Bu material çərçivəsində təyyarənin bir düz xətt üzərində olmayan üç fərqli nöqtəsinin koordinatlarını bilsək, onun tənliyini necə tapacağımızı təhlil edəcəyik. Bunun üçün üç ölçülü fəzada düzbucaqlı koordinat sisteminin nə olduğunu xatırlamalıyıq. Əvvəlcə bu tənliyin əsas prinsipini təqdim edirik və konkret məsələlərin həllində ondan necə istifadə olunacağını göstəririk.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Başlamaq üçün, belə səslənən bir aksiomu xatırlamalıyıq:
Tərif 1
Əgər üç nöqtə bir-biri ilə üst-üstə düşmürsə və bir düz xətt üzərində uzanmırsa, üçölçülü fəzada onlardan yalnız bir müstəvi keçir.
Başqa sözlə desək, əgər koordinatları üst-üstə düşməyən və düz xəttlə birləşdirilə bilməyən üç fərqli nöqtəmiz varsa, ondan keçən müstəvini təyin edə bilərik.
Tutaq ki, düzbucaqlı koordinat sistemimiz var. Onu O x y z ilə işarə edək. O, koordinatları M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) koordinatlarına malik üç M nöqtəsindən ibarətdir və onları düz birləşdirmək mümkün deyil. xətt. Bu şərtlərə əsasən, bizə lazım olan müstəvi tənliyini yaza bilərik. Bu problemi həll etmək üçün iki yanaşma var.
1. Birinci yanaşmada təyyarənin ümumi tənliyindən istifadə edilir. Hərfi formada A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 şəklində yazılır. Quraşdırmaq üçün istifadə edilə bilər düzbucaqlı sistem birincidən keçən bəzi alfa müstəvisinin koordinatları verilmiş nöqtə M 1 (x 1, y 1, z 1) . Belə çıxır ki, normal müstəvi α vektorunun A , B , C koordinatları olacaqdır.
N-in tərifi
Normal vektorun koordinatlarını və müstəvinin keçdiyi nöqtənin koordinatlarını bilməklə bu müstəvinin ümumi tənliyini yaza bilərik.
Bundan sonra da davam edəcəyik.
Beləliklə, məsələnin şərtlərinə uyğun olaraq, təyyarənin keçdiyi istənilən nöqtənin (hətta üç) koordinatlarına sahibik. Tənliyi tapmaq üçün onun normal vektorunun koordinatlarını hesablamaq lazımdır. Onu n → işarələyin.
Qaydanı yadda saxla: hər hansı sıfır verilmiş müstəvinin vektoru eyni müstəvinin normal vektoruna perpendikulyardır. Onda əldə edirik ki, n → M 1 M 2 → və M 1 M 3 → başlanğıc nöqtələrindən ibarət vektorlara perpendikulyar olacaq. Onda n → -i M 1 M 2 → · M 1 M 3 → formasının vektor hasili kimi qeyd edə bilərik.
M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) və M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 olduğundan (bu bərabərliklərin sübutları vektorun koordinatlarının nöqtələrin koordinatlarından hesablanmasına həsr olunmuş məqalədə verilmişdir), onda belə çıxır ki:
n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z bir
Determinantı hesablasaq, bizə lazım olan n → normal vektorunun koordinatlarını alacağıq. İndi üçdən keçən bir təyyarə üçün lazım olan tənliyi yaza bilərik xallar verilir.
2. M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3, y 3, z 3) nöqtələrindən keçən tənliyi tapmaq üçün ikinci yanaşma belədir. vektorların müqayisəliliyi kimi konsepsiyaya əsaslanır.
Əgər M (x, y, z) nöqtələri çoxluğu varsa, onda düzbucaqlı koordinat sistemində onlar verilmiş M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y) nöqtələri üçün müstəvi təyin edirlər. 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) yalnız M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = vektorları olduqda ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) və M 1 M 3 → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) müştərək olacaq.
Diaqramda bu belə görünəcək:
Bu o demək olacaq ki, M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → vektorlarının qarışıq hasilatı sıfıra bərabər olacaq: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , çünki bu, müqayisə üçün əsas şərtdir: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 ) , z 2 - z 1 ) və M 1 M 3 → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .
Alınan tənliyi koordinat şəklində yazırıq:
Determinantı hesabladıqdan sonra bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtə üçün lazım olan müstəvi tənliyini əldə edə bilərik M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z). 2) , M 3 (x 3, y 3, z 3) .
Alınan tənlikdən, müstəvinin seqmentlərdəki tənliyinə və ya məsələnin şərtləri ilə tələb olunarsa, təyyarənin normal tənliyinə keçə bilərsiniz.
Növbəti paraqrafda qeyd etdiyimiz yanaşmaların praktikada necə həyata keçirildiyinə dair nümunələr verəcəyik.
