Algemene les over het onderwerp:
"De afgeleide en zijn grafiek gebruiken om de eigenschappen van een functie te lezen"
Soort les: een generaliserende les met ICT in de vorm van een presentatie.
Lesdoelen:
Leerzaam:
De assimilatie door studenten van het gebruik van de afgeleide in praktische taken bevorderen;
De leerlingen leren de eigenschappen van een functie en een afgeleide duidelijk te gebruiken.
Ontwikkelen:
Ontwikkel het vermogen om de kwestie van de taak te analyseren en conclusies te trekken;
Vaardigheden ontwikkelen om bestaande kennis toe te passen in praktische taken.
Leerzaam:
interesse wekken voor het onderwerp;
De noodzaak van deze theoretische en praktische vaardigheden om je studie voort te zetten.
Lesdoelen:
Specifieke vaardigheden en capaciteiten ontwikkelen voor het werken met een grafiek van de afgeleide van een functie voor gebruik bij het behalen van het examen;
Bereid je voor op de toets.
Lesplan.
1. Actualisatie van basiskennis (AKB).
2. Ontwikkeling van kennis, vaardigheden en capaciteiten over het onderwerp.
3. Toetsing (B8 van het examen).
4. Wederzijdse verificatie, beoordeling van de "buurman".
5. De lessen van de les samenvatten.
Uitrusting: computerklas, whiteboard, marker, testen (2 opties).
Tijdens de lessen.
Organisatorisch moment.
Docent . Hallo, ga zitten.
Tijdens het bestuderen van het onderwerp "Onderzoek naar functies met behulp van de afgeleide", werden de vaardigheden gevormd om kritieke punten van een functie, een afgeleide, te vinden, om de eigenschappen van een functie met zijn hulp te bepalen en zijn grafiek te bouwen. Vandaag zullen we dit onderwerp vanuit een andere hoek bekijken: hoe de eigenschappen van de functie zelf te bepalen via de grafiek van de afgeleide van een functie. Onze taak: leren navigeren in een verscheidenheid aan taken met betrekking tot grafieken van functies en hun afgeleiden.
Ter voorbereiding op het examen wiskunde in KIM's werden opdrachten gegeven om de afgeleide grafiek te gebruiken om functies te bestuderen. Daarom moeten we in deze les onze kennis over dit onderwerp systematiseren en leren hoe we snel antwoorden kunnen vinden op de vragen van taken B8.
Dia nummer 1.
Onderwerp: "Toepassing van de afgeleide en zijn grafiek om de eigenschappen van functies te lezen"
Lesdoelen:
Ontwikkeling van de ZUN van het gebruik van de afgeleide, de geometrische betekenis ervan en de grafiek van de afgeleide om de eigenschappen van functies te bepalen.
Ontwikkeling van de efficiëntie van het uitvoeren van USE-testen.
Het aanleren van persoonlijkheidskenmerken als oplettendheid, het vermogen om met tekst te werken, het vermogen om met een afgeleide grafiek te werken
2. Actualisatie van basiskennis (AKB). Dia's #4 tot #10.
Er verschijnen nu vragen op het scherm voor herhaling. Jouw taak: op elk item een duidelijk en beknopt antwoord geven. De juistheid van uw antwoord kan op het scherm worden gecontroleerd.
( De vraag verschijnt eerst op het scherm, na de antwoorden van de leerlingen verschijnt het juiste antwoord ter verificatie.)
Lijst met vragen voor AOP.
Definitie van een derivaat.
De geometrische betekenis van de afgeleide.
De relatie tussen de waarden van de afgeleide, de helling van de raaklijn, de hoek tussen de raaklijn en de positieve richting van de OX-as.
Toepassing van de afgeleide om intervallen van monotoniciteit van een functie te vinden.
Toepassing van de afgeleide om kritieke punten, extreme punten te bepalen
6 .Noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor een extremum
7 . Een afgeleide toepassen om de grootste en kleinste waarde van een functie te vinden
(Leerlingen beantwoorden elk item, vergezeld van hun antwoorden met aantekeningen en tekeningen op het bord. Bij foutieve en onvolledige antwoorden corrigeren en vullen klasgenoten ze aan. Nadat de leerlingen hebben beantwoord, verschijnt het juiste antwoord op het scherm. Zo kunnen studenten onmiddellijk de juistheid bepalen van hun antwoord.)
