Bir neçə dəyişənli funksiyaların ekstremumları. Ekstremum üçün zəruri şərt. Ekstremum üçün kifayət qədər şərt. Şərti ekstremum. Laqranj çarpanları üsulu. Ən böyük və ən kiçik dəyərləri tapmaq.

Mühazirə 5

Tərif 5.1. Nöqtə M 0 (x 0, y 0)çağırdı maksimum nöqtə funksiyaları z = f(x, y),əgər f (x o, y o) > f(x, y) bütün nöqtələr üçün (x, y) M 0.

Tərif 5.2. Nöqtə M 0 (x 0, y 0)çağırdı minimum nöqtə funksiyaları z = f(x, y),əgər f (x o, y o) < f(x, y) bütün nöqtələr üçün (x, y) nöqtənin hansısa məhəlləsindən M 0.

Qeyd 1. Maksimum və minimum ballar çağırılır ekstremal nöqtələr bir neçə dəyişənin funksiyaları.

Qeyd 2. İstənilən sayda dəyişənin funksiyası üçün ekstremum nöqtəsi oxşar şəkildə müəyyən edilir.

Teorem 5.1 (zəruri şərtlər ekstremum). Əgər M 0 (x 0, y 0) funksiyanın ekstremum nöqtəsidir z = f(x, y), onda bu nöqtədə bu funksiyanın birinci dərəcəli qismən törəmələri sıfıra bərabərdir və ya mövcud deyildir.

Sübut.

Gəlin dəyişənin dəyərini təyin edək saat saymaq y = y 0. Sonra funksiya f(x, y0) bir dəyişənin funksiyası olacaq X, hansı üçün x = x 0 ekstremum nöqtəsidir. Buna görə də Fermat teoremi ilə yoxsa yoxdur. Eyni müddəa üçün də sübut edilmişdir.

Tərif 5.3. Bir neçə dəyişənli funksiyanın oblastına aid olan, funksiyanın qismən törəmələri sıfıra bərabər olan və ya mövcud olmayan nöqtələrə deyilir. stasionar nöqtələr bu funksiya.

Şərh. Beləliklə, ekstremuma yalnız stasionar nöqtələrdə çatmaq olar, lakin onların hər birində mütləq müşahidə olunmur.

Teorem 5.2(ekstremum üçün kifayət qədər şərait). Nöqtənin bəzi məhəlləsində olsun M 0 (x 0, y 0), funksiyanın stasionar nöqtəsidir z = f(x, y), bu funksiyanın 3-cü sıra daxil olmaqla davamlı qismən törəmələri var. Sonra işarələyin:

1) f(x, y) nöqtəsində var M 0 maksimum olarsa AC-B² > 0, A < 0;

2) f(x, y) nöqtəsində var M 0 minimum olarsa AC-B² > 0, A > 0;

3) kritik nöqtədə ekstremum yoxdursa AC-B² < 0;

4) əgər AC-B² = 0, əlavə tədqiqat tələb olunur.

Sübut.

Funksiya üçün ikinci dərəcəli Teylor düsturunu yazaq f(x, y), stasionar nöqtədə birinci dərəcəli qismən törəmələrin sıfıra bərabər olduğunu nəzərə alaraq:

harada Əgər seqment arasındakı bucaq M 0 M, harada M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ saat) və O oxu Xφ, sonra Δ işarələyin x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. Bu halda Teylor düsturu aşağıdakı formanı alacaq: . Qoy O zaman mötərizədəki ifadəni bölmək və çoxalda bilərik A. Biz əldə edirik:

İndi dörd mümkün halı nəzərdən keçirin:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и kifayət qədər kiçik Δρ üçün. Buna görə də bəzi məhəllədə M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f(x0, y0), yəni M 0 maksimum nöqtəsidir.

2) Qoy AC-B² > 0, A > 0. Sonra , və M 0 minimum nöqtədir.

