Vektorun xəttə proyeksiyasının uzunluğu nə qədərdir. Vektorun oxa proyeksiyası. Bir vektorun proyeksiyasını necə tapmaq olar

Çox fiziki kəmiyyətlər bəzi rəqəmlər göstərilməklə tamamilə müəyyən edilir. Bunlar, məsələn, həcm, kütlə, sıxlıq, bədən istiliyi və s. Belə kəmiyyətlər skalyar adlanır. Bu səbəbdən ədədlərə bəzən skalyar deyilir. Amma elə kəmiyyətlər də var ki, onlar təkcə rəqəm deyil, həm də müəyyən istiqamət təyin etməklə müəyyən edilir. Məsələn, bir bədən hərəkət edərkən, yalnız bədənin hərəkət sürətini deyil, həm də hərəkət istiqamətini göstərmək lazımdır. Eyni şəkildə, hər hansı bir qüvvənin hərəkətini öyrənərkən, təkcə bu qüvvənin dəyərini deyil, həm də hərəkət istiqamətini göstərmək lazımdır. Belə miqdarlar deyilir vektor. Onları təsvir etmək üçün riyaziyyat üçün faydalı olduğu ortaya çıxan vektor anlayışı təqdim edildi.

Vektor tərifi

Kosmosda A-dan B-yə qədər hər hansı bir sıralı cüt nöqtə müəyyən edir istiqamətlənmiş seqment, yəni. üzərində verilən istiqamətlə birlikdə seqment. Əgər A nöqtəsi birincidirsə, o zaman istiqamətlənmiş seqmentin başlanğıcı, B nöqtəsi isə sonu adlanır. Seqmentin istiqaməti əvvəldən axıra qədər olan istiqamətdir.

Tərif
İstiqamətləndirilmiş seqment vektor adlanır.

Biz vektoru $\overrightarrow(AB) $ simvolu ilə qeyd edəcəyik, burada birinci hərf vektorun başlanğıcını, ikincisi isə onun sonunu bildirir.

Əvvəli və sonu eyni olan vektor deyilir sıfır və $\vec(0) $ və ya sadəcə 0 ilə işarələnir.

Vektorun başlanğıcı ilə sonu arasındakı məsafə onun adlanır uzun və $|\overrightarrow(AB)| $ və ya $|\vec(a)| $ ilə işarələnir.

$\vec(a) $ və $\vec(b) $ vektorları çağırılır kollinear eyni xətt üzərində və ya paralel xətlər üzərində uzanırlarsa. Kollinear vektorlar eyni və ya əks istiqamətə yönəldilə bilər.

İndi iki vektorun bərabərliyi ilə bağlı vacib konsepsiyanı formalaşdıra bilərik.

Tərif
$\vec(a) $ və $\vec(b) $ vektorları bərabər adlanır ($\vec(a) = \vec(b) $) əgər onlar kollineardırsa, eyni istiqamətə malikdirlər, və onların uzunluqları bərabərdir.

Əncirdə. 1, solda qeyri-bərabər vektorlar, sağda isə bərabər $\vec(a) $ və $\vec(b) $ vektorları göstərilir. Vektorların bərabərliyinin tərifindən belə çıxır ki, əgər verilmiş vektor özünə paralel hərəkət edərsə, ona bərabər vektor alınacaqdır. Bununla əlaqədar olaraq analitik həndəsədə vektorlar deyilir pulsuz.

Vektorun oxa proyeksiyası

Fəzada oxu $u$ və bəzi vektor $\overrightarrow(AB)$ verilsin. \ (u \) oxuna perpendikulyar müstəvidə A və B nöqtələrindən keçirək. Bu müstəvilərin oxu ilə kəsişmə nöqtələrini A "və B" ilə işarə edək (bax Şəkil 2).

$\overrightarrow(AB) $ vektorunun $u$ oxuna proyeksiyası $u$ oxunda yönəldilmiş A"B" seqmentinin A"B" qiymətidir. Bunu xatırlayın
$A"B" = |\overrightarrow(A"B")| $ , əgər $\overrightarrow(A"B") $ oxun istiqaməti $u $ ilə eynidirsə,
$A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| $ əgər $\overrightarrow(A"B") $ istiqaməti $u $ oxunun istiqamətinə əksdirsə,
$\overrightarrow(AB) $ vektorunun $u $ oxuna proyeksiyası aşağıdakı kimi işarələnir: $Pr_u \overrightarrow(AB) $.

teorem
$\overrightarrow(AB) $ vektorunun $u $ oxuna proyeksiyası vektorun uzunluğunun $\overrightarrow(AB) $ vektoru arasındakı bucağın kosinusuna bərabərdir $ \overrightarrow(AB) $ və ox $ u $ , yəni.

$P_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi $ burada $\varphi $ vektor $\overrightarrow(AB) $ ilə ox $u) arasındakı bucaqdır. $.