3. Ontwikkeling van kennis, vaardigheden en capaciteiten over het onderwerp. Dia's #11 tot #15.
Studenten krijgen opdrachten aangeboden van de KIM's van het Unified State Examination in wiskunde van de afgelopen jaren, van sites op internet over het gebruik van de afgeleide en zijn grafiek om de eigenschappen van functies te bestuderen. Taken verschijnen opeenvolgend. De leerlingen schrijven hun oplossingen op het bord of mondeling. Dan verschijnt de juiste oplossing op de dia en wordt deze vergeleken met de oplossing van de leerlingen. Als er een fout wordt gemaakt in de beslissing, wordt deze geanalyseerd door de hele klas.
Dia #16 en #17.
Verder in de klas is het raadzaam om na te denken over de kerntaak: volgens de grafiek van de afgeleide moeten de leerlingen (uiteraard met hulp van de leraar) verschillende vragen bedenken met betrekking tot de eigenschappen van de functie zelf. Uiteraard worden deze zaken besproken, indien nodig gecorrigeerd, samengevat, vastgelegd in een notitieboekje, waarna de fase van het oplossen van deze taken begint. Hier is het noodzakelijk om ervoor te zorgen dat studenten niet alleen het juiste antwoord geven, maar het ook kunnen beargumenteren (bewijzen), met behulp van de juiste definities, eigenschappen, regels.
Toetsing (B8 van het examen). Dia's van nummer 18 tot nummer 29. Dia nummer 30 - de sleutels tot de test.
Docent : Dus hebben we je kennis over dit onderwerp samengevat: we hebben de basiseigenschappen van de afgeleide herhaald, problemen met de afgeleide grafiek opgelost, de complexe en problematische aspecten geanalyseerd van het gebruik van de afgeleide en de afgeleide grafiek om de eigenschappen van functies te bestuderen.
Nu gaan we testen in 2 opties. Taken verschijnen beide opties tegelijk op het scherm. Je bestudeert de vraag, vindt het antwoord, vult het in op het antwoordblad. Na het voltooien van de test, wisselt u formulieren uit en controleert u het werk van een buurman aan de hand van kant-en-klare antwoorden. Beoordeling(tot 10 punten - "2", van 11 tot 15 punten - "3", van 16 tot 19 punten - "4", meer dan 19 punten - "5".).
De les samenvatten
We hebben gekeken naar de relatie tussen de monotoniciteit van een functie en het teken van zijn afgeleide, en voldoende voorwaarden voor het bestaan van een extremum. We hebben verschillende taken overwogen voor het lezen van de grafiek van de afgeleide van een functie die te vinden zijn in de teksten van het verenigde staatsexamen. Alle taken die we hebben overwogen, zijn goed omdat ze niet veel tijd in beslag nemen.
Tijdens het verenigd staatsexamen is dit heel belangrijk: schrijf het antwoord snel en correct op.
Antwoordbladen inleveren. Het cijfer voor de les is al bij je bekend en wordt in het dagboek gezet.
Ik denk dat de klas klaar is voor de test.
Huiswerk zal creatief zijn . dia nummer 33 .
Verder in de klas is het raadzaam om na te denken over de kerntaak: volgens de grafiek van de afgeleide moeten de leerlingen (uiteraard met hulp van de leraar) verschillende vragen bedenken met betrekking tot de eigenschappen van de functie zelf. Uiteraard worden deze zaken besproken, indien nodig gecorrigeerd, samengevat, vastgelegd in een notitieboekje, waarna de fase van het oplossen van deze taken begint. Hier is het noodzakelijk om ervoor te zorgen dat studenten niet alleen het juiste antwoord geven, maar het ook kunnen beargumenteren (bewijzen), met behulp van de juiste definities, eigenschappen, regels.
Laten we een voorbeeld geven van zo'n taak: op het bord (bijvoorbeeld met behulp van een projector) krijgen de leerlingen een grafiek van de afgeleide aangeboden, er werden 10 taken op geformuleerd (niet helemaal correcte of dubbele vragen werden afgewezen).
De functie y = f(x) is gedefinieerd en continu op het interval [–6; 6].
Bepaal uit de grafiek van de afgeleide y \u003d f "(x):
1) het aantal intervallen van toenemende functie y = f(x);
2) de lengte van het interval van afnemende functie y = f(x);
3) het aantal uiterste punten van de functie y = f(x);
4) het maximale punt van de functie y = f(x);
5) het kritieke (stationaire) punt van de functie y = f(x), dat geen uiterste punt is;
6) de abscis van het grafiekpunt waarop de functie y = f(x) de grootste waarde op het segment aanneemt;
7) de abscis van het grafiekpunt waarop de functie y = f(x) de kleinste waarde op het segment [–2; 2];
8) het aantal punten van de grafiek van de functie y = f(x), waarin de raaklijn loodrecht staat op de as Oy;
9) het aantal punten in de grafiek van de functie y = f(x), waarin de raaklijn een hoek van 60° vormt met de positieve richting van de Ox-as;
10) de abscis van het punt van de grafiek van de functie y = f (x), waarin de helling van de raaklijn de kleinste waarde heeft.
