Bir müstəvidə və ya üçölçülü məkanda koordinat sistemini təqdim edərkən, tənliklərdən və bərabərsizliklərdən istifadə edərək həndəsi fiqurları və onların xassələrini təsvir etmək üçün unikal imkan yaranır. Bunun başqa adı var - cəbr üsulları.
Bu məqalə düzbucaqlı Dekart koordinat sisteminin tapşırığını və nöqtələrin koordinatlarının təyinini başa düşməyə kömək edəcəkdir. Qrafik təsvirlərdə daha vizual və ətraflı təsvir mövcuddur.
Müstəvidə koordinat sistemini tətbiq etmək üçün müstəvidə iki perpendikulyar xətt çəkmək lazımdır. seçin müsbət istiqamət, ox ilə işarələnmişdir. Seçmək lazımdır miqyası. Xətlərin kəsişmə nöqtəsi O hərfi adlanacaq. O hesab olunur istinad nöqtəsi. Buna deyilir düzbucaqlı koordinat sistemi səthdə.
İstiqaməti və miqyası olan O mənşəli xətlər adlanır koordinat xətti və ya koordinat oxu.
Düzbucaqlı koordinat sistemi O x y ilə işarələnir. Koordinat oxları müvafiq olaraq O x və O y adlanır absis və y oxu.
Müstəvidə düzbucaqlı koordinat sisteminin şəkli.
Absis və ordinat oxları eyni dəyişmə və miqyas vahidinə malikdir və bu, koordinat oxlarının başlanğıcında tire kimi göstərilir. Standart istiqamət O x soldan sağa, O y isə aşağıdan yuxarıdır. Bəzən tələb olunan bucaq altında alternativ fırlanma istifadə olunur.
Düzbucaqlı koordinat sistemi onun kəşfçisi Rene Dekartın şərəfinə Kartezyen adlanır. Tez-tez adı düzbucaqlı Kartezyen koordinat sistemi kimi tapa bilərsiniz.
Üçölçülü Evklid fəzasının oxşar sistemi var, sadəcə o, iki deyil, üç O x, O y, O z oxlarından ibarətdir. Bunlar üç qarşılıqlı perpendikulyar xəttdir, burada O z adı var aplikasiya oxu.
Koordinat oxları istiqamətində onlar üçölçülü fəzanın sağ və sol düzbucaqlı koordinat sistemlərinə bölünür.
Koordinat oxları başlanğıc adlanan O nöqtəsində kəsişir. Hər bir oxun oxlardakı oxlarla göstərilən müsbət istiqaməti var. Əgər O x saat əqrəbinin əksinə 90° fırlananda onun müsbət istiqaməti müsbət O y ilə üst-üstə düşürsə, bu, O z-nin müsbət istiqamətinə aiddir. Belə bir sistem hesab olunur sağ. Başqa sözlə, X-in istiqamətini baş barmaq ilə müqayisə etsək, onda şəhadət barmağı Y üçün, orta barmaq isə Z üçün cavabdehdir.
Sol koordinat sistemi də eyni şəkildə qurulur. Hər iki sistem birləşdirilə bilməz, çünki müvafiq oxlar uyğun gəlməyəcək.
Başlamaq üçün O x koordinat oxundakı M nöqtəsini kənara qoyuruq. İstənilən real ədəd x M verilmiş xəttdə yerləşən yeganə M nöqtəsinə bərabərdir. Əgər nöqtə koordinat xəttində müsbət istiqamətdə başlanğıcdan 2 məsafədə yerləşirsə, o zaman 2-yə bərabərdir, əgər - 3 olarsa, müvafiq məsafə 3-dür. Sıfır koordinat xətlərinin mənşəyidir.
Başqa sözlə, O x üzərində yerləşən hər bir M nöqtəsi x M həqiqi ədədinə bərabərdir. M nöqtəsi başlanğıcda, yəni O x və O y-nin kəsişməsində yerləşirsə, bu həqiqi ədəd sıfırdır. Nöqtə müsbət istiqamətdə və əksinə çıxarılarsa, seqment uzunluğunun sayı həmişə müsbətdir.
Mövcud nömrə x M çağırılır əlaqələndirmək verilmiş koordinat xəttində M nöqtəsi.
M x nöqtəsinin O x üzərinə proyeksiyası kimi bir nöqtəni, M y nöqtəsinin O y üzərinə proyeksiyası kimi götürək. Bu o deməkdir ki, M nöqtəsindən O x və O y oxlarına perpendikulyar düz xətlər çəkilə bilər, burada müvafiq kəsişmə nöqtələri M x və M y alınır.
Onda O x oxundakı M x nöqtəsi müvafiq x M ədədinə, O y - y M üzərində isə M y ədədinə malikdir. Üstündə koordinat oxları belə görünür:
Hər bir M nöqtəsi verilmiş təyyarə düzbucaqlı Dekart koordinat sistemində bir uyğun cüt ədəd var (x M, y M) koordinatları. Absis M x M, ordinat M y M.
Əks ifadə də doğru hesab olunur: hər bir sıralanmış cüt (x M , y M) müstəvidə verilmiş müvafiq nöqtəyə malikdir.
Üçölçülü fəzada M nöqtəsinin tərifi. M nöqtəsinin müvafiq O x, O y, O z oxlarına proyeksiyaları olan M x, M y, M z olsun. Sonra O x, О у, О z oxlarındakı bu nöqtələrin qiymətləri x M , y M , z M qiymətlərini alacaq. Onu koordinat xətlərində təmsil edək.
