirilməsi metodu ilə əlaqəli W. Ritz nəşrinin meydana çıxmasına töhfə verdi, sonradan adlandırıldı. Ritz üsulu. Bu üsul klassik variasiya üsulu hesab olunur. Onun əsas ideyası istənilən funksiyanın olmasıdır y = y(x) y funksiyanı çatdırmaq (A ) ilə sərhəd şərtləri y(a) = A, y(b) = V minimum dəyər, seriyası kimi axtarılır
harada cj (i = 0, y) - naməlum əmsallar; (p/(d) (r = 0, P) - koordinat funksiyaları (cəbr və ya triqonometrik polipom).
Koordinat funksiyaları elə bir formadadır ki, məsələnin sərhəd şərtlərini tam ödəyir.
Funksionalın törəmələrini təyin etdikdən sonra (c) bəndini (A) əvəz etməklə J naməlumlardan C, (r = 0, r) sonuncuya münasibətdə cəbri xətti tənliklər sistemi alınır. C əmsallarını təyin etdikdən sonra məsələnin qapalı formada həlli (c) bəndindən tapılır.
Çox sayda seriya üzvlərindən istifadə edərkən (c) (S- 5 ? °o) prinsipcə tələb olunan dəqiqliyin həllini almaq mümkündür. Bununla belə, kimi konkret tapşırıqların hesablamalarını, əmsallar matrisini göstərin C, (r = 0, P) mütləq dəyərdə əmsalların geniş yayılmasına malik doldurulmuş kvadrat matrisadır. Belə matrislər degenerasiyaya yaxındır və bir qayda olaraq, pis vəziyyətdədir. Bunun səbəbi, onların matrislərin yaxşı kondisiyalaşdırıla biləcəyi şərtlərin heç birini təmin etməməsidir. Bu şərtlərdən bəzilərinə nəzər salaq.
Bu baxımdan, Ritz metodunda artan yaxınlaşmalarla, matrisin maksimum öz dəyərinin minimuma nisbəti ilə təyin olunan şərt nömrəsi sonsuz böyük qiymətə meyl edir. Və bu halda əldə edilən həllin dəqiqliyi, cəbri xətti tənliklərin böyük sistemlərinin həlli zamanı yuvarlaqlaşdırma xətalarının sürətlə yığılması səbəbindən yaxşılaşa bilməz, əksinə pisləşə bilər.
Rits üsulu ilə yanaşı, Qalerkinin də müvafiq metodu işlənib hazırlanmışdır. 1913-cü ildə I. G. Bubnov müəyyən etdi ki, cəbri xətti tənliklər naməlum C, (/ = 0, P) (c)-dən (A) formasının funksionalından istifadə etmədən əldə edilə bilər. Bu halda məsələnin riyazi formalaşdırılması müvafiq sərhəd şərtləri olan diferensial tənliyi ehtiva edir. Qərar, Ritz metodunda olduğu kimi, (c) formasında qəbul edilir. φ,(x) koordinat funksiyalarının xüsusi qurulması sayəsində (c) həlli məsələnin sərhəd şərtlərini tam ödəyir. Naməlum C əmsallarını təyin etmək üçün, (r = 0, P) diferensial tənliyin uyğunsuzluğu tərtib edilir və uyğunsuzluğun bütün koordinat funksiyalarına ortoqonallığı φ 7 Cr) (/ = i = 0, P). Qəbul edənin müəyyən edilməsi naməlum C əmsallarına görə inteqralları verərkən, (G= 0, r) Ritz metodunun oxşar tənliklər sistemi ilə tamamilə üst-üstə düşən cəbri xətti tənliklər sistemini alırıq. Beləliklə, eyni koordinat funksiyaları sistemlərindən istifadə edərək eyni məsələləri həll edərkən Ritz və Bubnov-Qalerkin üsulları eyni nəticələrə gətirib çıxarır.
Alınan nəticələrin eyniliyinə baxmayaraq, Bubnov-Qalerkin metodunun Ritz metodu ilə müqayisədə mühüm üstünlüyü ondan ibarətdir ki, diferensial tənliyin variasiya analoqunun (funksional) qurulmasını tələb etmir. Qeyd edək ki, belə bir analoq həmişə tikilə bilməz. Bununla əlaqədar olaraq, klassik variasiya üsullarının tətbiq olunmadığı məsələlərin həlli üçün Bubnov-Qalerkin metodundan istifadə etmək olar.
Variasiya qrupuna aid olan digər üsul Kantoroviç üsuludur. Onun fərqləndirici xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, (c) formasının xətti kombinasiyalarında naməlum əmsallar kimi sabitlər deyil, məsələnin müstəqil dəyişənlərindən (məsələn, zaman) birindən asılı olan funksiyalar götürülür. Bubnov-Qalerkin metodunda olduğu kimi burada da diferensial tənliyin uyğunsuzluğu tərtib edilir və uyğunsuzluğun bütün koordinat funksiyalarına ortoqonallığı (py(dz)) (j=i= 0, P). Naməlum funksiyalara görə inteqralları təyin etdikdən sonra fj(x) birinci dərəcəli adi diferensial tənliklər sisteminə sahib olacağıq. Belə sistemlərin həlli üsulları yaxşı işlənmişdir (standart kompüter proqramları var).
Sərhəd məsələlərinin həllində istiqamətlərdən biri də dəqiq (Furye, inteqral çevrilmələr və s.) və təqribi (variasiya, çəkili qalıqlar, kollokasiyalar və s.) analitik üsulların birgə istifadəsidir. Bu inteqrasiya olunmuş yanaşma ən yaxşı şəkildə istifadə etməyə imkan verir müsbət tərəfləri tətbiqi riyaziyyatın bu iki ən mühüm aparatıdır, çünki sadə formada incə və çətin riyazi hesablamalar aparmadan sonsuz funksional seriyadan ibarət olan dəqiq həllin əsas hissəsinə ekvivalent ifadələr əldə etmək mümkün olur. Praktik hesablamalar üçün, bir qayda olaraq, bir neçə terminin bu qismən cəmindən istifadə olunur. Daha çox əldə etmək üçün belə üsullardan istifadə edərkən dəqiq nəticələr parabolik koordinatın ilkin bölməsində çoxlu sayda yaxınlaşma yerinə yetirmək lazımdır. Lakin, böyük ilə P qonşu indekslərlə koordinat funksiyaları demək olar ki, xətti əlaqə ilə əlaqəli cəbri tənliklərə səbəb olur. Bu halda əmsalların matrisi doldurulur kvadrat matris, degenerasiyaya yaxındır və bir qayda olaraq, pis vəziyyətdədir. Və P- 3? °° təxmini həll hətta zəif dəqiq bir həllə yaxınlaşmaya bilər. Şərti olmayan matrislərlə cəbri xətti tənliklərin sistemlərinin həlli yuvarlaqlaşdırma xətalarının sürətlə yığılması səbəbindən əhəmiyyətli texniki çətinliklər yaradır. Buna görə də belə tənliklər sistemləri aralıq hesablamaların yüksək dəqiqliyi ilə həll edilməlidir.
Xüsusi yer Zaman (parabolik) koordinatının ilkin bölməsi üzrə analitik həllər əldə etməyə imkan verən təxmini analitik üsullar arasında konsepsiyadan istifadə edən üsullar var. temperatur pozğunluğu cəbhəsi. Bu üsullara görə, cisimlərin bütün qızdırılması və ya soyudulması prosesi rəsmi olaraq iki mərhələyə bölünür. Bunlardan birincisi, temperatur pozğunluğunun bədənin səthindən onun mərkəzinə tədricən yayılması ilə xarakterizə olunur, ikincisi isə bədənin bütün həcminin başlanğıcına qədər temperaturun dəyişməsi ilə xarakterizə olunur. sabit vəziyyət. İstilik prosesinin vaxtında iki mərhələyə bölünməsi qeyri-stasionar istilik keçiriciliyi problemlərinin addım-addım həllini həyata keçirməyə imkan verir və bir qayda olaraq, mərhələlərin hər biri üçün ayrıca, bir qayda olaraq. , artıq ilk yaxınlaşmada dəqiqlikdə qənaətbəxş, mühəndislik tətbiqlərində, hesablama düsturlarında kifayət qədər sadə və rahat tapmaq üçün. Bu üsullar da əhəmiyyətli bir çatışmazlığa malikdir, bu da a priori istədiyiniz temperatur funksiyasının koordinat asılılığını seçmək ehtiyacından ibarətdir. Adətən kvadrat və ya kub parabolalar qəbul edilir. Həllin bu qeyri-müəyyənliyi dəqiqlik problemini doğurur, çünki əvvəlcədən temperatur sahəsinin bu və ya digər profilini fərz etsək, hər dəfə fərqli yekun nəticələr əldə edəcəyik.
Temperatur pozğunluğunun sonlu sürəti ideyasından istifadə edən üsullar arasında ən çox istifadə olunanı inteqral metoddur. istilik balansı. Onun köməyi ilə qismən diferensial tənliyi verilmiş adi diferensial tənliyə endirmək olar. ilkin şərtlər, onun həlli çox vaxt qapalı analitik formada əldə edilə bilər. Məsələn, termofiziki xassələrin sabit olmadığı, lakin mürəkkəb funksional asılılıqla müəyyən edildiyi və istilik keçiriciliyi ilə birlikdə konveksiyanın da nəzərə alınması lazım olan problemlərin təxmini həlli üçün inteqral metoddan istifadə edilə bilər. . İnteqral metodun yuxarıda qeyd olunan çatışmazlıqları da var - həllin unikallığı probleminə səbəb olan və onun aşağı dəqiqliyinə səbəb olan temperatur profilinin apriori seçimi.
İstilik keçiriciliyi məsələlərinin həllində inteqral metodun tətbiqinə dair çoxsaylı nümunələr T.Qudmanın işində verilmişdir. Bu əsərdə böyük imkanların təsviri ilə yanaşı, onun məhdudiyyətləri də göstərilir. Beləliklə, bir çox problemlərin inteqral metodu ilə uğurla həll edilməsinə baxmayaraq, bu metodun praktiki olaraq tətbiq olunmadığı bütün bir sinif problemi var. Bunlar, məsələn, giriş funksiyalarında impulsiv dəyişiklik olan vəzifələrdir. Səbəb kvadrat və ya kub parabola şəklində olan temperatur profilinin bu cür tətbiqlər üçün həqiqi temperatur profilinə uyğun gəlməməsidir. Buna görə də, tədqiq olunan bədəndə həqiqi temperatur paylanması qeyri-monotonik funksiya formasını alırsa, o zaman uyğun olaraq qənaətbəxş bir həll əldə edin. fiziki məna vəzifə, heç bir şəraitdə uğur qazanmır.
