1. Bütün yan kənarlar eyni ölçüdə olduqda, onda:
2. Yan üzlərin eyni qiymətli əsasın müstəvisinə meyl bucağı olduqda, onda:
3. Piramidanın yanında kürə təsvir oluna bilər, o halda ki, piramidanın təməlində ətrafında çevrə təsvir oluna bilən çoxbucaqlıdır (zəruri və kifayət qədər şərait). Kürənin mərkəzi onlara perpendikulyar olan piramidanın kənarlarının orta nöqtələrindən keçən müstəvilərin kəsişmə nöqtəsi olacaqdır. Bu teoremdən belə nəticəyə gəlirik ki, hər hansı üçbucaq haqqında olduğu kimi, hər hansı biri haqqında düzgün piramida sferasını təsvir etmək olar.
4. Piramidanın daxili dihedral bucaqlarının bissektrisa müstəviləri 1-ci nöqtədə kəsişirsə, kürə piramidaya daxil edilə bilər (zəruri və kafi şərt). Bu nöqtə sferanın mərkəzinə çevriləcək.
Ən sadə piramida.
Piramidanın əsasının künclərinin sayına görə onlar üçbucaqlı, dördbucaqlı və s.
Piramida olacaq üçbucaqlı, dördbucaqlı, və s., piramidanın əsası üçbucaq, dördbucaqlı olduqda və s. Üçbucaqlı piramida tetraedrdir - tetraedr. Dördbucaqlı - beşbucaqlı və s.
Giriş
Stereometrik fiqurları öyrənməyə başlayanda “Piramida” mövzusuna toxunduq. Bu mövzunu bəyəndik, çünki piramida memarlıqda çox istifadə olunur. Və bizim ildən gələcək peşə memar, bu fiqurdan ilhamlanaraq bizi böyük layihələrə sövq edə biləcəyini düşünürük.
Memarlıq strukturlarının gücü, onların ən mühüm keyfiyyəti. Gücü, ilk növbədə, onların yaradıldığı materiallarla, ikincisi, xüsusiyyətləri ilə əlaqələndirmək konstruktiv həllər, belə çıxır ki, strukturun möhkəmliyi onun üçün əsas olan həndəsi forma ilə birbaşa bağlıdır.
Başqa sözlə, söhbət uyğun olanın modeli sayıla bilən həndəsi fiqurdan gedir memarlıq forması. Belə çıxır ki həndəsi forma memarlıq quruluşunun möhkəmliyini də müəyyən edir.
Misir piramidaları uzun müddət ən davamlı memarlıq quruluşu hesab edilmişdir. Bildiyiniz kimi, onlar müntəzəm dördbucaqlı piramidalar formasına malikdirlər.
Məhz bu həndəsi forma səbəbiylə ən böyük sabitliyi təmin edir böyük sahəəsaslar. Digər tərəfdən, piramidanın forması yerdən hündürlük artdıqca kütlənin azalmasını təmin edir. Piramidanı sabit və buna görə də cazibə şəraitində güclü edən bu iki xüsusiyyətdir.
Layihənin məqsədi: piramidalar haqqında yeni bir şey öyrənin, bilikləri dərinləşdirin və praktik tətbiqlər tapın.
Bu məqsədə çatmaq üçün aşağıdakı vəzifələri həll etmək lazım idi:
Piramida haqqında tarixi məlumatları öyrənin
Piramidanı həndəsi fiqur kimi düşünün
Həyatda və memarlıqda tətbiq tapın
Yerləşmiş piramidaların oxşar və fərqli cəhətlərini tapın müxtəlif hissələr Sveta
Nəzəri hissə
Piramidanın həndəsəsinin başlanğıcı Qədim Misirdə və Babildə qoyulmuş, lakin o, fəal şəkildə inkişaf etmişdir. Qədim Yunanıstan. Piramidanın həcminin nəyə bərabər olduğunu ilk müəyyən edən Demokrit oldu və Knidli Evdoks bunu sübut etdi. Qədim yunan riyaziyyatçısı Evklid "Başlanğıclar"ın XII cildində piramida haqqında bilikləri sistemləşdirdi və eyni zamanda piramidanın ilk tərifini ortaya qoydu: bir müstəvidən bir nöqtədə birləşən müstəvilərlə məhdudlaşan bədən fiquru.
