Nə olduğunu anlamaq üçün əsas qərar sistemiüzərinə klikləməklə eyni nümunə üçün video dərsliyə baxa bilərsiniz. İndi bütövlükdə təsvirə keçək zəruri iş. Bu, bu məsələnin mahiyyətini daha ətraflı başa düşməyə kömək edəcəkdir.
Nümunə olaraq bu sistemi götürək. xətti tənliklər:
Gəlin bunun həllini tapaq xətti sistem tənliklər. Başlamaq üçün, biz sistemin əmsal matrisini yazın.
Gəlin bu matrisi üçbucaqlıya çevirək. Birinci sətri dəyişmədən yenidən yazırıq. Və $a_(11)$ altında olan bütün elementlər sıfıra çevrilməlidir. $a_(21)$ elementinin yerində sıfır etmək üçün ikinci sətirdən birincini çıxmaq, ikinci sətirdə fərqi yazmaq lazımdır. $a_(31)$ elementinin yerində sıfır etmək üçün üçüncü sətirdən birincini çıxmaq və üçüncü sətirdə fərqi yazmaq lazımdır. $a_(41)$ elementinin yerinə sıfır etmək üçün dördüncü sətirdən birinci vurulan 2-ni çıxmaq və fərqi dördüncü sətirdə yazmaq lazımdır. $a_(31)$ elementinin yerinə sıfır etmək üçün beşinci sətirdən birinci çarpılanı 2-yə çıxarın və fərqi beşinci sətirə yazın. 
Birinci və ikinci sətirləri dəyişmədən yenidən yazırıq. Və $a_(22)$ altında olan bütün elementlər sıfıra çevrilməlidir. $a_(32)$ elementinin yerinə sıfır etmək üçün üçüncü sətirdən 2-yə vurulan ikincini çıxmaq və fərqi üçüncü sətirə yazmaq lazımdır. $a_(42)$ elementinin yerində sıfır etmək üçün dördüncü sətirdən 2-yə vurulan ikincini çıxmaq və fərqi dördüncü sətirdə yazmaq lazımdır. $a_(52)$ elementinin yerinə sıfır etmək üçün beşinci sətirdən 3-ə vurulan ikincini çıxın və fərqi beşinci sətirə yazın. 
Biz bunu görürük son üç sətir eynidir, buna görə də dördüncü və beşincidən üçüncünü çıxarsanız, onlar sıfır olacaq. 
Bu matris üçün yazın yeni sistem tənliklər.
Görürük ki, bizdə yalnız üç xətti müstəqil tənlik və beş naməlum var, ona görə də əsas həllər sistemi iki vektordan ibarət olacaq. Beləliklə, biz son iki naməlumu sağa köçürün.
İndi sol tərəfdəki bilinməyənləri sağ tərəfdəkilər vasitəsilə ifadə etməyə başlayırıq. Sonuncu tənlikdən başlayırıq, əvvəlcə $x_3$ ifadə edirik, sonra alınan nəticəni ikinci tənlikdə əvəz edib $x_2$ ifadə edirik, sonra isə birinci tənliyə və burada $x_1$ ifadə edirik. Beləliklə, sol tərəfdə olan bütün naməlumları sağ tərəfdəki bilinməyənlər vasitəsilə ifadə etdik. 
Bundan sonra, $x_4$ və $x_5$ əvəzinə istənilən rəqəmi əvəz edib $x_1$, $x_2$ və $x_3$ tapa bilərsiniz. Belə hər beş ədəd bizim ilkin tənliklər sistemimizin kökləri olacaqdır. Daxil olan vektorları tapmaq üçün FSR$x_4$ əvəzinə 1-i əvəz etməliyik və $x_5$ əvəzinə 0-ı əvəz etməliyik, $x_1$, $x_2$ və $x_3$ tapmalıyıq, sonra isə əksinə $x_4=0$ və $x_5=1$.
Matris məlumatları
Tapın: 1) aA - bB,
Həll: 1) Bir matrisi ədədə vurmaq və matrisləri toplamaq qaydalarından istifadə edərək ardıcıllıqla tapırıq.
2. Əgər A*B tapın
Həll: Matris vurma qaydasından istifadə edin
Cavab: 
3. Verilmiş matris üçün kiçik M 31-i tapın və determinantı hesablayın.
Həll: Minor M 31, A-dan alınan matrisin təyinedicisidir
3-cü sətir və 1-ci sütunu sildikdən sonra. Tapın
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Determinantını dəyişmədən A matrisini çevirək (1-ci sətirdə sıfırlar edək)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
İndi biz A matrisinin determinantını 1-ci sıra boyunca genişləndirməklə hesablayırıq
Cavab: M 31 = 0, detA = 0
Gauss metodu və Kramer metodundan istifadə edərək həll edin.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x1 + x2 + 2x3 = 5
Həll: Gəlin yoxlayaq
Cramer metodundan istifadə edə bilərsiniz
Sistem həlli: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Biz Gauss metodunu tətbiq edirik.
Sistemin uzadılmış matrisini üçbucaqlı formaya endiririk.
Hesablamaların rahatlığı üçün xətləri dəyişdiririk:
2-ci sıranı (k = -1 / 2 =) ilə vurun -1 / 2 ) və 3-cü yerə əlavə edilsin:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
1-ci sıranı (k = -2 / 2 =) ilə vurun -1 ) və 2-ci ilə əlavə edilsin:
İndi orijinal sistem belə yazıla bilər:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
2-ci sətirdən ifadə edirik
1-ci sətirdən ifadə edirik
Həll yolu eynidir.
Cavab: (2; -5; 3)
Sistemin və FSR-nin ümumi həllini tapın
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Həll: Gauss metodunu tətbiq edin. Sistemin uzadılmış matrisini üçbucaqlı formaya endiririk.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
1-ci sıranı (-11) ilə vurun. 2-ci sıranı (13) ilə vurun. 1-ci sətirə 2-ci sətri əlavə edək:
| -2 | -2 | -3 | ||
2-ci sıranı (-5) ilə vurun. 3-cü sıranı (11) ilə vurun. 2-ci sətirə 3-cü sətri əlavə edək:
3-cü sıranı (-7) ilə vurun. 4-cü sıranı (5) ilə vurun. 3-cü sıraya 4-cü sətri əlavə edək:
İkinci tənlik qalanların xətti birləşməsidir
Matrisin dərəcəsini tapın.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Seçilmiş minor ən yüksək sıraya malikdir (bütün mümkün azyaşlılar arasında) və sıfırdan fərqlidir (qarşılıqlı diaqonaldakı elementlərin hasilinə bərabərdir), buna görə də çaldı (A) = 2.