Şərh
$\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) $ və bəzi ox $u $ verilsin. Bu vektorların hər birinə teorem düsturunu tətbiq edərək, əldə edirik

$Ex_u \overrightarrow(A_1B_1) = Ex_u \overrightarrow(A_2B_2) $ i.e. bərabər vektorların eyni oxda bərabər proyeksiyaları var.

Koordinat oxları üzərində vektor proyeksiyaları

Qoy düzbucaqlı sistem koordinatları Oxyz və ixtiyari vektor $\overrightarrow(AB) $. Bundan əlavə, $X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) $. Koordinat oxlarında $\overrightarrow(AB) $ vektorunun X, Y, Z proyeksiyaları onu adlandırır. koordinatları. Eyni zamanda yazırlar
$\üst sağarrow(AB) = (X;Y;Z) $

teorem
A(x 1 ; y 1 ; z 1) və B(x 2 ; y 2; z 2) iki nöqtəsi nə olursa olsun, $\overrightarrow(AB) $ vektorunun koordinatları aşağıdakı düsturlarla müəyyən edilir. :

X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z \u003d z 2 -z 1

Şərh
$\overrightarrow(AB) $ vektoru mənşəyi tərk edərsə, yəni. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, onda $\overrightarrow(AB) $ vektorunun X, Y, Z koordinatları onun sonunun koordinatlarına bərabərdir:
X=x, Y=y, Z=z.

Vektor istiqaməti kosinusları

İxtiyari vektor olsun $\vec(a) = (X;Y;Z) $; güman edirik ki, $\vec(a) $ mənşəyi tərk edir və heç bir koordinat müstəvisində yatmır. A nöqtəsi vasitəsilə oxlara perpendikulyar müstəvilər çəkək. Koordinat müstəviləri ilə birlikdə onlar düzbucaqlı paralelepiped yaradırlar, onun diaqonalı OA seqmentidir (şəklə bax).

Elementar həndəsədən məlumdur ki, düzbucaqlı paralelepipedin diaqonalının uzunluğunun kvadratı onun üç ölçüsünün uzunluqlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir. Beləliklə,
$|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 $
Lakin $|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| $; beləcə alırıq
$|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 $
və ya
$|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) $
Bu düstur ixtiyari vektorun uzunluğunu onun koordinatları ilə ifadə edir.

$\vec(a) $ vektoru ilə koordinat oxları arasındakı bucaqları $\alpha, \; \beta, \; \qamma $ ilə işarələyin. Vektorun oxa proyeksiyası üçün düsturlardan və vektorun uzunluğunu alırıq
$\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) $
$\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) $
$\cos \qamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) $
$\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \qamma $ adlanır $\vec(a) $ vektorunun istiqamət kosinusları.

Əvvəlki bərabərliklərin hər birinin sol və sağ tərəflərini kvadratlaşdıraraq və nəticələri yekunlaşdıraraq, biz var
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \qamma = 1 $
olanlar. hər hansı vektorun kvadrat istiqamətli kosinuslarının cəmi birə bərabərdir.

Vektorlar üzərində xətti əməliyyatlar və onların əsas xassələri

Vektorlar üzərində xətti əməliyyatlar vektorların toplanması və çıxılması və vektorların ədədlərə vurulması əməliyyatlarıdır.

İki vektorun əlavə edilməsi

İki $\vec(a) $ və $\vec(b) $ vektoru verilsin. $\vec(a) + \vec(b) $ cəmi $\vec(a) $ vektorunun əvvəlindən $\vec(b) vektorunun sonuna qədər gedən vektordur. $ bir şərtlə ki, $\vec(b) $ vektoru $\vec(a) $ vektorunun sonuna əlavə olunsun (şəklə bax).

Şərh
Vektorların çıxarılmasının hərəkəti əlavənin hərəkətinin əksidir, yəni. $\vec(b) - \vec(a) $ $\vec(b) $ və $\vec(a) $ vektorlarının fərqi $ vektoru ilə birlikdə vektordur. \vec(a) ) $ $\vec(b) $ vektorunu verir (şəklə bax).

Şərh
İki vektorun cəmini təyin etdikdən sonra istənilən sayda vektorun cəmini tapmaq olar. Məsələn, $\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) $ vektoru verilsin. $\vec(a) $ və $\vec(b) $ əlavə edərək $\vec(a) + \vec(b) $ vektorunu alırıq. İndi ona $\vec(c) $ vektorunu əlavə edərək $\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) $ vektorunu alırıq.