İnteqral metodun dəqiqliyini artırmağın aşkar yolu daha yüksək dərəcəli polinom temperatur funksiyalarından istifadə etməkdir. Bu halda, temperatur pozğunluğu cəbhəsində əsas sərhəd şərtləri və hamarlıq şərtləri belə çoxhədlilərin əmsallarını təyin etmək üçün kifayət deyil. Bununla əlaqədar olaraq, çatışmayan sərhəd şərtlərini axtarmaq lazımdır ki, bu da verilmiş şərtlərlə birlikdə bütün fiziki xüsusiyyətləri nəzərə alaraq daha yüksək dərəcəli optimal temperatur profilinin əmsallarını təyin etməyə imkan verəcəkdir. tədqiq olunan problem. Belə əlavə sərhəd şərtləri əsas sərhəd şərtlərindən və ilkin diferensial tənlikdən onları sərhəd nöqtələrində məkan koordinatı və zaman baxımından diferensiallaşdırmaqla əldə etmək olar.
İstilik ötürülməsinin müxtəlif problemləri öyrənilərkən termofiziki xassələrin temperaturdan asılı olmadığı güman edilir və sərhəd şərtləri kimi xətti şərtlər götürülür. Lakin bədənin temperaturu geniş diapazonda dəyişirsə, o zaman termofiziki xassələrin temperaturdan asılılığına görə istilik keçirmə tənliyi qeyri-xətti olur. Onun həlli daha da mürəkkəbləşir və məlum dəqiq analitik üsullar səmərəsiz olur. İnteqral istilik balansı üsulu problemin qeyri-xəttiliyi ilə bağlı bəzi çətinlikləri aradan qaldırmağa imkan verir. Məsələn, onun köməyi ilə qeyri-xətti sərhəd şərtləri olan qismən diferensial tənlik verilmiş başlanğıc şərtləri olan adi diferensial tənliyə endirilir, onun həlli çox vaxt qapalı analitik formada alına bilər.
Məlumdur ki, dəqiq analitik həllər hazırda proseslərin bir çox mühüm xüsusiyyətləri (qeyri-xəttilik, xassələrin dəyişkənliyi və sərhəd şərtləri və s.) nəzərə alınmadıqda, yalnız sadələşdirilmiş riyazi tərtibdə olan məsələlər üçün alınır. Bütün bunlar riyazi modellərin real modellərdən əhəmiyyətli dərəcədə sapmasına səbəb olur. fiziki proseslər xüsusi elektrik stansiyalarında axan. Bundan əlavə, dəqiq həllər sərhəd nöqtələrinin yaxınlığında və zaman koordinatının kiçik dəyərləri üçün yavaş-yavaş birləşən mürəkkəb sonsuz funksional sıra ilə ifadə edilir. Bu cür həllər mühəndislik tətbiqləri üçün az istifadə olunur və xüsusən də temperatur probleminin həlli bəzi digər problemlərin (istilik elastikliyi problemləri, tərs problemlər, idarəetmə problemləri və s.) həllində aralıq mərhələ olduğu hallarda. Bu baxımdan, yuxarıda sadalanan tətbiqi riyaziyyatın üsulları böyük maraq doğurur ki, onlar təxmini olsa da, lakin analitik formada, mühəndislik tətbiqləri üçün bir çox hallarda kifayət qədər dəqiqliklə həllər əldə etməyə imkan verir. Bu üsullar klassik üsullarla müqayisədə analitik həllərin əldə oluna biləcəyi problemlərin dairəsini əhəmiyyətli dərəcədə genişləndirməyə imkan verir.
Və həndəsə. Digər sahələrlə müqayisədə təhlilin əsas fərqləndirici xüsusiyyəti tədqiqat predmeti kimi dəyişənlərin funksiyalarının olmasıdır. Eyni zamanda, kurikulum və materiallarda təhlilin elementar bölmələri çox vaxt elementar cəbrlə birləşdirilirsə (məsələn, “Cəbr və təhlilin başlanğıcları” adlı çoxlu dərsliklər və kurslar mövcuddur), onda müasir təhlildə əsasən ibtidai cəbrin metodlarından istifadə edilir. müasir həndəsi bölmələr, ilk növbədə diferensial həndəsə və topologiya.
Adi diferensial tənliklər nəzəriyyəsi (Euler, Johann Bernoulli, D'Alembert), variasiya hesablamaları (Euler, Lagrange), analitik funksiyalar nəzəriyyəsi (Laqranj, Koşi, daha sonra) kimi "sonsuz kiçiklərin təhlili"ndən ayrı qollar. Riemann), XVIII - XIX əsrin birinci yarısında daha çox ayrılmağa başladı. Bununla belə, təhlilin müstəqil müasir bölmə kimi formalaşmasının başlanğıcı 19-cu əsrin ortalarında klassik təhlilin əsas anlayışlarının - həqiqi ədədin, funksiyanın, həddin, inteqralın, ilk növbədə, bütövlükdə təhlilin rəsmiləşdirilməsinə dair əsərlər hesab olunur. Cauchy və Bolzano əsərləri və 1870-1880-ci illərdə Weierstrass, Dedekind və Cantorun əsərlərində bitmiş forma aldı. Bununla əlaqədar olaraq, həqiqi dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsi formalaşdı və analitik funksiyalarla işləmə üsullarının işlənməsi zamanı kompleks dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsi formalaşdı. 19-cu əsrin sonlarında Cantor tərəfindən yaradılmış sadəlövh dəstlər nəzəriyyəsi metrik və topoloji fəzalar anlayışlarının yaranmasına təkan verdi ki, bu da bütün analiz alətlər dəstini əhəmiyyətli dərəcədə dəyişdirdi, tədqiq olunan obyektlərin abstraksiya səviyyəsini yüksəltdi və diqqəti dəyişdirdi. həqiqi ədədlərdən qeyri-ədədi anlayışlara qədər.
20-ci əsrin əvvəllərində, əsasən, Fransız riyaziyyat məktəbinin qüvvələri (İordaniya, Borel, Lebesq, Baer) ölçü nəzəriyyəsi yaratdı, bunun sayəsində inteqral anlayışı ümumiləşdirildi və funksiyalar nəzəriyyəsi real dəyişən quruldu. Həmçinin 20-ci əsrin əvvəllərində funksional analiz topoloji vektor fəzalarını və onların xəritələrini öyrənən müasir analizin müstəqil alt bölməsi kimi formalaşmağa başladı. "Funksional analiz" termini 19-20-ci əsrlərin əvvəllərində bir qrup italyan və fransız riyaziyyatçıları (o cümlədən Volterra, Artsela) tərəfindən hazırlanmış variasiya hesablamasının bir qolunu ifadə edən Hadamard tərəfindən təqdim edilmişdir. 1900-cü ildə Fredholm inteqral tənliklər haqqında məqalə dərc etdirərək, inteqral tənliklər nəzəriyyəsinin inkişafına, ümumi inteqrasiya nəzəriyyəsinin (Lebeq) inkişafına təkan verdi. funksional analiz. 1906-cı ildə Hilbert spektral nəzəriyyəni açıqladı və elə həmin il Freşenin ilk dəfə mücərrəd metrik fəzaların təhlilə daxil edildiyi əsəri nəşr olundu. 1910-1920-ci illərdə ayrıla bilənlik anlayışları təkmilləşdi və ilk dəfə analizə ümumi topoloji üsullar tətbiq edildi (Hausdorff), funksional fəzalar mənimsənildi və normalaşdırılmış fəzaların ümumi nəzəriyyəsinin formalaşmasına başlandı (Hilbert, Rees, Banach, Hahn) . 1929-1932-ci illərdə Hilbert fəzalarının aksiomatik nəzəriyyəsi formalaşdı (Con von Neumann, Marshall Stone, Rees). 1936-cı ildə Sobolev ümumiləşdirilmiş funksiya konsepsiyasını tərtib etdi (sonralar, 1940-cı illərdə ondan asılı olmayaraq, Laurent Schwartz oxşar konsepsiyaya gəldi), təhlilin bir çox sahələrində geniş yayıldı və tətbiqlərdə geniş tətbiq tapdı (məsələn, ümumiləşdirilmiş funksiyadır δ (\displaystyle \delta) Dirac funksiyasıdır). 1930-1950-ci illərdə ümumi cəbr alətlərindən (vektor qəfəsləri, operator cəbrləri, Banax cəbrləri) istifadə etməklə funksional analizdə mühüm nəticələr əldə edilmişdir.
20-ci əsrin ortalarında dinamik sistemlər nəzəriyyəsi və erqodik nəzəriyyə (George Birkhoff, Kolmogorov, von Neumann) kimi sahələr müstəqil inkişaf aldı, harmonik analizin nəticələri ümumi cəbri vasitələrin - topoloji qrupların istifadəsi ilə əhəmiyyətli dərəcədə ümumiləşdirildi. və təmsillər (Weil, Peter, Pontryagin). 1940-1950-ci illərdən funksional analiz üsulları tətbiqi sahələrdə, xüsusən də Kantoroviçin 1930-1940-cı illərdəki əsərlərində tətbiq tapdı, funksional analiz vasitələrindən hesablama riyaziyyatında və iqtisadiyyatda (xətti proqramlaşdırma) istifadə edildi. 1950-ci illərdə Pontryaqinin və onun tələbələrinin əsərlərində variasiyaların hesablanması üsullarının işlənib hazırlanmasında optimal idarəetmə nəzəriyyəsi yaradılmışdır.
20-ci əsrin ikinci yarısından başlayaraq diferensial topologiyanın inkişafı ilə təhlilə yeni bir istiqamət - “qlobal analiz” adlanan, faktiki olaraq daha əvvəl, 1920-ci illərdə Morze nəzəriyyəsi çərçivəsində formalaşmağa başlayan təhlilə yeni bir istiqamət qoşuldu. variasiya hesabının ümumiləşdirilməsi kimi (Morze tərəfindən “ümumiyyətlə variasiya hesabı” adlandırılır, ingiliscə variasiya hesabı böyükdür). Bu sahəyə dinamik sistemlərin bifurkasiyası nəzəriyyəsinin (Andronov) inkişafında yaradılmış təkliklər nəzəriyyəsi (Uitni, ) və fəlakətlər nəzəriyyəsi (cild , və ) kimi sahələr daxildir. Maser, ), 1970-ci illərdə Zieman və Arnoldun əsərlərində işlənib hazırlanmışdır.