Bu kiçik əsasdır. Buraya naməlum x 1, x 2 üçün əmsallar daxildir, yəni naməlum x 1, x 2 asılı (əsas), x 3, x 4, x 5 isə sərbəstdir.
Bu matrisin əmsalları olan sistem orijinal sistemə bərabərdir və formaya malikdir:
18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5
7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5
Naməlumların aradan qaldırılması üsulu ilə tapırıq ümumi qərar:
x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5
x 1 = - 1 / 3 x 3
(n-r) həllərdən ibarət olan əsas həllər sistemini (FSR) tapırıq. Bizim vəziyyətimizdə n=5, r=2, buna görə də əsas həllər sistemi 3 həlldən ibarətdir və bu həllər xətti müstəqil olmalıdır.
Sətirlərin xətti müstəqil olması üçün cərgələrin elementlərindən ibarət matrisin dərəcəsinin sıraların sayına bərabər olması, yəni 3 olması zəruri və kifayətdir.
Sıfırdan fərqli 3-cü dərəcəli determinantın sətirlərindən x 3 ,x 4 ,x 5 sərbəst naməlumların qiymətlərini vermək və x 1 ,x 2-ni hesablamaq kifayətdir.
Ən sadə sıfırdan fərqli determinant eynilik matrisidir.
Ancaq burada götürmək daha rahatdır
Ümumi həlli istifadə edərək tapırıq:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ
I FSR qərarı: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ
II FSR qərarı: (0; -6; 0; 6; 0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
III FSR qərarı: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)
6. Verilmişdir: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Tapın: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2
Həll: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Cavab: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i
Texnikanı cilalamağa davam edəcəyik elementar çevrilmələrüstündə xətti tənliklərin homojen sistemi.
Birinci bəndlərə görə, material darıxdırıcı və adi görünə bilər, lakin bu təəssürat aldadıcıdır. Texnikaların gələcək inkişafı ilə yanaşı çoxlu yeni məlumatlar olacaq, ona görə də bu məqalədəki nümunələri nəzərdən qaçırmamağa çalışın.
Cavab özünü göstərir. Sərbəst müddət olduqda xətti tənliklər sistemi homojendir hər kəs sistem tənlikləri sıfır. Məsələn:
Tam aydındır ki homojen sistem həmişə ardıcıldır, yəni həmişə həlli var. Və, ilk növbədə, sözdə əhəmiyyətsiz həll 
. Trivial, sifətin mənasını ümumiyyətlə başa düşməyənlər üçün bespontovoe deməkdir. Əlbəttə ki, akademik deyil, amma başa düşülən =) ... Nə üçün kol ətrafında döymək, bu sistemin başqa həlləri olub olmadığını öyrənək:
Misal 1
Həll: homojen sistemi həll etmək üçün yazmaq lazımdır sistem matrisi elementar çevrilmələrin köməyi ilə pilləli formaya gətirir. Qeyd edək ki, burada sərbəst üzvlərin şaquli zolağı və sıfır sütununu yazmağa ehtiyac yoxdur - çünki sıfırlarla nə etsəniz, onlar sıfır olaraq qalacaqlar: 
(1) Birinci sətir ikinci sıraya əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir -3-ə vurularaq üçüncü sətirə əlavə edildi.
(2) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, -1 ilə vuruldu.
Üçüncü sıranı 3-ə bölmək o qədər də məntiqli deyil.
Elementar çevrilmələr nəticəsində ekvivalent homojen sistem alınır 
, və Qauss metodunun tərs hərəkətini tətbiq etməklə, həllin unikal olduğunu yoxlamaq asandır.
Cavab verin: 
Gəlin açıq bir kriteriya formalaşdıraq: homojen xətti tənliklər sistemi var yalnız mənasız həll , əgər sistem matrisinin dərəcəsi(v bu məsələ 3) dəyişənlərin sayına bərabərdir (bu halda 3 ədəd).
Radiomuzu elementar dəyişikliklər dalğasına qızdırırıq və kökləyirik:
Misal 2
Xətti tənliklərin homojen sistemini həll edin 
Nəhayət alqoritmi düzəltmək üçün son tapşırığı təhlil edək:
Misal 7
Homojen sistemi həll edin, cavabı vektor şəklində yazın. 
Həll: sistemin matrisini yazırıq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu pilləli formaya gətiririk: 
(1) Birinci sətrin işarəsi dəyişdirildi. Bir daha təkrarən rast gəlinən texnikaya diqqət çəkirəm ki, bu da aşağıdakı hərəkəti əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirməyə imkan verir.
(1) 2-ci və 3-cü sətirlərə birinci sətir əlavə edilmişdir. 2-yə vurulan birinci sətir 4-cü sətirə əlavə edildi.
(3) Son üç sətir mütənasibdir, onlardan ikisi çıxarılmışdır.
Nəticədə standart bir addım matrisi əldə edilir və həll yivli yol boyunca davam edir:
– əsas dəyişənlər;
sərbəst dəyişənlərdir.
Biz əsas dəyişənləri sərbəst dəyişənlərlə ifadə edirik. 2-ci tənlikdən:
- 1-ci tənlikdə əvəz edin:
Beləliklə, ümumi həll yolu budur:
Baxılan nümunədə üç sərbəst dəyişən olduğundan, fundamental sistem üç vektoru ehtiva edir.
Gəlin üçlü dəyərləri əvəz edək 
ümumi həllə çevirin və koordinatları homojen sistemin hər bir tənliyini ödəyən vektor alın. Yenə də təkrar edirəm ki, alınan hər bir vektoru yoxlamaq çox arzuolunandır - bu, çox vaxt çəkməyəcək, lakin səhvlərdən yüz faiz qənaət edəcəkdir.