Əvvəllər biz istədiyiniz tənliyi tapmaq üçün istifadə edilə bilən iki yanaşma müəyyən etdik. Gəlin onların problemin həllində necə istifadə edildiyini və hər birini nə vaxt seçəcəyini görək.
Misal 1
Bir düz xətt üzərində uzanmayan, koordinatları M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) olan üç nöqtə var. Onlardan keçən təyyarə üçün tənlik yazın.
Həll
Hər iki üsuldan növbə ilə istifadə edirik.
1. Bizə lazım olan M 1 M 2 → , M 1 M 3 → iki vektorun koordinatlarını tapın:
M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0
İndi onların vektor məhsulunu hesablayırıq. Bu halda biz determinantın hesablamalarını təsvir etməyəcəyik:
n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →
Tələb olunan üç nöqtədən keçən təyyarənin normal vektoru var: n → = (- 5 , 30 , 2) . Sonra, nöqtələrdən birini götürməliyik, məsələn, M 1 (- 3 , 2 , - 1) və vektoru n → = (- 5 , 30 , 2) olan müstəvi üçün tənliyi yazmalıyıq. Bunu alırıq: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0
Bu, üç nöqtədən keçən təyyarənin bizə lazım olan tənliyidir.
2. Biz fərqli yanaşmadan istifadə edirik. M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) üç nöqtəsi olan müstəvi üçün tənliyi yazırıq. aşağıdakı forma:
x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0
Burada problemin vəziyyətindən məlumatları əvəz edə bilərsiniz. x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1 olduğundan, nəticədə əldə edəcəyik:
x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73
Lazım olan tənliyi əldə etdik.
Cavab:- 5x + 30y + 2z - 73 .
Bəs verilmiş nöqtələr hələ də eyni düz xətt üzərində yerləşirsə və onlar üçün müstəvi tənlik qurmalıyıqsa necə? Burada dərhal demək lazımdır ki, bu şərt tamamilə doğru olmayacaq. Belə nöqtələrdən sonsuz sayda təyyarə keçə bilər, ona görə də tək cavabı hesablamaq mümkün deyil. Sualın belə formalaşdırılmasının düzgün olmadığını sübut etmək üçün belə bir problemi nəzərdən keçirək.
Misal 2
M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) koordinatları olan üç nöqtədən ibarət 3D məkanda düzbucaqlı koordinat sistemimiz var. Oradan keçən təyyarə üçün tənlik yazmaq lazımdır.
Həll
Birinci üsuldan istifadə edirik və M 1 M 2 → və M 1 M 3 → iki vektorunun koordinatlarını hesablamağa başlayırıq. Onların koordinatlarını hesablayaq: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .
Vektor məhsulu bərabər olacaq:
M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →
M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → olduğundan, vektorlarımız kollinear olacaq (bu konsepsiyanın tərifini unutmusunuzsa, onlar haqqında məqaləni yenidən oxuyun). Beləliklə, M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) başlanğıc nöqtələri eyni düz xətt üzərindədir və məsələmiz sonsuzdur. bir çox variant cavab.
İkinci üsuldan istifadə etsək, əldə edirik:
x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0
Yaranan bərabərlikdən belə nəticə çıxır ki, verilmiş M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) nöqtələri eyni düz xətt üzərindədir. .
Bu problemin sonsuz sayda variantından ən azı bir cavab tapmaq istəyirsinizsə, bu addımları yerinə yetirməlisiniz:
1. M 1 M 2, M 1 M 3 və ya M 2 M 3 düz xəttinin tənliyini yazın (lazım olduqda, bu hərəkət haqqında materiala baxın).
2. M 1 M 2 xəttində olmayan M 4 (x 4, y 4, z 4) nöqtəsini götürək.
3. Bir düz xətt üzərində olmayan üç müxtəlif M 1, M 2 və M 4 nöqtələrindən keçən müstəvinin tənliyini yazın.
Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
Bir düz xətt üzərində olmayan üç verilmiş nöqtədən keçən təyyarənin tənliyini tapmaq lazım gəlsin. Onların radius vektorlarını ilə, cari radius vektorunu isə ilə ifadə etsək, vektor şəklində istənilən tənliyi asanlıqla əldə edə bilərik. Həqiqətən, vektorlar , bir düzən olmalıdır (onların hamısı istədiyiniz müstəvidə yerləşir). Buna görə də bu vektorların vektor-skalyar hasili sıfıra bərabər olmalıdır:
Verilmiş üç nöqtədən keçən təyyarənin vektor formasında tənliyidir.
Koordinatlara keçərək koordinatlarda tənliyi əldə edirik:
Verilmiş üç nöqtə eyni düz xətt üzərində yerləşirsə, vektorlar kollinear olacaqdır. Buna görə də (18) tənliyindəki determinantın son iki cərgəsinin uyğun elementləri mütənasib olacaq və determinant eyni şəkildə sıfıra bərabər olacaqdır. Beləliklə, (18) tənliyi x, y və z-nin hər hansı bir dəyəri üçün eyniliyə çevriləcəkdir. Həndəsi olaraq bu o deməkdir ki, bir müstəvi fəzanın hər bir nöqtəsindən keçir, burada üç verilmiş nöqtə də yerləşir.