Klassik riyazi analiz - əslində tarixi "sonsuz kiçiklərin təhlili"nə tamamilə uyğun gələn bölmə iki əsas komponentdən ibarətdir: diferensial və inteqral hesablama. Əsas anlayışlar funksiyanın həddi, diferensial, törəmə, inteqral, əsas nəticələr müəyyən inteqral və əks törəməni birləşdirən Nyuton-Leybnits düsturudur və Teylor seriyası - qonşuluqda sonsuz diferensiallanan funksiyanın seriya genişlənməsidir. bir nöqtədən.
“Riyazi analiz” termini adətən bu klassik bölmə kimi başa düşülür, halbuki o, əsasən kurikulumlarda və materiallarda istifadə olunur. Eyni zamanda, təhlilin əsaslarının öyrənilməsi əksər orta təhsil proqramlarına, fənnin az-çox tam tədqiqi isə ali təhsilin ilk kurslarının geniş spektrli ixtisaslar üzrə proqramlarına, o cümlədən çoxlu humanitar elmlər. Anglo-Amerikan təhsil ənənəsində klassik riyazi analizə istinad etmək üçün "hesablama" (ingiliscə hesablama) termini istifadə olunur.
Həqiqi dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsi(bəzən qısaca istinad edilir - funksiya nəzəriyyəsi) həqiqi ədəd və funksiya anlayışlarının formallaşdırılması nəticəsində yaranmışdır: əgər klassik təhlil bölmələrində yalnız konkret məsələlərdə yaranan funksiyalar təbii şəkildə nəzərdən keçirilirdisə, funksiyalar nəzəriyyəsində funksiyaların özləri tədqiqat predmeti, onların davranışı və xassələrinin əlaqəsi öyrənilir. Həqiqi dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsinin spesifikasını göstərən nəticələrdən biri odur ki, fasiləsiz funksiyanın heç bir nöqtədə törəməsi olmaya bilər (bundan əlavə, klassik riyazi analizin əvvəlki fikirlərinə görə, bütün fasiləsiz funksiyaların diferensiallığı sorğulanmır).
Həqiqi dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsinin əsas istiqamətləri:
Mürəkkəb dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsinin öyrənilməsi predmetidir ədədi funksiyalar, kompleks müstəvidə müəyyən edilmişdir C 1 (\displaystyle \mathbb (C) ^(1)) və ya mürəkkəb Evklid məkanı C n (\displaystyle \mathbb (C) ^(n)), riyazi analizin demək olar ki, bütün sahələri üçün mühüm birləşdirici rol oynayan analitik funksiyalar isə ən hərtərəfli öyrənilmişdir. Xüsusilə, analitik funksiya anlayışı ixtiyari Banax fəzaları üçün ümumiləşdirilmiş, beləliklə, kompleks dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsinin bir çox nəticələri funksional analizdə ümumiləşdirilmişdir.
Bir qol kimi funksional analiz topoloji vektor fəzalarının və onlara qoyulan müxtəlif cəbri və topoloji şərtlərlə onların xəritələşdirilməsinin öyrənilməsi predmeti kimi olması ilə xarakterizə olunur. Funksional boşluqlar funksional analizdə mərkəzi rol oynayır. klassik nümunə- bütün ölçülə bilən funksiyaların fəzaları , onların p (\displaystyle p)--ci dərəcə inteqrasiya oluna biləndir; onsuz da L 2 (\displaystyle L^(2))- sonsuz ölçülü fəza (Hilbert fəzası) və sonsuz ölçülü fəzalar funksional analizə o qədər xasdır ki, bəzən bütün bölmə sonsuz ölçülü fəzaları və onların xəritələşdirilməsini öyrənən riyaziyyatın bir hissəsi kimi müəyyən edilir. Funksional analizin klassik bölmələrində boşluqların ən vacib forması Banax fəzalarıdır - normanın yaratdığı metrik baxımından tam olan normalaşdırılmış vektor fəzaları: praktikada maraqlı olan fəzaların əhəmiyyətli bir hissəsi belədir, onların arasında Hilbert fəzaları, boşluqlar L p (\displaystyle L^(p)), Hardy fəzaları, Sobolev fəzaları. Banax fəzaları olan cəbr strukturları - Banach qəfəsləri və Banax cəbrləri (o cümlədən - -) ilə funksional analizdə mühüm rol oynayır. C ∗ (\displaystyle C^(*))-cəbrlər, von Neumann cəbrləri).
Abstrakt harmonik analizdə klassik üsullar Haar ölçüsü və qrup təmsilləri kimi anlayışlardan istifadə edərək mücərrəd strukturlara ümumiləşdirilmişdir. Kommutativ harmonik analizin ən mühüm nəticəsi Pontryaqinin ikilik teoremidir ki, onun sayəsində harmonik analizin demək olar ki, bütün klassik nəticələri nisbətən sadə ümumi cəbri vasitələrlə təsvir olunur. Əlavə inkişaf nəzəriyyələr - kvant mexanikasında vacib tətbiqlərlə qeyri-kommutativ harmonik analiz.
İnteqral tənliklər nəzəriyyəsində klassik həll üsulları ilə yanaşı, funksional analizin müstəqil bölmə kimi formalaşmasına mühüm təsir göstərən Fredholm nəzəriyyəsi kimi sahələr də mövcuddur, xüsusən də bu nəzəriyyə anlayışının formalaşmasına töhfə vermişdir. Hilbert məkanı.
Diferensial tənliklərin öyrənilməsinin əsas istiqamətlərindən müstəqil bölmələr kimi mexaniki sistemlərin zamanla təkamülünü öyrənən dinamik sistemlər nəzəriyyəsi və statistik fizikanın əsaslandırılmasına yönəlmiş erqodik nəzəriyyə seçilirdi. Problemlərin tətbiqi xarakterinə baxmayaraq, bu bölmələr ümumi riyazi əhəmiyyətə malik çoxlu anlayış və metodları, xüsusən də sabitlik və erqodiklik anlayışlarını əhatə edir.
Qlobal təhlil- kollektorlar və vektor dəstələri üzərində funksiyaları və diferensial tənlikləri öyrənən analiz sahəsi; bəzən bu istiqamətə "manifoldlar üzrə təhlil" deyilir.
Qlobal təhlilin ilk istiqamətlərindən biri Morze nəzəriyyəsi və onun Riman manifoldlarında geodeziya problemlərinə tətbiqi; istiqamət “ümumiyyətlə variasiyaların hesablanması” adlanırdı. Əsas nəticələr, degenerasiya olunmayan tək nöqtələrdə hamar manifoldlarda hamar funksiyaların davranışını təsvir edən Morze lemması və Lyusternik-Şnirelman kateqoriyası kimi homotopi invariantıdır. Bir çox konstruksiya və ifadələr sonsuz ölçülü manifoldlar üçün ümumiləşdirilmişdir ( Hilbert manifoldları *, Banach sortları). Qlobal təhlilin nəticələri tək nöqtələr kimi sırf topoloji problemlərin həlli üçün geniş tətbiq tapdılar, məsələn, Botun dövrilik teoremi, əsasən riyaziyyatın müstəqil bölməsi üçün əsas rolunu oynadı - K (\displaystyle K)-nəzəriyyə, eləcə də haqqında teorem h (\displaystyle h)-kobordizm, nəticəsi 4-dən böyük ölçülər üçün Puankare zənninin yerinə yetirilməsidir.
Fizika və iqtisadiyyatda geniş istifadə edilən qlobal təhlil sahələrinin digər əsas bloku təkliklər nəzəriyyəsi, bifurkasiya nəzəriyyəsi və fəlakətlər nəzəriyyəsidir; bu blokda tədqiqatın əsas istiqaməti kritik nöqtələrin yaxınlığında diferensial tənliklərin və ya funksiyaların davranışının təsnifatı və müvafiq siniflərin xarakterik xüsusiyyətlərinin müəyyən edilməsidir.
Qeyri-standart təhlil - riyazi məntiq vasitəsi ilə təhlilin əsas anlayışlarının rəsmiləşdirilməsi, əsas ideyası sonsuz böyük və sonsuz kiçik kəmiyyətlərin rəsmiləşdirilməsi və onlarla manipulyasiyaların məntiqi rəsmiləşdirilməsidir. Eyni zamanda, qeyri-standart analiz vasitələri çox əlverişlidir: aydınlıq olmaması səbəbindən əvvəllər klassik üsullarla tapılmayan nəticələr əldə etdilər.
İnformasiyanın toplanması, daşınması və çevrilməsi proseslərinin formallaşdırılması və modelləşdirilməsi zəruri hesablama və hesablamaları həyata keçirən riyazi metodların istifadəsi ilə bağlıdır. məntiqi əməliyyatlar, o cümlədən avtomatlaşdırılmış informasiya sistemlərində. Buna görə də hüquqi informatika riyaziyyatla sıx bağlıdır və müxtəlif riyaziyyat elmlərinin metodlarından istifadə edir.
Son zamanlar hüquq sahəsində informasiya proseslərinin öyrənilməsində ehtimal nəzəriyyəsi, riyazi statistika, riyazi məntiq, əməliyyatların tədqiqi və bir çox başqa riyaziyyat elmləri və fənlərindən istifadə olunur. Riyazi üsullar hüquq nəzəriyyəsində xüsusi olaraq əks olunaraq hüquq elminin metodunu zənginləşdirir və gücləndirir, lakin təbii ki, onu əvəz etmir.
Bu gün deyə bilərik ki, riyaziyyatın dəqiq üsullarını hüquq sahəsində tətbiq edən mütəxəssislərin səyləri iki istiqamətdə cəmləşmişdir: birincisi, hüquqi tədqiqatların nəticələrinin riyazi emalı; ikincisi qanunun strukturunun riyazi üsullarla öyrənilməsidir. Bu sahələr müxtəlif hüquq sahəsində yaradılması və tətbiqi üçün əsas təşkil edir avtomatlaşdırılmış sistemlər sosial və hüquqi məlumatların emalı.
Birinci istiqamət sübutları qiymətləndirmək, seçkiləri və məclislərin qərarlarını təhlil etmək və məhkəmə hökmlərindəki səhvlərin ehtimalını müəyyən etmək üçün ehtimal nəzəriyyəsi metodlarından istifadə etməyi təklif edən Pierre Simon Laplace tərəfindən hələ 1775-ci ildə hazırlanmışdır.