Misir fironlarının məzarları. Onlardan ən böyüyü - qədim zamanlarda El Gizadakı Xeops, Xafre və Mikerin piramidaları dünyanın yeddi möcüzəsindən biri hesab olunurdu. Yunanların və romalıların misilsiz padşahların və qəddarlığın qüruruna bir abidənin göründüyü, bütün Misir xalqını mənasız tikintilərə məhkum edən piramidanın ucaldılması ən vacib dini akt idi və görünür, ifadə etməli idi. ölkənin və onun hökmdarının mistik kimliyi. İlin əkinçilik işlərindən azad olan hissəsində ölkə əhalisi türbənin tikintisində çalışıb. Bir sıra mətnlər padşahların özlərinin (sonralar da olsa) qəbrinin tikintisinə və onu tikənlərə göstərdikləri diqqət və qayğıdan xəbər verir. Piramidanın özü olduğu ortaya çıxan xüsusi kult şərəfləri haqqında da məlumdur.
Əsas anlayışlar
piramidaƏsası çoxbucaqlı, qalan üzləri isə ümumi təpəsi olan üçbucaqlar olan çoxüzlü adlanır.
Apotem- yuxarıdan çəkilmiş müntəzəm piramidanın yan üzünün hündürlüyü;
Yan üzlər- yuxarıda birləşən üçbucaqlar;
Yan qabırğalar- yan üzlərin ümumi tərəfləri;
piramidanın üstü- yan kənarları birləşdirən və baza müstəvisində yatmayan nöqtə;
Hündürlük- piramidanın yuxarı hissəsindən onun əsasının müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyarın seqmenti (bu seqmentin ucları piramidanın yuxarı hissəsi və perpendikulyarın əsasıdır);
Piramidanın diaqonal hissəsi- piramidanın yuxarı hissəsindən və əsasın diaqonalından keçən hissəsi;
Baza- piramidanın yuxarı hissəsinə aid olmayan çoxbucaqlı.
Düzgün piramidanın əsas xüsusiyyətləri
Yan kənarlar, yan üzlər və apotemlər müvafiq olaraq bərabərdir.
Bazadakı dihedral bucaqlar bərabərdir.
Yan kənarlardakı dihedral bucaqlar bərabərdir.
Hər bir hündürlük nöqtəsi bütün əsas təpələrdən bərabər məsafədədir.
Hər bir hündürlük nöqtəsi bütün yan üzlərdən bərabər məsafədədir.
Əsas piramida düsturları
Yan sahə və tam səth piramidalar.
Piramidanın yan səthinin sahəsi (tam və kəsilmiş) onun bütün yan üzlərinin sahələrinin cəmidir, ümumi səth sahəsi bütün üzlərinin sahələrinin cəmidir.
Teorem: Normal piramidanın yan səthinin sahəsi təməlin perimetri ilə piramidanın apoteminin məhsulunun yarısına bərabərdir.
səh- təməlin perimetri;
h- apotem.
Kəsilmiş piramidanın yan və tam səthlərinin sahəsi.
p1, səh 2 - əsas perimetrlər;
h- apotem.
R- müntəzəm kəsilmiş piramidanın ümumi səth sahəsi;
S tərəfi- müntəzəm kəsilmiş piramidanın yan səthinin sahəsi;
S1 + S2- baza sahəsi
Piramidanın həcmi
forma Həcmi şkalası istənilən növ piramidalar üçün istifadə olunur.
H piramidanın hündürlüyüdür.
Piramidanın açıları
Piramidanın yan üzünün və əsasının əmələ gətirdiyi bucaqlara piramidanın altındakı ikiüzlü bucaqlar deyilir.