Üçlü dəyərlər üçün 
vektorunu tapın
Və nəhayət, üçlük üçün 
üçüncü vektoru alırıq:
Cavab verin: , harada
Kəsr dəyərlərdən qaçmaq istəyənlər üçlü hesab edə bilərlər 
və ekvivalent formada cavab alın:
Fraksiyalardan danışarkən. Məsələdə alınan matrisə baxaq 
və sual verin - sonrakı həlli sadələşdirmək mümkündürmü? Axı biz burada əvvəlcə əsas dəyişəni kəsrlərlə, sonra əsas dəyişəni kəsrlərlə ifadə etdik və deməliyəm ki, bu proses ən asan və ən xoş olanı da deyildi.
İkinci həll:
Fikir cəhd etməkdir digər əsas dəyişənləri seçin. Gəlin matrisə baxaq və üçüncü sütunda ikisini qeyd edək. Bəs niyə yuxarıda sıfır almırsınız? Daha bir elementar çevrilmə edək:
Xətti cəbr tənliklərinin (SLAE) sistemlərinin həlli, şübhəsiz ki, xətti cəbr kursunun ən vacib mövzusudur. Riyaziyyatın bütün sahələrindən çoxlu sayda problem xətti tənliklər sistemlərinin həllinə endirilir. Bu faktorlar bu məqalənin yaradılmasının səbəbini izah edir. Məqalənin materialı seçilmiş və strukturlaşdırılmışdır ki, onun köməyi ilə edə bilərsiniz
Məqalənin materialının qısa təsviri.
Əvvəlcə bütün lazımi tərifləri, anlayışları veririk və bəzi qeydləri təqdim edirik.
Sonra, tənliklərin sayı naməlum dəyişənlərin sayına bərabər olan xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üsullarını nəzərdən keçiririk. tək qərar. Birincisi, Kramer metoduna diqqət yetirəcəyik, ikincisi, belə tənliklər sistemlərinin həlli üçün matris üsulunu göstərəcəyik, üçüncüsü, Qauss metodunu təhlil edəcəyik (metod ardıcıl istisna naməlum dəyişənlər). Nəzəriyyəni möhkəmləndirmək üçün biz mütləq bir neçə SLAE-ni müxtəlif yollarla həll edəcəyik.
Bundan sonra xətti cəbri tənliklərin sistemlərinin həllinə müraciət edirik ümumi görünüş, burada tənliklərin sayı naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşmür və ya sistemin əsas matrisi degenerativdir. Biz SLAE-lərin uyğunluğunu müəyyən etməyə imkan verən Kronecker-Capelli teoremini tərtib edirik. Gəlin matrisin əsas minoru anlayışından istifadə edərək sistemlərin həllini (uyğunluq halında) təhlil edək. Biz həmçinin Gauss metodunu nəzərdən keçirəcəyik və misalların həlli yollarını ətraflı təsvir edəcəyik.
Xətti cəbri tənliklərin bircins və qeyri-homogen sistemlərinin ümumi həllinin strukturu üzərində mütləq dayanın. Fundamental həllər sisteminin konsepsiyasını verək və əsas həllər sisteminin vektorlarından istifadə edərək SLAE-nin ümumi həllinin necə yazıldığını göstərək. Daha yaxşı başa düşmək üçün bir neçə misala baxaq.
Yekun olaraq, xətti olanlara endirən tənliklər sistemlərini də nəzərdən keçiririk müxtəlif vəzifələr, həlli SLAE-lərə səbəb olur.
Səhifə naviqasiyası.
Formanın n naməlum dəyişəni (p n-ə bərabər ola bilər) olan p xətti cəbri tənliklər sistemlərini nəzərdən keçirəcəyik.
Naməlum dəyişənlər, - əmsallar (bəzi real və ya mürəkkəb ədədlər), - sərbəst üzvlər (həmçinin həqiqi və ya mürəkkəb ədədlər).
SLAE-nin bu forması deyilir əlaqələndirmək.
V matris forması bu tənliklər sistemi formaya malikdir,
harada 
- sistemin əsas matrisi, - naməlum dəyişənlərdən ibarət matris-sütun, - sərbəst üzvlərdən ibarət matris-sütun.
Əgər A matrisinə (n + 1)-ci sütun kimi sərbəst şərtlərin matris-sütununu əlavə etsək, onda adlananı alarıq. genişlənmiş matris xətti tənliklər sistemləri. Adətən, artırılmış matris T hərfi ilə işarələnir və sərbəst üzvlərin sütunu qalan sütunlardan şaquli xətt ilə ayrılır, yəni 
Xətti cəbri tənliklər sistemini həll etməklə sistemin bütün tənliklərini eyniliyə çevirən naməlum dəyişənlərin dəyərlər toplusu adlanır. Matris tənliyi naməlum dəyişənlərin verilmiş qiymətləri üçün də şəxsiyyətə çevrilir.
Əgər tənliklər sisteminin ən azı bir həlli varsa, ona deyilir birgə.
Əgər tənliklər sisteminin həlli yoxdursa, ona deyilir uyğunsuz.
SLAE-nin unikal həlli varsa, o zaman çağırılır müəyyən; birdən çox həll varsa, onda - qeyri-müəyyən.
Sistemin bütün tənliklərinin sərbəst şərtləri sıfıra bərabər olarsa 
, sonra sistem çağırılır homojen, əks halda - heterojen.
Sistem tənliklərinin sayı naməlum dəyişənlərin sayına bərabərdirsə və onun əsas matrisinin determinantı sıfıra bərabər deyilsə, biz belə SLAE-ləri çağıracağıq. ibtidai. Bu cür tənlik sistemlərinin unikal həlli var və homojen sistem vəziyyətində bütün naməlum dəyişənlər sıfıra bərabərdir.
Bu cür SLAE-ləri öyrənməyə başladıq Ali məktəb. Onları həll edərkən bir tənlik götürdük, bir naməlum dəyişəni digərləri ilə ifadə etdik və onu qalan tənliklərdə əvəz etdik, sonra növbəti tənliyi götürdük, növbəti naməlum dəyişəni ifadə etdik və onu başqa tənliklərlə əvəz etdik və s. Yaxud əlavə metodundan istifadə edirdilər, yəni bəzi naməlum dəyişənləri aradan qaldırmaq üçün iki və ya daha çox tənlik əlavə edirdilər. Bu üsullar üzərində ətraflı dayanmayacağıq, çünki onlar mahiyyətcə Gauss metodunun modifikasiyasıdır.
