"Kosmosda düzbucaqlı koordinat sistemi" dərsinin xülasəsi

Kosmosda O nöqtəsi vasitəsilə üç per-pen-di-ku-lar-xətti çəksək, onları tək-tək kəsikləri bildirən, sağda-lenie adlandırırıq, onda alacağıq. kosmosda düzbucaqlı si-ste-mu ko-or-di-nat. Ko-or-di-nat oxları na-zy-va-yut-sya belədir: Oh - abs-ciss oxu, Oy - or-di-nat oxu və Oz - ox yuxarı-pli-pişik. Bütün si-ste-ma ko-or-di-nat-me-cha-et-sya deməkdir - Oxyz. Bu şəkildə üç var co-or-di-nat-nye təyyarələri: Oxy, Oxz, Oyz.

Ko-or-di-nat düzbucaqlı sistemində B nöqtəsinin (4; 3; 5) qurulmasına bir nümunə veririk (bax. Şəkil 1).

düyü. 1. B nöqtəsinin fəzada qurulması

Birinci co-or-di-na-ta nöqtəsi B - 4, belə ki,-cla-dy-va-em-dən Ox 4-ə, biz-dimi birbaşa para-ral-lel-amma ox Oy-u yenidən yenidən təyin edirik. y \u003d 3-dən keçən düz bir xətt ilə -che-tion. Beləliklə, biz K nöqtəsini alırıq. Bu nöqtə Oksi müstəvisində yerləşir və ko-or-di-na-you K (4; 3; 0) var. İndi pro-ve-sti birbaşa par-ral-lel-amma Oz oxu lazımdır. Və düz, kimsə-cənnət Oxy müstəvisində app-pli-ka-that 5 və para-ral-lel-on dia-go-on-pa-ral-le-lo-gram -ma ilə bir nöqtədən keçir. Onların re-se-che-nii-də biz istədiyiniz B nöqtəsini alacağıq.

Xalların paylanmasını nəzərdən keçirək, bəziləri üçün bir və ya iki ko-or-di-na-siz 0-a bərabərsiniz (bax. Şəkil 2).

Məsələn, A(3;-1;0) nöqtəsi. Oy oxunu sola -1 qiymətinə davam etdirmək lazımdır, Ox oxunda 3 nöqtəsini tapmaq və bu qiymətlərdən -tion keçən xətlərin re-se-ce-də A nöqtəsini alırıq. nöqtədə app-pli-ka-tu 0 var, yəni Oxy müstəvisində yerləşir.

C nöqtəsində (0; 2; 0) abs-cis-su və app-pli-ka-tu 0 var - from-me-cha-e deyil. Or-di-na-ta 2-yə bərabərdir, bu o deməkdir ki, C nöqtəsi yalnız Oy oxunda yerləşir, bir şey-cənnət-la-is-a-re-re-se-che-no-it düz stey Oksidir. və Oyz.

D (-4; 0; 3) nöqtəsini hərəkət etdirmək üçün na-ça-lo ko-or-di-nat üçün Ox oxunu geriyə -4 nöqtəsinə qədər davam etdiririk. İndi, bərpa-a-yüz-nav-li-va-em bu nöqtədən per-pen-di-ku-lyar - düz, Oz oxuna paralel bir düz xətt ilə yenidən re-se-che-niya, Ox oxuna paralel və Oz oxundakı 3 dəyərindən keçən. Cari D-ə görə (-4; 0; 3). Or-di-on-həmin nöqtə 0-a bərabər olduğundan, D nöqtəsi Oxz müstəvisində yerləşir.

Növbəti nöqtə E(0;5;-3). Or-di-na-ta nöqtələri 5, app-pli-ka-ta -3, biz bu qiymətlərdən keçən düz xətləri on-cavabda -inci oxlar və onların re-se-che-nii üzərindən keçirik. , E nöqtəsini alırıq (0; 5; -3). Bu nöqtə birinci ko-or-di-to-tu 0-a malikdir, yəni Oyz müstəvisində yerləşir.