Dihedral bucaq iki perpendikulyar tərəfindən əmələ gəlir.
Bu bucağı müəyyən etmək üçün tez-tez üç perpendikulyar teoremdən istifadə etməlisiniz.
Yan kənarın və onun təməl müstəvisinə proyeksiyasından əmələ gələn bucaqlar adlanır yan kənarı ilə bazanın müstəvisi arasındakı bucaqlar.
İki yan üzün əmələ gətirdiyi bucaq deyilir piramidanın yan kənarında dihedral bucaq.
Piramidanın bir üzünün iki yan kənarından əmələ gələn bucaq deyilir piramidanın yuxarı hissəsindəki künc.
Piramidanın bölmələri
Piramidanın səthi çoxüzlü səthdir. Onun üzlərinin hər biri bir müstəvidir, buna görə də piramidanın kəsici müstəvinin verdiyi kəsik ayrı-ayrı düz xətlərdən ibarət qırıq xəttdir.
Diaqonal bölmə
Piramidanın eyni üzdə yatmayan iki yan kənarından keçən müstəvi ilə kəsişməsinə deyilir. diaqonal bölmə piramidalar.
Paralel bölmələr
teorem:
Əgər piramida bazaya paralel müstəvi ilə kəsişirsə, onda piramidanın yan kənarları və hündürlükləri bu müstəvi ilə mütənasib hissələrə bölünür;
Bu təyyarənin bölməsi çoxbucaqlıdır, torpaq kimi;
Bölmənin və əsasın sahələri yuxarıdan olan məsafələrinin kvadratları kimi bir-birinə bağlıdır.
Piramida növləri
Düzgün piramida- əsası müntəzəm çoxbucaqlı olan və piramidanın yuxarı hissəsi təməlin mərkəzinə proyeksiya edilmiş bir piramida.
Düzgün piramidada:
1. yan qabırğalar bərabərdir
2. yan üzlər bərabərdir
3. apotemlər bərabərdir
4. bazada ikitərəfli bucaqlar bərabərdir
5. yan kənarlardakı dihedral bucaqlar bərabərdir
6. hər hündürlük nöqtəsi bütün əsas təpələrdən bərabər məsafədədir
7. hər bir hündürlük nöqtəsi bütün yan üzlərdən bərabər məsafədədir
Kəsilmiş piramida- piramidanın əsası ilə təmələ paralel kəsici müstəvi arasında qapalı olan hissəsi.
Kəsilmiş piramidanın əsası və müvafiq bölməsi deyilir kəsilmiş piramidanın əsasları.
Bir bazanın hər hansı bir nöqtəsindən digərinin müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyar deyilir kəsilmiş piramidanın hündürlüyü.
Tapşırıqlar
№1. Düzgün dördbucaqlı piramidada O nöqtəsi əsasın mərkəzidir, SO=8 sm, BD=30 sm.Yan kənarı SA-nı tapın.
Problemin həlli
№1. Adi bir piramidada bütün üzlər və kənarlar bərabərdir.
OSB-ni nəzərdən keçirək: OSB-düzbucaqlı düzbucaqlı, çünki.
SB 2 \u003d SO 2 + OB 2
SB2=64+225=289
Memarlıqda piramida
Piramida - tərəflərin bir nöqtədə birləşdiyi adi müntəzəm həndəsi piramida şəklində monumental quruluş. By funksional məqsəd qədim zamanlarda piramidalar dəfn və ya ibadət yerləri idi. Piramidanın əsası ixtiyari sayda təpələri olan üçbucaqlı, dördbucaqlı və ya çoxbucaqlı ola bilər, lakin ən çox yayılmış variant dördbucaqlı bazadır.
Xeyli sayda piramidalar məlumdur, tikilmişdir müxtəlif mədəniyyətlər qədim dünyaəsasən məbədlər və ya abidələr kimi. Ən böyük piramidalar Misir piramidalarıdır.