Antwoord: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Om de vaardigheden van het bestuderen van de eigenschappen van een functie thuis te consolideren, kunnen studenten een taak worden aangeboden die verband houdt met het lezen van dezelfde grafiek, maar in het ene geval is het een grafiek van een functie en in het andere geval is het een grafiek van zijn afgeleide .
Het artikel is tot stand gekomen met de steun van het forum van systeembeheerders en programmeurs. Op "CyberForum.ru" vindt u forums over onderwerpen als programmeren, computers, softwarediscussie, webprogrammering, wetenschap, elektronica en huishoudelijke apparaten, carrière en zaken, recreatie, mensen en samenleving, cultuur en kunst, huis en economie, auto's , motorfietsen en meer. Op het forum kun je gratis hulp krijgen. U zult meer leren op de website, die zich bevindt op: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/ .
De functie y = f(x) is gedefinieerd en continu op het interval [–6; 5]. De figuur toont:
a) grafiek van de functie y = f(x);
b) grafiek van de afgeleide y \u003d f "(x).
Bepaal uit het schema:
1) minimumpunten van de functie y = f(x);
2) het aantal intervallen van afnemende functie y = f(x);
3) de abscis van het punt van de grafiek van de functie y = f(x), waarin deze de grootste waarde op het segment aanneemt;
4) het aantal punten in de grafiek van de functie y = f(x) waarin de raaklijn evenwijdig is aan de Ox-as (of ermee samenvalt).
antwoorden:
a) 1) -3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
b) 1) -2; 4.6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
Ter controle kan het werk in tweetallen worden georganiseerd: elke leerling maakt vooraf een grafiek van de afgeleide op een kaart voor zijn partner en stelt hieronder 4-5 vragen om de eigenschappen van de functie te bepalen. Tijdens de lessen wisselen ze kaarten uit, voeren ze de voorgestelde taken uit, waarna ze elk het werk van de partner controleren en evalueren.
Terug vooruit
Aandacht! Het diavoorbeeld is alleen voor informatieve doeleinden en geeft mogelijk niet de volledige omvang van de presentatie weer. Als u geïnteresseerd bent in dit werk, download dan de volledige versie.
Lesdoelen:
Educatief: het consolideren van de vaardigheden van studenten die werken met functiegrafieken ter voorbereiding op het examen.
Ontwikkelen: het ontwikkelen van de cognitieve interesse van studenten voor academische disciplines, het vermogen om hun kennis in de praktijk toe te passen.
Educatief: aandacht, nauwkeurigheid cultiveren, de horizon van studenten verbreden.
Apparatuur en materialen: computer, scherm, projector, presentatie “Grafieken lezen. GEBRUIKEN"
Tijdens de lessen
1. Frontaal onderzoek.
1) <Презентация. Слайды 3,4>.
Wat wordt de grafiek van een functie, het definitiedomein en het bereik van een functie genoemd? Bepaal het domein van de definitie en het bereik van functies.\
2) <Презентация. Слайды 5,6>.
Welke functie heet even, oneven, eigenschappen van de grafieken van deze functies?
2. Oplossing van oefeningen
1) <Презентация. Слайд 7>.
Periodieke functie. Definitie.
Los de taak op: Gegeven een grafiek van een periodieke functie, hoort x bij het interval [-2;1]. Bereken f(-4)-f(-6)*f(12), T=3.
f(-4)=f(-4+T)=f(-4+3)= f(-1)=-1
f(-6)=f(-6+T)= f(-6+3*2)=f(0)=1
f(12)=f(12-4T)= =f(12-3*4)=f(0)=1
f(-4)-f(-6)*f(12)=-1-1*1=-2
2) <Презентация. Слайды 8,9,10>.
Ongelijkheden oplossen met functiegrafieken.
a) Los de ongelijkheid f(x) 0 op als de figuur de grafiek toont van de functie y=f(x) gegeven op het interval [-7;6]. Antwoordmogelijkheden: 1) (-4;-3) (-1;1) (3;6], 2) [-7;-4) (-3;-1) (1;3), 3) , 4 ) (-6;0) (2;4) +
b) De figuur toont een grafiek van de functie y=f(x), gegeven op het interval [-4;7] Geef alle waarden van X aan waarvoor aan de ongelijkheid f(x)-1 is voldaan.
c) De figuur toont de grafieken van de functies y=f(x),en y=g(x), gegeven op het interval [-3;6]. Geef alle waarden van X aan waarvoor aan de ongelijkheid f(x) g(x) is voldaan
3) <Презентация. Слайд 11>.