M nöqtəsinin proyeksiyalarını əldə etmək üçün M nöqtəsindən keçən müstəvilər şəklində davam etmək və təsvir etmək üçün O x, O y, O z perpendikulyar xətləri əlavə etmək lazımdır. Beləliklə, təyyarələr M x , M y , M z nöqtələrində kəsişir
Üçölçülü fəzanın hər bir nöqtəsinin öz verilənləri var (x M , y M , z M ) adı olan nöqtə koordinatları M , x M , y M , z M - bunlar adlanan nömrələrdir absis, ordinat və aplikasiya M nöqtəsi verilmişdir. Bu mühakimə üçün əks müddəa da doğrudur: verilmiş hər bir sıralı həqiqi ədəd üçlü (x M , y M , z M ) düzbucaqlı sistem koordinatlarda üçölçülü fəzanın bir uyğun M nöqtəsi var.
Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
Bir müstəvidə və ya üçölçülü fəzada bir koordinat sistemi təqdim etsək, onda təsvir edə biləcəyik. həndəsi fiqurlar və onların xassələrini tənlik və bərabərsizliklərin köməyi ilə, yəni cəbrin üsullarından istifadə edə biləcəyik. Buna görə də koordinat sistemi anlayışı çox vacibdir.
Bu yazıda düzbucaqlı Dekart koordinat sisteminin müstəvidə və üçölçülü fəzada necə qurulduğunu göstərəcəyik və nöqtələrin koordinatlarının necə təyin olunduğunu öyrənəcəyik. Aydınlıq üçün qrafik təsvirləri təqdim edirik.
Səhifə naviqasiyası.
Təyyarədə düzbucaqlı koordinat sistemini təqdim edirik.
Bunu etmək üçün təyyarədə iki qarşılıqlı perpendikulyar xətt çəkirik, hər birini seçin müsbət istiqamət, onu ox ilə göstərin və hər birini seçin miqyası(uzunluq vahidi). Bu xətlərin kəsişmə nöqtəsini O hərfi ilə işarə edirik və onu nəzərdən keçirəcəyik istinad nöqtəsi. Beləliklə, aldıq düzbucaqlı koordinat sistemi səthdə.
Seçilmiş mənşəyi O, istiqaməti və miqyası olan xətlərin hər biri adlanır koordinat xətti və ya koordinat oxu.
Müstəvidəki düzbucaqlı koordinat sistemi adətən Oxy ilə işarələnir, burada Ox və Oy onun koordinat oxlarıdır. Öküz oxu deyilir x oxu, və Oy oxudur y oxu.
İndi düzbucaqlı koordinat sisteminin müstəvidə təsviri ilə razılaşaq.
Adətən, Ox və Oy oxları üzrə uzunluq vahidi eyni olmaq üçün seçilir və hər bir koordinat oxundakı koordinatların başlanğıcından müsbət istiqamətdə (koordinat oxları üzərində tire ilə işarələnir və vahidin yanında yazılır) qrafası çəkilir. o), absis oxu sağa, y oxu isə yuxarıdır. Koordinat oxlarının istiqamətinin bütün digər variantları koordinat sistemini mənşəyə nisbətən müəyyən bucaq altında fırladıb ona digər tərəfdən baxaraq səsli oxlara (Ox oxu - sağa, Oy oxu - yuxarı) azaldılır. təyyarə (lazım olduqda).
Düzbucaqlı koordinat sistemi, ilk dəfə Rene Dekart tərəfindən müstəvidə təqdim edildiyi üçün çox vaxt Kartezyen adlanır. Daha tez-tez düzbucaqlı koordinat sistemi, hamısını bir araya gətirərək düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi adlanır.
Üçölçülü Evklid fəzasında düzbucaqlı koordinat sistemi Oxyz eyni şəkildə qurulur, lakin iki deyil, üç qarşılıqlı perpendikulyar xətt götürülür. Başqa sözlə, Ox və Oy koordinat oxlarına Oz koordinat oxu əlavə olunur ki, bu da adlanır. oxu tətbiq edin.
Koordinat oxlarının istiqamətindən asılı olaraq üçölçülü fəzada sağ və sol düzbucaqlı koordinat sistemləri fərqləndirilir.
Əgər Oz oxunun müsbət istiqamətindən baxsanız və Ox oxunun müsbət istiqamətindən Oy oxunun müsbət istiqamətinə ən qısa dönüş saat əqrəbinin əksinə baş verirsə, o zaman koordinat sistemi adlanır. sağ.
Oz oxunun müsbət istiqamətindən baxıldıqda və Ox oxunun müsbət istiqamətindən Oy oxunun müsbət istiqamətinə ən qısa fırlanma saat əqrəbi istiqamətində baş verirsə, o zaman koordinat sistemi adlanır. sol.
Əvvəlcə Ox koordinat xəttini nəzərdən keçirin və üzərində bir neçə M nöqtəsini götürün.
Hər bir həqiqi ədəd bu koordinat xəttində unikal M nöqtəsinə uyğundur. Məsələn, koordinat xəttində başlanğıcdan müsbət istiqamətdə bir məsafədə yerləşən nöqtə rəqəmə, -3 rəqəmi isə mənfi istiqamətdə başlanğıcdan 3 məsafədə yerləşən nöqtəyə uyğundur. 0 rəqəmi mənşəyə uyğundur.
