və oxda və ya başqa vektorda onun həndəsi proyeksiyası və ədədi (və ya cəbri) proyeksiyası anlayışları mövcuddur. Həndəsi proyeksiyanın nəticəsi vektor, cəbri proyeksiyanın nəticəsi isə mənfi olmayan həqiqi ədəddir. Ancaq bu anlayışlara keçməzdən əvvəl xatırlayaq zəruri məlumatlar.
Əsas anlayış vektorun özü anlayışıdır. Həndəsi vektorun tərifini təqdim etmək üçün seqmentin nə olduğunu xatırlayaq. Aşağıdakı tərifi təqdim edək.
Tərif 1
Seqment düz xəttin nöqtə şəklində iki sərhədi olan hissəsidir.
Seqmentin 2 istiqaməti ola bilər. İstiqaməti göstərmək üçün seqmentin sərhədlərindən birini başlanğıcı, digər sərhəddini isə sonu adlandıracağıq. İstiqamət seqmentin əvvəlindən sonuna qədər göstərilir.
Tərif 2
Vektor və ya istiqamətlənmiş seqment seqmentin sərhədlərindən hansının başlanğıcı və hansının sonu olduğu məlum olan seqmentdir.
Təyinat: İki hərf: $ \ üst xətt (AB) $ - (burada $ A $ onun başlanğıcıdır və $ B $ onun sonudur).
Bir kiçik hərf: $ \ üst xətt (a) $ (şək. 1).
Vektor anlayışı ilə bağlı daha bir neçə anlayışı təqdim edək.
Tərif 3
Sıfırdan fərqli iki vektor eyni düz xətt üzərində və ya bir-birinə paralel düz xətlər üzərində yerləşirsə, kollinear adlanacaqdır (şək. 2).
Tərif 4
Sıfırdan fərqli iki vektor iki şərti təmin edərsə, koistifikasiyalı adlandırılacaqdır:
Təyinat: $ \ overline (a) \ overline (b) $
Tərif 5
Sıfırdan fərqli iki vektor iki şərti təmin edərsə, əks istiqamətli adlandırılacaqdır:
Təyinat: $ \ üst xətt (a) ↓ \ üst xətt (d) $
Tərif 6
$ \ overline (a) $ vektorunun uzunluğu $ a $ seqmentinin uzunluğudur.
Qeyd: $ | \ overline (a) | $
İki vektorun bərabərliyinin tərifinə keçək
Tərif 7
İki vektor iki şərti ödədikdə bərabər adlanacaq:
Daha əvvəl dediyimiz kimi, həndəsi proyeksiyanın nəticəsi vektor olacaqdır.
Tərif 8
$ \ overline (AB) $ vektorunun oxa həndəsi proyeksiyası vektordur və aşağıdakı kimi alınır: $ A $ vektorunun mənşəyi bu oxa proyeksiya edilir. $ A nöqtəsini alırıq "$ - arzu olunan vektorun başlanğıcı. $ B $ vektorunun son nöqtəsi bu oxa proyeksiya olunur. $ B nöqtəsini alırıq" $ - istədiyiniz vektorun sonu. $ \ üst xətt (A "B") $ vektoru istədiyiniz vektor olacaq.
Problemi nəzərdən keçirin:
Misal 1
Şəkil 6-da göstərilən $ l $ oxunda $ \ üst xətt (AB) $ həndəsi proyeksiyasını qurun.
$ A $ a nöqtəsindən $ l $ oxuna perpendikulyar çəkirik, onun üzərində $ A "$ nöqtəsini alırıq. Sonra $ B $ oxuna perpendikulyar $ l $ nöqtəsini çəkirik, $ B nöqtəsini alırıq" üzərində (şək. 7).