Toenemende en afnemende functies
Een van de figuren toont een grafiek van een functie die toeneemt op het segment , de andere toont een functie die afneemt op het segment [-2; 0]. Maak een lijst van deze foto's.
4) <Презентация. Слайды 12,13,14>.
Exponentiële en logaritmische functies
a) Wat is de voorwaarde voor de toename en afname van de exponentiële en logaritmische functies. Door welk punt gaan de grafieken van de exponentiële en logaritmische functies, welke eigenschap hebben de grafieken van deze functies?
b) Een van de figuren toont een grafiek van de functie y \u003d 2 -x. Geef deze figuur aan .
De grafiek van de exponentiële functie gaat door het punt (0, 1) Aangezien de basis van de graad kleiner is dan 1. Deze functie moet afnemend zijn. (Nummer 3)
c) Een van de figuren toont een grafiek van de functie y=log 5 (x-4). Geef het nummer van deze grafiek op.
Grafiek van de logaritmische functie y=log 5 x gaat door het punt (1;0) , dan als x -4 = 1, dan y=0, x=1+4, x=5. (5;0) – snijpunt van de grafiek met de OX-as. Als x -4 = 5 , dan y=1, x=5+4, x=9,
5) <Презентация. Слайды 15, 16, 17>.
Het aantal raaklijnen aan de grafiek van een functie vinden uit de grafiek van zijn afgeleide
a) De functie y=f(x) wordt gedefinieerd op het interval (-6;7). De figuur toont een grafiek van de afgeleide van deze functie. Alle raaklijnen evenwijdig aan de rechte lijn y=5-2x (of daarmee samenvallend) worden naar de grafiek van de functie getrokken. Specificeer het aantal punten in de grafiek van de functie waar deze raaklijnen worden getekend.
K = tga = f'(x o). Op voorwaarde, k \u003d -2. Daarom is f '(x o) \u003d -2. We tekenen een rechte lijn y \u003d -2. Het snijdt de grafiek op twee punten, wat betekent dat de raaklijnen aan de functie op twee punten worden getekend.
b) De functie y=f(x) is gedefinieerd op het interval [-7;3]. De figuur toont een grafiek van zijn afgeleide. Zoek het aantal punten in de grafiek van de functie y=f(x) waar de raaklijnen aan de grafiek evenwijdig zijn aan de x-as of ermee samenvallen.
De hoekcoëfficiënt van rechte lijnen evenwijdig aan de x-as of daarmee samenvallend is gelijk aan nul. Daarom is K=tg a = f `(x o)=0. De OX-as snijdt deze grafiek op vier punten.
c) Functie: y=f(x) gedefinieerd op het interval (-6;6). De figuur toont een grafiek van zijn afgeleide. Zoek het aantal punten op de grafiek van de functie y=f(x) waarop de raaklijnen aan de grafiek een hoek van 135 o maken met de positieve richting van de x-as.
6) <Презентация. Слайды 18, 19>.
De helling van de raaklijn vinden uit de grafiek van de afgeleide van een functie
a) De functie y=f(x) is gedefinieerd op het interval [-2;6]. De figuur toont een grafiek van de afgeleide van deze functie. Specificeer de abscis van het punt waar de raaklijn aan de grafiek van de functie y=f(x) de kleinste helling heeft.
k=tga=f'(x o). De afgeleide van de functie heeft de kleinste waarde y \u003d -3 op het punt x \u003d 2. Daarom heeft de raaklijn aan de grafiek de kleinste helling in het punt x=2
b) De functie y=f(x) is gedefinieerd op het interval [-7;3]. De figuur toont een grafiek van de afgeleide van deze functie. Specificeer de abscis van het punt waarop de raaklijn aan de grafiek van de functie y=f(x) de grootste heeft hoek coëfficiënt.
7) <Презентация. Слайд 20>.
De waarde van de afgeleide vinden uit de grafiek van een functie
De afbeelding toont een grafiek van de functie y \u003d f (x) en een raaklijn eraan op een punt met de abscis x o. Vind de waarde van de afgeleide f `(x) op punt x o
f'(xo)=tga. Aangezien in figuur a een stompe hoek is, geldt tg a< 0.Из прямоугольного треугольника tg (180 0 -a)=3:2. tg (180 0 -a)= 1,5. Следовательно, tg a= -1,5.Отсюда f `(x o)=-1,5
8) <Презентация. Слайд 21>.