Onun davamçıları Siméon Poisson və Auguste Cournot 1837 və 1877-ci illərdə müvafiq olaraq “Cinayət və Mülki Mühakimələrin Materialları əsasında Ehtimalın Tədqiqi” adlı traktatını nəşr etdirdilər. ümumi qaydalar Ehtimalların hesablanması” və 15-ci fəslin “Məhkəmə qərarlarının ehtimal nəzəriyyəsi” adlandığı “Şans və ehtimal nəzəriyyəsinin əsasları” monoqrafiyası. Onun mülki işlərin statistikasına tətbiqi. Birləşmiş Ştatlarda hüquqi tədqiqat estafeti 1959-cu ildə “Əsərini nəşr etdirən Miçiqanlı professor C.Şubert tərəfindən götürüldü. Kəmiyyət təhlili məhkəmə davranışı. 1961-ci ildə Stuart Nagel bir sıra məqalələr nəşr etdi, bunların arasında "Hökmü gözləmək" işdə bir sıra dəyişənlərin mövcudluğundan asılı olaraq, zərərin vurulması nəticəsində yaranan iddiaları qazanma və ya itirmə ehtimalının kəmiyyət göstəricisini ehtiva edir, statistik ümumiləşdirmələr üsulu ilə işlənən.
Hazırda bu istiqamət çərçivəsində aşağıdakı məsələlərin həlli üçün müxtəlif riyazi üsullardan uğurla istifadə olunur: hüquq hadisələrinin kəmiyyət təsviri; mühasibat uçotunun və hesabatlılığın təmin edilməsi hüquqi fəaliyyət müxtəlif statistik göstəricilərin ədədi emalı ilə.
İkinci istiqamət təfəkkürün hesablamalara qədər azaldılması ideyasına əsaslanır və R.Dekarta qədər uzanan dərin tarixi köklərə malikdir. O, süni bir elm dili yaratmaq imkanını nəzərdə tutdu, onun ətraflı təsvirini və sonuncunun istifadəsi ilə bağlı olan böyük faydaları verdi. Dekart bizim düşüncələrimizdə hansısa təbii nizamın mövcudluğunu fərz etdi və onu rəqəmlər dünyasındakı nizamla müqayisə etdi. Bütün sonsuz ədədlər dəsti ilə onların hər biri özünəməxsus işarə təmsilinə malikdir, buna görə də onların hər birinə öz adı verilə bilər ki, bu da onlarla hərəkətləri xüsusi yığcam dildə yazmağa imkan verəcəkdir. Rəqəmlər üçün belə bir universal dil işlənib hazırlandığından, Dekarta görə, zamanla təkcə rəqəmləri deyil, həm də tədqiqat predmetinə çevrilə biləcək hər hansı obyektləri əhatə edən daha universal bir dil qurulacaqdır. Belə bir dil sadə təsvirləri təcrid etməklə və hər bir düşüncəni təşkil edən elementləri təsbit etməklə istənilən ideyanı təyin etməyə imkan verəcəkdir. Bu, hər hansı bir qarışıqlıq ehtimalını aradan qaldıracaq. Belə bir dil dəqiq müəyyən edilmiş süni elementlərlə qeyri-müəyyən mənalı sözlərə qarşı çıxacaq. Alimlər “mərc edək” əvəzinə “hesablayaq” deyəcəklər.
Ümumbəşəri elm dili ideyasının inkişafına riyazi məntiqin əsasını qoyan Q.Leybnitsin əsərlərində çox diqqət yetirilir. Leybnisə görə, onun sayəsində əbədi həqiqətləri sistemləşdirmək, sübut etmək, hətta yenilərini kəşf etmək mümkün olacaq ümumi metodun idealı belədir:
1) riyaziyyatda mürəkkəb ədədlər əsas amillərin hasilinə parçalandığı kimi, bütün anlayışları ən sadələrə parçalamaq lazımdır. Belə bir dildə ən sadə anlayışların sayı çox ola bilməz;
2) anlayışların hər birini xüsusi işarə ilə təyin edərək, “insan düşüncəsinin əlifbasını” alırıq;
3) bütün növ birləşmələr sadə anlayışlar bizə bir sıra komplekslər verəcəkdir. Birincilərin sayı az olsa da, kombinatorikanın düsturlarından göründüyü kimi, onların birləşmələrinin sayı demək olar ki, tükənməz ola bilər;
4) anlayışlar arasında əsas əlaqələr üçün xüsusi simvollar tətbiq etmək və bu simvolların istifadəsi və birləşmələri üçün qaydaları müəyyən etmək lazımdır.
Beləliklə, düşünmə prosesini mahiyyətcə müasir simvolik məntiqin məşğul olduğu xüsusi növ mexaniki hesablamalara endirmək lazım idi.
Müasir məntiq mənalı düşüncənin ayrı-ayrı fraqmentlərini təsvir edən bir çox sistem yaratmışdır. Hüquq normalarının strukturunu modelləşdirmək üçün xüsusi olaraq “normativ məntiq” hazırlanmışdır ki, onun predmeti normativ ifadələrin məntiqi strukturu və məntiqi əlaqələridir.
Beləliklə, V.Knapp və A.Qerlox hüquq normalarının strukturunun, hüquq münasibətlərinin və normativ çıxarışların məntiqi modelləşdirilməsi prinsiplərini qiymətləndirərək göstərirlər ki, onların əsasında duran hüquq normalarının təsnifatı mürəkkəb olan real hüquq normalarının sadələşdirilmiş abstraksiyasıdır. Məsələn, hüquq anlayışlarının müqayisəliliyini və uyğunluğunu tədqiq edən bu müəlliflər belə bir nəticəyə gəlirlər ki, “miras hüququ” və “seçki hüququ” anlayışlarının müqayisəsizliyini heç bir məntiqi nəzəriyyə çərçivəsində məntiqi əsaslandırma ilə sübut etmək mümkün deyil. mövcudluğundan bəri ümumi xüsusiyyət“qanun” bu anlayışları formal olaraq müqayisəli edir. Müəlliflərin fikrincə, bu anlayışların müqayisəsizliyini sübut etmək üçün hüquq nəzəriyyəsi aparatı olmadan etmək olmaz.
Hüquq normalarının rəsmiləşdirilməsinin başqa bir növü hüquq normasının məntiqi strukturunu modelləşdirmək üçün riyazi məntiqdən istifadəyə əsaslanır.
Riyazi məntiq formal məntiqin müasir formasıdır, yəni. çıxarışları onların formal quruluşu nöqteyi-nəzərindən öyrənən elm.
Anlayış, mühakimə və ya nəticə şəklində olan hər hansı düşüncə dildən kənarda mövcud deyildir. Məntiqi strukturları yalnız linqvistik ifadələri təhlil etməklə aşkar etmək və araşdırmaq mümkündür.
Bəyanat adətən onun doğru və ya yalan olduğunu söyləməyin mənası olan bəzi fərziyyə kimi başa düşülür. İfadələrdə aşağıdakı əməliyyatlar müəyyən edilir:
birləşmə (məntiqi "və");
disjunksiya (məntiqi "və ya");
inkar (məntiqi "yox");
implikasiya ("əgər .., onda ...").
Belə ki, A.O. Qavrilov məntiqi əməliyyatlardan istifadə edərək hüquqi normanın məntiqi strukturunu modelləşdirməyi təklif etdi. Modelləşdirmənin məqsədi hüquqi normanın məntiqi (o cümlədən gizli) əlaqələrini aşkar etməkdir. Hüquq normasının məntiqi strukturu təmsil oluna bilər aşağıdakı forma:
((səh→ d) → ˥ s) → (˥ d→ s)
harada səh- norma hipotezi;
d- dispozisiya;
s- sanksiya.
Hüquq dilinin yuxarıda göstərilən rəsmiləşdirilməsi ekspert sistemləri kimi avtomatlaşdırılmış hüquqi informasiya sistemlərinin belə yeni sinfindən istifadə etməklə bəzi hüquq normalarını modelləşdirməyə və təhlil etməyə imkan verir.
Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, hüququn rəsmiləşdirilməsi üçün riyaziyyat dilinin istifadəsi xeyli məhduddur. Bu, əsasən onunla müəyyən edilir ki, A.G. Olşanetski, “hüquqşünaslar arasında hələ də hüquq anlayışlarının məntiqi mahiyyəti, məntiqi spesifikliyi, hüquq elminin inkişafında, hüquqi determinantın formalaşmasında konstruktiv rolu, onun sosial tənzimləmə mexanizmində məntiqi hərəkəti ilə bağlı konsensus yoxdur. sistemləri. Alimlərin bununla bağlı fikirləri birmənalı deyil, mübahisəli, bəzən ziddiyyətli xarakter daşıyır. Xüsusilə, belə bir fikir ifadə olunur ki, cinayət hüququnun yalnız bəzi anlayışları müəyyən məntiqi spesifikliyə malikdir. Hüququn digər sahələri baxımından konkret hüquqi ya əhəmiyyətsizdir, ya da ümumiyyətlə yoxdur... Onlarda ancaq ekstralogik xarakter daşıyan xüsusiyyətlər var. Onların strukturunda... məzmununda, onu formalaşdıran əlamətlərin təbiətində bu anlayışları elmi anlayışların xüsusi sinfində ayırmağa imkan verəcək əlamətlər yoxdur.
O.A-ya görə. Qavrilov, riyaziyyatın hüquq sahəsində universal tədqiqat vasitəsinə çevrilə bilməməsinin beş əsas səbəbi var:
1. Sosial-hüquqi obyektin mürəkkəbliyi və bütövlüyünün artması ilə onun rəsmiləşdirilə bilən elementlərə bölünmə ehtimalı əhəmiyyətli dərəcədə azalır.
2. Sosial elmlərin əsas kateqoriyaları əsas, üstqurum, məhsuldar qüvvələr, istehsal münasibətləri, dövlət, hüquq, iqtisadiyyat, siyasət, demokratiya kimi bir çox qeyri-formal əlaqələrlə əlaqəli mürəkkəb, çoxşaxəli və çoxşaxəli anlayışlardır.
3. Dövlət və hüquq sinifli cəmiyyətin hadisələri kimi ayrılmaz sosial-siyasi sistemlərdir. Onlar xarakterizə olunur böyük rəqəm nə kəmiyyət, nə ehtimal, nə də funksional (sözün riyazi mənasında) və buna görə də riyazi rəsmiləşdirməyə münasib olmayan keyfiyyət xüsusiyyətləri və əlaqələri.
4. Dirijorluq müqayisəli təhlil riyazi metodlar və hüquq elminin ənənəvi vasitələrinə gəldikdə, onların bir-birini tamamlayan əksliklərini görməmək mümkün deyil.
5. Fərqli xüsusiyyətənənəvi keyfiyyət metodları əsasında aparılan tədqiqatlar - onların əhatəliliyi və müxtəlifliyi, hadisələrin işıqlandırılmasında çeviklik. Fərqli xüsusiyyət riyazi tədqiqat onların yüksək dəqiqliyidir. Hüquq elminin ənənəvi üsullarını tətbiq edərək, hüquq tədqiqatçısı mənzərənin tamlığını qazanır, lakin bütün dəqiqliyini itirir. Və əksinə, tədqiqatın kəmiyyət üsullarını tətbiq edərək, elmi təsvirin düzgünlüyündə qalib gəlir, lakin çevikliyini və əhatəliliyini itirir.