Digər tərəfdən, Ox koordinat xəttindəki hər bir M nöqtəsi həqiqi ədədə uyğundur. M nöqtəsi mənşəyi (O nöqtəsi) ilə üst-üstə düşürsə, bu real ədəd sıfırdır. M nöqtəsi başlanğıcdan müsbət istiqamətdə çıxarılarsa, bu həqiqi ədəd müsbətdir və verilmiş miqyasda OM seqmentinin uzunluğuna bərabərdir. Bu həqiqi ədəd mənfidir və M nöqtəsi başlanğıcdan mənfi istiqamətdə çıxarılarsa, mənfi işarəli OM seqmentinin uzunluğuna bərabərdir.
Nömrə çağırılır əlaqələndirmək koordinat xəttində M nöqtələri.
İndi təqdim edilmiş düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi olan bir müstəvini nəzərdən keçirək. Bu müstəvidə ixtiyari M nöqtəsini qeyd edirik.
M nöqtəsinin Ox xəttinə proyeksiyası, M nöqtəsinin Oy koordinat xəttinə proyeksiyası olsun (lazım olduqda məqaləyə baxın). Yəni, M nöqtəsindən Ox və Oy koordinat oxlarına perpendikulyar olan xətlər çəksək, onda bu xətlərin Ox və Oy xətləri ilə kəsişmə nöqtələri müvafiq olaraq nöqtələr və .
Ox koordinat oxundakı nöqtə ədədə, Oy oxundakı nöqtə isə ədədə uyğun olsun.
Verilmiş düzbucaqlı Dekart koordinat sistemindəki müstəvinin hər bir M nöqtəsi tək sıralanmış həqiqi ədədlər cütünə uyğundur. M nöqtəsinin koordinatları səthdə. Koordinat deyilir absis nöqtəsi M, a - ordinat nöqtəsi M.
Əks müddəa da doğrudur: hər bir sıralanmış həqiqi ədəd cütü verilmiş koordinat sistemində müstəvinin M nöqtəsinə uyğun gəlir.
M nöqtəsinin koordinatlarının üçölçülü fəzada verilmiş düzbucaqlı koordinat sistemində necə təyin olunduğunu göstərək.
M nöqtəsinin müvafiq olaraq Ox , Oy və Oz koordinat oxlarına proyeksiyaları olsun və olsun. Ox , Oy və Oz koordinat oxları üzərindəki bu nöqtələr həqiqi ədədlərə və uyğun olsun.
2D koordinat sistemi
Nöqtə P koordinatlarına malikdir (5,2).
Müasir Kartezyen sistemi iki ölçüdə koordinatlar (həmçinin düzbucaqlı koordinat sistemi) bir-birinə düz bucaqlı iki ox tərəfindən verilir. Baltaların yerləşdiyi təyyarə bəzən adlanır xy təyyarələri.Üfüqi ox kimi qeyd olunur x(absis oxu), şaquli kimi y(y oxu). Üç ölçülü fəzada ikiyə perpendikulyar olan üçüncü ox əlavə olunur xy müstəvisi- ox z. Kartezyen koordinat sistemindəki bütün nöqtələr sözdə olanı təşkil edir Kartezyen fəza.
Baltaların qovuşduğu kəsişmə nöqtəsi deyilir mənşəyi və kimi işarələnir Oh Müvafiq olaraq, ox x kimi etiketlənə bilər öküz, və y oxu kimidir Oh. Başlanğıc formasından başlayaraq tək seqment (uzunluq vahidləri) məsafəsində hər oxa paralel çəkilmiş düz xətlər koordinat şəbəkəsi.
İki ölçülü koordinat sistemindəki bir nöqtə oxdan məsafəni təyin edən iki ədədlə verilir ay(absis və ya x koordinatı) və oxdan Oh(y-koordinatı və ya y-koordinatı) müvafiq olaraq. Beləliklə, koordinatlar sıralı ədədlər cütünü (dəstini) təşkil edir (x, y).Üçölçülü fəzada başqa bir z koordinatı əlavə olunur (nöqtənin xy müstəvisindən məsafəsi) və koordinatların nizamlı üçlüyü əmələ gəlir. (x, y, z).
X, y, z hərflərinin seçimi buradan gəlir ümumi qayda latın əlifbasının ikinci yarısına görə naməlum kəmiyyətlərin adları. Onun birinci yarısının hərfləri məlum kəmiyyətləri adlandırmaq üçün istifadə olunur.
Baltalardakı oxlar bu istiqamətdə sonsuzluğa qədər uzandıqlarını əks etdirir.
İki oxun kəsişməsi koordinat müstəvisində I, II, III və IV Roma rəqəmləri ilə işarələnən dörd kvadrant yaradır. Adətən kvadrantların nömrələnmə sırası yuxarı sağdan başlayaraq saat əqrəbinin əksinə olur (yəni absis və ordinatın müsbət ədədlər olduğu yerdə). Hər kvadrantda absis və ordinatların əldə etdiyi qiymət aşağıdakı cədvəldə ümumiləşdirilə bilər:
| Kvadrant | x | y |
| I | > 0 | > 0 |
| II | <0 | > 0 |
| III | <0 | <0 |
| IV | > 0 | <0 |
Üçölçülü və nölçülü koordinat sistemi
Bu şəkildə P nöqtəsinin koordinatları (5,0,2) və Q nöqtəsinin (-5, -5,10) koordinatları var.
3D məkanında koordinatlar üçlük təşkil edir (x, y, z).
3D Kartezyen sistemi üçün x, y, z koordinatları bir nöqtədən müvafiq müstəvilərə olan məsafələr kimi başa düşülə bilər: yz, xz və xy.