Xətti tənliklərin elementar sistemlərinin həlli üçün əsas üsullar Kramer üsulu, matris üsulu və Qauss üsuludur. Gəlin onları sıralayaq.
Xətti cəbri tənliklər sistemini həll etməliyik 
burada tənliklərin sayı naməlum dəyişənlərin sayına bərabərdir və sistemin əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqlidir, yəni .
Sistemin baş matrisinin determinantı olsun, və 
əvəz etməklə A-dan alınan matrislərin təyinediciləridir 1-ci, 2-ci, …, n-ci sərbəst üzvlər sütununa müvafiq olaraq sütun: 
Belə qeydlərlə naməlum dəyişənlər Kramer metodunun düsturları ilə hesablanır 
. Xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli Kramer üsulu ilə belə tapılır.
Misal.
Kramer üsulu 
.
Həll.
Sistemin əsas matrisi formaya malikdir 
. Onun determinantını hesablayın (lazım olduqda, məqaləyə baxın): 
Sistemin əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqli olduğu üçün sistemin Kramer üsulu ilə tapıla bilən unikal həlli var.
Lazımi təyinediciləri tərtib edin və hesablayın 
(determinant A matrisində birinci sütunu sərbəst üzvlər sütunu ilə, determinant - ikinci sütunu sərbəst üzvlər sütunu ilə əvəz etməklə, - A matrisinin üçüncü sütununu sərbəst üzvlər sütunu ilə əvəz etməklə əldə edilir. ): 
Düsturlardan istifadə edərək naməlum dəyişənlərin tapılması 
:
Cavab:
Kramer metodunun əsas çatışmazlığı (əgər onu çatışmazlıq adlandırmaq olarsa) sistem tənliklərinin sayı üçdən çox olduqda determinantların hesablanmasının mürəkkəbliyidir.
Xətti cəbri tənliklər sistemi matris şəklində verilsin, burada A matrisi n ölçüsünə malikdir və onun təyinedicisi sıfırdan fərqlidir.
olduğundan, A matrisi inversilədir, yəni tərs matris var. Bərabərliyin hər iki hissəsini sol tərəfə vursaq, naməlum dəyişənlərin sütun matrisini tapmaq üçün düstur alırıq. Beləliklə, xətti cəbri tənliklər sisteminin matris üsulu ilə həllini əldə etdik.
Misal.
Xətti tənliklər sistemini həll edin matris üsulu.
Həll.
Tənliklər sistemini matris şəklində yenidən yazaq: 
Çünki
onda SLAE matris üsulu ilə həll edilə bilər. Vasitəsilə tərs matris kimi bu sistemin həllini tapmaq olar 
.
A matrisinin elementlərinin cəbri tamamlayıcılarının matrisindən istifadə edərək tərs matris quraq (lazım olduqda məqaləyə baxın): 
Hesablamaq qalır - tərs matrisi vurmaqla naməlum dəyişənlərin matrisi 
pulsuz üzvlərin matris sütununda (lazım olduqda, məqaləyə baxın): 
Cavab:
və ya başqa qeyddə x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Xətti cəbri tənliklər sistemlərinin matris üsulu ilə həllinin tapılmasında əsas problem tərs matrisin tapılmasının mürəkkəbliyidir. kvadrat matrislərüçüncüdən daha yüksək sifariş.
Tutaq ki, n naməlum dəyişəni olan n xətti tənlik sisteminin həllini tapmalıyıq. 
əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqlidir.
Gauss metodunun mahiyyəti naməlum dəyişənlərin ardıcıl xaric edilməsindən ibarətdir: birincisi, x 1 ikincidən başlayaraq sistemin bütün tənliklərindən xaric edilir, sonra x 2 üçüncüdən başlayaraq bütün tənliklərdən xaric edilir və s. yalnız naməlum dəyişənə qədər xn sonuncu tənlikdə qalır. Naməlum dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılması üçün sistemin tənliklərinin çevrilməsi prosesi adlanır. birbaşa Gauss üsulu. Bitirdikdən sonra irəli vuruş Qauss metodundan istifadə edərək sonuncu tənlikdən x n tapılır, bu qiymətdən istifadə etməklə sondan əvvəlki tənlikdən x n-1 hesablanır və s. birinci tənlikdən x 1 tapılır. Sistemin sonuncu tənliyindən birinciyə keçərkən naməlum dəyişənlərin hesablanması prosesi adlanır. əks Gauss üsulu.
Naməlum dəyişənlərin aradan qaldırılması alqoritmini qısaca təsvir edək.
Sistemin tənliklərini yenidən təşkil etməklə buna həmişə nail ola biləcəyimiz üçün fərz edəcəyik. İkincidən başlayaraq sistemin bütün tənliklərindən x 1 naməlum dəyişənini xaric edirik. Bunun üçün sistemin ikinci tənliyinə çarpılan birinci tənliyi, üçüncü tənliyə birinci vurulan tənliyi əlavə edin və s. Belə çevrilmələrdən sonra tənliklər sistemi formasını alacaqdır 
harada, a 
.
Sistemin birinci tənliyində x 1-i digər naməlum dəyişənlər baxımından ifadə etsək və nəticədə alınan ifadəni bütün digər tənliklərdə əvəz etsək, eyni nəticəyə gələrdik. Beləliklə, x 1 dəyişəni ikincidən başlayaraq bütün tənliklərdən xaric edilir.
Sonra, oxşar şəkildə hərəkət edirik, ancaq nəticədə ortaya çıxan sistemin şəkildə qeyd olunan bir hissəsi ilə 
Bunun üçün sistemin üçüncü tənliyinə vurulan ikinci tənliyi, dördüncü tənliyə ikinci vurulan tənliyi və s. n-ci tənliyə ikinci vurulan tənliyi əlavə etmək lazımdır. Belə çevrilmələrdən sonra tənliklər sistemi formasını alacaqdır 
harada, a 
. Beləliklə, x 2 dəyişəni üçüncüdən başlayaraq bütün tənliklərdən xaric edilir.
Sonra, şəkildə qeyd olunan sistemin hissəsi ilə eyni şəkildə hərəkət edərkən naməlum x 3-ün aradan qaldırılmasına davam edirik. 
Beləliklə, sistem formanı alana qədər Gauss metodunun birbaşa kursunu davam etdiririk 
Bu andan biz Gauss metodunun tərs gedişinə başlayırıq: biz sonuncu tənlikdən xn-i hesablayırıq, xn-in alınan qiymətindən istifadə edərək sondan əvvəlki tənlikdən x n-1-i tapırıq və s. birinci tənlik.
