Həndəsi məna haqqında çoxlu nəzəriyyələr yazılmışdır. Funksiya artımının əldə edilməsinə girməyəcəyəm, tapşırıqları yerinə yetirmək üçün əsas şeyi xatırladacağam:
x nöqtəsindəki törəmə bu nöqtədə y = f (x) funksiyasının qrafikinə toxunan meylin mailliyinə bərabərdir, yəni X oxuna meyl bucağının tangensidir.
Gəlin dərhal imtahandan tapşırığı götürək və onu anlamağa başlayaq:
Tapşırıq nömrəsi 1. Şəkil göstərir funksiya qrafiki y = f(x) və absis x0 olan nöqtədə ona toxunan. f(x) funksiyasının x0 nöqtəsində törəməsinin qiymətini tapın.
Kim tələsir və izahatları başa düşmək istəmir: hər hansı bir belə üçbucağa (aşağıda göstərildiyi kimi) düzəldin və dayanan tərəfi (şaquli) yalançıya (üfüqi) bölün və işarəni unutmasanız (düz xətt azalarsa (→ ↓), onda cavab mənfi olmalıdır, əgər düz xətt artarsa (→), cavab müsbət olmalıdır!)
Tangens ilə X oxu arasındakı bucağı tapmaq lazımdır, ona α deyək: qrafikin tangensi vasitəsilə istənilən yerə X oxuna paralel düz xətt çəkək, eyni bucağı alırıq.
X0 nöqtəsini götürməmək daha yaxşıdır, çünki dəqiq koordinatları müəyyən etmək üçün sizə böyük bir böyüdücü şüşə lazımdır.
İstənilən düzbucaqlı üçbucağı götürərək (şəkildə 3 variant təklif olunur) tgα-nı tapırıq (bucaqlar bərabərdir, uyğundur), yəni. f(x) funksiyasının x0 nöqtəsində törəməsini alırıq. Niyə belə?
Başqa nöqtələrdə x2, x1 və s. tangens fərqli olacaq.
Düz xətt qurmaq üçün 7-ci sinfə qayıdaq!
Düz xəttin tənliyi y = kx + b tənliyi ilə verilir, burada
k - X oxuna nisbətən əyilmə.
b Y oxu ilə kəsişmə nöqtəsi ilə başlanğıc nöqtəsi arasındakı məsafədir.
Düz xəttin törəməsi həmişə eynidir: y" = k.
Xəttin hansı nöqtəsində törəmə götürsək, o dəyişməz qalacaq.
Buna görə də, yalnız tgα tapmaq qalır (yuxarıda qeyd edildiyi kimi: duran tərəfi yalançı tərəfə bölürük). Qarşı ayağı qonşu ilə bölürük, k \u003d 0,5 alırıq. Lakin qrafik azalırsa, əmsal mənfi olur: k = −0,5.
Yoxlamağınızı məsləhət görürəm ikinci yol:
Düz xətti təyin etmək üçün iki nöqtədən istifadə edilə bilər. İstənilən iki nöqtənin koordinatlarını tapın. Məsələn, (-2;-2) və (2;-4):
y = kx + b tənliyində y və x əvəzinə nöqtələrin koordinatlarını əvəz edin:
-2 = -2k + b
Bu sistemi həll edərək, b = −3, k = −0,5 alırıq
Nəticə: İkinci üsul daha uzundur, amma onda işarəni unutmayacaqsınız.
Cavab: - 0,5
Tapşırıq nömrəsi 2. Şəkil göstərir törəmə qrafiki f(x) funksiyaları. X oxunda səkkiz nöqtə qeyd olunur: x1, x2, x3, ..., x8. Bu nöqtələrdən neçəsi f(x) funksiyasının artan intervallarında yerləşir?
Əgər funksiyanın qrafiki azalırsa - törəmə mənfidir (və əksinə).
Əgər funksiyanın qrafiki artırsa, törəmə müsbətdir (və əksinə).
Bu iki ifadə sizə problemlərin çoxunu həll etməyə kömək edəcək.
Diqqətlə baxın Törəmə və ya funksiyanın təsviri sizə verilir və sonra iki ifadədən birini seçin.
Funksiyanın sxematik qrafikini qururuq. Çünki bizə törəmənin qrafiki verilir, onda mənfi olan yerdə funksiyanın qrafiki azalır, müsbət olan yerdə artır!
Belə çıxır ki, artım sahələrində 3 xal yatır: x4; x5; x6.