Üçölçülü Kartezian koordinat sistemi çox populyardır, çünki o, məkan ölçüləri - hündürlük, en və uzunluq (yəni üç ölçü) haqqında adi anlayışlara uyğundur. Amma tətbiq sahəsindən və riyazi aparatın xüsusiyyətlərindən asılı olaraq, bu üç oxun mənası tamamilə fərqli ola bilər.
Daha yüksək ölçülü koordinat sistemlərindən də istifadə olunur (məsələn, xüsusi nisbilikdə məkan-zamanı təsvir etmək üçün 4 ölçülü sistem).
Mücərrəd şəkildə Kartezyen koordinat sistemi n-ölçülü yer yuxarıdakı müddəaların ümumiləşdirilməsidir və malikdir n qarşılıqlı perpendikulyar olan oxlar (hər bir ölçüyə görə). Müvafiq olaraq, belə bir fəzada nöqtənin mövqeyi bir dəst ilə müəyyən ediləcəkdir n koordinatları və ya nth.
Kanonikdə düz xəttin tənliyi (planimetriya).
forma, parametrik və ümumi forma.
Bu tənliklər adlanır xəttin kanonik tənlikləri kosmosda.
sıfıra bərabər ola bilər, bu o deməkdir ki, müvafiq kəsrin payı da sıfıra bərabərdir.
Əgər (1)-də parametr təqdim edirik t
|
onda düz xəttin tənliklərini formada yazmaq olar
Ortaq mənşəli (mənşəyi) və ümumi uzunluq vahidi olan bir-birinə perpendikulyar kəsişən iki və ya üç oxdan ibarət nizamlı sistem deyilir. düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi .
Ümumi Kartezyen koordinat sistemi (afin koordinat sistemi) mütləq perpendikulyar oxları da əhatə edə bilər. Fransız riyaziyyatçısı Rene Dekartın (1596-1662) şərəfinə belə bir koordinat sistemi adlandırılmışdır ki, burada ümumi uzunluq vahidi bütün oxlarda hesablanır və oxlar düzdür.
Müstəvidə düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi iki ox var kosmosda düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi - üç ox. Bir müstəvidə və ya kosmosda hər bir nöqtə koordinatların nizamlı dəsti ilə - koordinat sisteminin vahid uzunluğuna uyğun olaraq nömrələrlə müəyyən edilir.
Qeyd edək ki, tərifdən göründüyü kimi düz xətt üzərində, yəni bir ölçüdə Kartezyen koordinat sistemi mövcuddur. Düz xəttə Kartezyen koordinatlarının tətbiqi düz xəttin istənilən nöqtəsinə dəqiq müəyyən edilmiş həqiqi ədədin, yəni koordinatın təyin edilməsi üsullarından biridir.
Rene Dekartın əsərlərində yaranan koordinatlar üsulu bütün riyaziyyatın inqilabi yenidən qurulmasını qeyd etdi. Cəbri tənlikləri (və ya bərabərsizlikləri) həndəsi təsvirlər (qrafiklər) şəklində şərh etmək və əksinə, analitik düsturlardan, tənliklər sistemlərindən istifadə etməklə həndəsi məsələlərin həllini axtarmaq mümkün oldu. Bəli, bərabərsizlik z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy və bu müstəvidən 3 vahid yuxarıda yerləşir.
Dekart koordinat sisteminin köməyi ilə nöqtənin verilmiş əyriyə aid olması ədədlərin x və y bəzi tənliyi təmin edin. Beləliklə, verilmiş nöqtədə mərkəzləşmiş dairənin nöqtəsinin koordinatları ( a; b) tənliyini təmin edin (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Ümumi mənşəli və eyni miqyaslı vahidi olan bir müstəvidə iki perpendikulyar ox Müstəvidə kartezian koordinat sistemi . Bu oxlardan biri ox adlanır öküz, və ya x oxu , digəri - ox ay, və ya y oxu . Bu oxlara koordinat oxları da deyilir. ilə işarələyin Mx və My müvafiq olaraq ixtiyari nöqtənin proyeksiyası M oxda öküz və ay. Proqnozları necə əldə etmək olar? Nöqtədən keçin M öküz. Bu xətt oxu kəsir öküz nöqtədə Mx. Nöqtədən keçin M oxa perpendikulyar düz xətt ay. Bu xətt oxu kəsir ay nöqtədə My. Bu, aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir.
x və y xal M biz müvafiq olaraq istiqamətlənmiş seqmentlərin böyüklüklərini adlandıracağıq OMx və OMy. Bu istiqamət seqmentlərinin dəyərləri müvafiq olaraq hesablanır x = x0 - 0 və y = y0 - 0 . Kartezyen koordinatları x və y xal M absis və ordinasiya etmək . Fakt budur ki, nöqtə M koordinatlarına malikdir x və y, aşağıdakı kimi işarələnir: M(x, y) .
Koordinat oxları təyyarəni dörd yerə bölür kvadrant , onun nömrələnməsi aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir. O, həmçinin bu və ya digər kvadrantda yerləşməsindən asılı olaraq nöqtələrin koordinatları üçün işarələrin düzülməsini göstərir.
Müstəvidə Kartezyen düzbucaqlı koordinatları ilə yanaşı, qütb koordinat sistemi də tez-tez nəzərə alınır. Bir koordinat sistemindən digərinə keçid üsulu haqqında - dərsdə qütb koordinat sistemi .