Het minimum (maximum) van een functie vinden uit de grafiek van zijn afgeleide
Bij x=4 verandert de afgeleide van teken van min naar plus. Dus x=4 is het minimumpunt van de functie y=f(x)
Op het punt x \u003d 1, verandert de afgeleide van teken met plus en min . Dus x=1 is een punt maximum functies y=f(x))
3. Zelfstandig werk
<Презентация. Слайд 22>.
1 optie
1) Zoek het bereik van de functie.
2) Los de ongelijkheid f(x) 0 . op
3) Bepaal de intervallen van afnemende functie.
4) Vind de minimum punten van de functie.
5) Geef de abscis aan van het punt waarop de raaklijn aan de grafiek van de functie y=f(x) de grootste helling heeft.
Optie 2
1) Zoek het bereik van de functie.
2) Los de ongelijkheid f(x) 0 . op
3) Bepaal de intervallen van toenemende functie.
Grafiek van de afgeleide van de functie y=f(x)
4) Vind de maximale punten van de functie.
5) Specificeer de abscis van het punt waarop de raaklijn aan de grafiek van de functie y=f(x) de kleinste helling heeft.
4. De les samenvatten
schuif 12
De grafieken van deze functies nemen toe bij a > 1 en nemen af bij 0
dia 13
Een van de figuren toont een grafiek van de functie y=2-x. Specificeer deze afbeelding. Grafiek van een exponentiële functie De grafiek van een exponentiële functie gaat door het punt (0, 1) Aangezien de basis van de graad kleiner is dan 1. Deze functie moet afnemend zijn.
Schuif 14
Een van de figuren toont een grafiek van de functie y=log5 (x-4). Geef het nummer van deze grafiek op. De grafiek van de logaritmische functie y=log5x gaat door het punt (1;0), dan, als x -4 =1, toy=0, x=1+4, x=5. (5;0) – snijpunt van de grafiek met de OX-as Als x -4 = 5, dan y=1, x=5+4, x=9, Grafiek van de logaritmische functie 9 5 1
schuif 15
De functie y=f(x) wordt gedefinieerd op het interval (-6;7). De figuur toont een grafiek van de afgeleide van deze functie. Alle raaklijnen worden getrokken aan de grafiek van de functie, evenwijdig aan de rechte lijn y=5-2x (of daarmee samenvallend). Specificeer het aantal punten in de grafiek van de functie waar deze raaklijnen worden getekend. K = tga = f’(xo) Volgens de voorwaarde k=-2, dus f’(xo)=-2 Het aantal raaklijnen aan de grafiek van een functie vinden uit de grafiek van zijn afgeleide
schuif 16
De functie y=f(x) is gedefinieerd op het interval [-7;3]. De figuur toont een grafiek van zijn afgeleide. Zoek het aantal punten in de grafiek van de functie y=f(x) waar de raaklijnen aan de grafiek evenwijdig zijn aan de x-as of ermee samenvallen. De helling van de lijnen evenwijdig aan de x-as of daarmee samenvallend is gelijk aan nul. Daarom K=tg a = f `(xo)=0 De OX-as snijdt deze grafiek op vier punten. Het aantal raaklijnen aan een functie vinden uit de grafiek van zijn afgeleide
Schuif 17
De functie y=f(x) wordt gedefinieerd op het interval (-6;6). De figuur toont een grafiek van zijn afgeleide. Zoek het aantal punten op de grafiek van de functie y=f(x) waarop de raaklijnen aan de grafiek een hoek van 135ok maken met de positieve richting van de x-as. K = tg 135o= f'(xo) tg 135o=tg(180o-45o)=-tg45o=-1 Daarom wordt f`(xo)=-1 uitgevoerd in drielingen. Het aantal raaklijnen aan een functie vinden uit de grafiek van zijn afgeleide
Schuif 18
De functie y=f(x) is gedefinieerd op het interval[-2;6]. De figuur toont een grafiek van de afgeleide van deze functie. Specificeer de abscis van het punt waarop de raaklijn aan de grafiek van de functie y=f(x) de kleinste hoekcoëfficiënt heeft k=tg a=f'(xo) De afgeleide van de functie heeft de kleinste waarde y=-3 op het punt x=2. Daarom heeft de raaklijn aan de grafiek de kleinste helling op het punt x \u003d 2 Vind de helling van de raaklijn uit de grafiek van de afgeleide van de functie -3 2
Schuif 19
De functie y=f(x) is gedefinieerd op het interval [-7;3]. De figuur toont een grafiek van de afgeleide van deze functie. Specificeer de abscis van de dag, waarin de raaklijn aan de grafiek van de functie y=f(x) de grootste helling heeft. k \u003d tg a \u003d f '(xo) Daarom heeft de raaklijn aan de grafiek de grootste helling op het punt x \u003d -5 De helling van de raaklijn vinden uit de grafiek van de afgeleide van de functie 3 -5