Qeyd 1. Eyni məsələ vektorlardan istifadə etmədən də həll edilə bilər.
Verilmiş üç nöqtənin koordinatlarını müvafiq olaraq, birinci nöqtədən keçən istənilən müstəvinin tənliyini yazırıq:
İstənilən müstəvi tənliyini əldə etmək üçün (17) tənliyinin digər iki nöqtənin koordinatları ilə təmin edilməsini tələb etmək lazımdır:
Tənliklərdən (19) iki əmsalın üçüncüyə nisbətini təyin etmək və tapılan dəyərləri tənliyə (17) daxil etmək lazımdır.
Nümunə 1. Nöqtələrdən keçən müstəvi üçün tənlik yazın.
Bu nöqtələrin birincisindən keçən təyyarə üçün tənlik belə olacaq:
Təyyarənin (17) digər iki nöqtədən və birinci nöqtədən keçməsi üçün şərtlər:
Birinciyə ikinci tənliyi əlavə edərək, əldə edirik:
İkinci tənliyi əvəz edərək, alırıq:
(17) tənliyinə uyğun olaraq A, B, C əvəzinə 1, 5, -4 (onlara mütənasib olan ədədlər) alırıq:
Misal 2. (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2) nöqtələrindən keçən müstəvi üçün tənlik yazın.
(0, 0, 0) nöqtəsindən keçən hər hansı müstəvi tənliyi olacaq]
Bu müstəvini (1, 1, 1) və (2, 2, 2) nöqtələrindən keçmək üçün şərtlər:
İkinci tənliyi 2-ə endirdikdə görərik ki, iki naməlumu təyin etmək üçün əlaqə ilə bir tənlik var.
Buradan alırıq. İndi müstəvi tənliyinə onun dəyərini əvəz edərək, tapırıq:
Bu, tələb olunan təyyarənin tənliyidir; özbaşınalıqdan asılıdır
B, C kəmiyyətləri (yəni nisbətdən, yəni üç verilmiş nöqtədən keçən sonsuz sayda təyyarə var (verilmiş üç nöqtə bir düz xətt üzərində yerləşir).
Qeyd 2. Bir düz xətt üzərində olmayan üç verilmiş nöqtədən müstəvi çəkmək məsələsi asanlıqla həll olunur. ümumi görünüş determinantlardan istifadə etsəniz. Həqiqətən də (17) və (19) tənliklərində A, B, C əmsalları eyni vaxtda sıfıra bərabər ola bilmədiyi üçün bu tənlikləri nəzərə alsaq, homojen sistemüç naməlum A, B, C ilə zəruri və yazırıq kifayət qədər şərait bu sistemin sıfırdan fərqli həllinin mövcudluğu (1-ci hissə, VI fəsil, § 6):
Bu determinantı birinci cərgənin elementləri ilə genişləndirərək, cari koordinatlara münasibətdə birinci dərəcəli bir tənlik əldə edirik, bu, xüsusən də üç verilmiş nöqtənin koordinatları ilə təmin ediləcəkdir.
Determinantdan istifadə edərək yazılan tənlik əvəzinə bu nöqtələrdən hər hansı birinin koordinatlarını əvəz etsək, bu sonuncunu birbaşa yoxlamaq olar. Sol tərəfdə ya birinci cərgənin elementlərinin sıfır olduğu, ya da iki eyni cərgənin olduğu müəyyənedici alınır. Beləliklə, tərtib edilmiş tənlik verilmiş üç nöqtədən keçən müstəvini təmsil edir.
Məkan həndəsəsi “düz” həndəsədən çox mürəkkəb deyil və kosmosdakı uçuşlarımız bu məqalə ilə başlayır. Mövzunu başa düşmək üçün insanın yaxşı başa düşülməsi lazımdır vektorlar, əlavə olaraq, təyyarənin həndəsəsi ilə tanış olmaq arzu edilir - çox oxşarlıqlar, çoxlu analogiyalar olacaq, buna görə də məlumat daha yaxşı həzm olunacaq. Bir sıra dərslərimdə 2D dünyası məqalə ilə açılır Müstəvidə düz xəttin tənliyi. Ancaq indi Batman düz ekranlı televizordan çıxdı və Baykonur Kosmodromundan yola düşür.