Kosmosda kartezian koordinatları bir müstəvidəki Kartezian koordinatları ilə tam analoji olaraq təqdim olunur.
Kosmosda ortaq mənşəli üç qarşılıqlı perpendikulyar ox (koordinat oxları). O və eyni miqyaslı vahid forması Kosmosda kartezyen düzbucaqlı koordinat sistemi .
Bu oxlardan biri ox adlanır öküz, və ya x oxu , digəri - ox ay, və ya y oxu , üçüncü - ox Oz, və ya oxu tətbiq edin . Qoy Mx, My Mz- ixtiyari nöqtənin proyeksiyaları M oxdakı boşluqlar öküz , ay və Oz müvafiq olaraq.
Nöqtədən keçin M öküzöküz nöqtədə Mx. Nöqtədən keçin M oxa perpendikulyar olan müstəvi ay. Bu müstəvi oxu ilə kəsişir ay nöqtədə My. Nöqtədən keçin M oxa perpendikulyar olan müstəvi Oz. Bu müstəvi oxu ilə kəsişir Oz nöqtədə Mz.
Kartezyen düzbucaqlı koordinatları x , y və z xal M biz müvafiq olaraq istiqamətlənmiş seqmentlərin böyüklüklərini adlandıracağıq OMx, OMy və OMz. Bu istiqamət seqmentlərinin dəyərləri müvafiq olaraq hesablanır x = x0 - 0 , y = y0 - 0 və z = z0 - 0 .
Kartezyen koordinatları x , y və z xal M uyğun olaraq adlanırlar absis , ordinasiya etmək və aplikasiya .
Cüt-cüt götürüldükdə koordinat oxları koordinat müstəvilərində yerləşir xOy , yOz və zOx .
Misal 1
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Bu nöqtələrin x oxundakı proyeksiyalarının koordinatlarını tapın.
Həll. Bu dərsin nəzəri hissəsindən göründüyü kimi, nöqtənin x oxuna proyeksiyası x oxunun özündə, yəni oxun üzərində yerləşir. öküz, və buna görə də nöqtənin özünün absisinə bərabər bir absissə və ordinata (ox üzərində koordinata) malikdir. ay x oxunun 0 nöqtəsində kəsişdiyi , sıfıra bərabərdir. Beləliklə, x oxundakı bu nöqtələrin aşağıdakı koordinatlarını alırıq:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx(-5;0).
Misal 2 Nöqtələr müstəvidə Dekart koordinat sistemində verilmişdir
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Bu nöqtələrin y oxundakı proyeksiyalarının koordinatlarını tapın.
Həll. Bu dərsin nəzəri hissəsindən göründüyü kimi, nöqtənin y oxuna proyeksiyası y oxunun özündə, yəni oxun üzərində yerləşir. ay, və buna görə də nöqtənin özünün ordinatına bərabər bir ordinata və absissaya (oxdakı koordinata) malikdir öküz, y oxunun 0 nöqtəsində kəsişdiyi, sıfıra bərabərdir. Beləliklə, y oxundakı bu nöqtələrin aşağıdakı koordinatlarını alırıq:
Ay(0; 2);
By (0; 1);
Cy(0;-2).
Misal 3 Nöqtələr müstəvidə Dekart koordinat sistemində verilmişdir
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
öküz .
öküz öküz öküz, verilmiş nöqtə ilə eyni absisə malik olacaq və ordinatı mütləq qiymətinə görə verilmiş nöqtənin ordinatına bərabər, işarəsinə görə isə əksinə olacaq. Beləliklə, ox ətrafında bu nöqtələrə simmetrik olan nöqtələrin aşağıdakı koordinatlarını alırıq öküz :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Misal 4 Nöqtənin hansı kvadrantlarda (dörddəbirlər, dörddəbirli rəqəm - "Müstəvidə düzbucaqlı dekart koordinat sistemi" abzasının sonunda) yerləşə biləcəyini müəyyənləşdirin. M(x; y) , əgər
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Misal 5 Nöqtələr müstəvidə Dekart koordinat sistemində verilmişdir
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Oxa görə bu nöqtələrə simmetrik olan nöqtələrin koordinatlarını tapın ay .
Misal 6 Nöqtələr müstəvidə Dekart koordinat sistemində verilmişdir
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Oxa görə bu nöqtələrə simmetrik olan nöqtələrin koordinatlarını tapın ay .
Həll. Ox ətrafında 180 dərəcə fırladın ay oxdan istiqamətlənmiş xətt seqmenti ay bu nöqtəyə qədər. Təyyarənin kvadrantlarının göstərildiyi şəkildə, oxa görə verilən nöqtəyə simmetrik olduğunu görürük. ay, verilmiş nöqtə ilə eyni ordinata və verilmiş nöqtənin absissinə mütləq qiymətinə bərabər, işarəsinə görə isə əksinə olan absis olacaq. Beləliklə, ox ətrafında bu nöqtələrə simmetrik olan nöqtələrin aşağıdakı koordinatlarını alırıq ay :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Misal 7 Nöqtələr müstəvidə Dekart koordinat sistemində verilmişdir
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Bu nöqtələrə mənşəyinə görə simmetrik olan nöqtələrin koordinatlarını tapın.