3) Qoy AC-B² < 0, A> 0. φ = 0 şüası boyunca arqumentlərin artımını nəzərdən keçirək. Onda (5.1)-dən belə çıxır ki, , yəni bu şüa boyunca hərəkət etdikdə funksiya artır. Belə bir şüa boyunca hərəkət etsək, tg φ 0 \u003d -A / B, sonra , buna görə də bu şüa boyunca hərəkət edərkən funksiya azalır. Beləliklə, nöqtə M 0 ifrat nöqtə deyil.

3`) Nə vaxt AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

əvvəlkinə bənzəyir.

3``) Əgər AC-B² < 0, A= 0, onda . Harada. Sonra, kifayət qədər kiçik φ üçün ifadə 2 B cos + C sinφ 2-yə yaxındır V, yəni sabit işarəni saxlayır, sinφ isə nöqtənin yaxınlığında işarəni dəyişir M 0. Bu o deməkdir ki, funksiyanın artımı stasionar nöqtənin yaxınlığında işarəni dəyişir, buna görə də ekstremum nöqtə deyil.

4) Əgər AC-B² = 0, və , , yəni artımın işarəsi 2α 0 işarəsi ilə müəyyən edilir. Eyni zamanda, ekstremumun mövcudluğu məsələsini aydınlaşdırmaq üçün əlavə tədqiqatlara ehtiyac var.

Misal. Funksiyanın ekstremum nöqtələrini tapaq z=x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Stasionar nöqtələri axtarmaq üçün sistemi həll edirik . Beləliklə, stasionar nöqtə (-2,-1) olur. Harada A = 2, V = -2, İLƏ= 4. Sonra AC-B² = 4 > 0, buna görə də stasionar nöqtədə ekstremuma, yəni minimuma çatılır (çünki A > 0).

Tərif 5.4.Əgər funksiya arqumentlər verirsə f (x 1 , x 2 ,…, x n)əlaqədar əlavə şərtlər kimi m tənliklər ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

burada φ i funksiyalarının davamlı qismən törəmələri var, onda (5.2) tənliklər adlanır. əlaqə tənlikləri.

Tərif 5.5. Ekstremum funksiyası f (x 1 , x 2 ,…, x n)şərtlərdə (5.2) adlanır şərti ekstremum.

Şərh. İki dəyişənli funksiyanın şərti ekstremumunun aşağıdakı həndəsi şərhini təklif edə bilərik: funksiyanın arqumentləri olsun. f(x,y)φ tənliyi ilə əlaqələndirilir (x, y)= 0, O müstəvisində bəzi əyriləri təyin edir hu. Bu əyrinin hər nöqtəsindən O müstəvisinə perpendikulyarları bərpa etdikdən sonra hu səthi keçməzdən əvvəl z = f (x, y),φ əyrisinin üstündəki səthdə uzanan fəza əyrisini alırıq (x, y)= 0. Problem yaranan əyrinin ekstremum nöqtələrini tapmaqdır ki, bu da təbii ki, ümumi halda funksiyanın qeyd-şərtsiz ekstremum nöqtələri ilə üst-üstə düşmür. f(x,y).

Əvvəlcədən aşağıdakı tərifi təqdim etməklə iki dəyişənli funksiya üçün zəruri şərti ekstremum şərtləri müəyyən edək:

Tərif 5.6. Funksiya L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

harada λ mən - adlanan bəzi sabitlər Laqranj funksiyası, və nömrələr λi– qeyri-müəyyən Laqranj çarpanları.

Teorem 5.3(zəruri şərti ekstremum şərtlər). Funksiyanın şərti ekstremumu z = f(x, y)φ məhdudiyyət tənliyinin mövcudluğunda ( x, y)= 0-a yalnız Laqranj funksiyasının stasionar nöqtələrində çatmaq olar L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Sübut. Məhdudiyyət tənliyi gizli asılılığı müəyyən edir saat-dan X, buna görə də biz bunu fərz edəcəyik saat-dən bir funksiya var X: y = y(x). Sonra z mürəkkəb funksiyası var X, və onun kritik nöqtələri şərtlə müəyyən edilir: . (5.4) Məhdudiyyət tənliyindən belə çıxır ki . (5.5)

(5.5) bərabərliyini hansısa λ ədədinə vurub (5.4) əlavə edirik. Biz əldə edirik:

, və ya .