Schuif 20
De figuur toont een grafiek van de functie y \u003d f (x) en een raaklijn daaraan op een punt met de xo abscis. Zoek de waarde van de afgeleide f `(x) op het punt xo f ’(xo) \u003d tg a Aangezien in de figuur a een stompe hoek is, dan is tg a
schuif 21
Op het punt x=4 verandert de afgeleide van teken van min naar plus. Meanx=4 is het minimumpunt van de functie y=f(x) 4 Op punten x=1 verandert de afgeleide van teken van het plusteken. min Waardex=1 is het maximale punt van de functie y=f(x))
schuif 22
Fig.11) Zoek het bereik van de functie. 2) Los de ongelijkheid f(x) ≥ 0 op 3) Bepaal de intervallen van afnemende functie. Fig.2-grafiek van de afgeleide van de functie y=f(x) 4) Vind de minimumpunten van de functie. 5) Specificeer de abscis van het punt waar de raaklijn aan de grafiek van de functie y=f(x) de grootste helling heeft. Fig.11) Zoek het bereik van de functie. 2) Los de ongelijkheid f(x)≤ 0 op. 3) Bepaal de intervallen van toenemende functie. Fig.2-grafiek van de afgeleide van de functie y=f(x) 4) Vind de maximale punten van de functie. 5) Specificeer de abscis van het punt waar de raaklijn aan de grafiek van de functie y=f(x) de kleinste helling heeft. 1 Optie 2 Optie
Elementen van wiskundige analyse in het Unified State Examination Malinovskaya Galina Mikhailovna [e-mail beveiligd] Referentiemateriaal Tabel met afgeleiden van de belangrijkste functies. Differentiatieregels (afgeleide van som, product, quotiënt van twee functies). Afgeleide van een complexe functie. De geometrische betekenis van de afgeleide. De fysieke betekenis van de afgeleide. Referentiemateriaal Uiterste punten (maximum of minimum) van een grafisch gegeven functie. De grootste (kleinste) waarde vinden van een functie die continu is op een bepaald interval. Een primitieve van een functie. Newton-Leibniz-formule. Het gebied van een kromlijnig trapezium vinden. Fysische toepassingen 1.1 Een stoffelijk punt beweegt in een rechte lijn volgens de wet 𝑥 𝑡 = −𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23 , waarbij x de afstand van het referentiepunt in meters is, t de tijd in seconden, gemeten vanaf het begin van de beweging. Vind de snelheid (in meter per seconde) op tijdstip t= 3s. 1.2 Het materiële punt beweegt 1 3 rechtlijnig volgens de wet 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 3 3𝑡 2 − 5𝑡 + 3 , waarbij x de afstand van het referentiepunt in meters is, t de tijd in seconden, gemeten vanaf het begin van de beweging. Op welk tijdstip (in seconden) was haar snelheid gelijk aan 2 m/s? Oplossing: We zoeken de afgeleide x(t) (van de padfunctie in de tijd). In taak 1.1 vervangen we de waarde ervan in plaats van t en berekenen we de snelheid (Antwoord: 59). In Opgave 1.2 stellen we de gevonden afgeleide gelijk aan een gegeven getal en lossen we de vergelijking op met betrekking tot de variabele t. (Antwoord: 7). Meetkundige toepassingen 2.1 De lijn 𝑦 = 7𝑥 − 5 is evenwijdig aan de raaklijn aan grafiek 2 van de functie 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 . Zoek de abscis van het contactpunt. 2.2 De lijn 𝑦 = 3𝑥 + 1 raakt aan de 2e grafiek van de functie 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3 . Vind een. 2.3 De lijn 𝑦 = −5𝑥 + 8 raakt de 2e grafiek van de functie 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15 . Vind b, gegeven dat de abscis van het raakpunt groter is dan 0. 2.4 De lijn 𝑦 = 3𝑥 + 4 raakt grafiek 2 van de functie 3𝑥 − 3𝑥 + 𝑐. Zoek c. Oplossing: In opgave 2.1 zoeken we de afgeleide van de functie en stellen deze gelijk aan de helling van de rechte lijn (Antwoord: 0,5). In opdrachten 2.2-2.4 maken we een stelsel van twee vergelijkingen. In de ene stellen we functies gelijk, in de andere stellen we hun afgeleiden gelijk. In een systeem met twee onbekenden (variabele x en een parameter) zoeken we naar een parameter. (Antwoorden: 2.2) a=0.125; 2.3) b=-33; 2.4) c=7). 2.5 De figuur toont de grafiek van de functie y=f(x) en de raaklijn daaraan op het punt met de abscis 𝑥0 . Zoek de waarde van de afgeleide van de functie f(x) in het punt 𝑥0 . 