Misal.
Xətti tənliklər sistemini həll edin Qauss üsulu.
Həll.
Sistemin ikinci və üçüncü tənliklərindən naməlum x 1 dəyişənini çıxaraq. Bunu etmək üçün, ikinci və üçüncü tənliyin hər iki hissəsinə birinci tənliyin müvafiq hissələrini müvafiq olaraq və çarpan əlavə edirik: 
İndi üçüncü tənlikdən x 2-ni onun soluna və əlavə edərək aradan qaldırırıq sağ hissələr ikinci tənliyin sol və sağ tərəfləri ilə vurulur: 
Bunun üzərinə Gauss metodunun irəli kursu tamamlanır, əks kursa başlayırıq.
Yaranan tənliklər sisteminin sonuncu tənliyindən x 3 tapırıq: 
İkinci tənlikdən alırıq.
Birinci tənlikdən biz qalan naməlum dəyişəni tapırıq və bu, Gauss metodunun tərs gedişini tamamlayır.
Cavab:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Ümumi halda p sisteminin tənliklərinin sayı n naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşmür:
Belə SLAE-lərin heç bir həlli olmaya bilər, tək həll yolu ola bilər və ya sonsuz sayda həll yolu ola bilər. Bu ifadə əsas matrisi kvadrat və degenerativ olan tənlik sistemlərinə də aiddir.
Xətti tənliklər sisteminin həllini tapmazdan əvvəl onun uyğunluğunu müəyyən etmək lazımdır. SLAE nə vaxt uyğundur, nə vaxt uyğun gəlmir sualına cavab verir Kroneker-Kapelli teoremi:
n naməlum (p n-ə bərabər ola bilər) olan p tənliklər sisteminin ardıcıl olması üçün sistemin əsas matrisinin rütbəsinin uzadılmış matrisin dərəcəsinə bərabər olması zəruri və kifayətdir, yəni Rank( A)=Rütbə(T) .
Nümunə kimi xətti tənliklər sisteminin uyğunluğunu təyin etmək üçün Kroneker-Kapelli teoreminin tətbiqini nəzərdən keçirək.
Misal.
Xətti tənliklər sisteminin olub olmadığını öyrənin 
həllər.
Həll.
. Yetkinlik yaşına çatmayanları həmsərhədləşdirmə metodundan istifadə edək. İkinci dərəcəli kiçik 
sıfırdan fərqlidir. Gəlin onu əhatə edən üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlara keçək: 
Bütün həmsərhəd üçüncü dərəcəli kiçiklər sıfıra bərabər olduğundan, əsas matrisin dərəcəsi ikidir.
Öz növbəsində, artırılmış matrisin dərəcəsi 
üçüncü sıradan kiçik olduğundan üçə bərabərdir 
sıfırdan fərqlidir.
Bu cür, Rang(A) , buna görə də Kronecker-Capelli teoreminə əsasən, xətti tənliklərin ilkin sisteminin uyğunsuz olduğu qənaətinə gələ bilərik.
Cavab:
Həll sistemi yoxdur.
Beləliklə, biz Kronecker-Capelli teoremindən istifadə edərək sistemin uyğunsuzluğunu təyin etməyi öyrəndik.
Bəs uyğunluğu müəyyən edilərsə, SLAE-nin həllini necə tapmaq olar?
Bunun üçün bizə matrisin əsas minoru anlayışı və matrisin rütbəsi haqqında teorem lazımdır.
Kiçik ən yüksək sifariş sıfırdan fərqli olan A matrisi adlanır əsas.
Bazis minorunun tərifindən belə çıxır ki, onun sırası matrisin dərəcəsinə bərabərdir. Sıfır olmayan A matrisi üçün bir neçə əsas minor ola bilər; həmişə bir əsas minor var.
Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək 
.
Bu matrisin bütün üçüncü dərəcəli kiçikləri sıfıra bərabərdir, çünki bu matrisin üçüncü cərgəsinin elementləri birinci və ikinci sıraların müvafiq elementlərinin cəmidir.
İkinci dərəcəli aşağıdakı azyaşlılar əsasdır, çünki onlar sıfırdan fərqlidirlər 
Yetkinlik yaşına çatmayanlar 
əsas deyil, çünki onlar sıfıra bərabərdir.
Matris dərəcə teoremi.
Əgər p ilə n sıralı matrisin dərəcəsi r-dirsə, onda matrisin seçilmiş əsas minorunu təşkil etməyən sətirlərinin (və sütunlarının) bütün elementləri sətirlərin (və sütunların) uyğun elementləri baxımından xətti şəkildə ifadə edilir. ) minorun əsasını təşkil edən.
Matris dərəcə teoremi bizə nə verir?
Əgər Kroneker-Kapelli teoremi ilə sistemin uyğunluğunu müəyyən etmişiksə, onda sistemin əsas matrisinin hər hansı əsas minorunu seçirik (onun sırası r-ə bərabərdir) və sistemə uyğun olmayan bütün tənlikləri sistemdən xaric edirik. seçilmiş əsas minoru formalaşdırır. Bu şəkildə əldə edilən SLAE orijinala bərabər olacaq, çünki atılan tənliklər hələ də lazımsızdır (matris dərəcə teoreminə görə, onlar qalan tənliklərin xətti birləşməsidir).
Nəticədə, sistemin həddindən artıq tənliklərini atdıqdan sonra iki hal mümkündür.
Alınan sistemdə r tənliklərinin sayı naməlum dəyişənlərin sayına bərabər olarsa, o, müəyyən olacaqdır və yeganə həllini Kramer üsulu, matris üsulu və ya Qauss üsulu ilə tapmaq olar.
Misal.
.
Həll.
Sistemin əsas matrisinin dərəcəsi 
ikinci dərəcəli kiçik olduğundan ikiyə bərabərdir 
sıfırdan fərqlidir. Genişləndirilmiş matris dərəcəsi 
həm də ikiyə bərabərdir, çünki üçüncü dərəcəli yeganə minor sıfıra bərabərdir 
yuxarıda nəzərdən keçirilən ikinci dərəcəli kiçik sıfırdan fərqlidir. Kroneker-Kapelli teoreminə əsaslanaraq, Rank(A)=Rank(T)=2 olduğundan, orijinal xətti tənliklər sisteminin uyğunluğunu təsdiq etmək olar.