Son bərabərlik stasionar nöqtələrdə olmalıdır ki, ondan belə çıxır:

(5.6)

Üç naməlum üçün üç tənlik sistemi əldə edilir: x, y və λ, ilk iki tənlik Laqranj funksiyasının stasionar nöqtəsi üçün şərtlərdir. (5.6) sistemdən köməkçi naməlum λ-nı silərək, ilkin funksiyanın şərti ekstremum ola biləcəyi nöqtələrin koordinatlarını tapırıq.

Qeyd 1. Tapılmış nöqtədə şərti ekstremumun mövcudluğunu 5.2-ci teoremlə analoji olaraq Laqranj funksiyasının ikinci dərəcəli qismən törəmələrini öyrənməklə yoxlamaq olar.

Qeyd 2. Funksiyanın şərti ekstremumuna çatmaq olar f (x 1 , x 2 ,…, x n)şərtlərdə (5.2) sistemin həlli kimi təyin edilə bilər (5.7)

Misal. Funksiyanın şərti ekstremumunu tapın z = xy təmin edilmişdir x + y= 1. Laqranj funksiyasını yaradın L(x, y) = xy + λ (x + y – bir). Sistem (5.6) belə görünür:

Buradan -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Harada L (x, y) kimi təmsil oluna bilər L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, buna görə də tapılan stasionar nöqtədə L (x, y) maksimuma malikdir və z = xy -şərti maksimum.

Tərif 1: Əgər nöqtənin qonşuluğu varsa, funksiyanın hər hansı bir nöqtə üçün lokal maksimumu olduğu deyilir. M koordinatları ilə (x, y) bərabərsizlik yerinə yetirilir: . Bu halda, yəni funksiyanın artımı< 0.

Tərif 2: Əgər nöqtənin qonşuluğu varsa, funksiyanın hər hansı bir nöqtə üçün lokal minimumu olduğu deyilir. M koordinatları ilə (x, y) bərabərsizlik yerinə yetirilir: . Bu halda, yəni funksiyanın artımı > 0.

Tərif 3: Yerli minimum və maksimum nöqtələr çağırılır ekstremal nöqtələr.

Şərti ifrat hədlər

Çox dəyişənli funksiyanın ekstremumlarını axtararkən tez-tez sözdə olanlarla bağlı problemlər yaranır. şərti ifrat. Bu anlayışı iki dəyişənli funksiya nümunəsi ilə izah etmək olar.

Funksiya və sətir verilsin L səthdə 0xy. Vəzifə sıralamaqdır L belə bir nöqtə tapın P(x, y), burada funksiyanın dəyəri xəttin nöqtələrində bu funksiyanın qiymətləri ilə müqayisədə ən böyük və ya ən kiçikdir L nöqtəsinə yaxın yerləşir P. Belə məqamlar Pçağırdı şərti ekstremal nöqtələr xətt funksiyaları L. Adi ekstremum nöqtəsindən fərqli olaraq, şərti ekstremum nöqtəsindəki funksiya dəyəri onun qonşuluğunun bəzi nöqtələrinin bütün nöqtələrində deyil, yalnız xətt üzərində yerləşən funksiya qiymətləri ilə müqayisə edilir. L.

Tamamilə aydındır ki, adi ekstremum nöqtəsi (onlar da deyirlər şərtsiz ekstremum) həm də bu nöqtədən keçən istənilən xətt üçün şərti ekstremum nöqtəsidir. Əksinə, əlbəttə ki, doğru deyil: şərti ekstremum nöqtəsi şərti ekstremum nöqtəsi olmaya bilər. Bunu sadə bir misalla izah edim. Funksiyanın qrafiki yuxarı yarımkürədir (Əlavə 3 (Şəkil 3)).

Bu funksiya başlanğıcda maksimuma malikdir; yuxarıya uyğun gəlir M yarımkürələr. Əgər xətt L nöqtələrdən keçən xətt var A və V(onun tənliyi x+y-1=0), onda həndəsi cəhətdən aydın olur ki, bu xəttin nöqtələri üçün funksiyanın maksimum qiyməti nöqtələr arasında ortada yerləşən nöqtədə əldə edilir. A və V. Bu verilmiş sətirdə funksiyanın şərti ekstremumunun (maksimumunun) nöqtəsidir; yarımkürənin M 1 nöqtəsinə uyğun gəlir və şəkildən görünür ki, burada heç bir adi ekstremumdan söhbət gedə bilməz.