Rəsmlər və simvollarla başlayaq. Sxematik olaraq, təyyarə kosmos təəssüratını verən paraleloqram kimi çəkilə bilər: 
Təyyarə sonsuzdur, lakin onun yalnız bir parçasını təsvir etmək imkanımız var. Praktikada paraleloqrama əlavə olaraq oval və ya hətta bulud da çəkilir. Texniki səbəblərdən təyyarəni bu şəkildə və bu vəziyyətdə təsvir etmək mənim üçün daha əlverişlidir. Baxacağımız real təyyarələr praktik nümunələr, istədiyiniz kimi təşkil edilə bilər - zehni olaraq əllərinizə rəsm götürün və kosmosda bükün, təyyarəyə istənilən yamac, istənilən bucaq verin.
Qeyd: təyyarələri kiçik yunan hərfləri ilə təyin etmək adətdir, yəqin ki, onları qarışdırmamaq üçün düz təyyarədə və ya ilə düz kosmosda. Mən hərfdən istifadə etməyə alışmışam. Rəsmdə bu, "sigma" hərfidir və ümumiyyətlə dəlik deyil. Delikli bir təyyarə olsa da, əlbəttə ki, çox gülməlidir.
Bəzi hallarda, təyyarələri təyin etmək üçün eyni yunan hərflərindən istifadə etmək rahatdır, məsələn, .
Aydındır ki, müstəvi eyni düz xətt üzərində olmayan üç fərqli nöqtə ilə unikal şəkildə təyin olunur. Buna görə də, təyyarələrin üç hərfli təyinatları olduqca populyardır - onlara aid nöqtələrə görə, məsələn və s. Çox vaxt hərflər mötərizə içərisindədir: 
, təyyarəni başqa həndəsi fiqurla qarışdırmamaq üçün.
Təcrübəli oxucular üçün verəcəyəm qısayol menyusu:
və biz uzun gözləyişlərə dözməyəcəyik:
Təyyarənin ümumi tənliyi əmsalların eyni vaxtda sıfırdan fərqli olduğu formaya malikdir.
Bir sıra nəzəri hesablamalar və praktiki məsələlər həm adi ortonormal əsaslar üçün, həm də afin əsas boşluq (yağ yağdırsa, dərsə qayıdın Vektorların xətti (qeyri) asılılığı. Vektor əsası). Sadəlik üçün bütün hadisələrin ortonormal əsasda və Kartezian düzbucaqlı koordinat sistemində baş verdiyini fərz edəcəyik.
İndi isə bir az fəza təxəyyülünü məşq edək. Əgər pisdirsə, yaxşıdır, indi onu bir az inkişaf etdirəcəyik. Hətta əsəblərlə oynamaq belə məşq tələb edir.
Ən ümumi halda, ədədlər sıfıra bərabər olmadıqda, təyyarə hər üç koordinat oxunu kəsir. Məsələn, bu kimi:
Bir daha təkrar edirəm ki, təyyarə bütün istiqamətlərdə qeyri-müəyyən müddətə davam edir və bizim onun yalnız bir hissəsini təsvir etmək imkanımız var.
Təyyarələrin ən sadə tənliklərini nəzərdən keçirin:
Necə başa düşmək olar verilmiş tənlik? Bu barədə düşünün: "Z" HƏMİŞƏ, "X" və "Y" hər hansı bir dəyəri üçün sıfıra bərabərdir. Bu, "doğma" koordinat müstəvisinin tənliyidir. Həqiqətən, formal olaraq tənliyi aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar: 
, “x” və “y” nin hansı dəyərləri qəbul etdiyinə əhəmiyyət vermədiyimiz aydın görünən yerdən “z”-nin sıfıra bərabər olması vacibdir.
Oxşar:
koordinat müstəvisinin tənliyidir;
koordinat müstəvisinin tənliyidir.
Problemi bir az çətinləşdirək, müstəvini nəzərdən keçirək (burada və daha sonra paraqrafda ədədi əmsalların sıfıra bərabər olmadığını fərz edirik). Tənliyi yenidən aşağıdakı formada yazaq: . Bunu necə başa düşmək olar? "X" HER ZAMAN, "y" və "z" hər hansı bir dəyəri üçün müəyyən bir ədədə bərabərdir. Bu müstəvi koordinat müstəvisinə paraleldir. Məsələn, bir təyyarə müstəviyə paraleldir və bir nöqtədən keçir.
Oxşar:
- koordinat müstəvisinə paralel olan müstəvi tənliyini;
- koordinat müstəvisinə paralel olan müstəvi tənliyi.
Üzvlər əlavə edin: . Tənliyi belə yenidən yazmaq olar: , yəni “Z” hər hansı bir şey ola bilər. Bunun mənası nədi? "X" və "Y" müstəvidə müəyyən bir düz xətt çəkən nisbətlə birləşdirilir (tanıyacaqsınız müstəvidə düz xəttin tənliyi?). Z hər hansı bir şey ola bildiyi üçün bu xətt istənilən hündürlükdə “təkrarlanır”. Beləliklə, tənlik koordinat oxuna paralel bir müstəvi müəyyən edir
Oxşar:
- koordinat oxuna paralel olan müstəvi tənliyi;
- koordinat oxuna paralel olan müstəvi tənliyi.