Kiçik əsas kimi alırıq . Birinci və ikinci tənliklərin əmsalları ilə formalaşır: 
Sistemin üçüncü tənliyi əsas minorun formalaşmasında iştirak etmir, ona görə də matrisin dərəcə teoreminə əsaslanaraq onu sistemdən çıxarırıq: 
Beləliklə, xətti cəbri tənliklərin elementar sistemini əldə etdik. Kramer üsulu ilə həll edək: 
Cavab:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Əldə edilən SLAE-də tənliklərin sayı r olarsa sayından azdır naməlum dəyişənlər n, sonra tənliklərin sol tərəfində əsası təşkil edən həddləri minor qoyub, qalan həddləri əks işarəli sistemin tənliklərinin sağ tərəfinə köçürük.
Tənliklərin sol tərəflərində qalan naməlum dəyişənlərə (onlardan r var) deyilir. əsas.
Sağ tərəfdə bitən naməlum dəyişənlər (onlardan n - r var) adlanır. pulsuz.
İndi biz fərz edirik ki, sərbəst naməlum dəyişənlər ixtiyari qiymətlər ala bilər, r əsas naməlum dəyişənlər isə unikal şəkildə sərbəst naməlum dəyişənlər baxımından ifadə olunacaq. Onların ifadəsini əldə edilən SLAE-ni Kramer metodu, matris metodu və ya Qauss metodu ilə həll etməklə tapmaq olar.
Bir misal götürək.
Misal.
Xətti cəbri tənliklər sistemini həll edin 
.
Həll.
Sistemin əsas matrisinin dərəcəsini tapın 
sərhədyanı yetkinlik yaşına çatmayanlar üsulu ilə. Gəlin 1 1 = 1-i sıfırdan fərqli birinci dərəcəli minor kimi götürək. Gəlin bu azyaşlının ətrafında sıfırdan fərqli ikinci dərəcəli azyaşlı axtarmağa başlayaq: 
Beləliklə, biz ikinci dərəcəli sıfır olmayan minor tapdıq. Gəlin üçüncü sıradan sıfır olmayan sərhədyanı axtarmağa başlayaq: 
Beləliklə, əsas matrisin dərəcəsi üçdür. Artırılmış matrisin dərəcəsi də üçə bərabərdir, yəni sistem ardıcıldır.
Üçüncü dərəcəli tapılmış sıfır olmayan minor əsas kimi qəbul ediləcək.
Aydınlıq üçün minorun əsasını təşkil edən elementləri göstəririk: 
Əsas minorda iştirak edən terminləri sistemin tənliklərinin sol tərəfinə qoyuruq, qalanlarını isə əks işarələrlə sağ tərəflərə köçürük: 
Sərbəst naməlum dəyişənlərə x 2 və x 5 ixtiyari qiymətlər veririk, yəni götürürük 
, ixtiyari ədədlər haradadır. Bu halda, SLAE formasını alır 
Alınmış elementar xətti cəbri tənliklər sistemini Kramer üsulu ilə həll edirik: 
Beləliklə, .
Cavabda sərbəst bilinməyən dəyişənləri göstərməyi unutmayın.
Cavab:
İxtiyari nömrələr haradadır.
Ümumiləşdirin.
Ümumi formalı xətti cəbri tənliklər sistemini həll etmək üçün əvvəlcə Kroneker-Kapelli teoremindən istifadə edərək onun uyğunluğunu öyrənirik. Əsas matrisin dərəcəsi genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabər deyilsə, sistemin uyğunsuz olduğu qənaətinə gəlirik.
Əgər əsas matrisin dərəcəsi genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabərdirsə, onda biz əsas minoru seçirik və sistemin seçilmiş əsas minorun formalaşmasında iştirak etməyən tənliklərini ləğv edirik.
Əgər əsas kiçik əmr ədədinə bərabərdir naməlum dəyişənlər, onda SLAE bizə məlum olan hər hansı bir üsulla tapıla bilən unikal bir həllə malikdir.
Əgər əsas minorun sırası naməlum dəyişənlərin sayından azdırsa, sistemin tənliklərinin sol tərəfində əsas naməlum dəyişənlərlə şərtləri qoyuruq, qalan şərtləri sağ tərəflərə köçürür və ixtiyari qiymətlər təyin edirik. sərbəst naməlum dəyişənlərə. Yaranan xətti tənliklər sistemindən Kramer metodu, matris metodu və ya Qauss metodu ilə əsas naməlum dəyişənləri tapırıq.
Gauss metodundan istifadə etməklə istənilən növ xətti cəbri tənliklər sistemlərini uyğunluq üçün ilkin araşdırma olmadan həll etmək olar. Naməlum dəyişənlərin ardıcıl xaric edilməsi prosesi SLAE-nin həm uyğunluğu, həm də uyğunsuzluğu haqqında nəticə çıxarmağa imkan verir və həll yolu varsa, onu tapmağa imkan verir.
Hesablama işi baxımından Qauss metoduna üstünlük verilir.
Buna bax Ətraflı Təsviri və ümumi formalı xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün Qauss metodu məqaləsində nümunələr təhlil edilmişdir.
Bu bölmədə biz sonsuz sayda həlli olan xətti cəbri tənliklərin birgə homojen və qeyri-homogen sistemlərinə diqqət yetirəcəyik.
Əvvəlcə homojen sistemlərlə məşğul olaq.
Əsas qərar sistemi n naməlum dəyişəni olan p xətti cəbri tənliklərin bircins sisteminin bu sistemin (n – r) xətti müstəqil həllər toplusudur, burada r sistemin baş matrisinin əsas minorunun sırasıdır.
Bircins SLAE-nin xətti müstəqil həllərini X (1) , X (2) , …, X (nr) (X (1) , X (2) , …, X (nr) kimi işarələsək, 1 sütunlu matrislərlə n-dir. ), onda bu bircins sistemin ümumi həlli ixtiyari sabit əmsalları С 1 , С 2 , …, С (nr) olan əsas həllər sisteminin vektorlarının xətti kombinasiyası kimi təmsil olunur, yəni .