Qeyd edək ki, qapalı bölgədə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərinin tapılması məsələsinin yekun hissəsində bu bölgənin sərhəddində funksiyanın ekstremal qiymətlərini tapmalıyıq, yəni. bir xətt üzrə və bununla da şərti ekstremum üçün problemi həll edin.

İndi x və y dəyişənlərinin (x, y) = 0 tənliyi ilə əlaqəli olması şərti ilə Z= f(x, y) funksiyasının şərti ekstremumunun nöqtələrinin praktiki axtarışına keçək. Bu əlaqə belə olacaq. məhdudiyyət tənliyi adlanır. Bağlantı tənliyindən y açıq şəkildə x baxımından ifadə edilə bilərsə: y \u003d (x), bir dəyişən Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x) funksiyasını alırıq.

Bu funksiyanın ekstremuma çatdığı x dəyərini tapdıqdan və sonra əlaqə tənliyindən y-nin müvafiq dəyərlərini təyin etdikdən sonra şərti ekstremumun istədiyiniz nöqtələrini alacağıq.

Deməli, yuxarıdakı misalda x+y-1=0 əlaqə tənliyindən y=1-x olur. Buradan

z-nin x = 0,5-də maksimuma çatdığını yoxlamaq asandır; lakin sonra y=0.5 əlaqə tənliyindən həndəsi mülahizələrdən tapılan yalnız P nöqtəsini alırıq.

Şərti ekstremum məsələsi hətta məhdudiyyət tənliyi x=x(t), y=y(t) parametrik tənliklərlə təmsil oluna bildikdə belə çox sadə həll edilir. x və y ifadələrinin yerinə qoyulması bu funksiya, biz yenə də bir dəyişənli funksiyanın ekstremumunun tapılması məsələsinə gəlirik.

Məhdudiyyət tənliyindən çox olarsa kompleks görünüş və biz bir dəyişəni digəri ilə açıq şəkildə ifadə edə bilməsək, onu parametrik tənliklərlə əvəz edə bilməsək, şərti ekstremum tapmaq məsələsi çətinləşir. Biz fərz etməyə davam edəcəyik ki, z= f(x, y) funksiyasının ifadəsində dəyişən (x, y) = 0. z= f(x, y) funksiyasının ümumi törəməsi bərabərdir:

Gizli funksiyanın diferensiasiya qaydası ilə tapılan törəmə y` haradadır. Şərti ekstremumun nöqtələrində tapılan ümumi törəmə sıfıra bərabər olmalıdır; bu, x və y ilə əlaqəli bir tənlik verir. Məhdudiyyət tənliyini də təmin etməli olduqları üçün iki naməlumlu iki tənlik sistemi alırıq.

Birinci tənliyi mütənasib olaraq yazaraq və yeni köməkçi naməlum təqdim edərək bu sistemi daha əlverişli sistemə çevirək:

(rahatlıq üçün qarşısında mənfi işarə qoyulur). Bu bərabərliklərdən aşağıdakı sistemə keçmək asandır:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

(x, y) = 0 məhdudiyyət tənliyi ilə birlikdə x, y və naməlumları olan üç tənlik sistemini əmələ gətirir.

Bu tənlikləri (*) istifadə edərək yadda saxlamaq ən asandır növbəti qayda: funksiyanın şərti ekstremum nöqtələri ola biləcək nöqtələri tapmaq üçün

Z= f(x, y) məhdudiyyət tənliyi (x, y) = 0 ilə köməkçi funksiya yaratmaq lazımdır.

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Sabit haradadır və bu funksiyanın ekstremum nöqtələrini tapmaq üçün tənliklər qurun.