Cavab: 3
Tapşırıq nömrəsi 3. f(x) funksiyası (-6; 4) intervalında müəyyən edilmişdir. Şəkil göstərir onun törəməsinin qrafiki. Funksiyanın ən böyük qiymət aldığı nöqtənin absissini tapın.
Mən sizə həmişə funksiya qrafikinin necə getdiyini bu cür oxlarla və ya sxematik şəkildə işarələrlə (4 və № 5-də olduğu kimi) qurmağı məsləhət görürəm:
Aydındır ki, qrafik -2-yə yüksələrsə, maksimum nöqtə -2-dir.
Cavab: -2
Tapşırıq nömrəsi 4. Şəkildə f(x) funksiyasının qrafiki və x oxundakı on iki nöqtə göstərilir: x1, x2, ..., x12. Bu nöqtələrin neçəsində funksiyanın törəməsi mənfi olur?
Tapşırıq tərsdir, funksiyanın qrafikini nəzərə alaraq, funksiyanın törəməsinin qrafikinin necə görünəcəyini sxematik şəkildə qurmalı və mənfi diapazonda neçə nöqtənin olacağını hesablamalısınız.
Müsbət: x1, x6, x7, x12.
Mənfi: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.
Başqa bir növ tapşırıq, bəzi dəhşətli "ifratlar" haqqında soruşduqda? Bunun nə olduğunu tapmaq sizin üçün çətin olmayacaq, amma qrafiklər üçün izah edəcəyəm.
Tapşırıq nömrəsi 5. Şəkildə f(x) funksiyasının törəməsinin (-16; 6) intervalında təyin olunmuş qrafiki verilmişdir. [-11] seqmentində f(x) funksiyasının ekstremum nöqtələrinin sayını tapın; 5].
-11 ilə 5 aralığına diqqət yetirin!
Parlaq gözlərimizi boşqaba çevirək: funksiyanın törəməsinin qrafiki verilir => onda ekstremumlar X oxu ilə kəsişmə nöqtələridir.
Cavab: 3
Tapşırıq nömrəsi 6. Şəkildə (-13; 9) intervalında müəyyən edilmiş f (x) funksiyasının törəməsinin qrafiki göstərilir. [-12] seqmentində f(x) funksiyasının maksimum nöqtələrinin sayını tapın; 5].
-12 ilə 5 aralığına diqqət yetirin!
Lövhəyə bir gözlə baxa bilərsiniz, maksimum nöqtə ekstremumdur ki, ondan əvvəl törəmə müsbət (funksiya artır), ondan sonra isə törəmə mənfi (funksiya azalır). Bu nöqtələr dairəvi şəkildə çəkilir.
Oxlar funksiyanın qrafikinin necə davrandığını göstərir.
Cavab: 3
Tapşırıq nömrəsi 7. Şəkildə (-7; 5) intervalda müəyyən edilmiş f(x) funksiyasının qrafiki göstərilir. f(x) funksiyasının törəməsinin 0-a bərabər olduğu nöqtələrin sayını tapın.
Yuxarıdakı cədvələ baxa bilərsiniz (törəmə sıfırdır, yəni bunlar ekstremum nöqtələrdir). Və bu məsələdə funksiyanın qrafiki verilmişdir, yəni tapmaq lazımdır əyilmə nöqtələrinin sayı!
Həmişə olduğu kimi edə bilərsiniz: törəmənin sxematik qrafikini qururuq.
Törəmə funksiyaların qrafiki istiqamətini dəyişdikdə (artandan azalana və əksinə) sıfırdır.
Cavab: 8
Tapşırıq nömrəsi 8. Şəkil göstərir törəmə qrafiki(-2; 10) intervalında müəyyən edilmiş f(x) funksiyası. Artan funksiyanın intervallarını tapın f(x). Cavabınızda bu intervallara daxil olan tam xalların cəmini göstərin.
Funksiyanın sxematik qrafikini quraq:
Artan yerdə 4 tam xal alırıq: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.
Cavab: 22
Tapşırıq nömrəsi 9. Şəkil göstərir törəmə qrafiki(-6; 6) intervalında müəyyən edilmiş f(x) funksiyası. Funksiyanın qrafikinə toxunan y = 2x + 13 xəttinə paralel və ya onunla üst-üstə düşən f(x) nöqtələrinin sayını tapın.
Bizə törəmənin qrafiki verilir! Bu o deməkdir ki, bizim tangensimiz də törəməyə “tərcümə” edilməlidir.
Tangens törəməsi: y" = 2.
İndi hər iki törəməni quraq:
Tangenslər üç nöqtədə kəsişir, buna görə cavabımız 3-dür.