Həll. Başlanğıcdan verilmiş nöqtəyə gedən istiqamətlənmiş seqmentin başlanğıcı ətrafında 180 dərəcə fırlanır. Müstəvinin kvadrantlarının göstərildiyi şəkildə, koordinatların mənşəyinə görə verilmiş nöqtəyə simmetrik olan bir nöqtənin absis və mütləq qiymət baxımından verilmiş nöqtənin absis və ordinatına bərabər olan bir ordinata sahib olacağını görürük. , lakin onlara işarə ilə əks. Beləliklə, mənşəyə görə bu nöqtələrə simmetrik olan nöqtələrin aşağıdakı koordinatlarını alırıq:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Misal 8
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Bu nöqtələrin proyeksiyalarının koordinatlarını tapın:
1) təyyarədə Oksi ;
2) təyyarəyə Oxz ;
3) təyyarəyə Oyz ;
4) absis oxunda;
5) y oxu üzrə;
6) aplikasiya oxunda.
1) Nöqtənin müstəviyə proyeksiyası Oksi bu müstəvidə yerləşir və buna görə də verilmiş nöqtənin absis və ordinatına bərabər absis və ordinata, sıfıra bərabər tətbiqi var. Beləliklə, bu nöqtələrin proyeksiyalarının aşağıdakı koordinatlarını alırıq Oksi :
Axy(4;3;0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Nöqtənin müstəviyə proyeksiyası Oxz bu müstəvidə yerləşir və buna görə də verilmiş nöqtənin absis və tətbiqinə bərabər absis və tətbiqə və sıfıra bərabər ordinata malikdir. Beləliklə, bu nöqtələrin proyeksiyalarının aşağıdakı koordinatlarını alırıq Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz(2;0;0).
3) Nöqtənin müstəviyə proyeksiyası Oyz bu müstəvidə yerləşir və buna görə də verilmiş nöqtənin ordinatına və tətbiqinə bərabər ordinata və tətbiqə, sıfıra bərabər absissə malikdir. Beləliklə, bu nöqtələrin proyeksiyalarının aşağıdakı koordinatlarını alırıq Oyz :
Ayz (0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz(0;-3;0).
4) Bu dərsin nəzəri hissəsindən göründüyü kimi, nöqtənin x oxuna proyeksiyası x oxunun özündə, yəni oxun üzərində yerləşir. öküz, və buna görə də nöqtənin özünün absissinə bərabər absissaya malikdir və proyeksiyanın ordinatı və tətbiqi sıfıra bərabərdir (çünki ordinat və tətbiq oxları absis ilə 0 nöqtəsində kəsişir). Bu nöqtələrin x oxundakı proyeksiyalarının aşağıdakı koordinatlarını alırıq:
Ax(4;0;0);
Bx(-3;0;0);
Cx(2;0;0).
5) Nöqtənin y oxundakı proyeksiyası y oxunun özündə, yəni oxun üzərində yerləşir. ay, və buna görə də nöqtənin özünün ordinatına bərabər ordinata malikdir və proyeksiyanın absisi və tətbiqi sıfıra bərabərdir (çünki absis və tətbiq oxları ordinat oxunu 0 nöqtəsində kəsirlər). Bu nöqtələrin y oxundakı proyeksiyalarının aşağıdakı koordinatlarını alırıq:
Ay(0;3;0);
By(0;2;0);
Cy(0;-3;0).
6) Tətbiq oxundakı nöqtənin proyeksiyası tətbiq oxunun özündə, yəni oxun üzərində yerləşir. Oz, və buna görə də nöqtənin özünün tətbiqinə bərabər tətbiqi var və proyeksiyanın absisi və ordinatı sıfıra bərabərdir (çünki absis və ordinat oxları tətbiq oxunu 0 nöqtəsində kəsir). Bu nöqtələrin tətbiqi oxundakı proyeksiyalarının aşağıdakı koordinatlarını alırıq:
Az(0; 0; 5);
Bz(0;0;1);
Cz(0; 0; 0).
Misal 9 Nöqtələr fəzada Kartezyen koordinat sistemində verilmişdir
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Bu nöqtələrə nisbətən simmetrik olan nöqtələrin koordinatlarını tapın:
1) təyyarə Oksi ;
2) təyyarə Oxz ;
3) təyyarə Oyz ;
4) absis oxu;
5) y oxu;
6) aplikasiya oxu;
7) koordinatların mənşəyi.
1) Oxun digər tərəfindəki nöqtəni "İrəliləyin" Oksi Oksi, verilmiş nöqtənin absis və ordinatına bərabər absis və ordinata, böyüklüyünə görə verilmiş nöqtənin tətbiqinə bərabər, lakin işarəsinə görə əks olan tətbiqi olacaqdır. Beləliklə, müstəvi ilə bağlı verilənlərə simmetrik olan nöqtələrin aşağıdakı koordinatlarını alırıq Oksi :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) Oxun digər tərəfindəki nöqtəni "İrəliləyin" Oxz eyni məsafə üçün. Koordinat fəzasını göstərən şəklə görə, oxa görə verilən nöqtəyə simmetrik olduğunu görürük. Oxz, verilmiş nöqtənin absisi və tətbiqinə bərabər absis və tətbiqi, böyüklüyünə görə verilmiş nöqtənin ordinatına bərabər, lakin işarəsi ilə əks olan ordinata malik olacaq. Beləliklə, müstəvi ilə bağlı verilənlərə simmetrik olan nöqtələrin aşağıdakı koordinatlarını alırıq Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) Oxun digər tərəfindəki nöqtəni "İrəliləyin" Oyz eyni məsafə üçün. Koordinat fəzasını göstərən şəklə görə, oxa görə verilən nöqtəyə simmetrik olduğunu görürük. Oyz, verilmiş nöqtənin ordinatına və tətbiqinə bərabər ordinata və tətbiqə, böyüklüyünə görə verilmiş nöqtənin absissinə bərabər, lakin işarəsinə görə əks olan absisə malik olacaqdır. Beləliklə, müstəvi ilə bağlı verilənlərə simmetrik olan nöqtələrin aşağıdakı koordinatlarını alırıq Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Müstəvidəki simmetrik nöqtələr və kosmosdakı nöqtələrlə müstəvilərə aid verilənlərə simmetrik olaraq, qeyd edirik ki, fəzada Dekart koordinat sisteminin bəzi oxuna aid simmetriya olduqda, simmetriyanın qurulduğu oxdakı koordinat işarəsini saxlayacaq və digər iki oxdakı koordinatlar mütləq qiymətdə verilmiş nöqtənin koordinatları ilə eyni, lakin işarəsi ilə əks olacaq.