2. Vektor koordinatları

Lənət olsun düzbucaqlı si-ste-mu ko-or-di-nat kosmosda Oxyz. Za-da-dim düzbucaqlı si-ste-mu ko-or-di-nat Oxyz məkanında. Lo-zhi-tel-nyh in-lu baltalarının hər birində na-ça-la ko-or-di-natdan-lo-ağlamaqdan bir vektor, yəni vektor-torus, bir şey-ro- uzunluğu. get birə bərabərdir. Biz abs-ciss oxunun tək vektorunu, oxun or-di-nat vektorunu və yuxarı-pli-kat oxunun tək vektorunu işarə edirik (bax. Şəkil 1). Bu göz qapaqları sağda-le-ni-i-mi oxları ilə co-on-right-le-na-dır, tək uzunluğa və or-to-go-nal-na-ya malikdir - cüt-cüt -lakin per-pen-di -ku-lyar-ny. Belə əsr-ra-na-zy-va-yut ko-or-di-nat-ny-mi yaş-to-ra-mi və ya ba-zi-pişik balığı.

düyü. 1. Raz-lo-eyni-yaş-o-ra üç co-or-di-nat-ny əsrdə-o-çərçivəsində

Bir mem-tor götürün, onu na-ça-lo ko-or-di-nat-da in-me-stim edin və bu vektor-toru üç müəyyən plan-nar-nym - le-zha -şimdə müxtəlif müstəvilərdə yaydırın. - bir əsrlik çərçivəyə. Bunun üçün M nöqtəsinin Oksi müstəvisinə proyeksiyasını aşağı salaq və ko-or-di-on-yo vektor xəndəyi tapaq və. On-lu-cha-eat:. Ras-look-rim on-del-no-sti on-del-no-sti hər bu əsrlər-o-xəndək. Vektor torus Ox oxu üzərində yerləşir, yəni vektoru ədədə vurma xassəsinə görə o, co-or-di-nat-ny vektorunda bir növ x ədədi kimi göstərilə bilər. , və göz qapağının uzunluğu uzunluğundan düz x dəfə böyükdür. Eyni şəkildə, bir əsr-o-ra-mi və, və bir lu-ça-yemək dəfə-lo-eyni yaş əsrində-o-ra üç ko-or-di-nat-ny ilə addımlayaq. əsrlər - qoç:

Bu zamanın co-ef-fi-qi-en-you x, y və z on-zy-va-yut-sya ko-or-di-na-ta-mi kosmosda yaş-to-ra.

Ras-look-rim sağ-vi-la, bəzi-çovdar pozaları-in-la-yut görə ko-or-di-on-orada verilmiş əsrlər-to-xəndək tapmaq üçün ko-or-di-na- sənsən onların cəmi və fərqi, eləcə də verilmiş bir əsrin ko-or-di-na-sizi pro-from-ve-de-niya-that-ra verilmiş say üzrə.

1) Mürəkkəblik:

2) You-chi-ta-nie:

3) Ədəmə vurma: ,

Vek-tor, na-cha-lo-ko-ro-go bayquş-pa-yes-et na-cha-hurda ilə ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya radius-əsr-rom.(şək. 2). Vektor-tor - ra-di-us-vektor, burada x, y və z co-ef-fi-qi-en-you raz-lo-eynidir bu əsr-to-ra görə co-or - di-nat-ny əsr-to-ram,,. Bu halda, x Ox oxundakı A nöqtəsinin birinci ko-or-di-on-tasıdır, y Oy oxundakı B nöqtəsinin ko-or-di-on-tasıdır, z ko-və ya - Oz oxunda di-na-ta C nöqtəsi. Ri-sun-kuya görə, aydındır ki, ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra birdəfəlik kişilər-amma is-la-yut-sya ko- or-di -on-ta-mi nöqtələri M.

A(x1;y1;z1) nöqtəsini və B(x2;y2;z2) nöqtəsini götürün (şək. 3-ə baxın). Biz əsri bir əsrin və bir əsrin fərqi kimi təsəvvür edirik. Üstəlik, və - ra-di-us-vek-to-ry, və onların co-or-di-na-you co-pa-da-yut ilə co-or-di-na-ta-mi contsov bu əsrlər-xəndək. Onda biz ko-or-di-na-sən əsr-o-ra-nı-rep-tu-u-ing-co-or-di-nat əsr-o-xəndək və : ilə fərq kimi təsəvvür edə bilərik. Bu yolla, ko-or-di-na-you əsrdən-raya, biz sonun ko-or-di-na-sizi və na-cha-la əsr-to-ra vasitəsilə vy-ra-zit edə bilərik. .