Qeyd edək ki, heç də bütün hüquqşünaslar bu fikrə əməl etmirlər. Beləliklə, V.P. Pavlov, hüquqi tədqiqatın riyaziləşdirilməsi imkanlarını araşdıraraq, O.A.-nin yuxarıdakı fikri ilə razılaşmır. Qavrilov.
Onun fikrincə, hər hansı bir elmin tarixi sübut edir ki, biliklərin ilkin səviyyəsində öyrənilən hadisələrin müşahidə olunan xassələri və empirik qanunauyğunluqlar haqqında elmi faktlar toplanır (maraq fenomeninin inkişaf tendensiyaları şəklində). praktiki həyatda bizə) müşahidə, təcrübə, ölçmə, təsvir, ümumiləşdirmə, təhlil və sintezin müqayisəsi, təsnifat və sistemləşdirmə üsullarından istifadə edirlər. Bu üsulları fiqhdə həyata keçirmək üçün fəlsəfi, müqayisəli hüquq metodu, kompleks tədqiqat metodu kimi ənənəvi ümumi elmi metodlardan geniş istifadə olunur. Lakin elmi fərziyyələr irəli sürülən, qanunlar formalaşdırılan və nəzəriyyələr yaradılan zaman həqiqi nəzəri səviyyəyə çatır. Bu səviyyə spesifik hadisələrin izahının müxtəlif üsullarına uyğundur, bunlar arasında hipotetik, struktur, funksional, müəyyən anlayışların ideallaşdırılması və ümumiləşdirilməsini özündə cəmləşdirən abstraksiya üsulu, fərziyyələrin əsaslandırılması və nəzəriyyələrin qurulması metodu daxildir. Bu səviyyəyə yalnız ən çox riyaziyyatı cəlb etməklə nail olmaq olar universal alət maddi dünyanın təhlili. Bu iki səviyyənin dialektik əlaqəsi ondan ibarətdir ki, idrakın ilkin mərhələsi kimi empirik faktların təsbit edilməsi həmişə əvvəlki səviyyənin müəyyən nəzəri bilikləri əsasında həyata keçirilir və empirik faktların özü də idrakın ilkin mərhələsi kimi həyata keçirilir və empirik faktların özü də idrakın ilkin mərhələsidir. tədqiq olunan sahə üzrə nəzəri bilik səviyyəsi. Buna görə də ənənəvi və riyazi metodlar arasında bir-birini tamamlayan əlaqə onların ziddiyyətində deyil, məhz ondan ibarətdir ki, onların universallığı öyrənilən hadisənin görünməsini, dəqiqliyini və tamlığını təmin etməyə imkan verir. Bunun sayəsində tədqiq olunan fenomenin fenomenin empirik mənzərəsinin parçalanması ilə müşahidəçidən gizlədilən sahələrini ənənəvi vasitələrdən istifadə edərək başa düşmək sahəsi genişlənir.
Buna görə də yoldakı əsas maneə riyazi təsvir hüquq elminin konseptual aparatının qeyri-müəyyənliyi hüquq normalarının təhlili üçün riyazi vasitələrin tənqidsiz istifadəsi ilə dəfələrlə artır. Ziddiyyət ondadır ki, riyazi aparatdan istifadə etmədən hüquqi tədqiqatın tamlığını və düzgünlüyünü təmin etmək mümkün deyil, hüququn konseptual aparatının mövcud qeyri-müəyyənliyi şəraitində isə riyazi aparatın istifadəsi qeyri-mümkündür.
Təsərrüfat fəaliyyətinin təhlilinin təkmilləşdirilməsi yollarından biri də iqtisadi-riyazi metodların və müasir kompüterlərin tətbiqidir. Onların tətbiqi amillərin genişlənməsi, qəbul edilənlərin əsaslandırılması hesabına iqtisadi təhlilin səmərəliliyini artırır idarəetmə qərarları, seçim ən yaxşı seçimdir iqtisadi resurslardan istifadə, istehsalın səmərəliliyini artırmaq üçün ehtiyatların aşkar edilməsi və səfərbər edilməsi.
Riyazi metodlar iqtisadi-riyazi modelləşdirmə metodologiyasına və iqtisadi fəaliyyətin təhlilində problemlərin elmi əsaslandırılmış təsnifatına əsaslanır.
İqtisadi təhlilin məqsədlərindən asılı olaraq aşağıdakı iqtisadi və riyazi modellər fərqləndirilir: deterministik modellər- loqarifm, kapitalda iştirak, diferensiallaşma; stoxastik modellərdə - korrelyasiya-reqressiya metodu, xətti proqramlaşdırma, növbə nəzəriyyəsi, qrafik nəzəriyyəsi.
İqtisadi təhlilin təkmilləşdirilməsində, müəssisələrin və onların bölmələrinin fəaliyyətinin təhlilinin səmərəliliyinin artırılmasında riyazi metodların geniş tətbiqi mühüm istiqamətdir. Bu, təhlilin vaxtının azaldılması, amillərin nəticələrə təsirinin daha tam əhatə olunması ilə əldə edilir kommersiya fəaliyyəti, təxmini və ya sadələşdirilmiş hesablamaları dəqiq hesablamalarla əvəz etmək, ənənəvi üsullarla praktiki olaraq mümkün olmayan təhlilin yeni çoxölçülü problemlərinin qoyulması və həlli.
Müəssisənin iqtisadi təhlilində riyazi metodların tətbiqi aşağıdakıları tələb edir:
· müəssisələrin fəaliyyətinin müxtəlif aspektləri arasında əhəmiyyətli əlaqələrin bütün məcmusu nəzərə alınmaqla müəssisələrin iqtisadiyyatının öyrənilməsinə sistemli yanaşma; bu şəraitdə təhlilin özü sözün kibernetik mənasında getdikcə daha çox sistemli xüsusiyyətlər əldə edir;
· iqtisadi proseslərin və iqtisadi təhlilin köməyi ilə həll olunan vəzifələrin kəmiyyət xüsusiyyətlərini əks etdirən iqtisadi-riyazi modellər toplusunun işlənib hazırlanması;
Müəssisələrin işi haqqında iqtisadi informasiya sisteminin təkmilləşdirilməsi;
iqtisadi təhlil məqsədləri üçün iqtisadi informasiyanı saxlayan, emal edən və ötürən texniki vasitələrin (kompüterlərin və s.) mövcudluğu;
· təsərrüfat fəaliyyətinin kompüter təhlilinin təşkili, idarəetmə sistemində təhlil proqram təminatının yaradılması.
düyü. bir.
Bu günün zirvəsi idarəetmə sistemlərinin inkişafında BPM sistemləri var ( biznes performansının idarə edilməsi - biznes performansının idarə edilməsi), yəni. bütün idarəetmə funksiyalarını birləşdirməyə imkan verən sistemlər. Belə sistemlər çərçivəsində, məsələn, top menecerlər bu rəqəmləri təhlil etmək və düzəltmək və yeni məlumatlarını daxil etmək imkanı əldə edirlər. Sistemlər onlara əlaqəli şöbələrin hesabatlarını görməyə və istifadə etməyə imkan verir. Bundan əlavə, idarəetmənin aşağı səviyyəsində düzəldilmiş və əlavə edilmiş məlumatlar yenidən korporativ səviyyəyə çatdırılır. İki istiqamətli planlaşdırmanın bütün prosesi ən optimal plan tərtib olunana qədər sürətlə təkrarlanır. BPM sistemləri, mümkün mənfi və ya müsbət planlaşdırılmamış amilləri nəzərə alaraq, müxtəlif satış həcmləri üçün çevik təxminlər adlanan planın (büdcənin) bir neçə versiyasını hazırlamağa imkan verir. Belə ki, böhran zamanı təşkilatı təcili büdcəyə köçürmək mümkündür. Eyni zamanda, təbii ki, bütün xərc və məsuliyyət mərkəzləri kontekstində bütün büdcə maddələrinin yenidən nəzərdən keçirilməsinə, əlaqələndirilməsinə vaxt olmayacaq. Qeyd etmək lazımdır ki, VRM-sistemlərinin daha da təkmilləşdirilməsinin əsasını onların metodiki və metodik analitik təminatı təşkil edir.
İqtisadi təhlilin riyazi formalaşdırılmış problemi işlənmiş riyazi üsullardan biri ilə həll edilə bilər. Əncirdə. Şəkil 1, müəssisələrin təsərrüfat fəaliyyətinin təhlilində istifadə üçün üzərində işlənən əsas riyazi metodların təxmini sxemini göstərir.
Metodlar ibtidai riyaziyyatşərti ənənəvi iqtisadi hesablamalarda resurs ehtiyaclarını əsaslandırarkən, istehsal xərclərinin uçotunu apararkən, planların, layihələrin hazırlanmasında, balans hesablamalarında və s. Klassik üsulların vurğulanması ali riyaziyyat diaqramda onların yalnız digər üsullar, məsələn, riyazi statistika və riyazi proqramlaşdırma metodları çərçivəsində deyil, həm də ayrıca istifadə edilməsi ilə bağlıdır. Beləliklə, bir çox iqtisadi göstəricilərdə dəyişikliklərin amil təhlili diferensiallaşdırma və inteqrasiyadan istifadə etməklə həyata keçirilə bilər.
İqtisadi təhlildə riyazi statistika və ehtimal nəzəriyyəsi üsullarından geniş istifadə olunur. Bu üsullar təhlil edilən göstəricilərin dəyişməsinin təsadüfi proses kimi təqdim oluna bildiyi hallarda istifadə olunur.
Kütləvi, təkrarlanan hadisələrin öyrənilməsinin əsas vasitəsi kimi statistik üsullar iqtisadi göstəricilərin davranışının proqnozlaşdırılmasında mühüm rol oynayır. Təhlil olunan əlamətlər arasındakı əlaqə deterministik deyil, stoxastik olduqda, statistik və ehtimal metodları praktiki olaraq yeganə tədqiqat vasitəsi var. İqtisadi təhlildə riyazi və statistik üsullardan ən geniş yayılanı çoxlu və qoşa korrelyasiya təhlili üsullarıdır. Birölçülü statistik aqreqatları öyrənmək üçün variasiya seriyasından, paylanma qanunlarından və seçmə metodundan istifadə olunur. Çoxölçülü statistik populyasiyaları öyrənmək üçün korrelyasiya, reqressiya, variasiya və faktor analizindən istifadə olunur.