Göstərilən tənliklər sistemi, bir qayda olaraq, yalnız zəruri şərtləri verir, yəni. Bu sistemi təmin edən hər x və y cütü mütləq şərti ekstremum nöqtəsi deyil. Şərti ekstremum nöqtələri üçün kifayət qədər şərtlər verməyəcəyəm; çox vaxt problemin konkret məzmununun özü tapılan məqamın nə olduğunu göstərir. Şərti ekstremum üçün məsələlərin həlli üçün təsvir olunan texnikaya Laqranj çarpanları üsulu deyilir.

İki dəyişənli funksiyanın ekstremumu üçün kafi şərt

1. Funksiya nöqtənin bəzi qonşuluğunda fasiləsiz diferensiallana bilən və davamlı ikinci dərəcəli qismən törəmələrə (saf və qarışıq) malik olsun.

2. İkinci dərəcəli təyinedici ilə işarələyin

ekstremal dəyişən mühazirə funksiyası

teorem

Əgər koordinatları olan nöqtə funksiya üçün stasionar nöqtədirsə, onda:

A) Lokal ekstremum nöqtəsi olduqda və lokal maksimumda - yerli minimum;

C) nöqtə lokal ekstremum nöqtəsi olmadıqda;

C) əgər, bəlkə hər ikisi.

Sübut

Biz özümüzü iki üzvlə məhdudlaşdıraraq funksiya üçün Taylor düsturunu yazırıq:

Teoremin şərtinə görə nöqtə stasionar olduğundan, ikinci dərəcəli qismən törəmələr sıfıra bərabərdir, yəni. və. Sonra

İşarə et

Sonra funksiyanın artımı aşağıdakı formanı alacaq:

İkinci dərəcəli (saf və qarışıq) qismən törəmələrin davamlılığına görə teoremin bir nöqtədəki şərtinə görə yaza bilərik:

Harada və ya; ,

1. Qoy və, yəni, və ya.

2. Funksiyanın artımını vurub bölürük, alırıq:

3. Buruq mötərizədəki ifadəni cəminin tam kvadratına tamamlayın:

4. Buruq mötərizədə ifadə mənfi deyil, çünki

5. Deməli, əgər və deməli, və, onda və deməli, tərifə görə nöqtə yerli minimum nöqtəsidir.

6. Əgər və deməkdirsə, və deməli, tərifə görə koordinatları olan nöqtə lokal maksimum nöqtədir.

2. Nəzərə alın kvadrat trinomial, onun diskriminantı, .

3. Əgər, onda elə nöqtələr var ki, çoxhədli

4. I-də alınan ifadəyə uyğun bir nöqtədə funksiyanın ümumi artımını aşağıdakı formada yazırıq:

5. İkinci dərəcəli qismən törəmələrin davamlılığına görə teoremin nöqtədəki şərti ilə yaza bilərik ki,

buna görə də hər hansı bir nöqtə üçün kvadrat trinomial sıfırdan böyük olan nöqtənin qonşuluğu mövcuddur:

6. Nəzərə alın - nöqtənin qonşuluğu.

İstənilən dəyəri seçək, əsas budur. Fərz edək ki, funksiyanın artımı düsturunda

Nə əldə edirik:

7. O vaxtdan bəri.

8. Kök üçün də analoji mübahisə etsək, əldə edirik ki, nöqtənin hər hansı bir qonşuluğunda elə bir nöqtə var ki, ona görə də nöqtənin qonşuluğunda işarəni saxlamır, ona görə də nöqtədə ekstremum yoxdur.

İki dəyişənli funksiyanın şərti ekstremumu

İki dəyişənli funksiyanın ekstremumunu axtararkən çox vaxt şərti ekstremum adlandırılanlarla bağlı problemlər yaranır. Bu anlayışı iki dəyişənli funksiya nümunəsi ilə izah etmək olar.