A vektoru ilə proyeksiya oxu arasındakı bucağı qeyd edək və vektoru köçürün
belə ki, onun başlanğıcı oxun hansısa nöqtəsi ilə üst-üstə düşsün. Vektor komponentinin və oxunun istiqamətləri eyni olarsa, a bucağı kəskin olacaq və şəkildən göründüyü kimi. 24, a,
burada a - a vektorunun moduludur. Vektorun və oxun istiqamətləri əks olarsa, proyeksiyanın işarəsini nəzərə alaraq, bizdə - (bax. Şəkil 24, b) olacaq.
yəni əvvəlki ifadə (xatırlamaq lazımdır ki, in bu halda a bucağı ensizdir və
Beləliklə, vektorun oxa proyeksiyası vektorun modulunun vektorla ox arasındakı bucağın kosinusu ilə hasilinə bərabərdir:
Bundan əlavə, müstəsna olaraq vacibdir vektorun oxa proyeksiyası üçün düsturlar başqa çox verilə bilər sadə formula... Oxa mənşəyi təyin edək və vektorların miqyası ilə ümumi olan miqyas seçək. Bildiyiniz kimi, nöqtənin koordinatı, seçilmiş miqyasda oxun başlanğıcından oxdakı verilmiş nöqtənin proyeksiyasına qədər olan məsafəni ifadə edən bir rəqəmdir və bu rəqəm proyeksiya olduqda artı işarəsi ilə alınır. nöqtənin başlanğıcından ox istiqaməti istiqamətində, əks halda isə mənfi işarəsi ilə çıxarılır. Beləliklə, məsələn, A nöqtəsinin koordinatı (Şəkil 23, b) seqmentin uzunluğunu ifadə edən işarəli bir nömrə olacaq və B nöqtəsinin koordinatı işarə ilə - uzunluğunu təyin edən bir nömrə ilə alınacaq. seqment (bunun üzərində dayanmırıq
oxucunun elementar riyaziyyat kursundan nöqtə koordinatları anlayışı ilə tanış olduğunu fərz edərək daha ətraflı).
X oxundakı vektorun başlanğıcının koordinatı ilə, sonunun koordinatı ilə işarə edək. Sonra, şəkildən göründüyü kimi. 23, amma bizdə olacaq
Vektorun x oxuna proyeksiyası olacaq
və ya əvvəlki bərabərlikləri nəzərə alaraq,
Bu formulun olduğunu görmək asandır ümumi xarakter və vektorun oxa və başlanğıca nisbətən yerindən asılı deyil. Həqiqətən, Şəkildə göstərilən işi nəzərdən keçirin. 23, b. Nöqtələrin koordinatlarının təyin edilməsindən və vektorun proyeksiyasından ardıcıl olaraq əldə edirik
(oxucu düsturun etibarlılığını və vektorun ox və mənşəyə nisbətən fərqli mövqeyi ilə asanlıqla yoxlaya bilər).
(6.11)-dən belə nəticə çıxır ki, vektorun oxa proyeksiyası vektorun sonu ilə başlanğıcının koordinatları arasındakı fərqə bərabərdir.
Bir vektorun ox üzərində proyeksiyasının hesablanması çox vaxt müxtəlif məsələlərdə baş verir. Buna görə də, proqnozların hesablanmasında möhkəm bacarıqları inkişaf etdirmək lazımdır. Proqnozların hesablanması prosesini asanlaşdırmaq üçün bəzi texnikaları göstərə bilərsiniz.
1. Vektorun oxa proyeksiyasının işarəsi, bir qayda olaraq, rəsmdən birbaşa təyin oluna bilər, proyeksiya modulu isə düsturla hesablana bilər.
vektor və proyeksiya oxu arasındakı iti bucaq haradadır - əgər və əgər bu texnika prinsipcə yeni bir şey təqdim etmədən, bir neçə
proyeksiyanın hesablanmasını asanlaşdırır, çünki triqonometrik çevrilmələrə ehtiyac yoxdur.
2. Əgər vektorun iki qarşılıqlı perpendikulyar x və y oxlarına proyeksiyasını təyin etmək tələb olunarsa (vektorun bu oxların müstəvisində yerləşdiyi güman edilir) və vektorla x oxu arasında iti bucaq olarsa, sonra
(proyeksiyaların işarəsi rəsmdən müəyyən edilir).