Nümunələrə baxın, əsrlik xəndəyin il-lu-stri-ru-yu-sche xassələri və ko-or-di-on-siz vasitəsilə onların siz-ra-eyni-siyonu. Take-meme əsr-o-ry , , . Bizdən soruşulub-şi-va-yut vektoru. Bu halda, onu tapmaq, ko-or-di-na-sizi bir əsr-o-ra, tamamilə onunla müəyyən edilmiş birini tapmaq deməkdir. Sub-stand-la-em in you-ra-same-nie əvəzinə yüz əsr-a-xəndək ilə-rep-stven-amma onların co-or-di-on-siz. By-lu-cha-eat:

İndi mötərizədə hər bir ko-or-di-na-tu üçün 3 rəqəmini və eyni de-la-em-i 2 ilə çarpırıq:

Bizdə üç əsrlik xəndəklərin cəmi var, onları yuxarıda öyrənilmiş əmlaka uyğun olaraq saxlayırıq:

Cavab:

Nümunə № 2.

Verilmişdir: Üçbucaqlı pi-ra-mi-da AOBC (şək. 4-ə baxın). AOB, AOC və OCB təyyarələri - cüt-cüt, lakin per-pen-di-ku-lyar-ny. OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; N - ser.OC; P - ser. CB.

Tapın: ,,,,,,,.

Həlli: Sayın əvvəli O nöqtəsində olan düzbucaqlı si-ste-mu co-or-di-nat Oxyz təqdim edək. Şərtinə görə oxlarda A, B və C nöqtələrini bilirik və se-re pi-ra-mi-dy-nin kənarlarının -di-ny - M, P və N. Ri-sun-ku on-ho-dim ko-və ya -di-on-you görə pi-ra-mi zirvələri -dy: A (3; 0; 0), B (0; 7; 0), C (0; 0; 4).

Bir müstəvidə və ya üçölçülü fəzada bir koordinat sistemi təqdim etsək, onda təsvir edə biləcəyik. həndəsi fiqurlar və onların xassələrini tənlik və bərabərsizliklərin köməyi ilə, yəni cəbrin üsullarından istifadə edə biləcəyik. Buna görə də koordinat sistemi anlayışı çox vacibdir.

Bu yazıda düzbucaqlı Dekart koordinat sisteminin müstəvidə və üçölçülü fəzada necə qurulduğunu göstərəcəyik və nöqtələrin koordinatlarının necə təyin olunduğunu öyrənəcəyik. Aydınlıq üçün qrafik təsvirləri təqdim edirik.

Səhifə naviqasiyası.

Müstəvidə düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi.

Təyyarədə düzbucaqlı koordinat sistemini təqdim edirik.

Bunu etmək üçün təyyarədə iki qarşılıqlı perpendikulyar xətt çəkirik, hər birini seçin müsbət istiqamət, onu ox ilə göstərin və hər birini seçin miqyası(uzunluq vahidi). Bu xətlərin kəsişmə nöqtəsini O hərfi ilə işarə edirik və onu nəzərdən keçirəcəyik istinad nöqtəsi. Beləliklə, aldıq düzbucaqlı koordinat sistemi səthdə.

Seçilmiş mənşəyi O, istiqaməti və miqyası olan xətlərin hər biri adlanır koordinat xətti və ya koordinat oxu.

Müstəvidəki düzbucaqlı koordinat sistemi adətən Oxy ilə işarələnir, burada Ox və Oy onun koordinat oxlarıdır. Öküz oxu deyilir x oxu, və Oy oxudur y oxu.

İndi düzbucaqlı koordinat sisteminin müstəvidə təsviri ilə razılaşaq.

Adətən, Ox və Oy oxları üzrə uzunluq vahidi eyni olmaq üçün seçilir və hər bir koordinat oxundakı koordinatların başlanğıcından müsbət istiqamətdə (koordinat oxları üzərində tire ilə işarələnir və vahidin yanında yazılır) qrafası çəkilir. o), absis oxu sağa, y oxu isə yuxarıdır. Bütün digər istiqamətlər koordinat oxları koordinat sistemini mənşəyə nisbətən müəyyən bucaqla fırladıb müstəvinin o biri tərəfindən (lazım olduqda) baxaraq səsli birinə (Ox oxu sağda, Oy oxu yuxarıda) azaldılır.