4) Absis öz işarəsini saxlayacaq, ordinat və tətbiq işarələrini dəyişəcək. Beləliklə, x oxu haqqında məlumatlara simmetrik olan nöqtələrin aşağıdakı koordinatlarını alırıq:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinat öz işarəsini saxlayacaq, absis və aplikasiya isə işarəni dəyişəcək. Beləliklə, y oxu haqqında məlumatlara simmetrik olan nöqtələrin aşağıdakı koordinatlarını alırıq:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Ərizə öz işarəsini saxlayacaq, absis və ordinat işarələrini dəyişəcək. Beləliklə, tətbiq oxu haqqında məlumatlara simmetrik olan nöqtələrin aşağıdakı koordinatlarını alırıq:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Müstəvidəki nöqtələr vəziyyətində simmetriya ilə analogiyaya görə, koordinatların mənşəyi ilə bağlı simmetriya vəziyyətində, verilmiş birinə simmetrik olan nöqtənin bütün koordinatları mütləq qiymətdə verilmiş nöqtənin koordinatlarına bərabər olacaqdır; lakin onların işarəsi ilə əksinədir. Beləliklə, mənşəyə görə verilənlərə simmetrik olan nöqtələrin aşağıdakı koordinatlarını alırıq.
Müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemi iki qarşılıqlı perpendikulyar X'X və Y'Y koordinat oxlarından əmələ gəlir. Koordinat oxları koordinatların başlanğıcı adlanan O nöqtəsində kəsişir, hər ox üzrə müsbət istiqamət seçilir.Oxların müsbət istiqaməti (sağ koordinat sistemində) elə seçilir ki, X'X oxu olduqda saat əqrəbinin əksinə 90° fırlanır, onun müsbət istiqaməti Y'Y oxunun müsbət istiqaməti ilə üst-üstə düşür. X'X və Y'Y koordinat oxlarının əmələ gətirdiyi dörd bucaq (I, II, III, IV) koordinat bucaqları adlanır (bax. Şək. 1).
A nöqtəsinin müstəvidəki mövqeyi iki x və y koordinatları ilə müəyyən edilir. X koordinatı OB seqmentinin uzunluğuna bərabərdir, y koordinatı seçilmiş vahidlərdə OC seqmentinin uzunluğudur. OB və OC seqmentləri müvafiq olaraq A nöqtəsindən Y’Y və X’X oxlarına paralel çəkilmiş xətlərlə müəyyən edilir. x koordinatı A nöqtəsinin absisi, y koordinatı A nöqtəsinin ordinatı adlanır. Bunu belə yazırlar: A (x, y).
A nöqtəsi I koordinat bucağında yerləşirsə, A nöqtəsi müsbət absis və ordinata malikdir. Əgər A nöqtəsi II koordinat bucağında yerləşirsə, onda A nöqtəsi mənfi absis və müsbət ordinata malikdir. Əgər A nöqtəsi III koordinat bucağında yerləşirsə, onda A nöqtəsi mənfi absis və ordinata malikdir. Əgər A nöqtəsi IV koordinat bucağında yerləşirsə, onda A nöqtəsi müsbət absis və mənfi ordinata malikdir.
Kosmosda düzbucaqlı koordinat sistemi OX, OY və OZ qarşılıqlı perpendikulyar üç koordinat oxundan əmələ gəlir. Koordinat oxları başlanğıc adlanan O nöqtəsində kəsişir, hər bir oxda oxlarla göstərilən müsbət istiqamət seçilir və oxlar üzrə seqmentlərin ölçü vahidi seçilir. Ölçü vahidləri bütün oxlar üçün eynidir. OX - absis oxu, OY - ordinat oxu, OZ - tətbiq oxu. Oxların müsbət istiqaməti elə seçilir ki, OX oxu saat əqrəbinin əksinə 90° fırlananda onun müsbət istiqaməti OY oxunun müsbət istiqaməti ilə üst-üstə düşsün, əgər bu fırlanma OZ oxunun müsbət istiqamətindən müşahidə edilirsə. Belə bir koordinat sistemi düzgün adlanır. Sağ əlin baş barmağı X istiqaməti, şəhadət barmağı Y istiqaməti, orta barmağı isə Z istiqaməti götürülərsə, onda sağ koordinat sistemi yaranır. Sol əlin oxşar barmaqları sol koordinat sistemini təşkil edir. Sağ və sol koordinat sistemləri birləşdirilə bilməz ki, müvafiq oxlar üst-üstə düşsün (bax şək. 2).