Bir vektorun ədədlə hasili

$\vec(a) \neq \vec(0) $ vektoru və $\lambda \neq 0 $ ədədi verilsin. $\lambda \vec(a) $ məhsulu $\vec(a) \ vektoruna kollinear, uzunluğu \(|\lambda| |\vec(a)|-a bərabər olan vektordur. $ və $\vec(a) $ vektoru ilə eyni istiqamət, əgər $\lambda > 0 $ varsa, əksi $\lambda) həndəsi məna\(\vec(a) \neq \vec(0) $ vektorunun $\lambda \neq 0 $ ədədinə vurma əməliyyatlarını aşağıdakı kimi ifadə etmək olar: əgər $|\lambda| >1 \ ), onda \(\vec(a) $ vektorunu $\lambda $ ədədinə vurduqda $\vec(a) $ vektoru $\lambda $ dəfə "uzanır" və əgər \(|\lambda| 1 \ ).

Əgər $\lambda =0 $ və ya $\vec(a) = \vec(0) $, onda $\lambda \vec(a) $ hasilinin sıfır vektoruna bərabər olduğu qəbul edilir.

Şərh
Vektorun ədədə vurulmasının tərifindən istifadə edərək, $\vec(a) $ və $\vec(b) $ vektorlarının kollinear və $\vec(a) olduğu halda sübut etmək asandır. \neq \vec(0) $, onda (və yalnız bir) ədəd $\lambda $ var ki, $\vec(b) = \lambda \vec(a) $

Xətti əməliyyatların əsas xassələri

1. Əlavənin kommutativ xassəsi
$\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) $

2. Əlavənin assosiativ xassəsi
$(\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) $

3. Vurmanın assosiativ xassəsi
$\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) $

4. Ədədlərin cəminə görə paylayıcı xassə
$(\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) $

5. Vektorların cəminə görə paylayıcı xassə
$\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) $

Şərh
Xətti əməliyyatların bu xassələri fundamental əhəmiyyət kəsb edir, çünki onlar vektorlar üzərində adi cəbri əməliyyatları yerinə yetirməyə imkan verir. Məsələn, 4 və 5-ci xassələrə görə skalyar çoxhədlinin vektor çoxhədli ilə vurulmasını “həd-həd” yerinə yetirmək mümkündür.

Vektor proyeksiya teoremləri

teorem
İki vektorun cəminin bir oxa proyeksiyası onların bu oxa proyeksiyalarının cəminə bərabərdir, yəni.
$Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) $

Teorem istənilən sayda termin üçün ümumiləşdirilə bilər.

teorem
$\vec(a) $ vektorunu $\lambda $ ədədinə vurarkən onun oxa proyeksiyası da bu ədədə vurulur, yəni. $Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) $

Nəticə
Əgər $\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) $ və $\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) $, onda
$\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) $

Nəticə
Əgər $\vec(a) = (x;y;z) $, onda $\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) $ üçün istənilən ədəd $\lambda $

Buradan çıxarmaq asandır koordinatlarda iki vektorun kollinearlıq şərti.
Həqiqətən, $\vec(b) = \lambda \vec(a) $ bərabərliyi $x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ bərabərliklərinə ekvivalentdir. ) və ya
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) $ yəni. $\vec(a) $ və $\vec(b) $ vektorları koordinatları mütənasib olduqda kollinear olur.

Bazis baxımından vektorun parçalanması

$\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) $ vektorları koordinat oxlarının vahid vektorları olsun, yəni. $|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 $ və onların hər biri müvafiq koordinat oxu ilə bərabər istiqamətləndirilir (şəklə bax). $\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) $ vektorlarının üçlüyü adlanır. əsas.
Aşağıdakı teorem yerinə yetirilir.

teorem
İstənilən vektor $\vec(a) $ əsasında unikal şəkildə genişləndirilə bilər $\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; $, yəni. şəklində təqdim olunur
$\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) $
burada $\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu $ bəzi ədədlərdir.

İki vektor və fəzada verilsin. İxtiyari bir nöqtədən kənara qoyun O vektorlar və . künc vektorlar arasında və bucaqların ən kiçiki adlanır. İşarələnmiş .

Oxa nəzər salın l və onun üzərində vahid vektorun (yəni uzunluğu 1-ə bərabər olan vektorun) qrafikini çəkin.

Vektor və ox arasındakı bucaq l və vektorlar arasındakı bucağı başa düşmək.

Elə isə qoy l bəzi oxdur və vektordur.

ilə işarələyin A 1 və B1 ox üzrə proyeksiyalar l xal A və B. Belə iddia edək A 1 koordinata malikdir x 1, a B1- əlaqələndirmək x2 oxda l.

Sonra proyeksiya ox başına vektor l fərq adlanır x 1 – x2 vektorun sonunun və başlanğıcının bu oxa proyeksiyalarının koordinatları arasında.

Vektorun oxa proyeksiyası l işarə edəcəyik.

Aydındır ki, əgər vektor və ox arasındakı bucaq l onda kəskin x2> x 1, və proyeksiya x2 – x 1> 0; əgər bu bucaq ensizdirsə, onda x2< x 1 və proyeksiya x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, sonra x2= x 1 və x2– x 1=0.