Düzbucaqlı koordinat sistemi, ilk dəfə Rene Dekart tərəfindən müstəvidə təqdim edildiyi üçün çox vaxt Kartezyen adlanır. Daha çox düzbucaqlı koordinat sistemi düzbucaqlı koordinat sistemi adlanır. Kartezyen sistemi koordinasiya edir, hər şeyi birləşdirir.

Üçölçülü fəzada düzbucaqlı koordinat sistemi.

Eynilə, düzbucaqlı koordinat sistemi Oxyz üçölçülü Evklid fəzasında qurulur, lakin iki deyil, üç qarşılıqlı perpendikulyar xətt götürülür. Başqa sözlə, Ox və Oy koordinat oxlarına Oz koordinat oxu əlavə olunur ki, bu da adlanır. oxu tətbiq edin.

Koordinat oxlarının istiqamətindən asılı olaraq üçölçülü fəzada sağ və sol düzbucaqlı koordinat sistemləri fərqləndirilir.

Əgər Oz oxunun müsbət istiqamətindən baxsanız və Ox oxunun müsbət istiqamətindən Oy oxunun müsbət istiqamətinə ən qısa dönüş saat əqrəbinin əksinə baş verirsə, o zaman koordinat sistemi adlanır. sağ.

Oz oxunun müsbət istiqamətindən baxıldıqda və Ox oxunun müsbət istiqamətindən Oy oxunun müsbət istiqamətinə ən qısa fırlanma saat əqrəbi istiqamətində baş verirsə, o zaman koordinat sistemi adlanır. sol.

Müstəvidə Kartezyen koordinat sistemindəki nöqtənin koordinatları.

Əvvəlcə Ox koordinat xəttini nəzərdən keçirin və üzərində bir neçə M nöqtəsini götürün.

Hər bir həqiqi ədəd bu koordinat xəttində unikal M nöqtəsinə uyğundur. Məsələn, koordinat xəttində başlanğıcdan müsbət istiqamətdə bir məsafədə yerləşən nöqtə rəqəmə, -3 rəqəmi isə mənfi istiqamətdə başlanğıcdan 3 məsafədə yerləşən nöqtəyə uyğundur. 0 rəqəmi mənşəyə uyğundur.

Digər tərəfdən, Ox koordinat xəttindəki hər bir M nöqtəsi həqiqi ədədə uyğundur. M nöqtəsi mənşəyi (O nöqtəsi) ilə üst-üstə düşürsə, bu real ədəd sıfırdır. M nöqtəsi başlanğıcdan müsbət istiqamətdə çıxarılarsa, bu həqiqi ədəd müsbətdir və verilmiş miqyasda OM seqmentinin uzunluğuna bərabərdir. Bu həqiqi ədəd mənfidir və M nöqtəsi başlanğıcdan mənfi istiqamətdə çıxarılarsa, mənfi işarəli OM seqmentinin uzunluğuna bərabərdir.

Nömrə çağırılır əlaqələndirmək koordinat xəttində M nöqtələri.

İndi təqdim edilmiş düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi olan bir müstəvini nəzərdən keçirək. Bu müstəvidə ixtiyari M nöqtəsini qeyd edirik.

M nöqtəsinin Ox xəttinə proyeksiyası, M nöqtəsinin Oy koordinat xəttinə proyeksiyası olsun (lazım olduqda məqaləyə baxın). Yəni, M nöqtəsindən Ox və Oy koordinat oxlarına perpendikulyar olan xətlər çəksək, onda bu xətlərin Ox və Oy xətləri ilə kəsişmə nöqtələri müvafiq olaraq nöqtələr və .

Ox koordinat oxundakı nöqtə ədədə, Oy oxundakı nöqtə isə ədədə uyğun olsun.

Verilmiş düzbucaqlı Dekart koordinat sistemindəki müstəvinin hər bir M nöqtəsi tək sıralanmış həqiqi ədədlər cütünə uyğundur. M nöqtəsinin koordinatları səthdə. Koordinat deyilir absis nöqtəsi M, a - ordinat nöqtəsi M.