Bütün yer üzünü görmək olar memarlıq strukturları piramidalar şəklində. Piramida binaları qədim dövrləri xatırladır və çox gözəl görünür.
Misir piramidalarıən böyük memarlıq abidələri qədim Misir, bunların arasında "Dünyanın Yeddi Möcüzəsi"ndən biri Xeops piramidasıdır. Ayaqdan zirvəyə qədər 137,3 m-ə çatır və zirvəsini itirməmişdən əvvəl hündürlüyü 146,7 m idi.
Slovakiyanın paytaxtında ters çevrilmiş piramidaya bənzəyən radiostansiyanın binası 1983-cü ildə tikilib. Cildin içərisində ofis və xidmət binalarından əlavə, Slovakiyanın ən böyük orqanlarından birinə malik olan kifayət qədər geniş konsert zalı var. .
"Bir piramida kimi səssiz və əzəmətli" olan Luvr dünyanın ən böyük muzeyinə çevrilməzdən əvvəl əsrlər boyu bir çox dəyişikliklərə məruz qalmışdır. 1190-cı ildə Filip Avqust tərəfindən ucaldılan və tezliklə kral iqamətgahına çevrilən bir qala kimi doğuldu. 1793-cü ildə saray muzeyə çevrildi. Kolleksiyalar vəsiyyət və ya satınalma yolu ilə zənginləşdirilir.
piramidaçoxbucaqlı adlanır, üzlərindən biri çoxbucaqlıdır ( əsas ) və bütün digər üzlər ümumi təpəsi olan üçbucaqlardır ( yan üzlər ) (Şəkil 15). Piramida adlanır düzgün , əgər onun əsası düzgün çoxbucaqlıdırsa və piramidanın yuxarı hissəsi bünövrənin mərkəzinə proqnozlaşdırılıbsa (şək. 16). Bütün kənarlarının bərabər olduğu üçbucaqlı piramida deyilir tetraedr .
Yan qabırğa piramida yan üzün bazaya aid olmayan tərəfi adlanır Hündürlük piramida onun yuxarısından baza müstəvisinə qədər olan məsafədir. Normal piramidanın bütün yan kənarları bir-birinə bərabərdir, bütün yan üzlər bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır. Təpədən çəkilmiş nizamlı piramidanın yan üzünün hündürlüyü deyilir apotema . diaqonal bölmə Piramidanın bir hissəsi eyni üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi adlanır.
Yan səth sahəsi piramida bütün yan üzlərin sahələrinin cəmi adlanır. Tam səth sahəsi bütün yan üzlərin və əsasın sahələrinin cəmidir.
Teoremlər
1. Əgər piramidada bütün yan kənarlar eyni dərəcədə əsas müstəvisinə meyllidirsə, o zaman piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yaxın olan dairəvi dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.
2. Piramidada bütün yan kənarlar varsa bərabər uzunluqlar, sonra piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yaxın dairəvi dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.
3. Əgər piramidada bütün üzlər eyni dərəcədə təməl müstəvisinə meyllidirsə, onda piramidanın yuxarı hissəsi bazaya daxil edilmiş dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.
İxtiyari bir piramidanın həcmini hesablamaq üçün düstur düzgündür:
harada V- həcm;
S əsas- baza sahəsi;
H piramidanın hündürlüyüdür.
Adi bir piramida üçün aşağıdakı düsturlar doğrudur:
harada səh- təməlin perimetri;
h a- apotem;
H- hündürlük;
S dolu
S tərəfi
S əsas- baza sahəsi;
V müntəzəm piramidanın həcmidir.
kəsilmiş piramida piramidanın baza ilə paralel kəsici müstəvi arasında qapalı olan hissəsi adlanır (şək. 17). Düzgün kəsilmiş piramida müntəzəm piramidanın baza ilə piramidanın təməlinə paralel kəsici müstəvi arasında qapalı hissəsi adlanır.