Beləliklə, vektorun oxa proyeksiyası l seqmentin uzunluğudur A 1 B 1 müəyyən işarə ilə alınır. Deməli, vektorun oxa proyeksiyası ədəd və ya skalyardır.

Bir vektorun digərinə proyeksiyası da eyni şəkildə müəyyən edilir. Bu zaman bu vektorun uclarının proyeksiyaları 2-ci vektorun yerləşdiyi xəttdə tapılır.

Əsas bəzilərinə nəzər salaq proyeksiya xassələri.

VEKTORLARIN XƏTTİ ASLI VƏ XƏTİ MÜSTƏQİL SİSTEMLERİ

Bir neçə vektoru nəzərdən keçirək.

Xətti birləşmə bu vektorların formasının istənilən vektoru, burada bəzi ədədlər var. Rəqəmlər xətti birləşmənin əmsalları adlanır. Həmçinin deyilir ki, bu halda verilmiş vektorlar baxımından xətti şəkildə ifadə edilir , yəni. onlardan xətti əməliyyatlarla əldə edilir.

Məsələn, üç vektor verilmişdirsə, vektorlar onların xətti birləşməsi hesab edilə bilər:

Əgər vektor bəzi vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim olunursa, ona deyilir parçalanmış bu vektorlar boyunca.

Vektorlar deyilir xətti asılı, əgər belə rəqəmlər varsa, hamısı deyil sıfır, nə . Aydındır ki, bu vektorlardan hər hansı biri digərləri ilə xətti şəkildə ifadə olunarsa, verilmiş vektorlar xətti asılı olacaqdır.

Əks halda, yəni. nisbət olduqda yalnız zaman həyata keçirilir , bu vektorlar deyilir xətti müstəqil.

Teorem 1.İstənilən iki vektor yalnız və yalnız kollinear olduqda xətti asılıdır.

Sübut:

Aşağıdakı teorem oxşar şəkildə sübut edilə bilər.

Teorem 2.Üç vektor yalnız və yalnız müştərək olduqda xətti asılıdır.

Sübut.

ƏSAS

Əsas sıfırdan fərqli xətti çoxluq adlanır müstəqil vektorlar. Baza elementləri ilə işarələnəcək.

Əvvəlki yarımbölmədə müstəvidəki iki qeyri-kollinear vektorun xətti müstəqil olduğunu gördük. Buna görə də, əvvəlki bənddəki 1-ci teoremə görə, müstəvidəki əsas bu müstəvidə hər hansı iki qeyri-kollinear vektordur.

Eynilə, hər üç qeyri-komplanar vektor kosmosda xətti müstəqildir. Buna görə də üç qeyri-komplanar vektor fəzada bazis adlanır.

Aşağıdakı iddia doğrudur.

teorem. Kosmosda əsas verilsin. Onda istənilən vektor xətti kombinasiya kimi təqdim oluna bilər , harada x, y, z- bəzi rəqəmlər. Belə bir parçalanma unikaldır.

Sübut.

Beləliklə, bazis hər bir vektoru üçlü ədədlə - bazanın vektorları baxımından bu vektorun genişlənmə əmsalları ilə unikal şəkildə əlaqələndirməyə imkan verir: . Əksi də doğrudur, rəqəmlərin hər üçü x, y, zəsasdan istifadə edərək, xətti kombinasiya etsəniz vektoru uyğunlaşdıra bilərsiniz .

Əgər əsas və , sonra rəqəmlər x, y, zçağırdı koordinatları vektorlar verilmiş əsasda. Vektor koordinatları işarə edir.

KARTEZİAN KOORDİNAT SİSTEMİ

Kosmosda bir nöqtə verilsin O və üç qeyri-komplanar vektor.

Kartezyen sistemi koordinatları fəzada (müstəvidə) nöqtə və əsas çoxluğu adlanır, yəni. nöqtə çoxluğu və bu nöqtədən çıxan üç qeyri-komplanar vektor (2 qeyri-kollinear vektor).

Nöqtə O mənşəli adlanır; bazis vektorları istiqamətində başlanğıcdan keçən düz xətlərə koordinat oxları - absis, ordinat və tətbiq oxu deyilir. Koordinat oxlarından keçən təyyarələrə koordinat müstəviləri deyilir.

Seçilmiş koordinat sistemində ixtiyari bir nöqtəni nəzərdən keçirək M. Nöqtə koordinatı anlayışını təqdim edək M. Mənşəyi nöqtə ilə birləşdirən vektor M. çağırdı radius vektoru xal M.

Seçilmiş əsasdakı bir vektor üçlü ədədlə əlaqələndirilə bilər - onun koordinatları: .

Nöqtə radiusunun vektor koordinatları M. çağırdı M nöqtəsinin koordinatları. nəzərdən keçirilən koordinat sistemində. M(x,y,z). Birinci koordinat absis, ikincisi ordinat, üçüncü koordinat adlanır.