Xətti cəbri tənliklərin homojen sisteminin ümumi həlli termini (oroslau) nə deməkdir?
Məna sadədir: formula hər şeyi təyin edir mümkün həllər orijinal SLAE, başqa sözlə, ixtiyari sabitlərin hər hansı bir dəstini götürərək C 1 , С 2 , …, С (n-r) , düstura görə orijinal homojen SLAE-nin həllərindən birini alırıq.
Beləliklə, əsas həllər sistemi tapsaq, bu homojen SLAE-nin bütün həllərini təyin edə bilərik.
Homojen SLAE üçün əsas həllər sisteminin qurulması prosesini göstərək.
Orijinal xətti tənliklər sisteminin əsas minorunu seçirik, bütün digər tənlikləri sistemdən çıxarırıq və əks işarəli sistemin tənliklərinin sağ tərəfinə sərbəst naməlum dəyişənləri ehtiva edən bütün şərtləri köçürürük. Sərbəst naməlum dəyişənlərə 1,0,0,…,0 qiymətlərini verək və nəticədə yaranan elementar xətti tənliklər sistemini istənilən üsulla, məsələn, Kramer üsulu ilə həll etməklə əsas naməlumları hesablayaq. Beləliklə, X (1) alınacaq - fundamental sistemin ilk həlli. Sərbəst naməlumlara 0,1,0,0,…,0 qiymətlərini verib əsas naməlumları hesablasaq, onda X (2) alırıq. və s. Sərbəst naməlum dəyişənlərə 0,0,…,0,1 qiymətlərini versək və əsas naməlumları hesablasaq, onda X (n-r) alırıq. Homojen SLAE-nin əsas həllər sistemi belə qurulacaq və onun ümumi həlli formada yazıla bilər.
Xətti cəbri tənliklərin qeyri-homogen sistemləri üçün ümumi həll aşağıdakı kimi təqdim olunur
Nümunələrə baxaq.
Misal.
Xətti cəbri tənliklərin homojen sisteminin əsas həllər sistemini və ümumi həllini tapın. 
.
Həll.
Xətti tənliklərin homojen sistemlərinin əsas matrisinin dərəcəsi həmişə uzadılmış matrisin dərəcəsinə bərabərdir. Yetkinlik yaşına çatmayanların saçaqlanması üsulu ilə əsas matrisin dərəcəsini tapaq. Birinci dərəcəli sıfırdan fərqli minor kimi sistemin əsas matrisinin a 1 1 = 9 elementini götürürük. İkinci dərəcəli sərhəd olan sıfırdan fərqli minorunu tapın: 
Sıfırdan fərqli ikinci dərəcəli minor tapılır. Sıfır olmayan birini axtarmaq üçün onunla sərhəd olan üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanları nəzərdən keçirək: 
Üçüncü dərəcəli bütün həmsərhəd yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabərdir, buna görə də əsas və genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi ikidir. Əsas minoru götürək. Aydınlıq üçün onu təşkil edən sistemin elementlərini qeyd edirik: 
Orijinal SLAE-nin üçüncü tənliyi əsas minorun formalaşmasında iştirak etmir, buna görə də onu istisna etmək olar: 
Tənliklərin sağ tərəflərində əsas bilinməyənləri ehtiva edən şərtləri buraxırıq və sərbəst naməlum olan şərtləri sağ tərəflərə köçürük:
Orijinal homojen xətti tənliklər sisteminin əsas həllər sistemini quraq. Bu SLAE-nin əsas həllər sistemi iki həlldən ibarətdir, çünki orijinal SLAE dörd naməlum dəyişəni ehtiva edir və onun əsas minorunun sırası ikidir. X (1) tapmaq üçün sərbəst naməlum dəyişənlərə x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 dəyərlərini veririk, sonra tənliklər sistemindən əsas naməlumları tapırıq. 
.
Sistem m xətti tənliklər c n naməlum adlanır xətti homojenlər sistemi bütün sərbəst şərtlər sıfıra bərabər olduqda tənliklər. Belə bir sistem belə görünür:
harada və ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - verilmiş nömrələr; x i- naməlum.
Xətti sistem homojen tənliklər həmişə uyğun gəlir, çünki r(A) = r(). Həmişə ən azı sıfıra malikdir ( əhəmiyyətsiz) məhlulu (0; 0; ...; 0).
Hansı şəraitdə homojen sistemlərin sıfırdan fərqli həlləri olduğunu nəzərdən keçirək.
Teorem 1. Xətti homojen tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həlləri o halda olur ki, onun əsas matrisinin dərəcəsi r daha az bilinməyənlər n, yəni. r < n.
□
bir). Xətti homojen tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həlli olsun. Rütbə matrisin ölçüsünü keçə bilmədiyi üçün aydındır ki r ≤ n. Qoy r = n. Sonra ölçüdə olan kiçiklərdən biri n n sıfırdan fərqlidir. Buna görə də, uyğun xətti tənliklər sisteminin unikal həlli var: 
, , . Beləliklə, mənasız olanlardan başqa heç bir həll yolu yoxdur. Beləliklə, qeyri-trivial bir həll varsa, o zaman r < n.
2). Qoy r < n. O zaman homojen sistem ardıcıl olmaqla qeyri-müəyyəndir. Deməli, onun sonsuz sayda həlli var, yəni. sıfırdan fərqli həllər də var. ■
Homojen bir sistem düşünün n xətti tənliklər c n naməlum:
(2)
Teorem 2. homojen sistem n xətti tənliklər c n naməlumların (2) sıfırdan fərqli həlləri o halda olur ki, onun təyinedicisi sıfıra bərabər olsun: = 0.
□ Əgər sistemin (2) sıfırdan fərqli həlli varsa, onda = 0. at üçün sistemin yalnız unikal sıfır həlli var. = 0 olarsa, dərəcə r sistemin əsas matrisi naməlumların sayından azdır, yəni. r < n. Və buna görə də, sistemin sonsuz sayda həlli var, yəni. sıfırdan fərqli həllər də var. ■
Sistemin həllini qeyd edin (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n sim kimi 
.
Xətti homojen tənliklər sisteminin həlləri aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
1.
Əgər simli (1) sisteminin həllidir, onda sətir də (1) sisteminin həllidir.
2.
Əgər xətlər 
və 
- sistemin (1) həlləri, sonra istənilən qiymətlər üçün ilə 1 və ilə 2 onların xətti kombinasiyası da (1) sisteminin həllidir.