Sərbəst şərtlər sıfırdırsa, təyyarələr birbaşa müvafiq oxlardan keçəcəklər. Məsələn, klassik "birbaşa mütənasiblik":. Təyyarədə düz bir xətt çəkin və onu zehni olaraq yuxarı və aşağı çoxaldın (çünki “z” hər hansıdır). Nəticə: tənliklə verilən müstəvi koordinat oxundan keçir.
Baxışı yekunlaşdırırıq: təyyarənin tənliyi 
mənşəyindən keçir. Yaxşı, burada nöqtənin verilmiş tənliyi təmin etdiyi tamamilə aydındır.
Və nəhayət, rəsmdə göstərilən vəziyyət: - təyyarə hamı ilə dostdur koordinat oxları, o, həmişə səkkiz oktandan hər hansı birində yerləşə bilən üçbucağı “kəsdiyi halda”.
Məlumatı başa düşmək üçün yaxşı öyrənmək lazımdır müstəvidə xətti bərabərsizliklərçünki çox şey oxşar olacaq. Bu paraqraf bir neçə nümunə ilə qısa icmal olacaq, çünki material praktikada olduqca nadirdir.
Əgər tənlik müstəvini təyin edirsə, onda bərabərsizliklər
soruş yarım boşluqlar. Əgər bərabərsizlik ciddi deyilsə (siyahıda sonuncu iki), onda bərabərsizliyin həllinə yarım fəzadan əlavə müstəvi özü də daxildir.
Misal 5
Təyyarənin vahid normal vektorunu tapın 
.
Həll: Vahid vektor uzunluğu bir olan vektordur. Bu vektoru ilə işarə edək. Vektorların kollinear olduğu tamamilə aydındır: 
Əvvəlcə müstəvi tənliyindən normal vektoru çıxarırıq: .
Vahid vektoru necə tapmaq olar? Vahid vektoru tapmaq üçün sizə lazımdır hər vektor koordinatı vektor uzunluğuna bölünür.
Normal vektoru formada yenidən yazaq və uzunluğunu tapaq:
Yuxarıda göstərilənlərə əsasən:
Cavab verin: 
Check: , yoxlamaq üçün tələb olunan.
Dərsin son abzasını diqqətlə oxuyan oxucular, yəqin ki, bunun fərqinə vardılar vahid vektorun koordinatları tam olaraq vektorun istiqamət kosinuslarıdır:
Sökülən problemdən yayınaq: sizə ixtiyari sıfırdan fərqli vektor verildikdə, və şərtlə onun istiqamətinin kosinuslarını tapmaq tələb olunur (dərsin son tapşırıqlarına baxın Vektorların nöqtə hasili), onda siz, əslində, verilmiş birinə kollinear vahid vektor tapırsınız. Əslində, bir şüşədə iki vəzifə.
Vahid normal vektorun tapılması zərurəti riyazi analizin bəzi məsələlərində yaranır.
Normal vektorun balıq tutmasını anladıq, indi əks suala cavab verəcəyik:
Normal vektorun və nöqtənin bu sərt quruluşu dart hədəfi tərəfindən yaxşı bilinir. Zəhmət olmasa, əlinizi irəli uzatın və zehni olaraq kosmosda ixtiyari bir nöqtə seçin, məsələn, bufetdə kiçik bir pişik. Aydındır ki, bu nöqtə vasitəsilə əlinizə perpendikulyar olan tək bir təyyarə çəkə bilərsiniz.
Vektora perpendikulyar nöqtədən keçən təyyarənin tənliyi düsturla ifadə edilir:
Fəzanın hər hansı üç nöqtəsindən tək müstəvi keçməsi üçün bu nöqtələrin bir düz xətt üzərində olmaması lazımdır.
Ümumilikdə M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) nöqtələrini nəzərdən keçirin. Kartezyen sistemi koordinatları.
İxtiyari M(x, y, z) nöqtəsinin M 1 , M 2 , M 3 nöqtələri ilə eyni müstəvidə yerləşməsi üçün vektorlar koplanar olmalıdır.
(
)
= 0
Bu cür, 
Üç nöqtədən keçən təyyarənin tənliyi:
İki nöqtəyə və müstəviyə kollinear vektora görə müstəvi tənliyi.
M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) nöqtələri və vektoru olsun. 
.
Verilmiş M 1 və M 2 nöqtələrindən və vektoruna paralel ixtiyari M (x, y, z) nöqtəsindən keçən müstəvinin tənliyini tərtib edək. 
.
Vektorlar 
və vektor 
coplanar olmalıdır, yəni.
(
)
= 0
Müstəvi tənliyi:
Bir nöqtəyə və iki vektora görə müstəvi tənliyi,
kollinear müstəvi.