2.6 De figuur toont de grafiek van de functie y=f(x) en de raaklijn daaraan op het punt met de abscis 𝑥0 . Zoek de waarde van de afgeleide van de functie f(x) in het punt 𝑥0 . 2.7 De figuur toont de grafiek van de functie y=f(x). De rechte lijn die door de oorsprong gaat, raakt de grafiek van deze functie op het punt met de abscis 10. Zoek de waarde van de afgeleide van de functie op het punt x=10. 𝑥0 = 0 Oplossing: De waarde van de afgeleide van een functie in een punt is de raaklijn van de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie getekend op het gegeven punt. We “maken” een rechthoekige driehoek af en zoeken de raaklijn van de corresponderende hoek, die we als positief beschouwen als de raaklijn een scherpe hoek vormt met de positieve richting van de Os-as (de raaklijn “groeit”) en negatief als de hoek stomp is (de raaklijn wordt kleiner). In Opgave 2.7 is het nodig om een raaklijn door het gespecificeerde punt en de oorsprong te trekken. Antwoorden: 2,5) 0,25; 2,6) -0,25; 2,7) -0,6. Aflezen van een grafiek van een functie of een grafiek van een afgeleide van een functie 3.1 De figuur toont een grafiek van de functie y=f(x), gedefinieerd op het interval (6;8). Bepaal het aantal gehele punten waarbij de afgeleide van de functie positief is. 3.2 De figuur toont een grafiek van de functie y=f(x), gedefinieerd op het interval (-5;5). Bepaal het aantal gehele punten waarbij de afgeleide van de functie f(x) negatief is. Oplossing: Het teken van de afgeleide is gerelateerd aan het gedrag van de functie. Als de afgeleide positief is, selecteer dan het deel van de grafiek van de functie waar de functie stijgt. Als de afgeleide negatief is, dan waar de functie afneemt. We selecteren het interval dat overeenkomt met dit deel op de Ox-as. In overeenstemming met de vraag van de taak, herberekenen we het aantal gehele getallen in het gegeven interval of vinden we hun som. Antwoorden: 3.1) 4; 3.2) 8. 3.3 De figuur toont een grafiek van de functie y=f(x), gedefinieerd op het interval (-2;12). Zoek de som van de extreme punten van de functie f(x). Allereerst kijken we naar wat er in de figuur staat: een grafiek van een functie of een grafiek van een afgeleide. Als dit een grafiek van een afgeleide is, dan zijn we alleen geïnteresseerd in de tekens van de afgeleide en de abscis van de snijpunten met de Ox-as. Voor de duidelijkheid kun je een meer bekende figuur tekenen met de tekens van de afgeleide met betrekking tot de verkregen intervallen en het gedrag van de functie. Beantwoord de vraag van de taak volgens de afbeelding. (Antwoord: 3.3) 44). 3.4 De figuur toont een grafiek van ′ y=𝑓 (𝑥) - de afgeleide van de functie f(x) gedefinieerd op het interval (-7;14) Bepaal het aantal maximale punten van de functie f(x) behorend bij het interval [-6;9] 3.5 De figuur toont een grafiek van y=𝑓 ′ (𝑥) - de afgeleide van de functie f(x), gedefinieerd op het interval (-11;11)... Zoek het aantal uiterste punten van de functie f(x) behorend bij het segment [-10;10] Oplossing: We zoeken de snijpunten van de grafiek van de afgeleide met de Ox-as, waarbij dat deel van de as wordt benadrukt dat staat aangegeven in het probleem. Bepaal het teken van de afgeleide op elk van de verkregen intervallen (als de grafiek van de afgeleide zich onder de as bevindt, dan "-", indien boven, dan "+"). De maximale punten zijn die waarbij het teken is veranderd van "+" in "-", het minimum - van "-" in "+". De extreme punten zijn beide. Antwoorden: 3.4) 1; 3.5) 5. 3.6 De figuur toont de grafiek y=𝑓 ′ (𝑥) - de afgeleide van de functie f(x), gedefinieerd op het interval (-8;3). Op welk punt van het segment [-3; 2] heeft de functie f(x) de maximale waarde. 