Ekonometrik metodlar üç bilik sahəsinin sintezinə əsaslanır: iqtisadiyyat, riyaziyyat və statistika. Ekonometrikanın əsasını elmi abstraksiyadan istifadə edərək iqtisadi hadisə və ya prosesin sxematik təsviri kimi başa düşülən, əks etdirən iqtisadi model təşkil edir. xarakterik xüsusiyyətlər. Ən çox istifadə olunan təhlil üsulu məsrəf-çıxarışdır. Bunlar şahmat sxeminə əsasən qurulmuş və məsrəflərlə istehsal nəticələri arasında əlaqəni ən yığcam formada təqdim etməyə imkan verən matris (balans) modelləridir. Hesablamaların rahatlığı və iqtisadi şərhin aydınlığı matris modellərinin əsas xüsusiyyətləridir. Bu, məlumatların avtomatlaşdırılmış emalı üçün sistemlər yaratarkən, kompüterdən istifadə edərək məhsulların istehsalını planlaşdırarkən vacibdir.
Riyazi proqramlaşdırma müasir tətbiqi riyaziyyatın mühüm bir sahəsidir. Riyazi metodlar (ilk növbədə xətti proqramlaşdırma) məsələlərin həlli;təsərrüfat fəaliyyətinin optimallaşdırılmasının əsas vasitəsi kimi xidmət edir.Mahiyyətcə, bu üsullar planlı hesablamalar vasitəsidir.Planların həyata keçirilməsinin iqtisadi təhlili üçün onların dəyəri ondan ibarətdir ki, onlar bizə planlaşdırılan hədəflərin gərginliyini qiymətləndirməyə, avadanlıqların məhdudlaşdırıcı qruplarını, xammal və materialların növlərini müəyyən etməyə, istehsal resurslarının qıtlığının təxminlərini almağa və s.
Əməliyyatların tədqiqi dedikdə, məqsədyönlü hərəkətlər (əməliyyatlar) üçün metodların işlənib hazırlanması, alınan həllərin kəmiyyətcə qiymətləndirilməsi və onlardan ən yaxşısının seçilməsi nəzərdə tutulur. Əməliyyat tədqiqatının predmeti iqtisadi sistemlər, o cümlədən müəssisələrin təsərrüfat fəaliyyətidir. Məqsəd, bir sıra mümkün olanlardan ən yaxşı iqtisadi göstərici əldə etmək vəzifəsinə ən yaxşı cavab verən sistemlərin bir-biri ilə əlaqəli struktur elementlərinin belə birləşməsidir.
Əməliyyatlar tədqiqatının bir qolu kimi oyun nəzəriyyəsi müxtəlif maraqları olan bir neçə tərəfin qeyri-müəyyənliyi və ya münaqişəsi şəraitində optimal qərarlar qəbul etmək üçün riyazi modellər nəzəriyyəsidir.
Növbə nəzəriyyəsi, ehtimal nəzəriyyəsinə əsaslanaraq, növbə proseslərinin kəmiyyətinin müəyyən edilməsi üçün riyazi üsulları araşdırır. Deməli, müəssisənin istənilən struktur bölməsi xidmət sisteminin obyekti kimi təmsil oluna bilər.
Növbə ilə bağlı bütün problemlərin ümumi xüsusiyyəti tədqiq olunan hadisələrin təsadüfi xarakteridir. Xidmət sorğularının sayı və onların gəlişi arasındakı vaxt intervalları təsadüfi xarakter daşıyır, onları birmənalı əminliklə proqnozlaşdırmaq mümkün deyil. Bununla belə, bütünlükdə bu tələblərin çoxu müəyyən statistik qanunauyğunluqlara tabedir, onların kəmiyyətcə öyrənilməsi növbə nəzəriyyəsinin mövzusudur.
İqtisadi kibernetika iqtisadi hadisə və prosesləri idarəetmə qanunları və mexanizmləri və onlarda informasiyanın hərəkəti baxımından çox mürəkkəb sistemlər kimi təhlil edir. İqtisadi təhlildə ən çox istifadə olunan modelləşdirmə və sistem təhlili üsullarıdır.
Bir sıra hallarda, nəzərdən keçirilən hadisənin mexanizmini natamam bilməklə ekstremal problemlərin həllini tapmaq lazımdır. Belə bir həll eksperimental olaraq tapılır. V son illər iqtisadiyyatda insan təcrübəsindən və intuisiyasından istifadə etməklə prosesin optimal şərtlərinin empirik axtarışı üsullarının rəsmiləşdirilməsinə maraq artmışdır.
Evristik üsullar intuisiyaya, keçmiş təcrübəyə, mövcud iqtisadi vəziyyətlə bağlı iqtisadi problemlərin həlli üçün qeyri-rəsmi üsullardır. ekspert qiymətləndirmələri mütəxəssislər və s.
İqtisadi fəaliyyətin təhlili üçün yuxarıda göstərilən nümunəvi sxemdən bir çox üsul tapılmamışdır. praktik tətbiq və yalnız iqtisadi təhlil nəzəriyyəsində inkişaf etdirilir. Dərslikdə iqtisadi təhlil praktikasında artıq tətbiq edilmiş əsas iqtisadi və riyazi metodlardan bəhs edilir. İqtisadi təhlildə bu və ya digər riyazi metodun tətbiqi iqtisadi proseslərin iqtisadi-riyazi modelləşdirilməsi metodologiyasına və təhlilin metod və vəzifələrinin elmi əsaslarla təsnifləşdirilməsinə əsaslanır.
Optimallığın təsnifat meyarına görə bütün iqtisadi və riyazi üsullar (tapşırıqlar) iki qrupa bölünür: optimallaşdırma və qeyri-optimallaşdırma. Əgər metod və ya tapşırıq verilmiş optimallıq meyarına uyğun olaraq həll yolunu axtarmağa imkan verirsə, onda bu üsul optimallaşdırma metodları qrupuna aid edilir. Həll axtarışı optimallıq meyarı olmadan aparıldığı təqdirdə, müvafiq üsul optimallaşdırma metodları qrupuna aid edilir.
Dəqiq həllin əldə edilməsi əsasında bütün iqtisadi və riyazi üsullar dəqiq və təxmini olanlara bölünür. Metodun alqoritmi verilmiş optimallıq meyarına uyğun və ya onsuz yalnız bir həll əldə etməyə imkan verirsə, bu üsul dəqiq üsullar qrupuna aid edilir. Həll axtarışında stoxastik məlumatdan istifadə edildiyi və problemin həlli istənilən dərəcədə dəqiqliklə əldə edilə bildiyi halda, istifadə olunan üsul təqribi metodlar qrupuna aid edilir. Təxmini metodlar qrupuna tətbiqi zamanı verilmiş optimallıq meyarına uyğun olaraq unikal həllin əldə edilməsinə zəmanət verilməyən üsullar da daxildir.
Beləliklə, yalnız iki təsnifat əlamətindən istifadə edərək, bütün iqtisadi və riyazi üsullar dörd qrupa bölünür: 1) optimallaşdırma dəqiq üsulları; 2) optimallaşdırmanın təxmini üsulları;
3) qeyri-optimallaşdırma dəqiq üsulları; 4) optimallaşdırılmayan təxmini üsullar.
Beləliklə, optimal proseslər nəzəriyyəsinin üsulları, bəzi riyazi proqramlaşdırma üsulları və əməliyyatların tədqiqi üsulları optimallaşdırma dəqiq üsullarına aid edilə bilər. Təxmini optimallaşdırma metodlarına riyazi proqramlaşdırmanın fərdi üsulları, əməliyyatların tədqiqi metodları, iqtisadi kibernetika metodları, metodlar daxildir. riyazi nəzəriyyə ekstremal eksperimentlərin planlaşdırılması, evristik üsullar.
Qeyri-optimallaşdırma dəqiq metodlarına elementar riyaziyyat üsulları və riyazi analizin klassik üsulları, ekonometrik üsullar daxildir. Qeyri-optimallaşdırılmayan təxmini metodlara statistik testlər metodu və riyazi statistikanın digər üsulları daxildir.
Sxemdə (şək. 1-ə baxın), iqtisadi və riyazi metodların genişləndirilmiş qrupları təqdim edildi, bu qruplardan olan fərdi üsullar həm optimallaşdırma, həm də qeyri-optimallaşdırma problemlərinin həlli üçün istifadə olunur; həm dəqiq, həm də təxmini. Böyük əhəmiyyət təsərrüfat fəaliyyətinin təhlilində balans və amil metodlarının (vəzifələrinin) qruplaşdırılmasına malikdir.
Balans metodları strukturun, nisbətlərin və nisbətlərin təhlili üsullarıdır.
İqtisadi təhlil, ilk növbədə, faktor təhlilidir (sözün geniş mənasında, təkcə stoxastik amil təhlili formasında deyil).
İqtisadi amil təhlili dedikdə, ilkin amil sistemindən (fəaliyyət göstəricisi) yekun amil sisteminə (və ya əksinə) tədricən keçid, nəticə göstəricisinin dəyişməsinə təsir edən birbaşa, kəmiyyətcə ölçülə bilən amillərin tam toplusunun açıqlanması başa düşülür.
Riyazi metodlardan istifadə baxımından müəssisələrin işinin amil təhlili problemlərinin təxmini təsnifatını nəzərdən keçirək (şək. 2).
Birbaşa amil təhlilində nəticə göstəricisinin və ya prosesin dəyişməsinə təsir göstərən fərdi amillər müəyyən edilir, nəticə göstəricisi ilə müəyyən amillər dəsti arasında deterministik (funksional) və ya stoxastik əlaqənin formaları müəyyən edilir və nəhayət, fərdin rolu müəyyən edilir. nəticənin iqtisadi göstəricisini dəyişən amillər aydınlaşdırılır. Birbaşa faktor analizi probleminin formalaşdırılması deterministik və stoxastik halları əhatə edir.
düyü. 2 - İqtisadi amil təhlili problemlərinin təsnifatı üçün genişləndirilmiş sxem
riyazi modelləşdirmə iqtisadi analitik
Birbaşa deterministik faktor təhlilinin vəzifələri iqtisadi fəaliyyətin təhlilində ən çox yayılmış vəzifələr qrupudur.
Birbaşa stoxastik amil təhlili probleminin formalaşdırılmasının xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirək. Birbaşa deterministik faktor təhlili zamanı təhlil üçün ilkin məlumatlar xüsusi ədədlər şəklində mövcuddursa, birbaşa stoxastik amil təhlili zamanı onlar nümunə (müvəqqəti və ya eninə) ilə verilir. Stokastik amil təhlili problemlərinin həlli aşağıdakıları tələb edir: fəaliyyət göstəricisinə təsir edən əsas amilləri müəyyən etmək üçün dərin iqtisadi tədqiqat; tədqiq olunan göstəricinin bir sıra amillərlə faktiki əlaqəsini daha yaxşı əks etdirəcək reqressiya növünün seçilməsi; hər bir amilin nəticə göstəricisinə təsirini müəyyən etmək üçün metodun işlənməsi.