İki vektor verilsin 
Və 
, kollinear təyyarələr. Onda müstəviyə aid olan ixtiyari M(x, y, z) nöqtəsi üçün vektorlar 
düzənli olmalıdır.
Müstəvi tənliyi:
Nöqtə və normal vektor üzrə müstəvi tənliyi .
teorem.
Əgər fəzada M nöqtəsi verilmişdirsə 0
(X 0
, y 0
,
z 0
), onda M nöqtəsindən keçən müstəvi tənliyi 0
normal vektora perpendikulyar
(A,
B,
C) oxşayır:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Sübut.
Müstəviyə aid olan ixtiyari M(x, y, z) nöqtəsi üçün vektorunu tərtib edirik. Çünki vektor
- normal vektor, onda müstəviyə perpendikulyardır və buna görə də vektora perpendikulyardır. 
. Sonra skalyar məhsul
=
0
Beləliklə, təyyarənin tənliyini əldə edirik
Teorem sübut edilmişdir.
Əgər daxil ümumi tənlik Axe + Wu + Cz + D = 0 hər iki hissəni (-D) ilə bölün
,
əvəz edir 
, seqmentlərdə təyyarənin tənliyini alırıq:
a, b, c ədədləri müvafiq olaraq müstəvinin x, y, z oxları ilə kəsişmə nöqtələridir.
harada
- cari nöqtənin radius-vektoru M(x, y, z),
Başdan müstəviyə düşmüş perpendikulyar istiqaməti olan vahid vektor.
, və bu vektorun x, y, z oxları ilə yaratdığı bucaqlardır.
p bu perpendikulyarın uzunluğudur.
Koordinatlarda bu tənliyin forması var:
xcos + ycos + zcos - p = 0.
İxtiyari M 0 (x 0, y 0, z 0) nöqtəsindən Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 müstəvisinə olan məsafə:
Misal. P (4; -3; 12) nöqtəsinin başlanğıcdan bu müstəviyə endirilmiş perpendikulyarın əsası olduğunu bilərək, müstəvi tənliyini tapın.
Beləliklə, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, düsturdan istifadə edin:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Misal. P(2; 0; -1) və iki nöqtəsindən keçən müstəvi tənliyini tapın
Q(1; -1; 3) 3x + 2y - z + 5 = 0 müstəvisinə perpendikulyardır.
Müstəviyə normal vektor 3x + 2y - z + 5 = 0 
istədiyiniz müstəviyə paralel.
Biz əldə edirik:
Misal. A(2, -1, 4) və nöqtələrindən keçən müstəvinin tənliyini tapın
В(3, 2, -1) müstəviyə perpendikulyar X + saat + 2z – 3 = 0.
İstənilən müstəvi tənlik formaya malikdir: A x+B y+ C z+ D = 0, bu müstəvi üçün normal vektor 
(A, B, C). Vektor 
(1, 3, -5) müstəviyə aiddir. İstənilən birinə perpendikulyar olaraq bizə verilən təyyarənin normal vektoru var 
(1, 1, 2). Çünki A və B nöqtələri hər iki müstəviyə aiddir və müstəvilər qarşılıqlı perpendikulyardır
Beləliklə, normal vektor 
(11, -7, -2). Çünki A nöqtəsi istənilən müstəviyə aiddir, onda onun koordinatları bu təyyarənin tənliyini təmin etməlidir, yəni. 112 + 71 - 24 + D= 0;D= -21.
Ümumilikdə təyyarənin tənliyini alırıq: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.
Misal. P(4, -3, 12) nöqtəsinin başlanğıcdan bu müstəviyə endirilən perpendikulyarın əsası olduğunu bilərək, müstəvi tənliyini tapın.
Normal vektorun koordinatlarının tapılması 
= (4, -3, 12). Təyyarənin istənilən tənliyi formaya malikdir: 4 x
– 3y
+ 12z+ D = 0. D əmsalını tapmaq üçün R nöqtəsinin koordinatlarını tənlikdə əvəz edirik:
16 + 9 + 144 + D = 0
Ümumilikdə istədiyiniz tənliyi alırıq: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0
Misal. Piramida təpələrinin A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1) koordinatlarını nəzərə alaraq,
A 1 A 2 kənarının uzunluğunu tapın.
A 1 A 2 və A 1 A 4 kənarları arasındakı bucağı tapın.
A 1 A 4 kənarı ilə A 1 A 2 A 3 üzü arasındakı bucağı tapın.
Əvvəlcə A 1 A 2 A 3 üzünün normal vektorunu tapın 
vektorların çarpaz məhsulu kimi 
Və 
.
=
(2-1;
1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
Normal vektorla vektor arasındakı bucağı tapın 
.
-4
– 4 = -8.
Vektor və müstəvi arasında istənilən bucaq = 90 0 - -ə bərabər olacaqdır.
Üzün sahəsini tapın A 1 A 2 A 3 .