3.7 De figuur toont een grafiek van ′ y=𝑓 (𝑥) - de afgeleide van de functie f(x), gedefinieerd op het interval (-8;4). Op welk punt van het segment [-7;-3] heeft de functie f(x) de kleinste waarde. Oplossing: Als de afgeleide van teken verandert op het beschouwde segment, dan is de oplossing gebaseerd op de stelling: als een functie continu op het segment een enkel extremumpunt heeft en dit is het maximum (minimum) punt, dan de grootste (kleinste) waarde van de functie op dit segment wordt op een bepaald punt bereikt. Als een functie die continu is op een segment monotoon is, bereikt deze zijn minimum- en maximumwaarden op het gegeven segment aan zijn uiteinden. Antwoorden: 3.6) -3; 3.7)-7. 3.8 De figuur toont een grafiek van de functie y=f(x), gedefinieerd op het interval (-5;5). Zoek het aantal punten waar de raaklijn aan de grafiek van de functie evenwijdig is aan de lijn y=6 of daarmee samenvalt. 3.9 De figuur toont een grafiek van de functie y=f(x) en acht punten op de x-as: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 . Op hoeveel van deze punten is de afgeleide van de functie f(x) positief? 4.2 De figuur toont een grafiek van y=𝑓 ′ (𝑥) - de afgeleide van de functie f(x), gedefinieerd op het interval (-5;7). Vind de intervallen van afnemende functie f(x). Geef in je antwoord de som van gehele punten aan die in deze intervallen zijn opgenomen. 4.5 De figuur toont de grafiek y=𝑓 ′ (𝑥) - de afgeleide van de functie f(x), gedefinieerd op het interval (-4;8). Vind het uiterste punt van de functie f(x) behorend bij het segment [-2;6]. 4.6 De figuur toont de grafiek y=𝑓 ′ (𝑥) - de afgeleide van de functie f(x), gedefinieerd op het interval (-10;2). Zoek het aantal punten waar de raaklijn aan de grafiek van de functie f(x) evenwijdig is aan of samenvalt met de lijn y=-2x-11. Oplossing: 4.6 Aangezien de figuur een grafiek van de afgeleide toont en de raaklijn evenwijdig is aan deze lijn, is de afgeleide van de functie op dit punt -2. We zoeken naar punten op de grafiek van de afgeleide met een ordinaat gelijk aan -2 en tellen hun aantal. We krijgen 5. Antwoorden: 3,8) 4; 3.9) 5; 4.2) 18; 4.5) 4; 4.6) 5. 4.8 De figuur toont de grafiek y=𝑓 ′ (𝑥) - de afgeleide van de functie f(x). Zoek de abscis van het punt waar de raaklijn aan de grafiek y=f(x) evenwijdig is aan of samenvalt met de x-as. Oplossing: Als de lijn evenwijdig is aan de Ox-as, is de helling nul. De helling van de raaklijn is nul, dus de afgeleide is nul. We zoeken de abscis van het snijpunt van de grafiek van de afgeleide met de as Ox. We krijgen -3. 4.9 De figuur toont de grafiek van de functie y=𝑓 ′ (x) de afgeleide van de functie f(x) en acht punten op de x-as: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥8 . Op hoeveel van deze punten neemt de afgeleide van de functie f(x) toe? Geometrische betekenis van een bepaalde integraal 5.1 De figuur toont een grafiek van een functie y=f(x) (twee stralen met een gemeenschappelijk startpunt). Bereken met behulp van de figuur F(8)-F(2), waarbij F(x) een van de anti-derivaten van f(x) is. Oplossing: De oppervlakte van een kromlijnig trapezium wordt berekend via een bepaalde integraal. De definitieve integraal wordt berekend door de Newton-Leibniz-formule als een toename van de primitieve. In opgave 5.1 berekenen we de oppervlakte van het trapezium volgens de bekende formule van het geometrieverloop (dit wordt de increment van de primitieve). In opgaven 5.2 en 5.3 is al een antiderivaat gegeven. Het is noodzakelijk om de waarden aan de uiteinden van het segment te berekenen en het verschil te berekenen. 5.2 De figuur toont een grafiek van een functie y=f(x). De functie 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 − is een van de 8 initiatieven van de functie f(x). Zoek het gebied van de gearceerde figuur. Oplossing: De oppervlakte van een kromlijnig trapezium wordt berekend via een bepaalde integraal. De definitieve integraal wordt berekend door de Newton-Leibniz-formule als een toename van de primitieve. In opgave 5.1 berekenen we de oppervlakte van het trapezium volgens de bekende formule van het geometrieverloop (dit wordt de increment van de primitieve). In Opgave 5.2 is al een antiderivaat gegeven. Het is noodzakelijk om de waarden aan de uiteinden van het segment te berekenen en het verschil te berekenen. Veel succes met het examen wiskunde