Vəqflər kəsilmiş piramida - oxşar çoxbucaqlılar. Yan üzlər - trapesiya. Hündürlük kəsilmiş piramida onun əsasları arasındakı məsafə adlanır. Diaqonal Kəsilmiş piramida, eyni üzdə yatmayan təpələrini birləşdirən bir seqmentdir. diaqonal bölmə Kəsilmiş piramidanın bir hissəsi eyni üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi adlanır.
Kəsilmiş piramida üçün düsturlar etibarlıdır:
(4)
harada S 1 , S 2 - yuxarı və sahələr aşağı əsaslar;
S doluümumi səth sahəsidir;
S tərəfi yanal səth sahəsidir;
H- hündürlük;
V kəsilmiş piramidanın həcmidir.
Müntəzəm kəsilmiş piramida üçün aşağıdakı düstur doğrudur:
harada səh 1 , səh 2 - əsas perimetrlər;
h a- müntəzəm kəsilmiş piramidanın apotemi.
Misal 1 Müntəzəm üçbucaqlı piramidada təməldəki dihedral bucaq 60º-dir. Yan kənarın baza müstəvisinə meyl bucağının tangensini tapın.
Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 18).
 |
Piramida nizamlıdır, yəni əsas bərabərtərəfli üçbucaqdır və bütün yan üzlər bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır. Bazadakı dihedral bucaq piramidanın yan üzünün təməl müstəvisinə meyl bucağıdır. Xətti bucaq bucaq olacaq a iki perpendikulyar arasında: yəni. Piramidanın yuxarı hissəsi üçbucağın mərkəzində proyeksiya edilmişdir (üçbucaqda dairəvi dairənin mərkəzi və yazılı dairə) ABC). Yan qabırğanın meyl açısı (məsələn SB) kənarın özü ilə onun əsas müstəvisinə proyeksiyası arasındakı bucaqdır. Qabırğa üçün SB bu bucaq bucaq olacaq SBD. Tangensi tapmaq üçün ayaqları bilmək lazımdır BELƏ Kİ və OB. Seqmentin uzunluğuna icazə verin BD 3-dür a. nöqtə O bölmə BD hissələrə bölünür: və Biz tapırıq BELƏ Kİ: 
Biz tapırıq: 
Cavab:
Misal 2 Düzgün kəsilmiş dördbucaqlı piramidanın əsaslarının diaqonalları sm və sm, hündürlüyü 4 sm olduqda onun həcmini tapın.
Həll. Kəsilmiş piramidanın həcmini tapmaq üçün (4) düsturundan istifadə edirik. Bazaların sahələrini tapmaq üçün onların diaqonallarını bilməklə əsas kvadratların tərəflərini tapmaq lazımdır. Əsasların tərəfləri müvafiq olaraq 2 sm və 8 sm-dir.Bu, əsasların sahələri deməkdir və Bütün məlumatları düsturda əvəz edərək, kəsilmiş piramidanın həcmini hesablayırıq:
Cavab: 112 sm3.
Misal 3Əsas tərəfləri 10 sm və 4 sm, piramidanın hündürlüyü 2 sm olan müntəzəm üçbucaqlı kəsikli piramidanın yan üzünün sahəsini tapın.
Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 19).
Bu piramidanın yan üzü isosceles trapezoiddir. Trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün əsasları və hündürlüyünü bilməlisiniz. Əsaslar şərtlə verilir, yalnız hündürlük naməlum olaraq qalır. Hardan tapın A 1 E bir nöqtədən perpendikulyar A 1 alt bazanın müstəvisində, A 1 D-dən perpendikulyar A 1 haqqında AC. A 1 E\u003d 2 sm, çünki bu piramidanın hündürlüyüdür. Tapmaq üçün DE biz əlavə bir rəsm çəkəcəyik, orada yuxarıdan görünüşü təsvir edəcəyik (şək. 20). Nöqtə O- yuxarı və aşağı əsasların mərkəzlərinin proyeksiyası. bəri (bax. Şəkil 20) və Digər tərəfdən tamam yazılmış çevrənin radiusudur və 
OM yazılmış dairənin radiusudur:
MK=DE.