Müstəvidəki Kartezyen koordinatları da eyni şəkildə müəyyən edilir. Burada nöqtənin yalnız iki koordinatı var - absis və ordinat.

Verilmiş koordinat sistemi üçün hər bir nöqtənin müəyyən koordinatları olduğunu görmək asandır. Digər tərəfdən, ədədlərin hər üçlüyü üçün bu ədədlərin koordinatları olan tək bir nöqtə var.

Əgər seçilmiş koordinat sistemində əsas götürülən vektorlar vahid uzunluğa malikdirsə və cüt-cüt perpendikulyardırsa, o zaman koordinat sistemi adlanır. Kartezyen düzbucaqlı.

Bunu göstərmək asandır.

Bir vektorun istiqamət kosinusları onun istiqamətini tamamilə müəyyənləşdirir, lakin uzunluğu haqqında heç nə demir.

Ox istiqamətdir. Deməli, oxa və ya istiqamətlənmiş xəttə proyeksiya eyni hesab olunur. Proyeksiya cəbri və ya həndəsi ola bilər. Həndəsi dildə vektorun oxa proyeksiyası vektor, cəbri dildə isə ədəd kimi başa düşülür. Yəni vektorun ox üzərində proyeksiyası və vektorun ox üzərində ədədi proyeksiyası anlayışlarından istifadə olunur.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Əgər L oxumuz və sıfırdan fərqli A B → vektorumuz varsa, onda onun A 1 və B 1 nöqtələrinin proyeksiyalarını ifadə edən A 1 B 1 ⇀ vektorunu qura bilərik.

A 1 B → 1 A B → vektorunun L üzərinə proyeksiyası olacaq.

Tərif 1

Vektorun oxa proyeksiyası başlanğıcı və sonu başlanğıc və son proyeksiyaları olan vektoru çağırın verilmiş vektor. n p L A B → → A B → -nin L üzərinə proyeksiyasını qeyd etmək adətdir. L üzərində proyeksiya qurmaq üçün perpendikulyarları L üzərinə atın.

Misal 1

Bir vektorun oxa proyeksiyasına misal.

O x y koordinat müstəvisində M 1 (x 1, y 1) nöqtəsi göstərilmişdir. M 1 nöqtəsinin radius vektorunun təsviri üçün O x və O y üzərində proyeksiyalar qurmaq lazımdır. (x 1 , 0) və (0 , y 1) vektorlarının koordinatlarını alaq.

Əgər biz a →-nin sıfırdan fərqli b → proyeksiyasından və ya a →-nin b → istiqamətinə proyeksiyasından gedirsə, onda biz a →-nin b → istiqamətinin üst-üstə düşdüyü oxa proyeksiyasını nəzərdə tuturuq. b → ilə təyin olunan xəttə a → proyeksiyası n p b → a → → işarəsi ilə göstərilir. Məlumdur ki, bucaq a → ilə b → arasında olduqda, n p b → a → → və b → koordinatlı hesab edə bilərik. Bucaq küt olduqda, n p b → a → → və b → əks istiqamətə yönəldilir. a → və b → perpendikulyarlıq vəziyyətində və a → sıfırdır, a → b → istiqaməti boyunca proyeksiyası sıfır vektordur.

Vektorun oxa proyeksiyasının ədədi xarakteristikası vektorun verilmiş oxa ədədi proyeksiyasıdır.

Tərif 2

Vektorun oxa ədədi proyeksiyası verilmiş vektorun uzunluğunun hasilinə və verilmiş vektorla oxun istiqamətini təyin edən vektor arasındakı bucağın kosinusuna bərabər olan ədədi çağırın.

A B → -nin L üzərinə ədədi proyeksiyası n p L A B →, a → isə b → - n p b → a → ilə işarələnir.

Düstura əsasən npb → a → = a → · cos a → , b → ^ alırıq, buradan a → a → vektorunun uzunluğu, a ⇀ , b → ^ a → və vektorları arasındakı bucaqdır. b → .

Ədədi proyeksiyanın hesablanması düsturu alırıq: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . O, məlum olan a → və b → uzunluqları və onlar arasındakı bucaq üçün tətbiq edilir. Düstur a → və b → məlum koordinatları üçün tətbiq edilir, lakin onun sadələşdirilmiş versiyası mövcuddur.

Misal 2

Uzunluğu a → 8-ə bərabər və aralarındakı bucaq 60 dərəcə olan b → istiqamətində düz xəttə a → ədədi proyeksiyasını tapın. Şərtlə bizdə a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° var. Beləliklə, biz əvəz edirik ədədi dəyərlər düsturuna n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4.

Cavab: 4.