Birbaşa deterministik təhlilin nəticələri dəqiq və birmənalı olmalıdırsa, stoxastik - müəyyən bir ehtimal (etibarlılıq) ilə qiymətləndirilməlidir.
Birbaşa stoxastik faktor analizinə misal ola bilər reqressiya təhliliəmək məhsuldarlığı və digər iqtisadi göstəricilər.
İqtisadi təhlildə bir göstəricinin təfərrüatlı şəkildə təfərrüatına salınması, onun tərkib hissələrinə bölünməsi ilə bağlı vəzifələrə əlavə olaraq, kompleksdə bir sıra iqtisadi xüsusiyyətləri əlaqələndirmək tələb olunan bir qrup vəzifə var, yəni. bütün nəzərdən keçirilən iqtisadi göstəricilərin-arqumentlərin əsas keyfiyyətini ehtiva edən funksiya qurmaq, yəni. sintez tapşırıqları. Bu halda tərs vəzifə qoyulur (birbaşa amil təhlili tapşırığına münasibətdə) - bir sıra göstəricilərin kompleksdə birləşdirilməsi vəzifəsi.
Tərs faktor analizi problemləri deterministik və stoxastik ola bilər. Tərs deterministik faktor təhlili probleminə misal olaraq təsərrüfat fəaliyyətinin kompleks qiymətləndirilməsi problemləri, o cümlədən riyazi proqramlaşdırma problemləri, o cümlədən xətti proqramdır. Tərs stoxastik amil təhlili probleminə misal olaraq məhsulun dəyəri ilə istehsal amillərinin (ilkin resursların) məsrəfləri arasında əlaqə quran istehsal funksiyaları ola bilər. İqtisadi göstəricilərin və ya proseslərin ətraflı öyrənilməsi üçün təkcə birmərhələli deyil, həm də zəncirvari amil təhlilini aparmaq lazımdır: statik (məkan) və dinamik (məkan və zaman).
Faktorların təfərrüatları daha da davam etdirilə bilər. Onu bitirdikdən sonra nəticə göstəricisini xarakterizə etmək üçün tədqiqatın nəticələrini sintez edərək amil təhlilinin tərs problemini həll edirlər. y. Bu tədqiqat metodu faktor analizinin zəncirvari statik metodu adlanır. Zəncirvari dinamik faktor analizindən istifadə edərkən nəticə göstəricisinin davranışını tam öyrənmək üçün onun statik dəyəri kifayət deyil; göstəricinin amil təhlili göstəricinin öyrənildiyi vaxt bölgüsünün müxtəlif intervallarında aparılır.
İqtisadi amil təhlili müxtəlif məkan və ya zaman mənşəli mənbələrə görə iqtisadi fəaliyyətin nəticələrini formalaşdıran amillərin təsirini aydınlaşdırmağa yönəldilə bilər.
İqtisadi fəaliyyətin göstəricilərinin dinamik (zaman) seriyasının təhlili, seriyanın səviyyəsini onun komponentlərinə (inkişafın əsas xətti - tendensiya, mövsümi və ya dövri komponent, çoxalma hadisələri ilə əlaqəli tsiklik komponent, təsadüfi komponent) bölmək. - zaman amili təhlilinin vəzifəsi.
Faktor təhlili problemlərinin təsnifatı bir çox iqtisadi problemlərin formalaşdırılmasını asanlaşdırır, müəyyən etməyə imkan verir ümumi nümunələröz qərarında. Mürəkkəb iqtisadi proseslərin öyrənilməsində, əgər sonuncular təsnifatda göstərilən hər hansı bir növə tamamilə aid olmadıqda, tapşırıqların qoyulmasının birləşməsi mümkündür.
Riyaziyyat tarixində şərti olaraq iki əsas dövrü ayırmaq olar: elementar və müasir riyaziyyat. Yeni (bəzən deyirlər - daha yüksək) riyaziyyat dövrünü saymağın adət olduğu mərhələ 17-ci əsr - riyazi analizin yaranma əsri idi. XVII əsrin sonlarında. İ.Nyuton, Q.Leybnits və onların sələfləri riyazi analizin əsasını və hətta bəlkə də bütün müasir təbiət elminin riyazi əsasını təşkil edən yeni diferensial hesabın və inteqral hesabın aparatını yaratdılar.
Riyazi təhlil xarakterik bir tədqiqat obyekti (dəyişən), özünəməxsus tədqiqat metodu (sonsuz kiçiklər vasitəsilə və ya həddi keçməklə təhlil), müəyyən əsas anlayışlar sistemi (funksiya, limit, törəmə, diferensial, inteqral, seriya) və diferensial və inteqral hesablamalara əsaslanan daim təkmilləşən və inkişaf edən aparat.
Gəlin 17-ci əsrdə hansı riyazi inqilabın baş verdiyi, riyazi analizin doğulması ilə əlaqəli elementar riyaziyyatdan indi riyazi analizdə tədqiqat predmeti olan riyaziyyata keçidi səciyyələndirən bir fikir verməyə çalışaq. nəzəri və tətbiqi biliklərin bütün müasir sistemində onun əsas rolunu nə izah edir.
Təsəvvür edin ki, qarşınızda sahilə qaçan fırtınalı okean dalğasının gözəl işlənmiş rəngli fotoşəkili var: güclü əyilmiş arxa, dik, lakin bir az batmış sinə, artıq irəli əyilmiş və külək tərəfindən cırılmış boz yal ilə başı düşməyə hazırdır. Siz anı dayandırdınız, dalğanı tutmağı bacardınız və indi tələsmədən onu bütün detalları ilə diqqətlə öyrənə bilərsiniz. Bir dalğa ölçülə bilər və elementar riyaziyyat alətlərindən istifadə edərək, bu dalğa və buna görə də onun bütün okean bacıları haqqında bir çox vacib nəticələr çıxaracaqsınız. Amma dalğanı dayandırmaqla onu hərəkətdən və həyatdan məhrum etdin. Onun mənşəyi, inkişafı, qaçışı, sahilə düşmə qüvvəsi - bütün bunlar sizin görmə sahənizdən kənarda qaldı, çünki statik olmayanı təsvir etmək və öyrənmək üçün hələ nə diliniz, nə də riyazi aparatınız yoxdur. , lakin inkişaf edən, dinamik proseslər, dəyişənlər və onların qarşılıqlı əlaqələri.
“Riyazi analiz təbiətin özündən heç də az əhatəli deyil: o, bütün maddi əlaqələri müəyyən edir, zamanları, məkanları, qüvvələri, temperaturları ölçür”. J. Furye
Hərəkət, dəyişənlər və onların əlaqələri ətrafımızdadır. Hərəkətin müxtəlif növləri və onların qanunauyğunluqları konkret elmlərin əsas tədqiqat obyektini təşkil edir: fizika, geologiya, biologiya, sosiologiya və s. Buna görə də dəyişənlərin təsviri və öyrənilməsi üçün dəqiq dil və müvafiq riyazi üsullar bütün sahələrdə zəruri olduğu ortaya çıxdı. kəmiyyət münasibətlərini təsvir etmək üçün rəqəmlər və hesabla eyni dərəcədə bilik lazımdır. Beləliklə, riyazi analiz dəyişənləri və onların əlaqələrini təsvir etmək üçün dilin və riyazi metodların əsasını təşkil edir. Bu gün riyazi analiz olmadan təkcə kosmik trayektoriyaları hesablamaq, işləmək mümkün deyil nüvə reaktorları, okean dalğasının hərəkəti və siklonun inkişaf qanunauyğunluqları, həm də istehsalı, resursların bölüşdürülməsini, texnoloji proseslərin təşkilini iqtisadi cəhətdən idarə etmək, kimyəvi reaksiyaların gedişini və ya müxtəlif heyvan və bitki növlərinin sayındakı dəyişiklikləri proqnozlaşdırmaq üçün təbiətdə bir-biri ilə bağlıdır, çünki bütün bunlar dinamik proseslərdir.
Elementar riyaziyyat əsasən sabitlərin riyaziyyatı idi, o, əsasən elementlər arasındakı əlaqələri öyrənirdi. həndəsi fiqurlar, ədədlərin arifmetik xassələri və cəbri tənliklər. Müəyyən dərəcədə onun reallığa münasibətini dəyişən, inkişaf edən canlı aləmi öz hərəkətində əks etdirən, lakin ayrıca kadrda görünməyən filmin hər bir sabit kadrının diqqətli, hətta hərtərəfli və hərtərəfli öyrənilməsi ilə müqayisə oluna bilər. və yalnız bütövlükdə lentə baxmaqla müşahidə edilə bilən. Amma kinonu fotoqrafiyasız təsəvvür etmək mümkün olmadığı kimi, müasir riyaziyyat da onun şərti olaraq elementar adlandırdığımız hissəsisiz, bəzən on əsrlərlə bir-birindən çoxlu görkəmli alimlərin ideyaları və nailiyyətləri olmadan mümkün deyil.
Riyaziyyat birdir və onun “yuxarı” hissəsi tikilməkdə olan evin növbəti mərtəbəsinin əvvəlki mərtəbə ilə əlaqəsi və riyaziyyatın bizə açdığı üfüqlərin genişliyi ilə eyni şəkildə “ibtidai” ilə bağlıdır. in dünya, bu binanın hansı mərtəbəsinə qalxa bildiyimizdən asılıdır. 17-ci əsrdə anadan olub riyazi təhlil sözün geniş mənasında dəyişənlərin və hərəkətin elmi təsviri, kəmiyyət və keyfiyyətcə öyrənilməsi üçün imkanlar açdı.
Riyazi analizin yaranması üçün ilkin şərtlər hansılardır?
XVII əsrin sonlarında. aşağıdakı vəziyyət yaranıb. Birincisi, riyaziyyatın özü çərçivəsində illər keçdikcə eyni tipli müəyyən mühüm məsələlər sinifləri (məsələn, qeyri-standart fiqurların sahələrinin və həcmlərinin ölçülməsi problemləri, əyrilərə toxunanların çəkilməsi məsələləri) və metodlar yığılmışdır. müxtəlif xüsusi hallarda onların həlli üçün peyda olmuşlar. İkincisi, məlum oldu ki, bu problemlər ixtiyari (mütləq vahid deyil) mexaniki hərəkətin təsviri problemləri ilə, xüsusən də onun ani xüsusiyyətlərinin (hər an sürəti, sürətlənməsi) hesablanması, eləcə də tapılması ilə sıx bağlıdır. müəyyən dəyişən sürətlə hərəkət üçün qət edilən məsafə. Bu problemlərin həlli fizika, astronomiya və texnologiyanın inkişafı üçün zəruri idi.