Əks müddəa da doğrudur: hər bir sıralanmış həqiqi ədəd cütü verilmiş koordinat sistemində müstəvinin M nöqtəsinə uyğun gəlir.

Üç ölçülü fəzada düzbucaqlı koordinat sistemindəki nöqtənin koordinatları.

M nöqtəsinin koordinatlarının üçölçülü fəzada verilmiş düzbucaqlı koordinat sistemində necə təyin olunduğunu göstərək.

M nöqtəsinin müvafiq olaraq Ox , Oy və Oz koordinat oxlarına proyeksiyaları olsun və olsun. Ox , Oy və Oz koordinat oxları üzərindəki bu nöqtələr həqiqi ədədlərə və uyğun olsun.

İndi bir müstəvidə koordinatlar metodu anlayışını verək, yəni rəqəmlərdən istifadə edərək müstəvidə nöqtələrin mövqeyini təyin etməyə imkan verən bir üsul göstərəcəyik.

İki qarşılıqlı perpendikulyar xətt çəkin və onların hər birinə müsbət istiqamət qoyun. Müstəvi nöqtələrinin mövqeyini təyin edəcəyimiz bu xətlərə koordinat oxları deyilir. Koordinat oxları adətən şəkildə göstərildiyi kimi yerləşdirilir. 6: biri üfüqidir və üzərindəki müsbət istiqamət soldan sağa, digəri isə şaquli və üzərindəki müsbət istiqamət aşağıdan yuxarıya doğru seçilir. Oxlardan biri (adətən üfüqi) absis oxu (Ox oxu), digəri isə adlanır.

y oxu (Oy oxu). Koordinat oxlarının kəsişmə nöqtəsi koordinatların başlanğıcı adlanır (şəkil 6-da koordinatların başlanğıcı O hərfi ilə göstərilir). Nəhayət, biz miqyas vahidi seçirik (hər zaman eyni miqyas vahidinin hər iki koordinat oxunda seçildiyini güman edəcəyik).

İndi təyyarənin istənilən nöqtəsinin mövqeyi rəqəmlərlə - bu nöqtənin koordinatları ilə müəyyən edilə bilər. Həqiqətən də, təyyarənin istənilən M nöqtəsi koordinat oxları üzərində onun bu oxlara proyeksiyaları olan iki P və Q nöqtəsinə uyğun gəlir (şək. 6) və əksinə, koordinat oxları üzərindəki nöqtələri bilərək, tək bir nöqtə qura bilərsiniz. P və Q-nun bu oxlara proyeksiyaları olduğu müstəvidə M. Beləliklə, müstəvinin M nöqtəsinin mövqeyinin təyin edilməsi onun P və Q proyeksiyalarının koordinat oxları üzərindəki mövqelərinin müəyyən edilməsinə qədər azaldılır.

Amma biz artıq bilirik ki, bir nöqtənin oxdakı mövqeyi tamamilə koordinatla müəyyən edilir. X oxundakı P nöqtəsinin koordinatı, y oxundakı Q nöqtəsinin koordinatı y olsun. x və y ədədləri M nöqtəsinin müstəvidəki mövqeyini tam müəyyən edir və nöqtənin koordinatları adlanır; bu halda M nöqtəsinin absisi adlanır, y isə onun ordinatıdır.

Beləliklə, nöqtənin absisi Ox oxunun istiqamətlənmiş seqmentinin qiymətidir, başlanğıcı koordinatların başlanğıcı, sonu isə nöqtənin bu oxa proyeksiyasıdır; Nöqtənin ordinatı Oy oxunun istiqamətlənmiş seqmentinin qiymətidir, başlanğıcı koordinatların başlanğıcı, sonu isə nöqtənin y oxuna proyeksiyasıdır.

Deməli, müstəvidə hər hansı bir nöqtənin mövqeyi x və y cütünün təyin edilməsi ilə tam müəyyən edilir ki, onlardan birincisi nöqtənin absisi, ikincisi isə onun ordinatıdır.