Piramidanın həcmini tapın.
А 1 А 2 А 3 müstəvisinin tənliyini tapın.
Üç nöqtədən keçən bir təyyarənin tənliyi üçün düsturdan istifadə edirik.
2x + 2y + 2z - 8 = 0
x + y + z - 4 = 0;
“ PC versiyasından istifadə edərkən Ali riyaziyyat kursu Piramidanın təpələrinin istənilən koordinatları üçün yuxarıdakı nümunəni həll edəcək bir proqramı işlədə bilərsiniz.
Proqramı işə salmaq üçün ikona iki dəfə klikləyin:
Açılan proqram pəncərəsində piramidanın təpələrinin koordinatlarını daxil edin və Enter düyməsini basın. Beləliklə, bütün qərar nöqtələri bir-bir əldə edilə bilər.
Qeyd: Proqramı işə salmaq üçün kompüterinizdə Maple ( Waterloo Maple Inc.) yüklü olmalıdır, MapleV Release 4 ilə başlayan istənilən versiya.
Bu dərsdə biz bəstələmək üçün determinantdan necə istifadə edəcəyimizə baxacağıq müstəvi tənliyi. Determinantın nə olduğunu bilmirsinizsə, dərsin birinci hissəsinə keçin - " Matrislər və determinantlar». Əks təqdirdə, bugünkü materialda heç nə başa düşməmək riski daşıyırsınız.
Təyyarənin tənliyinə ümumiyyətlə niyə ehtiyacımız var? Çox sadədir: bunu bilməklə biz C2 problemində bucaqları, məsafələri və digər axmaqlıqları asanlıqla hesablaya bilərik. Ümumiyyətlə, bu tənlik əvəzolunmazdır. Beləliklə, problemi formalaşdırırıq:
Bir tapşırıq. Kosmosda eyni düz xətt üzərində olmayan üç nöqtə var. Onların koordinatları:
M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);Bu üç nöqtədən keçən təyyarənin tənliyini yazmaq tələb olunur. Və tənlik belə görünməlidir:
Axe + By + Cz + D = 0
burada A , B , C və D rəqəmləri əslində tapmaq istədiyiniz əmsallardır.
Yaxşı, yalnız nöqtələrin koordinatları məlumdursa, təyyarənin tənliyini necə əldə etmək olar? Ən asan yol koordinatları Ax + By + Cz + D = 0 tənliyinə əvəz etməkdir. Siz asanlıqla həll olunan üç tənlik sistemi alırsınız.
Bir çox tələbə bu həlli son dərəcə yorucu və etibarsız hesab edir. Keçən ilki riyaziyyatdan imtahan göstərdi ki, hesablama xətası olma ehtimalı həqiqətən də yüksəkdir.
Buna görə də, ən qabaqcıl müəllimlər daha sadə və daha zərif həllər axtarmağa başladılar. Və tapdılar! Düzdür, alınan qəbul daha çox olur ali riyaziyyat. Şəxsən mən heç bir əsaslandırma və sübut olmadan bu texnikadan istifadə etmək hüququmuz olduğuna əmin olmaq üçün bütün Federal dərsliklər siyahısını vərəqləməli oldum.
Kifayət qədər çılğınlıq, gəlin işə başlayaq. Başlamaq üçün, matrisin təyinedicisi ilə müstəvi tənliyinin necə əlaqəli olduğuna dair bir teorem.
teorem. Müstəvinin çəkilməli olduğu üç nöqtənin koordinatları verilsin: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Onda bu müstəvinin tənliyini determinant baxımından yazmaq olar:
Məsələn, C2 problemlərində əslində baş verən bir cüt təyyarə tapmağa çalışaq. Hər şeyin nə qədər tez sayıldığına baxın:
A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);
Determinantı düzəldirik və onu sıfıra bərabərləşdiririk:
Determinantın açılması:
a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;
Gördüyünüz kimi, d ədədini hesablayarkən tənliyi bir az “fırçaladım” ki, x, y və z dəyişənləri daxil olsun. düzgün ardıcıllıq. Hamısı budur! Təyyarənin tənliyi hazırdır!
Bir tapşırıq. Nöqtələrdən keçən təyyarə üçün tənlik yazın:
A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);
Dərhal determinantdakı nöqtələrin koordinatlarını əvəz edin:
Determinantın yenidən genişləndirilməsi:
a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;
Beləliklə, müstəvi tənliyi yenidən əldə edilir! Yenə də son mərhələdə daha “gözəl” formul əldə etmək üçün içindəki işarələri dəyişməli oldum. Bu həlldə bunu etmək lazım deyil, lakin hələ də tövsiyə olunur - problemin sonrakı həllini asanlaşdırmaq üçün.
Gördüyünüz kimi, təyyarənin tənliyini yazmaq indi çox asandır. Nöqtələri matrisdə əvəz edirik, determinantı hesablayırıq - vəssalam, tənlik hazırdır.