Məlum cos ilə (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → b → , bizdə a → , b → kimi skalyar məhsul a → və b → . n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ düsturundan çıxış edərək b → vektoru boyunca yönəlmiş a → ədədi proyeksiyasını tapıb n p b → a → = a → , b → b → ala bilərik. Düstur bəndin əvvəlində verilən tərifə bərabərdir.

Tərif 3

a → vektorunun b → istiqamətində üst-üstə düşən ox üzrə ədədi proyeksiyası a → və b → vektorlarının skalyar hasilinin b → uzunluğuna nisbətidir. n p b → a → = a → , b → b → düsturu a → və b → koordinatları məlum olan b → istiqamətində üst-üstə düşən düz xəttə a → ədədi proyeksiyasını tapmaq üçün tətbiq edilir.

Misal 3

Verilmiş b → = (- 3 , 4) . L üzərinə a → = (1 , 7) ədədi proyeksiyasını tapın.

Həll

Koordinat müstəvisində npb → a → = a → , b → b → formasına malikdir npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2 , a → = (ax , ay üçün) ) və b → = bx , ilə. a → vektorunun L oxuna ədədi proyeksiyasını tapmaq üçün sizə lazımdır: np L a → = npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2 = 1 (- 3) ) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

Cavab: 5.

Misal 4

a → = - 2 , 3 , 1 və b → = (3 , - 2 , 6) olan b → istiqaməti ilə üst-üstə düşən a → L üzərinə proyeksiyanı tapın. Üç ölçülü boşluq verilir.

Həll

a → = a x , a y , a z və b → = b x , b y , b z verilərək skalyar hasilini hesablayın: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 düsturu ilə b → uzunluğunu tapırıq. Buradan belə çıxır ki, a → ədədi proyeksiyasını təyin etmək üçün düstur belə olacaq: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Ədədi dəyərləri əvəz edin: np L a → = npb → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Cavab: - 6 7 .

a → on L ilə a → on L proyeksiyasının uzunluğu arasındakı əlaqəyə baxaq. Nöqtədən L-ə a → və b → əlavə edərək L oxunu çəkin, bundan sonra a → sonundan L-ə perpendikulyar xətt çəkirik və L üzərinə proyeksiya edirik. 5 şəkil varyasyonu var:

Birinci a → = npb → a → → a → = npb → a → → , deməli, npb → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = npb → olduğu hal a → → .

İkinci hal n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , belə ki, n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → -nin istifadəsini nəzərdə tutur.

üçüncü hal izah edir ki, npb → a → → = 0 → npb ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, sonra npb → a → → = 0 və npb → alırıq. a → = 0 = npb → a → → .

Dördüncü halda npb → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , npb → a → = a → cos (a → , b) göstərilir → ^) = - npb → a → → .

Beşinci halda a → = npb → a → → ifadəsini göstərir ki, bu da a → = npb → a → → deməkdir, deməli, bizdə npb → a → = a → cos a → , b → ^= a → cos 180 ° = - a → = - npb → a → .

Tərif 4

a → vektorunun L oxuna b → kimi yönəldilmiş ədədi proyeksiyasının mənası belədir:

a → vektorunun L üzərinə proyeksiyasının uzunluğu, bir şərtlə ki, a → və b → arasındakı bucaq 90 dərəcədən az və ya 0-a bərabər olsun: npb → a → = npb → a → → 0 ≤ şərti ilə (a → , b →) ^< 90 ° ;
a → və b → perpendikulyarlıq şərti ilə sıfır: (a → , b → ^) = 90 ° olduqda n p b → a → = 0;
a → və b → : n p b → a → = - n p b → a → 90° şərti ilə vektorlarının küt və ya yastı bucağı olduqda a → proyeksiyasının uzunluğu L dəfə -1< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Misal 5

a → L üzərinə proyeksiyanın uzunluğunu nəzərə alaraq, 2-yə bərabərdir. Bucağın 5 π 6 radian olduğunu nəzərə alaraq a → ədədi proyeksiyasını tapın.

Həll

Bu bucağın ensiz olması şərtindən görünür: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Cavab: - 2.

Misal 6

a → vektorunun uzunluğu 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) 30 dərəcə bucaqlı O x y z müstəvisi verilmişdir. L oxuna a → proyeksiyasının koordinatlarını tapın.

Həll

Əvvəlcə a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 vektorunun ədədi proyeksiyasını hesablayırıq.

Şərtə görə bucaq kəskindir, onda a → = ədədi proyeksiya a → : n p L a → = n p L a → → = 9 vektorunun proyeksiyasının uzunluğudur. Bu məsələ n p L a → → və b → vektorlarının birgə yönləndirildiyini göstərir, bu isə bərabərliyin doğru olduğu t ədədinin olduğunu bildirir: n p L a → → = t · b → . Buradan görürük ki, np L a → → = tb → , ona görə də t parametrinin qiymətini tapa bilərik: t = np L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.