Misal. Şəkildə göstərilən qüvvənin x və y koordinat oxları üzrə proyeksiyalarını tapın. 25. Rəsmdən hər iki proqnozun mənfi olacağını görmək olar. Beləliklə,
3. Bəzən ikiqat dizayn qaydası tətbiq edilir ki, bu da aşağıdakı kimidir. Bir vektor və müstəvidə yerləşən ox verilsin.Vektorun ucundan müstəviyə və düz xəttə olan perpendikulyarları aşağı salaq və sonra perpendikulyarların əsaslarını düz xətt parçası ilə birləşdirək (şək. 26). Vektorla müstəvi arasındakı bucağı aralarındakı bucaq vasitəsilə və vektorla proyeksiya oxu arasındakı bucağı a vasitəsilə işarə edək. Bucaq düz xətt olduğundan (konstruksiyaya görə), onda
Təyyarədə müxtəlif xətlərin və səthlərin layihələndirilməsi obyektlərin vizual təsvirini rəsm şəklində qurmağa imkan verir. Proyeksiya şüalarının proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olduğu düzbucaqlı dizaynı nəzərdən keçirəcəyik. Vektorun təyyarədə proyeksiyası əvvəlindən və sonundan buraxılmış perpendikulyarlar arasında qapalı = vektorunu (şək. 3.22) nəzərdən keçirək.
 |
 |
düyü. 3.23. Vektorun oxa vektor proyeksiyası.
Vektor cəbrində çox vaxt vektoru AXIS-ə, yəni müəyyən oriyentasiyaya malik düz xəttə proyeksiya etmək lazımdır. Vektor və L oxu eyni müstəvidə yerləşirsə, bu dizayn asandır (Şəkil 3.23). Ancaq bu şərt yerinə yetirilmədikdə vəzifə çətinləşir. Vektor və ox eyni müstəvidə yatmayan zaman vektorun oxa proyeksiyasını quraq (şək. 3.24).
düyü. 3.24. Bir vektorun oxa proyeksiyası
ümumiyyətlə.
Vektorun ucları vasitəsilə L düz xəttinə perpendikulyar müstəvilər çəkirik. Bu düz xəttin kəsişməsində bu müstəvilər iki A1 və B1 nöqtəsini - vektoru müəyyənləşdirir, biz bu vektorun vektor proyeksiyası adlandıracağıq. Vektor proyeksiyasının tapılması məsələsi vektor ox ilə eyni müstəviyə gətirilərsə, daha asan həll edilə bilər, bunu etmək olar, çünki vektor cəbrində sərbəst vektorlar nəzərə alınır.
Vektor proyeksiyası ilə yanaşı, vektor proyeksiyası L oxunun oriyentasiyası ilə üst-üstə düşərsə, vektor proyeksiyasının moduluna bərabər olan SKALAR PROYEKSİYASI da var və vektor proyeksiyası ilə L oxunun oriyentasiyası ilə əks qiymətə bərabərdir. ox əks istiqamətlərə malikdir. Skayar proyeksiya ilə işarələnəcək:
Vektor və skalyar proyeksiyalar praktikada heç də həmişə terminoloji cəhətdən ciddi şəkildə ayrılmır. Adətən skalyar vektor proyeksiyası mənasını verən “vektor proyeksiyası” terminindən istifadə olunur. Qərar verərkən bu anlayışları aydın şəkildə ayırmaq lazımdır. Qurulmuş ənənəyə sadiq qalaraq, skalyar proyeksiya mənasını verən “vektor proyeksiyası” və “vektor proyeksiyası” terminlərindən müəyyən edilmiş mənaya uyğun istifadə edəcəyik.
Verilmiş vektorun skalyar proyeksiyasını hesablamağa imkan verən teoremi sübut edək.
TEOREM 5. Vektorun L oxuna proyeksiyası onun modulunun vektorla ox arasındakı bucağın kosinusuna hasilinə bərabərdir, yəni.
(3.5)
düyü. 3.25. Vektor və skalyarın tapılması
L oxunda vektor proyeksiyaları
(və L oxu bərabər yönümlüdür).
SÜBUT. Bucağı tapmaq üçün əvvəlcədən quraq G Vektor və L oxu arasında.Bunun üçün L oxuna paralel və O nöqtəsindən - vektorun başlanğıcından keçən MN düz xətti çəkilir (şəkil 3.25). Bucaq istədiyiniz bucaq olacaq. A və O nöqtələri vasitəsilə L oxuna perpendikulyar iki müstəvi çəkək. Alırıq:
L oxu və MN xətti paralel olduğundan.
İki halı vurğulayırıq qarşılıqlı münasibət vektor və L oxu.
1. Vektor proyeksiyası və L oxu eyni yönümlü olsun (şək. 3.25). Sonra müvafiq skalyar proyeksiya 
.
2. Qoy və L müxtəlif istiqamətlərə yönəldilmişdir (şək. 3.26).
düyü. 3.26. Vektorun L oxuna vektor və skalyar proyeksiyalarının tapılması (və L oxu əks istiqamətlərə yönəldilmişdir).