Nöqtənin koordinatlarını mötərizədə, bu nöqtəni bildirən hərfin yanında absisanı birinci yerə, ordinatı ikinci yerə qoyaraq və vergüllə ayırmağa razıyıq: 6 Oy oxunun (y oxu) sağında yerləşən təyyarənin bütün nöqtələri üçün koordinat oxlarının yeri, absis müsbət, Oy oxunun solunda yerləşən nöqtələr üçün isə mənfidir. Y oxunun öz nöqtələrinin absisləri var, sıfır. Eyni şəkildə, müstəvinin Ox oxundan yuxarıda yerləşən nöqtələri (absis oxu) müsbət y ordinatına, oxun altında yerləşən nöqtələr isə mənfiyə malikdir. Ox oxunun özünün nöqtələri sıfıra bərabər bir ordinata malikdir. Mənbənin koordinatları var (0, 0).

Koordinat oxları təyyarəni dörddəbir və ya kvadrant adlanan dörd hissəyə bölür (bəzən koordinat oxları da deyilir).

künclər). Təyyarənin Ox və Oy müsbət yarımoxları arasında qalan hissəsi birinci kvadrant adlanır. Bundan əlavə, kvadrantların nömrələnməsi saat yönünün əksinə gedir (şək. 7). 1-ci kvadrantın bütün nöqtələri üçün II kvadrantın III və IV kvadrantdakı nöqtələri üçün

Müstəvidə nöqtənin mövqeyini təyin etmək üçün burada götürülən koordinatlar düzbucaqlı koordinatlar adlanır, çünki müstəvinin M nöqtəsi sağda kəsişən iki PM və QM düz xəttinin kəsişməsindən alınır (şək. 6). bucaq, həmçinin 1637-ci ildə analitik həndəsə üzrə ilk əsərini nəşr etdirən riyaziyyatçı və filosof Dekartın adı ilə Kartezyen.

Dekart düzbucaqlı koordinat sistemi müstəvidə nöqtələrin mövqelərini təyin etməyə imkan verən yeganə koordinat sistemi deyil (bu fəslin § 11-ə baxın), lakin o, ən sadədir və biz ondan əsasən gələcəkdə istifadə edəcəyik. Təsvir edilən koordinat metodundan iki əsas məsələnin həlli gəlir.

Tapşırıq I. Verilmiş M nöqtəsi üçün onun koordinatlarını tapın.

Bu M nöqtəsindən ox üzərindəki perpendikulyarları aşağı salırıq.Bu perpendikulyarların əsasları - P və Q nöqtələri hər iki istədiyiniz koordinatı təyin edəcək. M nöqtəsinin birinci koordinatı, onun absisi oxun istiqamətlənmiş OP seqmentinin qiymətinə bərabərdir.Nöqtənin ikinci koordinatı, onun ordinatı oxun istiqamətlənmiş OQ seqmentinin qiymətinə bərabərdir.

Tapşırıq I. M nöqtəsinin koordinatlarını bilərək, bu nöqtəni qurun.

Ox oxu boyunca O nöqtəsindən uzunluğu vahidləri olan bir seqmenti sağa, əgər və sola, Q nöqtəsini alsaq - Oy oxunda istədiyiniz nöqtənin proyeksiyasını ayıraq. P və Q-nı bilərək, bu nöqtələrdən proyeksiya kimi istədiyiniz M nöqtəsini qurmaq asandır.Bunun üçün P və Q üzərindən koordinat oxlarına paralel düz xətlər çəkmək lazımdır; bu xətlərin kəsişməsində istənilən nöqtə alınacaq

Şərh. Əgər istiqamətləndirilmiş PM və QM seqmentlərini (şək. 6) istiqamətləri onlara paralel olan koordinat oxlarının istiqamətləri ilə üst-üstə düşən oxların seqmentləri kimi qəbul etməyə razı olsaq, onda M nöqtəsinin absisi təkcə dəyəri ilə deyil, həm də dəyəri ilə ifadə edilməyəcəkdir. OP seqmenti,