Sonra a → vektorunun L oxuna proyeksiyasının koordinatları ilə np L a → → = 3 b → b → = (- 2 , 1 , 2) , burada dəyərləri 3-ə vurmaq lazımdır. Bizdə np L a → → = (- 6 , 3 , 6) var. Cavab: (- 6 , 3 , 6) .

Vektor kollinearlığının vəziyyəti haqqında əvvəllər öyrənilmiş məlumatları təkrarlamaq lazımdır.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

və bir ox və ya başqa vektor üzərində onun həndəsi proyeksiyası və ədədi (və ya cəbri) proyeksiyası anlayışları var. Həndəsi proyeksiyanın nəticəsi vektor, cəbri proyeksiyanın nəticəsi isə mənfi olmayan həqiqi ədəddir. Ancaq bu anlayışlara keçməzdən əvvəl xatırlayaq zəruri məlumatlar.

İlkin məlumat

Əsas anlayış birbaşa vektor anlayışıdır. Həndəsi vektorun tərifini təqdim etmək üçün seqmentin nə olduğunu xatırlayaq. Aşağıdakı tərifi təqdim edirik.

Tərif 1

Seqment düz xəttin nöqtə şəklində iki sərhədi olan hissəsidir.

Seqmentin 2 istiqaməti ola bilər. İstiqaməti göstərmək üçün seqmentin sərhədlərindən birini başlanğıcı, digər sərhəddini isə sonu adlandıracağıq. İstiqamət seqmentin əvvəlindən sonuna qədər göstərilir.

Tərif 2

Vektor və ya istiqamətlənmiş seqment seqmentin sərhədlərindən hansının başlanğıcı və hansının sonu olduğu məlum olan seqmentdir.

Qeyd: İki hərf: $\overline(AB)$ – (burada $A$ onun başlanğıcı və $B$ onun sonudur).

Bir kiçik hərflə: $\overline(a)$ (Şəkil 1).

Vektor anlayışı ilə bağlı daha bir neçə anlayışı təqdim edək.

Tərif 3

Sıfırdan fərqli iki vektor eyni xətt üzərində və ya bir-birinə paralel xətlər üzərində yerləşirsə, kollinear adlanacaqdır (şək. 2).

Tərif 4

Sıfırdan fərqli iki vektor iki şərti təmin edərsə, koordinatlı adlanır:

Bu vektorlar kollineardır.
Əgər onlar bir istiqamətə yönəldilirsə (şəkil 3).

Təyinat: $\overline(a)\overline(b)$

Tərif 5

Sıfırdan fərqli iki vektor iki şərti təmin edərsə, əks istiqamətli adlandırılacaqdır:

Bu vektorlar kollineardır.
göndərilsə müxtəlif tərəflər(Şəkil 4).

Təyinat: $\overline(a)↓\overline(d)$

Tərif 6

$\overline(a)$ vektorunun uzunluğu $a$ seqmentinin uzunluğudur.

Qeyd: $|\overline(a)|$

İki vektorun bərabərliyinin tərifinə keçək

Tərif 7

İki vektor iki şərti ödədikdə bərabər adlanacaq:

Onlar düzülür;
Onların uzunluqları bərabərdir (şək. 5).

həndəsi proyeksiya

Daha əvvəl dediyimiz kimi, həndəsi proyeksiyanın nəticəsi vektor olacaqdır.

Tərif 8

$\overline(AB)$ vektorunun ox üzrə həndəsi proyeksiyası dedikdə belə vektor başa düşülür ki, o, aşağıdakı kimi alınır: $A$ vektorunun başlanğıc nöqtəsi verilmiş oxa proyeksiya edilir. $A"$ nöqtəsini - arzu olunan vektorun başlanğıcını alırıq. $B$ vektorunun son nöqtəsi bu oxa proyeksiya edilir. $B"$ nöqtəsini alırıq - istənilən vektorun sonu. $\overline(A"B")$ vektoru istədiyiniz vektor olacaq.

Problemi nəzərdən keçirin:

Misal 1

Şəkil 6-da göstərilən $l$ oxuna $\overline(AB)$ həndəsi proyeksiyasını qurun.

$A$ nöqtəsindən $l$ oxuna perpendikulyar çəkin, üzərində $A"$ nöqtəsini alın. Sonra $B$ nöqtəsindən $l$ oxuna perpendikulyar çəkin, $B nöqtəsini alın. $ üzərində (şək. 7).

Cəbri vektor proyeksiyası istənilən oxda vektorun uzunluğunun hasilinə və ox ilə vektor arasındakı bucağın kosinusuna bərabərdir:

Sağ a b = |b|cos(a,b) və ya

Burada a b vektorların skalyar hasilidir, |a| - a vektorunun modulu.