Cavab: 3
Tapşırıq nömrəsi 10. Şəkildə f (x) funksiyasının qrafiki göstərilib və -2, 1, 2, 3 nöqtələri qeyd olunub.Bu nöqtələrdən hansında törəmənin qiyməti ən kiçikdir? Zəhmət olmasa cavabınızda bu məqamı qeyd edin.
Tapşırıq bir qədər birinciyə bənzəyir: törəmənin qiymətini tapmaq üçün bir nöqtədə bu qrafikə tangens qurmaq və k əmsalını tapmaq lazımdır.
Xətt azalırsa, k< 0.
Xətt artırsa, k > 0.
Əmsalın dəyərinin düz xəttin yamacına necə təsir edəcəyini düşünək:
k = 1 və ya k = − 1 olduqda, qrafik x və y oxları arasında ortada olacaq.
Düz xətt X oxuna nə qədər yaxındırsa, k əmsalı sıfıra bir o qədər yaxındır.
Xətt Y oxuna nə qədər yaxındırsa, k əmsalı sonsuzluğa bir o qədər yaxındır.
-2 və 1 k nöqtəsində<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>törəmənin ən kiçik dəyərinin olduğu yerdir
Cavab: 1
Tapşırıq nömrəsi 11. Xətt y = x³ + x² + 2x + 8 funksiyasının qrafikinə y = 3x + 9 tangensidir. Təmas nöqtəsinin absissini tapın.
Qrafiklərin törəmələri kimi ortaq nöqtəsi olduqda xətt qrafikə tangens olacaq. Qrafiklərin və onların törəmələrinin tənliklərini bərabərləşdirin:
İkinci tənliyi həll edərək 2 xal alırıq. Hansının uyğun olduğunu yoxlamaq üçün x-lərin hər birini birinci tənlikdə əvəz edirik. Yalnız biri edəcək.
Mən ümumiyyətlə kub tənliyini həll etmək istəmirəm, amma şirin bir ruh üçün kvadrat tənliyi həll etmək istəyirəm.
İki "normal" cavab alsanız, cavab olaraq nə yazmalısınız?
Orijinal y \u003d 3x + 9 və y \u003d x³ + x² + 2x + 8 qrafiklərində x (x) əvəz edərkən eyni Y-ni almalısınız.
y= 1³+1²+2×1+8=12
Düzdür! Beləliklə, x = 1 cavab olacaq
Cavab: 1Tapşırıq nömrəsi 12. y = − 5x − 6 xətti ax² + 5x − 5 funksiyasının qrafikinə tangensdir. tapın.
Eynilə, funksiyaları və onların törəmələrini bərabərləşdiririk:
Bu sistemi a və x dəyişənlərinə münasibətdə həll edək:
Cavab: 25
Törəmələrlə tapşırıq imtahanın birinci hissəsində ən çətinlərdən biri hesab olunur, lakin az miqdarda diqqətlilik və məsələni dərk etsəniz, uğur qazanacaqsınız və bu tapşırığın tamamlanma faizini yüksəldəcəksiniz!
Riyaziyyatdan USE-nin profil səviyyəsinin 7 nömrəli tapşırığında törəmə və əks törəmə funksiyası haqqında bilikləri nümayiş etdirmək lazımdır. Əksər hallarda, sadəcə anlayışları müəyyən etmək və törəmənin mənalarını başa düşmək kifayətdir.
Şəkildə diferensiallanan y = f(x) funksiyasının qrafiki göstərilir. X oxunda doqquz nöqtə qeyd edilmişdir: x 1 , x 2 , …, x 9 . Bu nöqtələr arasında y = f(x) funksiyasının törəməsinin mənfi olduğu bütün nöqtələri tapın. Cavabınızda tapılan xalların sayını göstərin.
1. Qrafikdə funksiya vaxtaşırı artır, vaxtaşırı azalır.
2. Funksiyanın azaldığı intervallarda törəmə mənfi qiymətlərə malikdir.
3. Bu intervallar nöqtələri ehtiva edir x 3 , x 4 , x 5 , x 9 . 4 belə nöqtə var.
Şəkil y \u003d f (x) funksiyasının qrafikini göstərir. X oxunda -2, -1, 2, 4 nöqtələri qeyd olunur.Bu nöqtələrdən hansında törəmənin qiyməti ən böyükdür? Zəhmət olmasa cavabınızda bu məqamı qeyd edin.