0xy müstəvisində funksiya və L xətti verilsin. Vəzifə L xəttində belə bir P (x, y) nöqtəsini tapmaqdır, burada funksiyanın dəyəri L xəttinin yaxınlığında yerləşən nöqtələrində bu funksiyanın qiymətləri ilə müqayisədə ən böyük və ya ən kiçikdir. nöqtəsi P. Belə P nöqtələri L xəttində şərti ekstremum nöqtələri funksiyaları adlanır. Adi ekstremum nöqtəsindən fərqli olaraq, şərti ekstremum nöqtəsindəki funksiyanın qiyməti bütün nöqtələrdə deyil, funksiyanın qiymətləri ilə müqayisə edilir onun məhəllələrinin bəzilərində, ancaq L xəttində yerləşən ərazilərdə.

Tamamilə aydındır ki, adi ekstremumun nöqtəsi (onlar qeyd-şərtsiz ekstremum da deyirlər) həm də bu nöqtədən keçən istənilən xətt üçün şərti ekstremumun nöqtəsidir. Əksinə, əlbəttə ki, doğru deyil: şərti ekstremum nöqtəsi şərti ekstremum nöqtəsi olmaya bilər. Deyilənləri bir nümunə ilə izah edək.

Nümunə №1. Funksiyanın qrafiki yuxarı yarımkürədir (şəkil 2).

düyü. 2.

Bu funksiya başlanğıcda maksimuma malikdir; yarımkürənin M təpəsinə uyğun gəlir. Əgər L xətti A və B nöqtələrindən (onun tənliyi) keçən düz xəttdirsə, onda həndəsi cəhətdən aydındır ki, bu xəttin nöqtələri üçün funksiyanın maksimum qiyməti A və B nöqtələri arasında ortada yerləşən nöqtədə əldə edilir. B. Bu, bu xətt üzrə şərti ekstremum (maksimum) nöqtə funksiyalarıdır; yarımkürənin M 1 nöqtəsinə uyğun gəlir və şəkildən görünür ki, burada heç bir adi ekstremumdan söhbət gedə bilməz.

Qeyd edək ki, qapalı bölgədə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərinin tapılması məsələsinin yekun hissəsində bu bölgənin sərhəddində funksiyanın ekstremal qiymətlərini tapmaq lazımdır, yəni. bir xətt üzrə və bununla da şərti ekstremum üçün problemi həll edin.

Tərif 1. Deyirlər ki, harada tənliyi təmin edən bir nöqtədə şərti və ya nisbi maksimum (minimum) var: əgər tənliyi təmin edən hər hansı biri üçün, bərabərsizlik

Tərif 2. Formanın tənliyinə məhdudiyyət tənliyi deyilir.

teorem

Əgər və funksiyaları nöqtənin qonşuluğunda davamlı diferensiallana bilirsə və qismən törəmə və nöqtə məhdudiyyət tənliyinə görə funksiyanın şərti ekstremumunun nöqtəsidirsə, ikinci dərəcəli determinant sıfıra bərabərdir:

Sübut

1. Çünki teoremin şərtinə, qismən törəmə və funksiyanın qiymətinə uyğun olaraq hansısa düzbucaqlıda

gizli funksiya müəyyən edilmişdir

Bir nöqtədə iki dəyişənin kompleks funksiyası yerli ekstremuma malik olacaq, buna görə də, və ya.

2. Doğrudan da birinci dərəcəli diferensial düsturun dəyişməzlik xassəsinə görə

3. Əlaqə tənliyi bu formada göstərilə bilər, yəni

4. (2) tənliyini və (3)-ü vurub əlavə edin

Buna görə də, at

ixtiyari. h.t.d.

Nəticə

Təcrübədə iki dəyişənli funksiyanın şərti ekstremum nöqtələrinin axtarışı tənliklər sisteminin həlli yolu ilə həyata keçirilir.

Beləliklə, yuxarıdakı misalda 1 nömrəli əlaqə tənliyindən əldə edirik. Buradan maksimuma nəyin çatdığını yoxlamaq asandır. Ancaq sonra ünsiyyət tənliyindən. Həndəsi olaraq tapılan P nöqtəsini alırıq.

Nümunə №2. Məhdudiyyət tənliyinə görə funksiyanın şərti ekstremum nöqtələrini tapın.

Verilmiş funksiyanın qismən törəmələrini və əlaqə tənliyini tapaq:

İkinci dərəcəli determinant edək:

Şərti ekstremum nöqtələrini tapmaq üçün tənliklər sistemini yazaq:

deməli, funksiyanın koordinatları olan dörd şərti ekstremum nöqtəsi var: .