Bu xassələrin etibarlılığını birbaşa sistemin tənliklərində əvəz etməklə yoxlaya bilərsiniz.
Formallaşdırılmış xassələrdən belə nəticə çıxır ki, xətti homojen tənliklər sisteminə həllərin istənilən xətti kombinasiyası da bu sistemin həllidir.
Xətti müstəqil həllər sistemi e 1 , e 2 , …, e rçağırdı Əsas, əgər (1) sisteminin hər bir həlli bu həllərin xətti kombinasiyasıdırsa e 1 , e 2 , …, e r.
Teorem 3.Əgər dərəcə r xətti homogen tənliklər sisteminin dəyişənləri üçün əmsallar matrisi (1) dəyişənlərin sayından azdır n, onda hər hansı bir fundamental sistemin həlli sistemi (1) ibarətdir n–r həllər.
Belə ki ümumi qərar xətti homojen tənliklər sistemi (1) formaya malikdir:
harada e 1 , e 2 , …, e r sistemin hər hansı əsas həllər sistemidir (9), ilə 1 , ilə 2 , …, ilə p- ixtiyari nömrələr, R = n–r.
Teorem 4.Ümumi sistem həlli m xətti tənliklər c n naməlumlar müvafiq xətti bircins tənliklər sisteminin ümumi həllinin (1) və bu sistemin ixtiyari xüsusi həllinin (1) cəminə bərabərdir.
Misal. Sistemi həll edin
Həll. Bu sistem üçün m = n= 3. Müəyyənedici
Teorem 2-yə görə sistemin yalnız əhəmiyyətsiz bir həlli var: x = y = z = 0.
Misal. 1) Sistemin ümumi və xüsusi həllərini tapın
2) Əsas həllər sistemini tapın.
Həll. 1) Bu sistem üçün m = n= 3. Müəyyənedici
2-ci teoremə görə sistemin sıfırdan fərqli həlləri var.
Sistemdə yalnız bir müstəqil tənlik olduğundan
x + y – 4z = 0,
sonra ondan ifadə edirik x =4z- y. Sonsuz həllər toplusunu haradan alırıq: (4 z- y, y, z) sistemin ümumi həllidir.
At z= 1, y= -1, biz xüsusi bir həll alırıq: (5, -1, 1). qoymaq z= 3, y= 2, ikinci xüsusi həlli alırıq: (10, 2, 3) və s.
2) B ümumi qərar (4z- y, y, z) dəyişənlər y və z pulsuzdur və dəyişəndir X- onlardan asılıdır. Əsas həllər sistemini tapmaq üçün sərbəst dəyişənlərə qiymətlər təyin edirik: birincisi y = 1, z= 0, onda y = 0, z= 1. Əsas həllər sistemini təşkil edən xüsusi həllər (-1, 1, 0), (4, 0, 1) alırıq.
İllüstrasiyalar:
düyü. 1 Xətti tənliklər sistemlərinin təsnifatı
düyü. 2 Xətti tənliklər sistemlərinin tədqiqi
Təqdimatlar:
SLAE_matrix metodunun həlli
Həlli SLAU_Cramer metodu
Həlli SLAE_Gauss üsulu
· Riyazi məsələlərin həlli üçün paketlər Riyaziyyat: analitik axtarış və ədədi həll xətti tənliklər sistemləri
1. Xətti tənliyi təyin edin
2. Nə cür sistem edir m ilə xətti tənliklər n naməlum?
3. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli nə adlanır?
4. Hansı sistemlərə ekvivalent deyilir?
5. Hansı sistem uyğunsuz adlanır?
6. Hansı sistem birləşmə adlanır?
7. Hansı sistem müəyyən edilmiş adlanır?
8. Hansı sistem qeyri-müəyyən adlanır
9. Xətti tənliklər sistemlərinin elementar çevrilmələrini sadalayın
10. Matrislərin elementar çevrilmələrini sadalayın
11. Xətti tənliklər sisteminə elementar çevrilmələrin tətbiqi haqqında teorem tərtib edin.
12. Matris üsulu ilə hansı sistemləri həll etmək olar?
13. Kramer üsulu ilə hansı sistemləri həll etmək olar?
14. Qauss üsulu ilə hansı sistemləri həll etmək olar?
15. Qauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli zamanı yaranan 3 mümkün halı sadalayın.
16. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün matris üsulunu təsvir edin
17. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün Kramer metodunu təsvir edin
18. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün Qauss metodunu təsvir edin
19. Hansı sistemləri tərs matrisdən istifadə etməklə həll etmək olar?
20. Cramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli zamanı yaranan 3 mümkün halı sadalayın.
Ədəbiyyat:
1. İqtisadçılar üçün ali riyaziyyat: Universitetlər üçün dərslik / N.Ş. Kremer, B.A. Putko, İ.M. Trishin, M.N. Fridman. Ed. N.Ş. Kremer. - M.: UNİTİ, 2005. - 471 s.
2. İqtisadçılar üçün ali riyaziyyatın ümumi kursu: Dərslik. / Ed. VƏ. Ermakov. -M.: İNFRA-M, 2006. - 655 s.
3. İqtisadçılar üçün ali riyaziyyatdan məsələlər toplusu: Dərslik/ V.İ.-nin redaktorluğu ilə. Ermakov. M.: İNFRA-M, 2006. - 574 s.
4. V. E. Gmurman, Ehtimal nəzəriyyəsi və maqmatik statistikada problemlərin həlli üçün bələdçi. - M.: Ali məktəb, 2005. - 400 s.
5. Gmurman. V.E. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyaziyyat statistikası. - M.: Ali məktəb, 2005.
6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Təlimlərdə və tapşırıqlarda ali riyaziyyat. Hissə 1, 2. - M .: Oniks 21-ci əsr: Dünya və təhsil, 2005. - 304 s. 1-ci hissə; – 416 səh. 2-ci hissə
7. İqtisadiyyatda riyaziyyat: Dərslik: 2 saatda / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Brailov, İ.G. Şandara. - M.: Maliyyə və statistika, 2006.
8. Şipaçev V.S. Ali riyaziyyat: tələbələr üçün dərslik. universitetlər - M .: Ali Məktəb, 2007. - 479 s.
Oxşar məlumat.