1. Funksiya bir neçə azalan və artan intervala malikdir.
2. Funksiyanın azaldığı yerdə. Törəmə mənfi işarəyə malikdir. Göstərilənlər arasında belə məqamlar var. Lakin qrafikdə funksiyanın artdığı nöqtələr var. Onların törəməsi müsbətdir. Bunlar -2 və 2 absisləri olan nöqtələrdir.
3. X=-2 və x=2 olan nöqtələrdə qrafiki nəzərdən keçirək. x = 2 nöqtəsində funksiya daha dik qalxır, bu o deməkdir ki, bu nöqtədəki tangens daha böyük yamaclıdır. Buna görə də absis ilə nöqtədə 2. Törəmə ən böyük qiymətə malikdir.
Xətt funksiyanın qrafikinə tangensdir 
. tap a.
1. Tangens nöqtəsinin koordinatları hər iki tənliyi təmin edir: tangens və funksiya. Beləliklə, tənlikləri bərabərləşdirə bilərik. Biz əldə edirik:
2. Bütün şərtləri bir istiqamətə köçürməklə bərabərliyi sadələşdiririk:
3. Təmas nöqtəsində bir həll olmalıdır, ona görə də yaranan tənliyin diskriminantı sıfıra bərabər olmalıdır. Bu, kvadrat tənliyin kökünün unikallığının şərtidir.
4. Alırıq:
Tapşırıq düzgün həll olunarsa, onda alırsınız 1 xal.
Təxminən 5 dəqiqə.
02.01.2020
Nadir gəlinlər qayınanaları ilə bərabər və mehriban münasibətləri ilə öyünə bilər. Adətən bunun əksi olur
TÖRƏVVƏ-funksiyanın törəməsi y = f(x) müəyyən intervalda ( a, b) nöqtəsində x bu interval funksiyanın artımının nisbətinin meyl etdiyi hədd adlanır f həmin nöqtədə arqumentin artımı sıfıra yaxınlaşdıqca arqumentin müvafiq artımına.
Törəmə adətən aşağıdakı kimi işarələnir:
Digər qeydlər də geniş istifadə olunur:
Qoy nöqtə olsun M düz bir xətt üzrə hərəkət edir. Məsafə s bəzi başlanğıc mövqedən hesablanan hərəkət nöqtəsi M 0 , zamandan asılıdır t, yəni. s zamanın funksiyasıdır t: s= f(t). Zamanın bir nöqtəsində icazə verin t hərəkət nöqtəsi M məsafədə idi s başlanğıc mövqeyindən M 0 və növbəti anda t+ D t mövqedə idi M 1 - məsafədə s+ D s ilkin mövqedən ( şəklə bax.).
Beləliklə, bir müddət D t məsafə s D dəyəri ilə dəyişdirildi s. Bu halda deyirik ki, D vaxt intervalında t böyüklük s artım D s.
Orta sürət bütün hallarda nöqtənin hərəkət sürətini dəqiq xarakterizə edə bilməz. M vaxtında t. Əgər, məsələn, D intervalının əvvəlində bədən tçox tez hərəkət etdi və sonunda çox yavaş, onda orta sürət nöqtənin hərəkətinin göstərilən xüsusiyyətlərini əks etdirə bilməyəcək və hazırda onun hərəkətinin əsl sürəti haqqında fikir verə bilməyəcəkdir. t. Orta sürətdən istifadə edərək həqiqi sürəti daha dəqiq ifadə etmək üçün daha kiçik D vaxtını götürməlisiniz t. Bu anda bir nöqtənin hərəkət sürətini ən tam şəkildə xarakterizə edir t orta sürətin D-də meyl etdiyi hədd t® 0. Bu hədd verilmiş andakı hərəkət sürəti adlanır:
Beləliklə, müəyyən bir anda hərəkət sürəti D yolunun artımının nisbətinin həddidir s zaman artımına D t zaman artımı sıfıra meyl etdikdə. Çünki
Tangenslərin qurulması diferensial hesabın yaranmasına səbəb olan problemlərdən biridir. Leybniz tərəfindən yazılmış diferensial hesaba dair ilk nəşr olunmuş əsərin adı verilmişdir Nə kəsr, nə də irrasional kəmiyyətlərin maneə törətmədiyi maksimum və minimumların, eləcə də tangenslərin yeni üsulu və bunun üçün xüsusi hesablama növü..
Əyri funksiyanın qrafiki olsun y =f(x) düzbucaqlı koordinat sistemində ( sm. düyü.).