Nümunə №3. Funksiyanın ekstremal nöqtələrini tapın.

Qismən törəmələri sıfıra bərabər tutaraq: , bir stasionar nöqtə - mənşəyi tapırıq. Budur,. Buna görə də (0, 0) nöqtəsi də ekstremum nöqtə deyil. Tənlik hiperbolik paraboloidin tənliyidir (şəkil 3), şəkildən (0, 0) nöqtənin ekstremum nöqtəsi olmadığını göstərir.

düyü. 3.

Qapalı sahədə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiyməti

1. Funksiya məhdud qapalı D sahəsində müəyyən edilmiş və davamlı olsun.

2. Regionun ayrı-ayrı nöqtələri istisna olmaqla, funksiyanın bu bölgədə sonlu qismən törəmələri olsun.

3. Weierstrass teoreminə uyğun olaraq, bu sahədə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətləri qəbul etdiyi nöqtə var.

4. Əgər bu nöqtələr D bölgəsinin daxili nöqtələridirsə, onda onların maksimum və ya minimumunun olacağı aydındır.

5. Bu zaman bizi maraqlandıran məqamlar ekstremumdakı şübhəli məqamlar sırasındadır.

6. Bununla belə, funksiya D bölgəsinin sərhəddində də maksimum və ya minimum qiymət ala bilər.

7. D sahəsində funksiyanın ən böyük (kiçik) qiymətini tapmaq üçün ekstremum üçün şübhəli olan bütün daxili nöqtələri tapmaq, onlarda funksiyanın qiymətini hesablamaq, sonra funksiyanın dəyəri ilə müqayisə etmək lazımdır. ərazinin sərhəd nöqtələri və bütün tapılan dəyərlərin ən böyüyü qapalı bölgədə ən böyüyü olacaq D.

8. Yerli maksimum və ya minimumun tapılması üsulu əvvəllər Bölmə 1.2-də nəzərdən keçirilmişdir. və 1.3.

9. Bölgənin sərhədində funksiyanın maksimum və minimum qiymətlərinin tapılması üsulunu nəzərdən keçirmək qalır.

10. İki dəyişənin funksiyası halında, sahə adətən əyri və ya bir neçə əyri ilə məhdudlaşır.

11. Belə əyri (yaxud bir neçə əyri) boyunca dəyişənlər və ya bir-birindən asılıdır, ya da hər ikisi bir parametrdən asılıdır.

12. Beləliklə, sərhəddə funksiya bir dəyişəndən asılı olur.

13. Bir dəyişənli funksiyanın ən böyük qiymətini tapmaq üsulu əvvəllər müzakirə edilmişdir.

14. D bölgəsinin sərhədi parametrik tənliklərlə verilsin:

Onda bu əyri üzərində iki dəyişənin funksiyası olacaqdır mürəkkəb funksiya parametrdən: . Belə bir funksiya üçün ən böyük və ən kiçik dəyər bir dəyişənin funksiyası üçün ən böyük və ən kiçik dəyərləri təyin etmək üsulu ilə müəyyən edilir.

Misal

Bu şərtlə funksiyanın ekstremumunu tapın X və saat nisbəti ilə bağlıdır: . Həndəsi olaraq problem aşağıdakıları ifadə edir: ellips üzərində
təyyarə
.

Bu məsələni aşağıdakı kimi həll etmək olar: tənlikdən
tapmaq
X:

bir şərtlə ki
, seqmentdə bir dəyişənli funksiyanın ekstremumunu tapmaq məsələsinə endirilmişdir
.

Həndəsi olaraq problem aşağıdakıları ifadə edir: ellips üzərində silindrini keçməklə əldə edilir
təyyarə
, ərizənin maksimum və ya minimum dəyərini tapmaq tələb olunur (Şəkil 9). Bu məsələni aşağıdakı kimi həll etmək olar: tənlikdən
tapmaq
. Tapılmış y qiymətini müstəvi tənliyində əvəz edərək, bir dəyişənin funksiyasını alırıq. X:

Beləliklə, funksiyanın ekstremumunun tapılması məsələsi
bir şərtlə ki
, seqmentdə bir dəyişənli funksiyanın ekstremumunun tapılması məsələsinə endirilmişdir.