həm də QM seqmentinə görə ona bərabərdir. Eyni nöqtənin ordinatı həm OQ seqmentinin qiyməti, həm də ona bərabər olan PM seqmentinin qiyməti ilə bərabər şəkildə ifadə olunacaq. OP, QM, OQ və PM istiqamətləndirilmiş seqmentlər M nöqtəsinin koordinat seqmentləri adlanacaq. Onda nəzərdən keçirilən iki əsas məsələni həll edərkən M nöqtəsinin hər iki proyeksiyasını təyin etməyə ehtiyac yoxdur, sadəcə müəyyən etmək kifayətdir. biri, məsələn, absis oxuna proyeksiya. Deməli, 1-ci məsələdə verilmiş M nöqtəsindən absis oxuna perpendikulyar endiririk. Onun əsası P M nöqtəsinin bu ox üzərində proyeksiyasını təyin edir. İstiqamətləndirilmiş OP seqmentinin qiyməti verilmiş nöqtənin absissini, RM seqmentinin qiyməti isə y ordinatını verəcəkdir.

Misal. Koordinatlar üzrə bir nöqtə qurun. Absis oxu boyunca O-dan sağa 2 vahid uzunluğunda bir seqment ayırdıq; bu seqmentin P ucu ilə ordinat oxuna paralel düz xətt çəkirik və onun üzərinə P-dən 3 vahid uzunluğunda bir seqment qoyuruq; bu seqmentin sonu arzu olunan M nöqtəsidir.

Beləliklə, seçilmiş koordinat sistemində müstəvinin hər bir nöqtəsi dəqiq müəyyən edilmiş x və y koordinatları cütünə uyğun gəlir və əksinə, hər hansı x, y həqiqi ədədlər cütü müstəvidə absisi olan vahid nöqtəni təyin edir. x-ə bərabərdir və ordinat y-dir. Deməli, nöqtə qoymaq onun koordinatlarını təyin etmək deməkdir; Nöqtə tapmaq onun koordinatlarını tapmaq deməkdir.

Bir nöqtənin fəzadakı mövqeyini təyin etmək üçün Karteziandan istifadə edəcəyik düzbucaqlı koordinatlar(şək. 2).

Kosmosda kartezyen düzbucaqlı koordinat sistemi OX, OY, OZ qarşılıqlı perpendikulyar üç koordinat oxundan əmələ gəlir. Koordinat oxları başlanğıc adlanan O nöqtəsində kəsişir, hər oxda oxlarla göstərilən müsbət istiqamət seçilir və oxlar üzrə seqmentlərin ölçü vahidi seçilir. Vahidlər adətən (mütləq deyil) bütün oxlar üçün eyni olur. OX oxuna absis oxu (və ya sadəcə olaraq absis), OY oxuna ordinat oxu (ordinata), OZ oxuna tətbiq oxu (applicate) deyilir.

A nöqtəsinin fəzada mövqeyi üç x, y və z koordinatları ilə müəyyən edilir. Seçilmiş vahidlərdə x koordinatı OB seqmentinin uzunluğuna, y koordinatı OC seqmentinin uzunluğuna, z koordinatı OD seqmentinin uzunluğuna bərabərdir. OB, OC və OD seqmentləri müvafiq olaraq YOZ, XOZ və XOY müstəvilərinə paralel nöqtədən çəkilmiş müstəvilərlə müəyyən edilir.

x koordinatı A nöqtəsinin absisi, y koordinatı A nöqtəsinin ordinatı, z koordinatı isə A nöqtəsinin tətbiqi adlanır.

Simvolik olaraq belə yazılır:

və ya indeksdən istifadə edərək koordinat qeydini müəyyən bir nöqtəyə bağlayın:

x A , y A , z A ,

Hər bir ox nömrə xətti kimi qəbul edilir, yəni müsbət istiqamətə malikdir və mənfi şüa üzərində yerləşən nöqtələrə mənfi koordinat dəyərləri təyin olunur (məsafə mənfi işarə ilə götürülür). Yəni, məsələn, B nöqtəsi şəkildəki kimi OX şüasında deyil, O nöqtəsindən əks istiqamətdə (OX oxunun mənfi hissəsində) davamında yerləşirsə, onda absis. A nöqtəsinin x mənfi olacaq (mənfi OB məsafəsi). Digər iki ox üçün də eynilə.