Bəzi dəyər üçün x funksiyası vacibdir y =f(x). Bu dəyərlər x və yəyri üzərində nöqtə M 0(x, y). Əgər mübahisə x vermək artım D x, sonra arqumentin yeni dəyəri x+ D x funksiyanın yeni dəyərinə uyğundur y+ D y = f(x + D x). Əyrinin müvafiq nöqtəsi nöqtə olacaqdır M 1(x+ D x,y+ D y). Bir sekant çəksək M 0M 1 və j ilə işarələyin müsbət ox istiqaməti olan sekantın yaratdığı bucaq öküz, rəqəmdən birbaşa görünür ki
Əgər indi D x sıfıra, sonra nöqtəyə meyl edir M 1 nöqtəyə yaxınlaşaraq əyri boyunca hərəkət edir M 0 və bucaq j dəyişmə ilə dəyişir D x. At Dx® 0 j bucağı müəyyən a limitinə və nöqtədən keçən xəttə meyl edir M 0 və absis oxunun müsbət istiqaməti olan komponent a bucağı istənilən tangens olacaqdır. Onun yamacı:
Beləliklə, f´( x) = tga
olanlar. törəmə dəyər f´( x) arqumentin verilmiş dəyəri üçün x funksiyanın qrafikinə tangensin yaratdığı bucağın tangensinə bərabərdir f(x) müvafiq nöqtədə M 0(x,y) müsbət oxu istiqaməti ilə öküz.
Tərif. Əgər funksiyası y = f(x) nöqtəsində törəmə var x = x 0, onda funksiya bu nöqtədə diferensiallana bilər.
Əgər funksiyası y = f(x) müəyyən nöqtədə diferensiallaşır x = x 0, onda bu nöqtədə davamlıdır.
Beləliklə, kəsilmə nöqtələrində funksiyanın törəməsi ola bilməz. Əks nəticə yanlışdır, yəni. ki, nə vaxtsa x = x 0 funksiyası y = f(x) davamlıdır, ondan bu nöqtədə diferensiallaşdığı çıxmır. Məsələn, funksiya y = |x| hamı üçün davamlı x(–Ґ x x = 0-ın törəməsi yoxdur. Bu nöqtədə qrafikə toxunan yoxdur. Sağ tangens və sol tangens var, lakin onlar üst-üstə düşmür.
Diferensiallanan funksiyalar haqqında bəzi teoremlər. Törəmənin kökləri haqqında teorem (Roll teoremi).Əgər funksiyası f(x) intervalında davamlıdır [a,b], bu seqmentin bütün daxili nöqtələrində və uclarında fərqlənir x = a və x = b yox olur ( f(a) = f(b) = 0), sonra seqment daxilində [ a,b] ən azı bir nöqtə var x= ilə, a c b, hansı törəmə fў( x) yox olur, yəni. fў( c) = 0.
Sonlu artım teoremi (Laqranj teoremi).Əgər funksiyası f(x) [ intervalında davamlıdır a, b] və bu seqmentin bütün daxili nöqtələrində, sonra seqmentin daxilində diferensiallaşdırılır. a, b] ən azı bir nöqtə var ilə, a c b ki
f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).
İki funksiyanın artımlarının nisbəti haqqında teorem (Koşi teoremi).Əgər f(x) və g(x) seqmentdə davamlı iki funksiyadır [a, b] və bu seqmentin bütün daxili nöqtələrində diferensiallana bilir və gў( x) bu seqmentin daxilində, sonra seqmentin daxilində heç bir yerdə yox olmur. a, b] belə bir məqam var x = ilə, a c b ki
Qoy funksiya olsun y =f(x) müəyyən intervalda diferensiallaşır [ a, b]. Törəmə dəyərlər f ў( x), ümumiyyətlə, asılıdır x, yəni. törəmə f ў( x) də funksiyasıdır x. Bu funksiya diferensiallaşdırıldıqda funksiyanın ikinci törəməsi deyilən şey alınır f(x), işarələnmişdir f ўў ( x).
törəmə n- funksiyanın sırası f(x) törəmənin törəməsi (birinci dərəcəli) adlanır n- 1- th və simvolu ilə işarələnir y(n) = (y(n– 1))ў.
Funksiya diferensialı y = f(x), harada x müstəqil dəyişəndir, olur dy = f ў( x)dx, -dən bəzi funksiyalar x, amma dan x yalnız birinci amil asılı ola bilər f ў( x), ikinci amil isə ( dx) müstəqil dəyişənin artımıdır x və bu dəyişənin qiymətindən asılı deyil. Çünki dy-dən bir funksiya var x, onda biz bu funksiyanın diferensialını təyin edə bilərik. Funksiyanın diferensialının diferensialına bu funksiyanın ikinci və ya ikinci dərəcəli diferensialı deyilir və işarə olunur. d 2y:
d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .
Diferensial n- sıraya diferensialın birinci diferensialı deyilir n- 1- sifariş:
d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).
Əgər funksiya birdən deyil, bir neçə arqumentdən asılıdırsa x i(i 1-dən dəyişir n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), sonra diferensial hesablamada yalnız bir arqument dəyişdikdə bir neçə dəyişənin funksiyasının dəyişmə sürətini xarakterizə edən qismən törəmə anlayışı təqdim olunur, məsələn, x i. ilə bağlı 1-ci dərəcəli qismən törəmə x i adi törəmə kimi müəyyən edilir, istisna olmaqla bütün arqumentlərin olduğu güman edilir x i, sabit dəyərləri saxlayın. Qismən törəmələr üçün qeydi təqdim edirik
Bu şəkildə müəyyən edilmiş 1-ci dərəcəli qismən törəmələr (eyni arqumentlərin funksiyaları kimi) öz növbəsində qismən törəmələrə də sahib ola bilər, bunlar ikinci dərəcəli qismən törəmələrdir və s. Müxtəlif arqumentlərə münasibətdə belə törəmələr qarışıq adlanır. Eyni tərtibli davamlı qarışıq törəmələr diferensiasiya qaydasından asılı deyil və bir-birinə bərabərdir.
Anna Çuqaynova
törəmə funksiyaları bir nöqtədə sıfıra meylli olmaq şərtilə funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi adlanır.
Törəmə tapmaq üçün əsas qaydalar
Əgər - və - bir nöqtədə diferensiallana bilən funksiyalardırsa (yəni, bir nöqtədə törəmələri olan funksiyalar), onda:
Əsas funksiyaların törəmələri cədvəli
1. 8. 
2. 9. 
3. 
10.
5. 
12. 
6. 
13.
7. 
Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydası.Əgər və, yəni. , harada və törəmələri var, onda
Parametrlə təyin edilmiş funksiyanın diferensiallaşdırılması. Dəyişənin dəyişəndən asılılığı parametr vasitəsilə parametrik olaraq verilsin:
Tapşırıq 3. Verilmiş funksiyaların törəmələrini tapın.
1) 
Həll. Törəmələri tapmaq üçün 2-ci qaydanı və törəmələr cədvəlinin 1 və 2 düsturlarını tətbiq edərək, əldə edirik:
Həll. Törəmələri tapmaq üçün 4-cü qaydanı və törəmələr cədvəlinin 1 və 13-cü düsturlarını tətbiq edərək, əldə edirik:
.
Həll. Törəmələrin tapılması üçün 3-cü qaydanı və törəmələr cədvəlinin 5 və 11-ci düsturlarını tətbiq edərək, əldə edirik:
Həll. Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması düsturuna əsasən, haradan alırıq:
Həll. Bizdə var: Onda parametrik verilmiş funksiyanın törəməsinin tapılması düsturuna görə alırıq:
4. Daha yüksək dərəcəli törəmələr. L'Hopital qaydası.
Funksiyanın ikinci dərəcəli törəməsi onun törəməsinin törəməsi adlanır, yəni. . İkinci törəmə üçün aşağıdakı qeyd istifadə olunur: və ya, və ya.
Funksiyanın 1-ci dərəcəli törəməsi onun üçüncü dərəcəli törəməsi adlanır. --ci sıranın törəməsi üçün aşağıdakı qeyd istifadə olunur: və ya, ya.
L'Hopital qaydası. Qoy və funksiyaları nöqtənin qonşuluğunda diferensiallana bilsin və törəmə itməsin. Əgər və funksiyaları eyni zamanda ya sonsuz kiçik, ya da sonsuz böyükdürsə və at nisbətinin həddi varsa, at nisbətinin də həddi var. Və
.
Qayda zaman da tətbiq edilir
Qeyd edək ki, bəzi hallarda formanın qeyri-müəyyənliklərinin açıqlanması və ya L'Hospital qaydasının təkrar tətbiqini tələb edə bilər.
Qeyri-müəyyənliklərə baxın və s. elementar çevrilmələr asanlıqla forma və ya qeyri-müəyyənliklərinə endirilir.
Tapşırıq 4. L'Hopital qaydasından istifadə edərək limiti tapın.
Həll Burada formanın qeyri-müəyyənliyi var, çünki saat. L'Hospital qaydasını tətbiq edək:
.