Təlimat. Pp a b vektorunun proyeksiyasını onlayn tapmaq üçün a və b vektorlarının koordinatlarını təyin etməlisiniz. Bu halda vektor müstəvidə (iki koordinat) və fəzada (üç koordinat) verilə bilər. Nəticədə həll Word faylında saxlanılır. Vektorlar nöqtələrin koordinatları vasitəsilə verilirsə, onda bu kalkulyatordan istifadə etməlisiniz.

Vektor proyeksiyasının təsnifatı

Tərifinə görə proyeksiyaların növləri vektor proyeksiyası

Koordinat sistemi üzrə proyeksiyaların növləri

Vektor proyeksiyasının xassələri

Vektorun həndəsi proyeksiyası vektordur (istiqaməti var).
Vektorun cəbri proyeksiyası ədəddir.

Vektor proyeksiya teoremləri

Teorem 1. Vektorların cəminin istənilən ox üzrə proyeksiyası vektorların hədlərinin eyni ox üzərindəki proyeksiyasına bərabərdir.

Teorem 2. Vektorun istənilən oxa cəbri proyeksiyası vektorun uzunluğunun və ox ilə vektor arasındakı bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir:

Sağ a b = |b|cos(a,b)

Vektor proyeksiyalarının növləri

OX oxuna proyeksiya.
OY oxuna proyeksiya.
vektor üzərində proyeksiya.

OX oxuna proyeksiya	OY oxuna proyeksiya	Vektora proyeksiya
Əgər A'B' vektorunun istiqaməti OX oxunun istiqaməti ilə üst-üstə düşürsə, onda A'B' vektorunun proyeksiyası müsbət işarəyə malikdir.	Əgər A'B' vektorunun istiqaməti OY oxunun istiqaməti ilə üst-üstə düşürsə, onda A'B' vektorunun proyeksiyası müsbət işarəyə malikdir.	Əgər A'B' vektorunun istiqaməti NM vektorunun istiqaməti ilə üst-üstə düşürsə, onda A'B' vektorunun proyeksiyası müsbət işarəyə malikdir.
Vektorun istiqaməti OX oxunun istiqamətinə əks olarsa, A’B’ vektorunun proyeksiyası mənfi əlamət.	Əgər A'B' vektorunun istiqaməti OY oxunun istiqamətinə əks olarsa, A'B' vektorunun proyeksiyası mənfi işarəyə malikdir.	Əgər A'B' vektorunun istiqaməti NM vektorunun istiqamətinə əks olarsa, A'B' vektorunun proyeksiyası mənfi işarəyə malikdir.
Əgər AB vektoru OX oxuna paraleldirsə, onda A'B' vektorunun proyeksiyası AB vektorunun moduluna bərabərdir.	Əgər AB vektoru OY oxuna paraleldirsə, onda A'B' vektorunun proyeksiyası AB vektorunun moduluna bərabərdir.	Əgər AB vektoru NM vektoruna paraleldirsə, onda A'B' vektorunun proyeksiyası AB vektorunun moduluna bərabərdir.
Əgər AB vektoru OX oxuna perpendikulyardırsa, onda A'B' proyeksiyası sıfıra bərabərdir (sıfır vektor).	Əgər AB vektoru OY oxuna perpendikulyardırsa, onda A'B' proyeksiyası sıfıra bərabərdir (null vektor).	Əgər AB vektoru NM vektoruna perpendikulyardırsa, onda A'B' proyeksiyası sıfıra bərabərdir (null vektor).

1. Sual: Vektorun proyeksiyasının mənfi işarəsi ola bilərmi? Cavab: Bəli, vektor proyeksiyaları mənfi ola bilər. Bu halda vektor əks istiqamətə malikdir (OX oxunun və AB vektorunun necə yönəldildiyinə baxın)
2. Sual: Vektorun proyeksiyası vektorun modulu ilə üst-üstə düşə bilərmi? Cavab: Bəli, ola bilər. Bu halda vektorlar paraleldir (və ya eyni xətt üzərində yerləşir).
3. Sual: Vektorun proyeksiyası sıfıra bərabər ola bilərmi (sıfır vektor). Cavab: Bəli, ola bilər. Bu halda vektor müvafiq oxa (vektor) perpendikulyardır.

Nümunə 1. Vektor (şəkil 1) OX oxu ilə 60 o bucaq əmələ gətirir (a vektoru ilə verilir). Əgər OE miqyas vahididirsə, onda |b|=4, deməli .

Həqiqətən, vektorun uzunluğu (həndəsi proyeksiya b) 2-yə bərabərdir və istiqamət OX oxunun istiqaməti ilə üst-üstə düşür.

Misal 2. Vektor (şəkil 2) OX oxu ilə bucaq əmələ gətirir (a vektoru ilə) (a,b) = 120 o . Uzunluq |b| b vektoru 4-ə bərabərdir, ona görə də pr a b=4 cos120 o = -2.

Həqiqətən, vektorun uzunluğu 2-ə bərabərdir və istiqamət oxun istiqamətinə əksdir.