Şəkildə göstərilən OX, OY, OZ koordinat oxları. 2 sağ koordinat sistemi təşkil edir. Bu o deməkdir ki, OX oxunun müsbət istiqaməti boyunca YOZ müstəvisinə baxsanız, OY oxunun OZ oxuna doğru hərəkəti saat əqrəbi istiqamətində olacaq. Bu vəziyyəti gimlet qaydasından istifadə etməklə təsvir etmək olar: əgər gimlet (sağ əlli vint) OY oxundan OZ oxuna doğru fırlanırsa, o zaman OX oxunun müsbət istiqaməti boyunca hərəkət edəcəkdir.

Koordinat oxları boyunca istiqamətlənmiş vahid uzunluqlu vektorlara koordinat vektorları deyilir. Onlar adətən adlanır (şək. 3). Təyinatı da var Orts koordinat sisteminin əsasını təşkil edir.

Düzgün koordinat sistemi vəziyyətində, real aşağıdakı düsturlar orts vektor məhsulları ilə:

Fransız alimi Dekartın (1596-1650) adını daşıyan düzbucaqlı (digər adlar - düz, iki ölçülü) koordinat sistemi "müstəvidə kartezian koordinat sistemi" ikinin düz bucaqlı (perpendikulyar) müstəvidə kəsişməsindən əmələ gəlir. ədədi oxlar belə ki, birinin müsbət yarımoxu sağa (x oxu və ya absis), ikincisi isə yuxarıya (y oxu və ya y oxu) işarə edir.

Oxların kəsişmə nöqtəsi onların hər birinin 0 nöqtəsi ilə üst-üstə düşür və başlanğıc adlanır.

Oxların hər biri üçün ixtiyari miqyas seçilir (vahid uzunluq seqmenti). Təyyarənin hər bir nöqtəsi müstəvidə bu nöqtənin koordinatları adlanan bir cüt ədədə uyğundur. Əksinə, hər hansı bir sıralanmış ədəd cütü, bu ədədlərin koordinatları olduğu müstəvidə bir nöqtəyə uyğun gəlir.

Nöqtənin birinci koordinatı həmin nöqtənin absisi, ikinci koordinatı isə ordinat adlanır.

Bütün koordinat müstəvisi 4 kvadrant (kvartal) bölünür. Kvadrantlar birincidən dördüncüyə qədər saat əqrəbinin əksinə yerləşir (şəklə bax).

Nöqtənin koordinatlarını təyin etmək üçün onun absis oxuna və ordinat oxuna olan məsafəsini tapmaq lazımdır. Məsafə (ən qısa) perpendikulyar ilə təyin olunduğundan, iki perpendikulyar (koordinat müstəvisindəki köməkçi xətlər) oxdakı nöqtədən endirilir ki, onların kəsişmə nöqtəsi yer olsun. verilmiş nöqtə koordinatlar müstəvisində. Perpendikulyarların oxlarla kəsişmə nöqtələrinə nöqtənin koordinat oxlarına proyeksiyaları deyilir.

Birinci kvadrant absis və ordinatın müsbət yarımoxları ilə məhdudlaşır. Buna görə də təyyarənin bu rübündəki nöqtələrin koordinatları müsbət olacaqdır
("+" işarələri və

Məsələn, yuxarıdakı şəkildəki M (2; 4) nöqtəsi.

İkinci kvadrant mənfi absis yarımoxu və müsbət y oxu ilə məhdudlaşır. Buna görə də, absis oxu boyunca nöqtələrin koordinatları mənfi (“-” işarəsi), ordinat oxu boyunca isə müsbət (“+” işarəsi) olacaqdır.

Məsələn, yuxarıdakı şəkildəki C (-4; 1) nöqtəsi.

Üçüncü kvadrant mənfi absis yarımoxu və mənfi y oxu ilə məhdudlaşır. Buna görə də, absis və ordinatlar boyunca nöqtələrin koordinatları mənfi olacaq ("-" və "-" işarələri).

Məsələn, yuxarıdakı şəkildəki D (-6; -2) nöqtəsi.

Dördüncü kvadrant müsbət absis yarımoxu və mənfi y oxu ilə məhdudlaşır. Beləliklə, x oxu boyunca nöqtələrin koordinatları müsbət olacaqdır ("+" işarəsi). və ordinat oxu boyunca - mənfi ("-" işarəsi).

Məsələn, yuxarıdakı şəkildə R (3; -3) nöqtəsi.