L'Hopital qaydasını tətbiq etdikdən sonra yenidən formanın qeyri-müəyyənliyini aldıq, çünki saat. L'Hopital qaydasını yenidən tətbiq edərək, əldə edirik:
.
5. Funksiya tədqiqatı
a) Artan və azalan funksiyalar
Funksiya çağırılır artır seqmentdə , əgər hər hansı bir nöqtə üçün və bərabərsizliyin baş verdiyi seqmentdən. Funksiya intervalda və atda davamlıdırsa, o zaman intervalda artır.
Funksiya çağırılır zəifləyən seqmentdə , əgər hər hansı bir nöqtə üçün və seqmentdən, harada, bərabərsizlik baş verir. Funksiya intervalda və atda davamlıdırsa, o zaman intervalda azalır.
Əgər funksiya verilmiş intervalda yalnız artır və ya azalırsa, o zaman çağırılır monoton interval üzrə.
b) Funksiya ekstremalları
minimum nöqtə funksiyaları .
Əgər varsa - nöqtənin qonşuluğu belə ki, bərabərsizlik bu qonşuluqdakı bütün nöqtələr üçün keçərlidir, onda nöqtə deyilir maksimum nöqtə funksiyaları .
Funksiyanın maksimum və minimum nöqtələrinə onun deyilir ekstremal nöqtələr.
Nöqtə deyilir stasionar nöqtə varsa və ya yoxdursa.
Əgər stasionar nöqtənin üçün və üçün qonşuluğu varsa, onda - funksiyanın maksimum nöqtəsidir.
Əgər stasionar nöqtənin for və üçün qonşuluğu varsa, o zaman funksiyanın minimumunun -nöqtəsi.
a) Əyri istiqamət. Bükülmə nöqtələri
yuxarı qabarıq interval üzrə , bu intervalın istənilən nöqtəsində funksiyanın qrafikinə çəkilmiş tangensdən aşağıda yerləşirsə.
Funksiya qrafikinin interval üzrə yuxarı qabarıq olması üçün yetərli şərt nəzərdən keçirilən intervallardan hər hansı biri üçün bərabərsizliyin yerinə yetirilməsidir.
Diferensiallanan funksiyanın qrafiki adlanır aşağı qabarıq interval üzrə , bu intervalın istənilən nöqtəsində funksiyanın qrafikinə çəkilmiş tangensdən yuxarıda yerləşirsə.
İntervalda funksiyanın qrafikinin aşağıya doğru qabarıq olması üçün yetərli şərt nəzərdən keçirilən intervallardan hər hansı biri üçün bərabərsizliyin yerinə yetirilməsidir.
Funksiya qrafikinin qabarıqlığının istiqamətinin dəyişdiyi nöqtə deyilir əyilmə nöqtəsi.
Mövcud olduğu və ya olmayan nöqtə, solunda və sağında fərqli işarələrə malikdirsə, əyilmə nöqtəsinin absisidir.
d) Asimptotlar
Funksiya qrafikinin nöqtəsindən müəyyən düz xəttə qədər olan məsafə nöqtənin başlanğıcından sonsuz məsafədə sıfıra meyllidirsə, düz xətt adlanır. funksiyanın qrafikinin asimptotudur.
Əgər belə bir rəqəm varsa, o zaman xəttdir şaquli asimptot.
Əgər məhdudiyyətlər varsa 
, onda xəttdir əyri (k=0-da üfüqi) asimptot.
e) Funksiyanın ümumi tədqiqi
1. Funksiya əhatə dairəsi
2. Qrafikin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri
3. Davamlılıq, cüt/tək və dövrilik funksiyasının tədqiqi
4. Funksiyanın monotonluq intervalları
5. Funksiyanın ekstremum nöqtələri
6. Funksiya qrafikinin qabarıqlıq intervalları və əyilmə nöqtələri
7. Funksiya qrafikinin asimptotları
8. Funksiyanın qrafiki.
Tapşırıq 5. Funksiyanı araşdırın və onun qrafikini çəkin.
Həll. 1) Kəsirin məxrəcinin itdiyi nöqtə istisna olmaqla, funksiya bütün say oxunda müəyyən edilir. . Bizdə: bu funksiyanın əhatə dairəsinə aid deyil. Buna görə də, bu funksiyanın stasionar nöqtələri nöqtələr, minimum qiymətdir (şəkildə göstərildiyi kimi).
Törəmə işarəsinin funksiyanın monotonluq xarakteri ilə əlaqəsini göstərmək.