Nəhayət, üçüncüsü, XVII əsrin ortalarında. R.Dekartın və P.Fermanın əsərlərinin əsasını qoydu analitik üsul koordinatlar (analitik həndəsə adlanır), bu da ədədlərin və ədədi asılılığın ümumi (analitik) dilində və ya indi dediyimiz kimi, ədədi funksiyaların müxtəlif mənşəli həndəsi və fiziki problemlərini tərtib etməyə imkan verdi.
|
NİKOLAY NIKOLAEVİÇ LUZİN
N. N. Luzin - sovet riyaziyyatçısı, qurucusu sovet məktəbi funksiyalar nəzəriyyəsi, akademik (1929). Luzin Tomskda anadan olub, Tomsk gimnaziyasında oxuyub. Gimnaziyanın riyaziyyat kursunun formalizmi istedadlı gənci özündən uzaqlaşdırdı və riyaziyyat elminin gözəlliyini və əzəmətini ona ancaq bacarıqlı tərbiyəçi aça bilərdi. 1901-ci ildə Luzin Moskva Universitetinin fizika-riyaziyyat fakültəsinin riyaziyyat şöbəsinə daxil olur. Təhsilin ilk illərindən sonsuzluqla bağlı suallar onun maraq dairəsinə düşdü. XIX əsrin sonlarında. alman alimi Q.Kantor sonsuz çoxluqların ümumi nəzəriyyəsini yaratmış, kəsikli funksiyaların öyrənilməsində çoxsaylı tətbiqlər əldə etmişdir. Luzin bu nəzəriyyəni öyrənməyə başladı, lakin 1905-ci ildə təhsili yarımçıq qaldı.İnqilabi fəaliyyətlərdə iştirak edən tələbə bir müddət Fransaya getməli oldu. Orada o dövrün ən görkəmli fransız riyaziyyatçılarının mühazirələrini dinləyirdi. Rusiyaya qayıtdıqdan sonra Luzin universiteti bitirdi və professorluq hazırlığına buraxıldı. Tezliklə o, yenidən Parisə, sonra isə Göttingenə getdi, burada bir çox alimlə yaxınlaşdı və ilk elmi əsərlərini yazdı. Alimi maraqlandıran əsas problem çoxluqdan daha çox elementi olan çoxluqların ola biləcəyi sualı idi natural ədədlər, lakin seqmentdəki nöqtələr dəstindən azdır (davamlılıq problemi). Çoxluqların sayıla bilən toplularının birləşmə və kəsişmə əməliyyatlarından istifadə edərək seqmentlərdən əldə edilə bilən hər hansı sonsuz çoxluq üçün bu fərziyyə doğru idi və problemi həll etmək üçün çoxluqların qurulmasının başqa yollarının nə olduğunu öyrənmək lazım idi. Eyni zamanda, Luzin hər hansı bir dövri funksiyanın, hətta sonsuz sayda kəsilmə nöqtəsinə malik olsa belə, triqonometrik sıraların cəmi kimi təqdim edilməsinin mümkün olub-olmaması məsələsini araşdırdı, yəni. sonsuz çoxluğun cəmi harmonik vibrasiya. Luzin bu məsələlərlə bağlı bir sıra mühüm nəticələr əldə etdi və 1915-ci ildə "İnteqral və triqonometrik seriyalar" dissertasiyasını müdafiə etdi və bunun üçün o dövrdə mövcud olan aralıq magistr dərəcəsini keçərək dərhal təmiz riyaziyyat elmləri doktoru elmi dərəcəsinə layiq görüldü. . 1917-ci ildə Luzin Moskva Universitetinin professoru oldu. İstedadlı müəllim, ən bacarıqlı tələbələri və gənc riyaziyyatçıları özünə cəlb edirdi. Luzinin məktəbi inqilabdan sonrakı ilk illərdə özünün ən parlaq dövrünə çatdı. Luzinin tələbələri zarafatla "Lusitania" adlanan yaradıcı komanda yaradıblar. Onların bir çoxu tələbəlik illərində birinci dərəcəli elmi nəticələr əldə ediblər. Məsələn, P. S. Aleksandrov və M. Ya. Suslin (1894-1919) yeni üsulçoxluqların qurulması yeni istiqamətin - təsviri çoxluqlar nəzəriyyəsinin inkişafının başlanğıcı idi. Luzin və onun tələbələri tərəfindən bu sahədə aparılan tədqiqatlar göstərdi ki, çoxluqlar nəzəriyyəsinin adi üsulları onda yaranan bir çox problemləri həll etmək üçün kifayət etmir. Luzinin elmi proqnozları 1960-cı illərdə tam təsdiqini tapdı. 20-ci əsr N. N. Luzinin bir çox tələbələri sonralar SSRİ Elmlər Akademiyasının akademiki və müxbir üzvü oldular. Onların arasında P. S. Aleksandrov da var. A. N. Kolmogorov. M. A. Lavrentyev, L. A. Lyusternik, D. E. Menşov, P. S. Novikov. L. G. Şnirelman və başqaları. Müasir sovet və xarici riyaziyyatçılar öz əsərlərində N. N. Luzinin ideyalarını inkişaf etdirirlər. |
Bu halların birləşməsi ona gətirib çıxardı ki, XVII əsrin sonunda. iki alim - İ.Nyuton və Q.Leybniz müstəqil olaraq bu məsələlərin həlli üçün riyazi aparat yaratmağa müvəffəq olmuş, öz sələflərinin, o cümlədən qədim alim Arximed və Nyuton və Leybnitsin müasirlərinin - B. Kavalyeri, B. Paskal, D. Qriqori, İ. Barrou. Bu aparat riyazi analizin əsasını təşkil etdi - müxtəlif inkişaf edən prosesləri öyrənən riyaziyyatın yeni bir sahəsi, yəni. riyaziyyatda funksional asılılıqlar və ya başqa sözlə funksiyalar adlanan dəyişənlərin qarşılıqlı əlaqələri. Yeri gəlmişkən, "funksiya" termininin özü tələb olunurdu və təbii olaraq 17-ci əsrdə yaranmışdır və indiyə qədər o, təkcə ümumi riyazi deyil, həm də ümumi elmi məna qazanmışdır.
Əsas anlayışlar və analizin riyazi aparatı haqqında ilkin məlumatlar “Diferensial hesablama” və “İnteqral hesablama” məqalələrində verilmişdir.
Sonda mən bütün riyaziyyat üçün ümumi olan və analiz üçün xarakterik olan yalnız bir riyazi abstraksiya prinsipi üzərində dayanmaq və bununla əlaqədar olaraq riyazi təhlilin dəyişənləri hansı formada öyrəndiyini və onun metodlarının belə universallığının sirrinin nə olduğunu izah etmək istərdim. bütün növ spesifik inkişaf proseslərini və onların qarşılıqlı əlaqələrini öyrənmək üçün.
Bəzi izahlı misallara və bənzətmələrə baxaq.
Biz bəzən artıq dərk etmirik ki, məsələn, alma, stul və ya fillər üçün deyil, konkret obyektlərdən mücərrəd formada yazılmış riyazi nisbət görkəmli elmi nailiyyətdir. Bu, təcrübənin müxtəlif konkret obyektlərə tətbiq oluna biləcəyini göstərən riyazi qanundur. Beləliklə, riyaziyyatda mücərrəd, abstrakt ədədlərin ümumi xassələrini öyrənərək, bununla da real dünyanın kəmiyyət əlaqələrini öyrənirik.
Məsələn, məktəb riyaziyyat kursundan məlumdur ki, ona görə də konkret vəziyyətdə belə deyə bilərsiniz: “Əgər mənə 12 ton torpaq daşımaq üçün altı tonluq iki özüboşaltma maşını ayrılmayıbsa, o zaman xahiş edə bilərsiniz. üç dörd tonluq özüboşaldır və iş görüləcək və əgər onlar yalnız bir dörd tonluq özüboşaldırsa, o zaman üç reys etməli olacaq. Beləliklə, indi bizə tanış olan mücərrəd ədədlər və ədədi qanunauyğunluqlar onların konkret təzahürləri və tətbiqləri ilə bağlıdır.
Təxminən eyni şəkildə xüsusi dəyişən kəmiyyətlərin dəyişmə qanunları və təbiətin inkişaf edən prosesləri onların meydana çıxdığı mücərrəd, mücərrəd forma-funksiya ilə bağlıdır və riyazi analizdə öyrənilir.
Məsələn, mücərrəd nisbət kinoteatrdakı kassaların satılan biletlərin sayından, 20 20 qəpikdirsə - bir biletin qiymətindən asılılığının əksi ola bilər. Ancaq şossedə saatda 20 km sürətlə gediriksə, eyni nisbət velosiped sürməmizin vaxtının (saatlarının) və bu müddət ərzində qət edilən məsafənin (kilometrlərin) əlaqəsi kimi şərh edilə bilər, siz həmişə mübahisə edə bilərsiniz ki, məsələn, bir neçə dəfə dəyişmə, -nin qiymətində mütənasib (yəni, eyni sayda) dəyişməyə gətirib çıxarır və əgər varsa, əks nəticə də doğrudur. Belə ki, xüsusən də kinoteatrın kassa gəlirini iki dəfə artırmaq üçün iki dəfə çox tamaşaçı cəlb etməlisən, eyni sürətlə velosiped sürmək üçün isə iki dəfə uzun sürməlisən.
Riyaziyyat həm ən sadə asılılığı, həm də digər, daha mürəkkəb asılılıqları şəxsi şərhdən mücərrədləşdirilmiş mücərrəd, ümumi, mücərrəd formada öyrənir. Belə bir araşdırmada müəyyən edilmiş funksiyanın xassələri və ya bu xassələri öyrənmək üsulları, hansından asılı olmayaraq, mücərrəd formada tədqiq olunan funksiyanın baş verdiyi hər bir konkret hadisəyə tətbiq olunan ümumi riyazi texnikalar, nəticələr, qanunlar və nəticələr xarakterində olacaqdır. bu fenomenin aid olduğu bilik sahəsi. .
Beləliklə, riyazi analiz riyaziyyatın bir qolu kimi XVII əsrin sonlarında formalaşmışdır. Riyazi analizdə (müasir mövqelərdən göründüyü kimi) öyrənilən mövzu funksiyalar və ya başqa sözlə, dəyişənlər arasındakı asılılıqlardır.
Riyazi analizin yaranması ilə riyaziyyatın real dünyanın inkişaf edən proseslərini öyrənməsi və əks etdirməsi mümkün oldu; dəyişənlər və hərəkət riyaziyyata daxil oldu.