-dən Pifaqor teoreminə görə
Yan üz sahəsi: 
Cavab:
Misal 4 Piramidanın təməlində əsasları ikitərəfli trapesiya yerləşir a və b (a> b). Hər bir yan üz piramidanın təməlinin müstəvisinə bərabər bir bucaq əmələ gətirir j. Piramidanın ümumi səth sahəsini tapın.
Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 21). Piramidanın ümumi səth sahəsi SABCD trapezoidin sahələrinin və sahəsinin cəminə bərabərdir A B C D.
Piramidanın bütün üzləri təməl müstəvisinə bərabər şəkildə meyllidirsə, onda təpənin təmələ yazılmış dairənin mərkəzinə proyeksiya edildiyi ifadəsini istifadə edirik. Nöqtə O- təpə proyeksiyası S piramidanın təməlində. Üçbucaq SODüçbucağın ortoqonal proyeksiyasıdır CSD baza müstəvisinə. Düz fiqurun ortoqonal proyeksiyasının sahəsinə dair teoremə görə alırıq:
Eynilə, o deməkdir 
Beləliklə, problem trapezoidin sahəsini tapmaq üçün azaldı A B C D. Trapesiya çəkin A B C D ayrıca (şək. 22). Nöqtə O trapesiyaya daxil edilmiş dairənin mərkəzidir.
Dairə trapesiyaya yazıla bildiyi üçün Pifaqor teoreminə görə
Normal piramidanın bütün yan kənarları bərabərdir, yan üzləri isə bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır. Verilmişdir: PA1A2…An müntəzəm piramidadır.
Slayd 7 təqdimatdan "Piramidalar". Təqdimatla birlikdə arxivin ölçüsü 181 KB-dır."Piramida 10-cu sinif" - A2. Məzmun. N-qonaqlı A1А2…An və n üçbucaqdan ibarət çoxüzlüyə piramida deyilir. Baza. 10-cu sinifdə "Piramida" mövzusunda riyaziyyat dərsi. An. Piramidanın üstü. MBOU “22 nömrəli tam orta məktəb ingiliscə» Nijnekamsk, Tatarıstan Respublikası. A. A3. A1. C.
"Parallelepiped 10 sinif" - Qonşu üzlər. C1. Həndəsə 10 sinif. A1. C.D1. D. Qarşı tərəflər. № 76. Sübut edin ki, AC II A1C1 və BD II B1D1.
"Vektorlar həndəsə 10 sinif" - Vektorlar. Kosmosda vektorlar. Həndəsə 10 sinif. CB CM. Şaqayeva Anna Borisovna MOU "Baraqaş orta məktəbi". Vektorlarla hərəkətlər. Ekspress vektor. Vektorların cəmi. Mən kimi. Vektor istiqamətlənmiş seqment kimidir.
"Parallepipedin bölmələri" - 4. ? MNK- ABCDA'B'C'D' paralelepipedinin bölməsi. Dərs - 10-cu sinifdə seminar Riyaziyyat müəllimi Şvenk A.V. (MNK) ? (ADD'A') = MN. (MNK) ? (A'B'C'D') = NK. Paralelepipedin bölmələri. Dərsin məqsədləri. Kəsmə müstəvisi paralel seqmentlər boyunca paralelepipedin əks üzlərini kəsir. Paralelepipedin bölmələri.
"Vektor həndəsədə" - Vektorların çıxılması. Vektorların toplanması və çıxılması. paraleloqram qaydası. Belə vektor null adlanır. a və b vektorları arasındakı fərqi vektora əks vektor Haradadır düsturu ilə tapmaq olar. Sıfırdan fərqli vektorun uzunluğu AB seqmentinin uzunluğudur. Əncirdə. 2, çünki və, a, çünki . - vektorlar koordinatlı hesab olunur. - vektorlar əks istiqamətlidir.