Belə ki, şərti ekstremumu tapmaq problemi məqsəd funksiyasının ekstremumunun tapılması məsələsidir
, bir şərtlə ki, dəyişənlər X və saat məhdudiyyətə tabedir
çağırdı əlaqə tənliyi.

Bunu deyəcəyik nöqtə
, məhdudiyyət tənliyini təmin etmək, yerli şərti maksimumun nöqtəsidir (minimum) məhəllə varsa
hər hansı bir nöqtə üçün
, kimin koordinatları məhdudiyyət tənliyini ödəyirsə, bərabərsizlik yerinə yetirilir.

Rabitə tənliyindən üçün ifadə tapmaq olarsa saat, onda bu ifadəni orijinal funksiya ilə əvəz edərək, sonuncunu bir dəyişənin mürəkkəb funksiyasına çeviririk. X.

Şərti ekstremum probleminin həlli üçün ümumi üsul Laqranj çarpan üsulu. Köməkçi funksiya yaradaq, harada ─ bəzi rəqəm. Bu funksiya adlanır Laqranj funksiyası, a ─ Laqranj çarpanı. Beləliklə, şərti ekstremumun tapılması problemi Laqranj funksiyası üçün yerli ekstremum nöqtələrinin tapılmasına qədər azaldılmışdır. Mümkün ekstremumun nöqtələrini tapmaq üçün üç naməlum olan 3 tənlik sistemini həll etmək lazımdır. x, y və.

Sonra aşağıdakı kifayət qədər ekstremal vəziyyətdən istifadə edilməlidir.

TEOREM. Nöqtə Laqranj funksiyası üçün mümkün ekstremum nöqtəsi olsun. Nöqtənin yaxınlığında olduğunu güman edirik
funksiyaların davamlı ikinci dərəcəli qismən törəmələri var və . İşarə et

Sonra əgər
, sonra
─ funksiyanın şərti ekstremum nöqtəsi
məhdudiyyət tənliyində
bu arada əgər
, sonra
─ şərti minimum nöqtə, əgər
, sonra
─ şərti maksimum nöqtəsi.

§səkkiz. Qradient və istiqamətli törəmə

Qoy funksiya olsun
bəzi (açıq) domendə müəyyən edilmişdir. İstənilən nöqtəni nəzərdən keçirin
bu sahə və istənilən istiqamətlənmiş düz xətt (ox) bu nöqtədən keçən (şək. 1). Qoy
- bu oxun başqa bir nöqtəsi,
- arasındakı seqmentin uzunluğu
və
, artı işarəsi ilə götürülmüşdür, əgər istiqamət
oxun istiqaməti ilə üst-üstə düşür , və onların istiqamətləri əks olduqda mənfi işarəsi ilə.

Qoy
qeyri-müəyyən müddətə yaxınlaşır
. Limit

çağırdı funksiya törəməsi
doğru (və ya ox boyunca ) və aşağıdakı kimi işarələnir:

Bu törəmə nöqtədə funksiyanın “dəyişiklik sürətini” xarakterizə edir
doğru . Xüsusilə və adi qismən törəmələr ,“istiqamətə görə” törəmələr kimi də düşünmək olar.

İndi düşünək ki, funksiya
nəzərdən keçirilən regionda davamlı qismən törəmələrə malikdir. Qoy oxu koordinat oxları ilə bucaqlar əmələ gətirir
və . Edilən fərziyyələrə əsasən istiqamətli törəmə mövcuddur və düsturla ifadə edilir

Əgər vektor
koordinatları ilə müəyyən edilir
, sonra funksiyanın törəməsi
vektor istiqamətində
düsturla hesablana bilər:

Koordinatları olan vektor
çağırdı gradient vektoru funksiyaları
nöqtədə
. Qradiyent vektoru verilmiş nöqtədə funksiyanın ən sürətli artımının istiqamətini göstərir.