Beləliklə, teoremin təsdiqi hər iki halda doğrudur.
TEOREM 6. Vektorun başlanğıcı L oxunun hansısa nöqtəsinə qədər kiçildilirsə və bu ox s müstəvisində yerləşirsə, vektor s müstəvisinə vektor proyeksiyası ilə bucaq, vektor proyeksiyası ilə isə bucaq əmələ gətirir. L oxuna; əlavə olaraq, vektor proyeksiyaları öz aralarında bucaq əmələ gətirir
və oxda və ya başqa vektorda onun həndəsi proyeksiyası və ədədi (və ya cəbri) proyeksiyası anlayışları mövcuddur. Həndəsi proyeksiyanın nəticəsi vektor, cəbri proyeksiyanın nəticəsi isə mənfi olmayan həqiqi ədəddir. Ancaq bu anlayışlara keçməzdən əvvəl lazımi məlumatları xatırlayaq.
Əsas anlayış vektorun özü anlayışıdır. Həndəsi vektorun tərifini təqdim etmək üçün seqmentin nə olduğunu xatırlayaq. Aşağıdakı tərifi təqdim edək.
Tərif 1
Seqment düz xəttin nöqtə şəklində iki sərhədi olan hissəsidir.
Seqmentin 2 istiqaməti ola bilər. İstiqaməti göstərmək üçün seqmentin sərhədlərindən birini başlanğıcı, digər sərhəddini isə sonu adlandıracağıq. İstiqamət seqmentin əvvəlindən sonuna qədər göstərilir.
Tərif 2
Vektor və ya istiqamətlənmiş seqment seqmentin sərhədlərindən hansının başlanğıcı və hansının sonu olduğu məlum olan seqmentdir.
Təyinat: İki hərf: $ \ üst xətt (AB) $ - (burada $ A $ onun başlanğıcıdır və $ B $ onun sonudur).
Bir kiçik hərf: $ \ üst xətt (a) $ (şək. 1).
Vektor anlayışı ilə bağlı daha bir neçə anlayışı təqdim edək.
Tərif 3
Sıfırdan fərqli iki vektor eyni düz xətt üzərində və ya bir-birinə paralel düz xətlər üzərində yerləşirsə, kollinear adlanacaqdır (şək. 2).
Tərif 4
Sıfırdan fərqli iki vektor iki şərti təmin edərsə, koistifikasiyalı adlandırılacaqdır:
Təyinat: $ \ overline (a) \ overline (b) $
Tərif 5
Sıfırdan fərqli iki vektor iki şərti təmin edərsə, əks istiqamətli adlandırılacaqdır:
Təyinat: $ \ üst xətt (a) ↓ \ üst xətt (d) $
Tərif 6
$ \ overline (a) $ vektorunun uzunluğu $ a $ seqmentinin uzunluğudur.
Qeyd: $ | \ overline (a) | $
İki vektorun bərabərliyinin tərifinə keçək
Tərif 7
İki vektor iki şərti ödədikdə bərabər adlanacaq:
Daha əvvəl dediyimiz kimi, həndəsi proyeksiyanın nəticəsi vektor olacaqdır.
Tərif 8
$ \ overline (AB) $ vektorunun oxa həndəsi proyeksiyası vektordur və aşağıdakı kimi alınır: $ A $ vektorunun mənşəyi bu oxa proyeksiya edilir. $ A nöqtəsini alırıq "$ - arzu olunan vektorun başlanğıcı. $ B $ vektorunun son nöqtəsi bu oxa proyeksiya olunur. $ B nöqtəsini alırıq" $ - istədiyiniz vektorun sonu. $ \ üst xətt (A "B") $ vektoru istədiyiniz vektor olacaq.
Problemi nəzərdən keçirin:
Misal 1
Şəkil 6-da göstərilən $ l $ oxunda $ \ üst xətt (AB) $ həndəsi proyeksiyasını qurun.
$ A $ a nöqtəsindən $ l $ oxuna perpendikulyar çəkirik, onun üzərində $ A "$ nöqtəsini alırıq. Sonra $ B $ oxuna perpendikulyar $ l $ nöqtəsini çəkirik, $ B nöqtəsini alırıq" üzərində (şək. 7).