Bu dərsin sonu ola bilər. Bununla belə, bir çox tələbələr determinantın içərisində olanları daim unudurlar. Məsələn, hansı sətirdə x 2 və ya x 3 var və hansı sətirdə sadəcə x var. Nəhayət, bununla məşğul olmaq üçün hər bir nömrənin haradan gəldiyini izləyək.
Beləliklə, müəyyənedici ilə belə sərt tənliyin haradan gəldiyini anlayaq. Bu, onu yadda saxlamağa və uğurla tətbiq etməyə kömək edəcək.
Problem C2-də baş verən bütün təyyarələr üç nöqtə ilə müəyyən edilir. Bu nöqtələr həmişə rəsmdə qeyd olunur və ya hətta problem mətnində birbaşa göstərilir. Hər halda, tənliyi tərtib etmək üçün onların koordinatlarını yazmalıyıq:
M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).
Təyyarəmizdə ixtiyari koordinatları olan daha bir nöqtəni nəzərdən keçirək:
T = (x, y, z)
İlk üç nöqtədən istənilən nöqtəni götürürük (məsələn, M nöqtəsi) və ondan qalan üç nöqtənin hər birinə vektorlar çəkirik. Üç vektor alırıq:
MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).
İndi bu vektorlardan tərtib edəcəyik kvadrat matris və onun determinantını sıfıra bərabərləşdirin. Vektorların koordinatları matrisin sıralarına çevriləcək - və biz teoremdə göstərilən eyni determinantı alacağıq:
Bu düstur o deməkdir ki, MN , MK və MT vektorları üzərində qurulmuş qutunun həcmi sıfıra bərabərdir. Buna görə də hər üç vektor eyni müstəvidə yerləşir. Xüsusilə, ixtiyari T = (x, y, z) nöqtəsi bizim axtardığımız şeydir.
Determinantlar bunu daha da asanlaşdıran bəzi gözəl xüsusiyyətlərə malikdir C2 probleminin həlli. Məsələn, vektorları hansı nöqtədən çəkməyin bizim üçün heç bir əhəmiyyəti yoxdur. Beləliklə, aşağıdakı determinantlar yuxarıdakı ilə eyni müstəvi tənliyi verir:
Siz həmçinin determinantın xətlərini dəyişə bilərsiniz. Tənlik dəyişməz qalacaq. Məsələn, bir çox insan ən yuxarıda T = (x; y; z) nöqtəsinin koordinatları olan bir xətt yazmağı xoşlayır. Zəhmət olmasa, sizin üçün əlverişlidirsə:
Bəzilərini çaşdırır ki, sətirlərdən birində x , y və z dəyişənləri var və bu dəyişənlər nöqtələri əvəz edərkən itmir. Ancaq onlar yox olmamalıdır! Rəqəmləri determinantda əvəz etməklə aşağıdakı konstruksiyanı əldə etməlisiniz:
Sonra determinant dərsin əvvəlində verilmiş sxem üzrə genişləndirilir və belə çıxır standart tənlik təyyarələr:
Axe + By + Cz + D = 0
Bir nümunəyə nəzər salın. O, bugünkü dərsdə sonuncudur. Cavabın təyyarənin eyni tənliyi olacağına əmin olmaq üçün xətləri qəsdən dəyişdirəcəyəm.
Bir tapşırıq. Nöqtələrdən keçən təyyarə üçün tənlik yazın:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).
Beləliklə, 4 nöqtəni nəzərdən keçiririk:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).
Əvvəlcə standart determinant yaradaq və onu sıfıra bərabərləşdirək:
Determinantın açılması:
a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Budur, cavabı aldıq: x + y + z − 2 = 0 .
İndi gəlin determinantda bir neçə sətri yenidən yerləşdirək və nə baş verdiyini görək. Məsələn, x, y, z dəyişənləri aşağıda deyil, yuxarıda olan sətir yazaq:
Nəticə determinantını yenidən genişləndirək:
a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Biz tam olaraq eyni müstəvi tənliyini əldə etdik: x + y + z − 2 = 0. Deməli, bu, həqiqətən, cərgələrin sırasından asılı deyil. Cavabı yazmaq qalır.
Deməli, müstəvi tənliyinin xətlərin ardıcıllığından asılı olmadığını gördük. Oxşar hesablamalar aparıb sübut edə bilərik ki, müstəvi tənliyi digər nöqtələrdən koordinatlarını çıxardığımız nöqtədən asılı deyil.
Yuxarıda nəzərdən keçirilən məsələdə B 1 = (1, 0, 1) nöqtəsindən istifadə etdik, lakin C = (1, 1, 0) və ya D 1 = (0, 1, 1) götürmək tamamilə mümkün idi. Ümumiyyətlə, koordinatları məlum olan istənilən nöqtə istənilən müstəvidə uzanır.