Zəhmət olmasa aşağıdakılarda çox diqqətli olun. Baxın, sizə NƏ verilir cədvəli! Funksiya və ya onun törəməsi
Törəmənin qrafiki verilmişdir, onda bizi yalnız funksiya işarələri və sıfırlar maraqlandırır. Prinsipcə heç bir “knoll” və “boşluqlar” bizim üçün maraqlı deyil!
Şəkil intervalda müəyyən edilmiş funksiyanın qrafikini göstərir. Funksiyanın törəməsinin mənfi olduğu tam ədədlərin sayını təyin edin.
Həll:
Şəkildə azalan funksiya sahələri rənglə vurğulanır:
Bu azalan funksiya sahələrinə 4 tam dəyər düşür.
Şəkil intervalda müəyyən edilmiş funksiyanın qrafikini göstərir. Funksiyanın qrafikinə toxunan xəttin paralel və ya üst-üstə düşdüyü nöqtələrin sayını tapın.
Həll:
Funksiya qrafikinə toxunan düz xətt (və ya eyni olan) ilə paralel (və ya üst-üstə düşür) olduğundan yamac, sıfıra bərabərdir, onda tangensin yamacı var .
Bu da öz növbəsində tangensin oxa paralel olması deməkdir, çünki yamac tangensin oxa meyl bucağının tangensidir.
Buna görə də, qrafikdə ekstremum nöqtələrini tapırıq (maksimum və minimum nöqtələr), - məhz onlarda qrafikə toxunan funksiyalar oxa paralel olacaqdır.
4 belə nöqtə var.
Şəkil intervalda müəyyən edilmiş funksiyanın törəməsinin qrafikini göstərir. Funksiyanın qrafikinə toxunan xəttin paralel və ya üst-üstə düşdüyü nöqtələrin sayını tapın.
Həll:
Funksiya qrafikinin tangensi yamacı olan düz xəttlə paralel (və ya üst-üstə düşdüyü üçün) olduğundan, tangensin mailliyi olur.
Bu da öz növbəsində təmas nöqtələrində deməkdir.
Buna görə də, qrafikdə neçə nöqtənin ordinatına bərabər olduğuna baxırıq.
Gördüyünüz kimi, dörd belə məqam var.
Şəkil intervalda müəyyən edilmiş funksiyanın qrafikini göstərir. Funksiyanın törəməsinin 0 olduğu nöqtələrin sayını tapın.
Həll:
Ekstremum nöqtələrində törəmə sıfırdır. Bizdə onlardan 4-ü var:
Şəkildə funksiya qrafiki və x oxunda on bir nöqtə göstərilir:. Bu nöqtələrin neçəsində funksiyanın törəməsi mənfi olur?
Həll:
Azalan funksiya intervallarında onun törəməsi mənfi qiymətlər alır. Və funksiya nöqtələrdə azalır. 4 belə nöqtə var.
Şəkil intervalda müəyyən edilmiş funksiyanın qrafikini göstərir. Funksiyanın ekstremum nöqtələrinin cəmini tapın.
Həll:
ekstremal nöqtələr maksimum ballar (-3, -1, 1) və minimum ballardır (-2, 0, 3).
Ekstremal nöqtələrin cəmi: -3-1+1-2+0+3=-2.
Şəkil intervalda müəyyən edilmiş funksiyanın törəməsinin qrafikini göstərir. Artan funksiyanın intervallarını tapın. Cavabınızda bu intervallara daxil olan tam xalların cəmini göstərin.
Həll:
Şəkil, funksiyanın törəməsinin mənfi olmadığı intervalları vurğulayır.
Kiçik artım intervalında tam xal yoxdur, artım intervalında dörd tam qiymət var: , , və .
Onların cəmi:
Şəkil intervalda müəyyən edilmiş funksiyanın törəməsinin qrafikini göstərir. Artan funksiyanın intervallarını tapın. Cavabınızda onlardan ən böyüyünün uzunluğunu yazın.
Həll:
Şəkildə törəmənin müsbət olduğu bütün intervallar vurğulanıb, yəni funksiyanın özü bu intervallarda artır.
Onlardan ən böyüyünün uzunluğu 6-dır.
Şəkil intervalda müəyyən edilmiş funksiyanın törəməsinin qrafikini göstərir. Seqmentin hansı nöqtəsində ən böyük dəyəri alır.
Həll:
Qrafikin seqmentdə necə davrandığına baxırıq, yəni bizi maraqlandırır yalnız törəmə işarəsi .
Törəmə işarəsi mənfidir, çünki bu seqmentdəki qrafik oxun altındadır.