A nöqtəsinin fəzada mövqeyi üç x, y və z koordinatları ilə müəyyən edilir. Seçilmiş vahidlərdə x koordinatı OB seqmentinin uzunluğuna, y koordinatı OC seqmentinin uzunluğuna, z koordinatı OD seqmentinin uzunluğuna bərabərdir. OB, OC və OD seqmentləri A nöqtəsindən müvafiq olaraq YOZ, XOZ və XOY müstəvilərinə paralel çəkilmiş müstəvilərlə müəyyən edilir. X koordinatı A nöqtəsinin absisi, y koordinatı A nöqtəsinin ordinatı, z koordinatı A nöqtəsinin tətbiqi adlanır. Bunu belə yazırlar: A (a, b, c).
Düzbucaqlı koordinat sistemi (istənilən ölçüdə) koordinat oxları ilə birlikdə idarə olunan orts dəsti ilə də təsvir olunur. Ortların sayı koordinat sisteminin ölçüsünə bərabərdir və hamısı bir-birinə perpendikulyardır.
Üçölçülü vəziyyətdə belə vektorlar adətən işarələnir i j k və ya e x e y e z . Bu halda, düzgün koordinat sistemi vəziyyətində vektorların vektor məhsulu ilə aşağıdakı düsturlar etibarlıdır:
Rene Dekart ilk dəfə 1637-ci ildə “Metod haqqında danışıq” əsərində düzbucaqlı koordinat sistemini təqdim etdi. Buna görə də düzbucaqlı koordinat sistemi də adlanır - Kartezyen koordinat sistemi. Həndəsi obyektlərin təsviri üçün koordinat üsulu analitik həndəsə üçün əsas qoydu. Pierre Fermat da koordinat metodunun inkişafına töhfə verdi, lakin onun işi ilk dəfə ölümündən sonra nəşr olundu. Dekart və Fermat koordinat metodundan yalnız müstəvidə istifadə edirdilər.
Üç ölçülü məkan üçün koordinat metodu ilk dəfə 18-ci əsrdə Leonhard Euler tərəfindən tətbiq edilmişdir.
Wikimedia Fondu. 2010.
KARTEZİS KOORDİNAT SİSTEMİ, müstəvidə və ya fəzada düzxətli koordinat sistemi (adətən qarşılıqlı perpendikulyar oxlar və oxlar boyunca eyni miqyaslı). R.Dekartın şərəfinə adlandırılmışdır (bax: Renenin DECARTS). Dekart ilk dəfə təqdim etdi... ensiklopedik lüğət
KARTEZİAN KOORDİNAT SİSTEMİ- müstəvidə və ya fəzada oxlar boyunca şkalaların eyni olduğu və koordinat oxlarının qarşılıqlı perpendikulyar olduğu düzbucaqlı koordinat sistemi. D. s. k. müstəvidəki nöqtə üçün x:, y və ya fəzadakı nöqtə üçün x, y, z hərfləri ilə işarələnir. (Sm.… …
KARTESİS KOORDİNAT SİSTEMİ, René DECARTS tərəfindən təqdim edilən sistemdir ki, burada nöqtənin mövqeyi ondan qarşılıqlı kəsişən xətlərə (oxlar) qədər olan məsafə ilə müəyyən edilir. Sistemin ən sadə versiyasında oxlar (x və y kimi qeyd olunur) perpendikulyardır. ... ... Elmi-texniki ensiklopedik lüğət
Kartezyen koordinat sistemi
Bir müstəvidə və ya kosmosda (adətən oxlar boyunca eyni miqyasda) düzxətli koordinat sistemi (Koordinatlara baxın). R.Dekartın özü də “Həndəsə”də (1637) ancaq müstəvidə (ümumiyyətlə, əyri) koordinat sistemindən istifadə etmişdir. Tez-tez…… Böyük Sovet Ensiklopediyası
Koordinat metodunu həyata keçirən təriflər toplusu, yəni rəqəmlərdən və ya digər simvollardan istifadə edərək nöqtə və ya cismin mövqeyini təyin etmək üsulu. Müəyyən bir nöqtənin mövqeyini təyin edən ədədlər çoxluğuna bu nöqtənin koordinatları deyilir. ...... Vikipediyada
kartezyen sistemi- T sritis fizika attikmenys sistem statuslarını dekarto: engl. Kartezyen sistemi; Koordinatların kartezyen sistemi vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Kartezyen sistemi, f; Kartezyen sistemi ... ... Fizikos terminų žodynas
KOORDİNAT SİSTEMİ- nöqtənin düz xəttdə, müstəvidə, fəzada mövqeyini təyin edən şərtlər toplusu. Müxtəlif S. to. var: Kartezyen, əyri, silindrik, sferik, əyrixətti və s. Mövqeyini təyin edən xətti və bucaq kəmiyyətləri ... ... Böyük Politexnik Ensiklopediya
Evklid fəzasında ortonormal düzxətli koordinat sistemi. D. p. s. k. müstəvidə iki qarşılıqlı perpendikulyar birbaşa koordinat oxu verilir, bunların hər birində müsbət istiqamət seçilir və bölmənin seqmenti ... Riyaziyyat ensiklopediyası
Düzbucaqlı koordinat sistemi müstəvidə və ya fəzada qarşılıqlı perpendikulyar oxları olan düzxətli koordinat sistemidir. Ən sadə və buna görə də ən çox istifadə olunan koordinat sistemi. O, çox asanlıqla və birbaşa ...... Wikipedia üçün ümumiləşdirilir
